Luận văn tốt nghiệp áp dụng phương pháp gần đúng hydrodynamics tìm hệ thức tán sắc của hệ bose einstein hai thành phần

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ TRẦN THỊ NGỌC THÚY ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG HYDRODYNAMICS TÌM HỆ THỨC TÁN SẮC CỦA HỆ BOSE- EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN BỊ GIỚI HẠN BỞI CẤU TRÚC TRỤ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học ThS HOÀNG VĂN QUYẾT HÀ NỘI, 2017 LỜI CẢM ƠN Trước tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Th.S Hoàng Văn Quyết người tận tình nghiêm khắc hướng dẫn để em hồn thành khóa luận Em xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành đến thầy cô giáo giảng dạy em bốn năm qua, đặc biệt thầy cô Khoa Vật lý Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, giảng dạy trang bị cho em kiến thức học tập, nghiên cứu khố luận cơng việc sau Trong trình nghiên cứu thời gian có hạn bước đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, em mong nhận đóng góp q thầy bạn để đề tài hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 04 năm 2017 Sinh viên Trần Thị Ngọc Thúy LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp “Áp dụng phương pháp gần hydrodynamics tìm hệ thức tán sắc hệ Bose- Einstein hai thành phần bị giới hạn cấu trúc trụ ” hồn thành hướng dẫn tận tình nghiêm khắc thầy giáo Th.S Hoàng Văn Quyết Tôi xin cam đoan đề tài kết nghiên cứu tơi khơng trùng với kết nghiên cứu tác giả khác Hà Nội, tháng 04 năm 2017 Sinh viên Trần Thị Ngọc Thúy MỤC LỤC MỞ ĐẦU NỘI DUNG CHƯƠNG TỔNG QUAN VỀ NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN 1.1 Lịch sử hình thành phát triển 1.2 Tổng quan nghiên cứu thực nghiệm ngưng tụ Bose Einstein Condensates 10 1.2.1 Loại ánh sáng tạo đột phá vật lý 10 1.2.2 Kỹ thuật lưu trữ khôi phục ánh sáng 12 1.3 Tổng quan nghiên cứu lý thuyết ngưng tụ Bose-Einstein có liên quan đến khóa luận 15 1.3.1 Thống kê Bose – Einstein 15 1.3.2 Toán tử Hamilton 23 1.3.3 Phương trình Gross-Pitaevskii 25 1.3.3.1 Hệ riêng biệt 25 1.4 Sơ lược phương pháp hydrodynamics 30 CHƯƠNG ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG HYDRODYNAMICS TÌM HỆ THỨC TÁN SẮC CỦA HỆ BOSEEINSTEIN HAI THÀNH PHẦN BỊ GIỚI HẠN BỞI CẤU TRÚC TRỤ 37 KẾT LUẬN VÀ THẢO LUẬN 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Ý tưởng ngưng tụ Bose- Einstein Condensates (BEC) Satyendra Nath Bose (Ấn Độ) Albert Einstein (Mỹ) tiên đoán từ năm1924 Nhưng tới năm 1980 kỹ thuật laze phát triển đủ để làm siêu lạnh nguyên tử đến nhiệt độ thấp BEC thực đến năm 1995 quan sát thực nghiệm BEC trạng thái vật chất quan trọng phịng thí nghiệm để quan sát nhiều hiệu ứng vật lý mà vật chất khác khơng có, hiệu ứng lượng tử Trong thập niên qua, nhờ phát triển tuyệt vời kỹ thuật dùng thực nghiệm để tạo khí siêu lạnh người ta tạo thực nghiệm BEC hai thành phần từ phân tử khí gồm hai thành phần khí khác điều quan trọng điều khiển cường độ tương tác hai thành phần để sinh trạng thái theo ý muốn Đây mơi trường lý tưởng để kiểm chứng phịng thí nghiệm nhiều tượng lượng tử khác nhau, chẳng hạn hình thành xốy Abrikosov, vách ngăn hai thành phần, trạng thái soliton, trạng thái ripplon, đơn cực Ở Việt Nam BEC vấn đề mẻ, học sinh sinh viên Vì việc tìm hiểu BEC sinh viên cần thiết Do điều kiện nghiên cứu thực nghiệm Việt Nam sinh viên cịn gặp nhiều khó khăn (thiết bị, kinh phí,…) nên để tìm hiểu BEC tìm hiểu phương diện lí thuyết Vì thời gian kiến thức hạn hẹp nên sinh viên chúng em tìm hiểu khía cạnh nhỏ BEC Vì em chọn nghiên cứu đề tài: “ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG HYDRODYNAMICS TÌM HỆ THỨC TÁN SẮC CỦA HỆ BOSE- EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN BỊ GIỚI HẠN BỞI CẤU TRÚC TRỤ’’ làm đề tài nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Tìm hệ thức tán sắc phonon hệ ngưng tụ Bose- Einstein phương pháp Hydrodynamics Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng: tính chất bề mặt tiếp giáp, tính nhiệt động, tính thống kê hệ BCE hai thành phần Phạm vi: nghiên cứu trường hợp hai chất lỏng không trộn lẫn Nhiệm vụ nghiên cứu Tổng quan nghiên cứu lý thuyết thực nghiệm BCE Trình bày hệ phương trình Gross-Pitaevskii Xây dựng phương trình liên tục Áp dụng phương pháp gần Hydrodynamics tìm hệ thức tán sắc phonon hệ Bose- Einstein hai thành phần bị giới hạn cấu trúc trụ Phương pháp nghiên cứu Trong khuôn khổ lý thuyết Gross-Pitaevskii áp dụng phương pháp gần Hydrodynamics Đóng góp đề tài Làm tài liệu tham khảo cho sinh viên NỘI DUNG CHƯƠNG TỔNG QUAN VỀ NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN 1.1 Lịch sử hình thành phát triển Albert Einstein (1897-1955) nhà vật lí lý thuyết sinh Đức Khi bước vào nghiệp mình, Eisntein nhận học Newton khơng cịn thống định luật học cổ điển với định luật trường điện từ Từ ơng phát triển thuyết tương đối đặc biệt, với báo đăng năm 1905 Tuy nhiên, ông thấy nguyên lý tương đối mở rộng cho trường hấp dẫn, đến năm 1916 ông xuất báo cáo thuyết tương đối tổng quát Ông người đặt sở cho lý thuyết lượng tử ánh sáng Năm 1917, Einstein sử dụng thuyết tương đối tổng qt để miêu tả mơ hình cấu trúc toàn thể vũ trụ Một thành tựu khoa học ơng ý tưởng ngưng tụ Bose-Einstein Condensates năm 1924 nhà lý thuyết Ấn Độ Satyendra Nath Bose suy định luật Planck cho xạ vật đen lúc xem photon chất khí nhiều hạt đồng Satyendra Nath Bose chia sẻ ý tưởng với Einstein hai nhà khoa học tổng quát hóa lý thuyết Bose cho khí lý tưởng nguyên tử tiên đoán nguyên tử bị làm đủ lạnh, bước sóng chúng trở thành lớn đến mức chồng lên Các nguyên tử nhận dạng nhân tạo nên trạng thái lượng tử vĩ mơ hay nói cách khác siêu nguyên tử - tức BEC Về mặt lý thuyết hạt vật lý chia làm hai lớp bản: lớp boson lớp fermion Boson hạt có ''spin nguyên'' (0, 1, 2, ), fermion hạt có spin ''bán nguyên'' (1/2, 3/2 ) Các hạt boson tuân theo thống kê Bose- Einstein, hạt fermion tuân theo thống kê Fecmi- Dirac Ngồi hạt fermion cịn tn theo nguyên lý ngoại trừ Pauli, ''hai hạt fermion tồn trạng thái lượng tử'' Ở nhiệt độ phòng, boson fermion phản ứng giống nhau, giống hạt cổ điển tuân theo gần thống kê Mắcxoen- Bônxơman (bởi thống kê Bose-Einstein thống kê Fecmi- Dirac tiệm cận đến thống kê Mắcxoen- Bơnxơman nhiệt độ phịng) Có thể khẳng định nhiệt độ thấp khí Bose có tính chất khác hẳn khí Fermion (chẳng hạn khí điện tử tự kim loại) Thật hạt Boson không chịu chi phối nguyên lý cấm Pauli nên nhiệt độ không tuyệt đối tất có lượng   0, trang thái tất chất khí trạng thái có E  Cịn khí fermion khác, nhiệt độ T  0oK hạt chiếm trạng thái có lượng từ đến mức fermion, lượng hệ khác không (E # 0) Xét việc áp dụng thống kê Bose-Einstein vào hệ hạt có spin ngun hay spin khơng (ví dụ photon, mezon, nguyên tử electron nucleon chẵn, ) gọi hạt Boson hay khí Bose Khi nhiệt độ hạ xuống thấp Tc theo ngun lý bất định Heisenberg hạt boson có bước sóng Đơbrơi B=(2ħ2/mkBT)1/2 B tăng lên nhiệt độ giảm Khi B so sánh với kich thước khơng gian ngun tử sóng Đơbrơi chồng chất lên tạo thành bó sóng hạt có trạng thái lượng tử ta gọi trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein (BEC) Sự chuyển pha dẫn đến ngưng tụ Bose Einstein xuất nhiệt độ hệ nhiệt độ giới hạn, khí phân bố chiều hệ hạt khơng tương tác mà khơng có bậc tự nội nó, cho cơng thức: Tc= ( 𝑛 2/3 2πћ2 ) Ϛ(3/2) 𝑚𝑘𝐵 ≈ 3.3125 ћ2 𝑛2/3 𝑚𝑘𝐵 Tc nhiệt độ giới hạn n mật độ hạt m khối lượng boson ћ số Plăng thu gọn kB số Boltzmann ς hàm Zeta Riemann; ς(3/2)≈ 2.6124 Về thực nghiệm chất khí lượng tử siêu lạnh có tính chất đặc biệt mang lại hệ lí tưởng để nghiên cứu tượng vật lý Với việc chọn erbium, đội nghiêm cứu đứng đầu Frencesca Ferlaino thuộc Viện Vật lí Thực nghiệm, Đại học Innsbruck, chọn nguyên tố lạ, tính chất đặc biệt mang lại khả hấp dẫn để nghiên cứu câu hỏi lĩnh vực vật lí lượng tử "Erbium tương đối nặng có từ tính mạnh Những tính chất dẫn tới trạng thái lưỡng cực cực độ hệ lượng tử", Ferlaino cho biết Cùng nới nhóm nghiên cứu mình, bà tìm phương pháp đơn giản đến bất ngờ để làm lạnh nguyên tố phức tạp phương tiện laser kĩ thuật làm lạnh bay Ở độ gần độ không tuyệt đối, đám mây gồm khoảng 70.000 nguyên tử erbium tạo ngưng tụ BoseEinstein từ tính Trong ngưng tụ, hạt tính chất cá lẻ chúng đồng hóa thành trạng thái chúng " Những thí nghiệm với erbium cho phép thu kết sâu sắc trình tương tác phức tạp hệ tương quan mạnh đặc biệt, mang lại điểm xuất phát để nghiên cứu từ tính lượng tử với nguyên tử lạnh", Franlaino nói Cesium, strontium erbium ba nguyên tố hóa học mà nhà vật lí Innsbbruck cho ngưng tụ thành công vài năm trở lại Một đột phá quan trọng thực Rudolf Grimm nhóm nghiên cứu ơng hồi năm 2002 họ thu ngưng tụ cesium, dẫn tới vô số kết khoa học năm sau Một người nhận tài trợ START khác, Florian Schreck, thành viên thuộc nhóm nghiên cứu Rudolf Grimm, người thực hóa ngưng tụ strontium hồi năm 2009 Và Francesca Ferlaino lập tiếp kì cơng với ngun tố erbium Cho đến nay, khắp giới có tổng cộng 13 nguyên tố làm cho ngưng tụ Mười số ngưng tụ tạo mười nhóm nghiên cứu quốc tế khác Năm 1938, Fritz London đề xuất trạng thái BEC chế giải thích cho tính siêu chảy Heli-4 tính siêu dẫn nhiệt độ thấp số vật liệu Năm 1995, khí ngưng tụ tạo nhóm Eric Cornell Carl Wieman phịng thí nghiệm JILA thuộc Viện Công nghệ Tiêu chuẩn Quốc gia (NIST) Đại học Colorada Boulder, họ làm lạnh khí nguyên tử Rubidi đến nhiệt độ 170 nanokelvin (nk) Cũng thời gian này, Wolfgang Ketterle Học viện Công nghệ Massachusetts tạo ngưng tụ Bose- Einstein nguyên tử Natri trì hệ 2000 nguyên tử thời gian lâu cho phép nghiên cứu tính chất hệ Vì mà Cornell, Wieman, Ketterle nhận giải Nobel Vật lý năm 2001 Từ (1.51) (1.52) ta thu phương trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc thời gian sau: 𝜕𝜓1 iћ 𝜕𝑡 𝜕𝜓2 iћ 𝜕𝑡 = (− = (− ћ2 2𝑚1 ћ2 2𝑚2 ∇2 + 𝑉1 + 𝑔11 |𝜓1 |2 + 𝑔12 |𝜓2 |2 )𝜓1 (1.53) ∇2 + 𝑉2 + 𝑔22 |𝜓2 |2 + 𝑔12 |𝜓1 |2 )𝜓2 (1.54) Như vậy, ta thu phương trình Gross-Pitaevskii hai thành phần theo hình thức luận Hamilton Sự tiến triển hệ theo thời gian xác định cách giải số phương trình (1.53) (1.54) theo phương pháp giải phổ với điều kiện biên xác định 1.3.3.2.2 Phương trình Gross-Pitaevskii khơng phụ thuộc vào thời gian Để tìm phương trình Gross-Pitaevskii khơng phụ thuộc vào thời gian ta đặt: 𝜓1 = 𝜓10 (𝑟)𝑒 −𝑖𝜇1𝑡/ћ 𝜓2 = 𝜓20 (𝑟)𝑒 −𝑖𝜇2𝑡/ћ (1.55) ψ10 ψ20 hàm sóng trạng thái thành phần Thay (1.55) vào (1.53) ta được: 𝑖ћ 𝜕(𝜓10 (𝑟)𝑒 −𝑖𝜇1 𝑡/ћ 𝜕𝑡 =− ћ2 2𝑚1 ∇2 + 𝑉1 + 𝑔11 |𝜓10 (𝑟)𝑒 −𝑖𝜇1𝑡/ћ | + 𝑔12 |𝜓20 (𝑟)𝑒 −𝑖𝜇2𝑡/ћ |2 )𝜓10 (𝑟)𝑒 −𝑖𝜇1𝑡/ћ 𝑖ћ 𝜕(𝜓20 (𝑟)𝑒 −𝑖𝜇2 𝑡/ћ ) 𝜕𝑡 = (− ћ2 2𝑚2 ∇ + 𝑉2 + 𝑔22 |𝜓20 (𝑟)𝑒 𝑖𝜇 𝑡 − ћ | + 𝑔12 |𝜓10 (𝑟)𝑒 −𝑖𝜇1𝑡/ћ |2 )𝜓20 (𝑟)𝑒 −𝑖𝜇2𝑡/ћ Thực phép lấy đạo hàm theo thời gian thu ћ2 − ∇ 𝜓1 − 𝜇1 𝜓1 + 𝑉1 𝜓1 + 𝑔11 |𝜓1 |2 𝜓1 + 𝑔12 |𝜓1 |2 𝜓2 = 2𝑚1 29 (1.56) ћ2 − ∇ 𝜓2 − 𝜇2 𝜓2 + 𝑉2 𝜓2 + 𝑔22 |𝜓2 |2 𝜓2 + 𝑔12 |𝜓2 |2 𝜓1 = 2𝑚2 (1.57) Phương trình (1.56) (1.57) gọi phương trình Gross-Pitaevskii khơng phụ thuộc vào thời gian 1.4 Sơ lược phương pháp hydrodynamics Phương pháp coi chuyển động hạt trạng thái ngưng tụ chuyển động dịng chảy chất lỏng Mục đích ta cần tìm phương trình cho chuyển động dịng phương trình thủy động học có dạng tương tự cổ điển phương trình Bernoulli, phương trình Euler, phương trình liên tục từ nghiên cứu tính chất động học hệ BEC Chúng ta thấy cấu trúc cân ngưng tụ mơ tả phương trình Schrodinger khơng phụ thuộc thời gian với đóng góp phi tuyến để tính đến tương tác qua lại hạt Để nghiên cứu vấn đề động lực học sử dụng phương trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc thời gian i   r , t   2  r , t   V  r   r , t   U   r , t    r , t  t 2m (1.58) sở để nghiên cứu động lực học ngưng tụ Đảm bảo tính thống phương trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc thời gian phương trình Gross-Pitaevskii khơng phụ thuộc thời gian với i t   Hệ số pha    điều kiện dừng   r , t  phụ thuộc thời gian dạng exp  phản xạ toán tử sinh 𝜓̂|𝑁› với phần tử ma trận toán tử hủy ‹N-1|ˆ trạng thái có N hạt trạng thái có N-1 hạt, xác định phương trình: t 𝜓(𝑟, 𝑡) = ⟨𝑁 − 1|𝜓̂|𝑁⟩ ~ exp [−𝑖(𝐸𝑁 − 𝐸𝑁−1 ) ] ћ 30 (1.59) Trạng thái N N  phụ thuộc vào thời gian có dạng  iE N t   iE N 1t  exp   exp   Đối với N lớn khác     lượng trạng thái EN  EN 1 với E (đây hóa học) Do N kết hệ thức Josephson cho khai triển pha  hàm sóng ngưng tụ d   Φ dt (1.60) Phương trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc thời gian (1.58) suy từ nguyên lý tác dụng tối thiểu 𝑡2 𝛿 ∫ 𝐿𝑑𝑡 = (1.61) 𝑡1 Ở Lagrangian L cho 𝑖ћ ∗ 𝜕𝜓 𝜕𝜓 ∗ 𝐿 = ∫ [ (𝜓 −𝜓 ) − 𝐸] 𝑑𝑟 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝑖ћ ∗ 𝜕𝜓 𝜕𝜓 ∗ = ∫ [ (𝜓 −𝜓 ) − 𝜀] 𝑑𝑟⃗⃗ (1.62) 𝜕𝑡 𝜕𝑡 Trong E lượng, ε mật độ lượng ε cho  2m   V  r    2 U0  (1.63) Trong nguyên lý biến phân (1.61) biến phân  (hoặc  * ) tùy ý, yêu cầu triệt tiêu t  t1 , t  t2 biên khơng gian với thời gian t Ta sử dụng thay phương trình (1.58) cho mật độ gradient pha Để hiểu chất vận tốc ngưng tụ xây dựng phương trình liên tục Nếu nhân Phương trình Gross-Pitaevskii phụ 31 thuộc thời gian (1.58) với  *  r , t  trừ số liên hợp phức phương trình cuối ta có       *  *   t  2mi    (1.64) Nó giống kết thu từ phương trình Schrodinger thơng thường (tuyến tính), suy phi tuyến Phương trình Gross-Pitaevskii thực Phương trình (1.64) có dạng phương trình liên tục cho mật độ hạt n    viết n    nv   t (1.65) Trong vận tốc ngưng tụ xác định     * v 2mi *  (1.66) Mật độ xung lượng J cho J     2i * * (1.67) Do hệ thức (3.9) tương đương với kết J  mnv (1.68) Biểu thức đơn giản cho mật độ vận tốc thu viết hàm sóng  ngưng tụ có dạng   A.ei (1.69) Với A biên độ,  pha Trong mật độ cho n  A2 Và vận tốc v 32 (1.70) v m  (1.71) Từ phương trình (1.71) kết luận chuyển động ngưng tụ phù hợp với dịng thế, vận tốc gradient đại lượng vơ hướng Nếu  khơng kì dị kết luận chuyển động ngưng tụ khơng xốy v  m     (1.72) Chuyển động ngưng tụ hạn chế nhiều so với chất lỏng cổ điển Phương trình chuyển động cho biên độ A pha  tìm thấy cách (1.69) vào (1.58) tách phần thực phần ảo từ ta có i  A  i ei t t (1.73) Và  2   2 A       A  i  2  A  2i  A ei  (1.74) Chúng ta thu hai phương trình   A2  t  m   A2  (1.75) Và    2 A  mv  V  r   U A2 t 2mA (1.76) Phương trình (1.75) (1.76) bắt nguồn trực tiếp từ nguyên lý tác dụng tối thiểu (1.61) với hàm Lagrangian (1.62) 33 Phương trình (1.75) phương trình liên tục (1.65) biểu thị với biến số Để tìm phương trình chuyển động cho vận tốc cho phương trình (1.71) đưa vào gradient phương trình (1.76) thu kết m v        mv  t   (1.77) Ở   V  nU  2m n  n Phương trình (3.19) biểu diễn theo (1.78) E n   r , t  E  t  n r  Đại lượng E  n r  (1.79) lượng cần để thêm hạt điểm r, kết khái quát hóa hệ thức Josephson (1.60) đến hệ không gian trạng thái Ở trạng thái dừng   mv không đổi phép cộng vận tốc khơng pha  khơng phụ thuộc vào vị trí,  số từ suy Phương trình Gross-Pitaevskii khơng phụ thuộc thời gian (1.68) Đại lượng nU phương trình (1.78) biểu thức cho hóa học khí bose đều, bỏ qua đóng góp từ ngoại lực Ở nhiệt độ khơng, thay đổi hóa có liên quan đến việc thay đổi áp suất p hệ thức Gibbs-Duhem dp  nd  , kết dễ dàng xác nhận cho khí bose pha lỗng đồng đều,   nU p n2U E  V (theo (1.49) (1.42)) Phương trình (1.77) viết lại dạng 34  v2    v  p         n   V t mn   m  2m n  m (1.80) Phương trình (1.65) (1.80) giống với phương trình thủy động lực cho chất lỏng lý tưởng Nếu kí hiệu vận tốc chất lỏng v , phương trình liên tục (1.65) xác dạng chất lỏng lý tưởng, phương trình (1.80) tương tự phương trình Euler v 1  v. v  p   V t mn m (1.81)  v2  v v  v   p       V t mn 2 m (1.82)   Hoặc   Ở áp suất p áp suất chất lỏng, thường có dạng khác với áp suất ngưng tụ Có hai khác phương trình (1.80) (1.82) Đầu tiên phương trình Euler chứa số hạng v     v  Tuy nhiên trường vận tốc chất siêu lỏng tương ứng với dòng  v  , số hạng v     v  khơng đóng góp vào phương trình Euler Sự khác hai phương trình cho dịng số hạng thứ ba bên phải phương trình (1.80) gọi số hạng áp lực lượng tử Mô tả lực biến phân không gian độ lớn hàm sóng cho trạng thái ngưng tụ giống số v2 hạng  , gốc số hạng động 2  2m mnv   2  A 2m mật độ lượng, hai đóng góp tương ứng với tác dụng vật lý khác : Đầu tiên động chuyển động hạt, đóng góp sau phù hợp với “chuyển động điểm khơng” khơng tạo nên dịng hạt Nếu thang đo khơng gian hàm sóng ngưng tụ l, số hạng áp suất phương trình 35 nU0 , số hạng áp suất lượng tử Do số hạng áp suất ml ml (1.80) lượng tử chiếm ưu với số hạng áp suất thường biến phân không gian mật độ xuất thang dài bậc thang kết hợp ξ = ћ (𝑚𝑛𝑈0 )1/2 trở nên quan trọng thang dài lớn Như thấy, chuyển động ngưng tụ xác định số hạng mật độ địa phương vận tốc địa phương Đây bậc tự hàm sóng ngưng tụ, có độ lớn pha xác định Bình thường chất lỏng chất khí có nhiều bậc tự hơn, cần thiết để sử dụng mơ tả vi mơ, ví dụ sử dụng số hạng hàm phân bố hạt Ta dùng mơ tả thủy động lực cho chất khí chất lỏng thơng thường va chạm hạt thỏa mãn cân nhiệt động Trạng thái chất lỏng bổ sung số hạng mật độ địa phương, vận tốc địa phương nhiệt độ địa phương Ở nhiệt độ khơng nhiệt độ khơng cịn biến số liên quan chuyển động mơ tả số hạng mật độ địa phương, vận tốc chất lỏng địa phương cho ngưng tụ Vì phương trình chuyển động cho ngưng tụ cho chất lỏng lý tưởng tương tự nhau, biểu thức định luật bảo toàn cho số hạt cho động lượng toàn phần Tuy nhiên với hai trạng thái chất lỏng ngưng tụ lý thuyết để mô tả số hạng mật độ địa phương vận tốc địa phương hồn tồn khác 36 CHƯƠNG ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG HYDRODYNAMICS TÌM HỆ THỨC TÁN SẮC CỦA HỆ BOSEEINSTEIN HAI THÀNH PHẦN BỊ GIỚI HẠN BỞI CẤU TRÚC TRỤ Xét hệ BEC hai thành phần Ta bắt đầu thư phương trình Lagrangian cho hệ: £ = ∫ 𝑑𝑟(𝑃1 + 𝑃2 − 𝑔12 |𝜓1 |2 |𝜓2 |2 ) đó: 𝑃𝑗 = 𝑖ћ𝜓𝑗∗ 𝜕𝜓𝑗 𝜕𝑡 + ћ2 2𝑚𝑗 |𝛻𝜓𝑗 | − 𝑔𝑗𝑗 , (2.1) |𝜓𝑗 |4 , (2.2) 𝜓𝑗 , 𝑚𝑗 (j = 1, 2) hàm sóng,là khối lượng nguyên tử số tương tác định nghĩa 𝑔𝑗𝑘 = 2𝜋ħ2𝑎𝑗𝑘 (𝑚𝑗−1 + 𝑚𝑘−1 ) Ở ajk chiều dài phân tán nguyên tử thành phần thứ j k Từ (1) suy ra: 𝜕𝜓1 ћ2 𝑖ћ = (− ∇ + 𝑔11 |𝜓1 |2 + 𝑔12 |𝜓2 |2 )𝜓1 𝜕𝑡 2𝑚1 𝑖ћ 𝜕𝜓2 𝜕𝑡 = (− ћ2 2𝑚2 (2.3) ∇2 + 𝑔22 |𝜓2 |2 + 𝑔12 |𝜓1 |2 ) 𝜓2 (2.4) Đối với cấu trúc hình trụ giả định thành phần (thứ hai) thành phần bên (bên ngồi) hình trụ có basb kính R mặt phân cách chúng nằm r=R(z,t), có độ dày nhỏ bỏ qua Phương trình Lagrangian có biểu thức gần đúng: 𝑅 +∞ £ = 2𝜋 ∫ 𝑑𝑥𝑑𝑦 (∫−∞ 𝑑𝑧𝑃2 + ∫𝑅 𝑑𝑧𝑃1 ) − 𝛼𝑆 Trong  suất căng bề mặt ngồi S diện tích mặt phân cách từ phương trình (2.1) có: 37 𝑃1 (𝑅, 𝑧, 𝑡) − 𝑃2 (𝑅, 𝑧, 𝑡) = 𝛼 ( 𝑅1 + 𝑅2 ) (2.5) R1 R2 bán kính mặt phân cách Áp dụng phương pháp hydrodynamics xấp xỉ tuyến tính dạng 𝜓𝑗 (𝑟, 𝑧, 𝑡) = √𝑛𝑗 (𝑟, 𝑧, 𝑡)𝑒 𝑖Ф𝑗(𝑟,𝑧,𝑡) , đó: (2.6) 𝑛𝑗 (𝑟, 𝑧, 𝑡) = 𝑛𝑗0 + 𝛿𝑛𝑗 (𝑟, 𝑧, 𝑡) , 𝜓𝑗 (𝑟, 𝑧, 𝑡) = − 𝑔𝑗𝑗 𝑛𝑗0 ћ 𝑡 + 𝛿Ф𝑗 (2.7) Thay (2.6) vào (2.7) vào phương trình Gross- Pitaevskii (2.3) (2.4) giữ lại số hạng 𝛿𝜑𝑗 , 𝛿𝑛𝑗 ta phương trình ∇𝑣𝑗 = 0, (2.8) 𝜕 ћ (𝛿𝜙𝑗 ) + 𝑔𝑗𝑗 𝛿𝑛𝑗 = , 𝜕𝑡 𝑣𝑗 = với vân tốc ћ 𝑚𝑗 ⃗ 𝛿𝜙𝑗 , ∇ (2.9) (2.10) Dựa phương trình gần (2.8) (2.9) (2.10) thay vào (2.2) ta áp suất có dạng [1]: Pj = 𝑔𝑗𝑗 𝑛𝑗0 + 𝑔𝑗𝑗 𝑛𝑗0 𝛿𝑛𝑗 (2.11) Chúng ta giả thiết: 𝛿Ф𝑗 (𝑟, 𝑧, 𝑡) = 𝑅𝑗 (𝑟)𝜒𝑗 (𝜎) , 𝜎 = 𝑘 𝑧 − 𝜔𝑡 (2.12) Đi từ phương trình (7) (9) dẫn đến 𝑑 (𝑑𝑟 + 𝑘 ) 𝜒𝑗 = , 𝑑 𝑅𝑗 𝑑𝑟 𝑑𝑅𝑗 + 𝑟 𝑑𝑟 (2.13) − 𝑘𝑅𝑗 = (2.14) Chúng ta xem xét kệ trường hợp k2 >0, phương trình (2.13) có nghiệm: 38 𝜒𝑗 = 𝐴𝑗0 𝑐𝑜𝑠𝜎 + 𝐵𝑗𝑜 (2.15) Phương trình (10b) cho nghiệm là: 𝑅1 (𝑟) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝐼0 (𝑘𝑟), (2.16) 𝑅2 (𝑟) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝐾0 (𝑘𝑟) (2.17) Trong I0 K0 hai Bessel lần thứ hai Kết hợp (2.15) (2.16), (2.17) ta được: 𝛿𝜙1 = 𝐼0 (𝑘𝑟)[𝐴1 𝑐𝑜𝑠𝜎 + 𝐵1 𝑠𝑖𝑛𝜎], 𝛿Ф2 = 𝐾0 (𝑘𝑟)[𝐴2 𝑐𝑜𝑠𝜎 + 𝐵2 𝑠𝑖𝑛𝜎 Để đơn giản ta chọn: 𝛿Ф1 = 𝐴1 𝐼0 (𝑘𝑟)𝑐𝑜𝑠𝜎 , (2.18) 𝛿Ф2 = 𝐴2 𝐾0 (𝑘𝑟)𝑐𝑜𝑠𝜎 (2.19) Thay (2.16), (2.17) vào (2.9) 𝑔11 𝛿𝑛1 = −𝐴1 ћ𝜔𝐼0 (𝑘𝑟)𝑠𝑖𝑛𝜎, (2.20) 𝑔22 𝛿𝑛2 = −𝐴2 ћ𝜔𝐾0 (𝑘𝑟)𝑠𝑖𝑛𝜎 (2.21) Các điều kiện biên cho hệ mặt phân cách 𝜕𝑅 𝜕𝑡 = ћ 𝑚1 𝜕𝛿Ф1 ( 𝜕𝑟 ) 𝑟=𝑅0 = ћ 𝑚2 ( 𝜕𝛿Ф2 𝜕𝑟 ) 𝑟=𝑅0 , (2.22) Vị trí mặt phẳng tiếp xúc xác định theo biểu thức: R=R0+ղ= R0+ εsinσ , ղ=εsinσ, 𝜀 ≪ (2.23) Thay (2.23) vào (2.22) ta có: 𝜕𝑅 𝜕𝑡 = 𝜕𝑅 𝜕𝜎 ∗ →𝐴1 = 𝜕𝜎 𝜕𝑡 = - ω ε cosσ = −𝐴1 𝜔𝜀 ћ𝑘 𝐼 (𝑘𝑅0 ) 𝑚1 ; 𝐴2 = − ћ𝑘 ћ𝐾 𝑚1 𝐼1 (𝑘𝑅0 )𝑐𝑜𝑠𝜎=𝐴2 𝜔𝜀 𝐾 (𝑘𝑅0 ) 𝑚2 ћ𝐾 𝑚2 𝐾1 (𝑘𝑅0 )𝑐𝑜𝑠𝜎 (2.24) Thế (2.24) vào (2.20), (2.21): 𝑔11 𝛿𝑛1 = −𝜔2 𝜀𝐼0 (𝑘𝑟)𝑠𝑖𝑛𝜎 𝑘𝐼1 (𝑘𝑅0 ) 𝑚1 39 (2.25) 𝑔22 𝛿𝑛2 = 𝜔2 𝜀𝐾0 (𝑘𝑟)𝑠𝑖𝑛𝜎 (2.26) 𝑘𝐾1 (𝑘𝑅0 ) 𝑚2 Kết hợp (2.11), (2.23) (2.5) có [2]: 𝑔11 𝑛10 𝛿𝑛1 − 𝑔22 𝑛20 𝛿𝑛2 = − ↔ 𝑛10 𝜔2 𝜀𝐼0 (𝑘𝑟)𝑠𝑖𝑛𝜎 𝑘𝐼1 (𝑘𝑅0 ) 𝑚1 𝛼𝜀 𝑅02 (𝑘 𝑅02 − 1)𝑠𝑖𝑛𝜎 + 𝑛20 𝜔2 𝜀𝐾0 (𝑘𝑟)𝑠𝑖𝑛𝜎 𝑘𝐾1 (𝑘𝑅0 ) 𝑚2 = (2.27) 𝛼𝜀 𝑅02 (𝑘 𝑅02 − 1)𝑠𝑖𝑛𝜎 Cuối ta rút được: 𝛼𝑘 2 (𝑘 𝑅0 −1) 𝑅2 𝐼 (𝑘𝑟) 𝐾 (𝑘𝑟) 𝑚1 𝑛10 +𝑚2 𝑛20 𝐼1 (𝑘𝑅0 ) 𝐾1 (𝑘𝑅0 ) 𝜔2 = (2.28) Trong ta có 𝜌1 = 𝑚1 𝑛10 , 𝜌2 = 𝑚2 𝑛20 𝜔2 = Vậy 𝛼𝑘(𝑘 𝑅02 −1) 𝐼 (𝑘𝑟)𝑠𝑖𝑛𝜎 𝐾 (𝑘𝑟)𝑠𝑖𝑛𝜎 𝑅02 (𝜌1 (𝑘𝑅 ) +𝜌2 (𝑘𝑅 ) ) 𝐼1 𝐾1 0 (2.29) Phương trình (2.29) cho thấy không ổn định mao mạch xảy 𝑘 < 𝑅0−1 Bây mở rộng đến trường hợp thành phần chảy theo hướng dương trục z với vận tốc V, thành phần không hoạt động Các trạng thái có dạng: Ф1 = − 𝑔11 𝑛10 ћ Ф2 = − 𝑡+ 𝑚1 𝑔22 𝑛20 ћ ћ 𝑉𝑧 + 𝛿Ф1 , 𝑡 + 𝛿Ф2 Các điều kiện biên sửa đổi sau: 𝜕 𝜕 ћ (𝜕𝑡 + 𝑉 𝜕𝑧) 𝑅(𝜎) = 𝑚 ( 𝜕 𝜕𝑡 𝑅(𝜎) = ћ 𝑚2 ( 𝜕𝛿Ф2 𝜕𝑟 𝜕𝛿Ф1 𝜕𝑟 )𝑟=𝑅0 , )𝑟=𝑅0 , (2.31) R(σ) xác định (2.23) Thay (2.23) vào (2.30) (2.31) ta được: 𝜀 𝑐𝑜𝑠𝜎( −𝜔 + 𝑘𝑉) = (2.30) ћ𝑘 𝐴 𝐼 (𝑘𝑅0 )𝑐𝑜𝑠𝜎 𝑚1 1 40 −𝜀 𝜔 𝑐𝑜𝑠𝜎 = − Từ rút được: 𝐴1 = ћ𝑘 𝐴 𝐾 (𝑘𝑅0 )𝑐𝑜𝑠𝜎 𝑚2 𝜀.𝑚1 (−𝜔+𝑘𝑉) 𝐴2 = 𝑘ћ𝐼1 (𝑘𝑅0 ) 𝜀𝜔𝑚2 (2.32) ћ𝑘𝐾1 (𝑘𝑅0 ) Thay (2.32) vào (2.20), (2.21): 𝑔11 𝛿𝑛10 = 𝑚1 𝜀.𝜔(𝜔−𝑘𝑉)𝐼0 (𝑘𝑟)𝑠𝑖𝑛𝜎 𝑘𝐼1 (𝑘𝑅0 ) , 𝑔22 𝛿𝑛20 = − 𝜀𝜔2 𝑚2 𝐾0 (𝑘𝑟)𝑠𝑖𝑛𝜎 (2.33) 𝑘𝐾1 (𝑘𝑅0 ) Mặt khác ta có: 1 2 𝑔11 𝑛10 + 𝑔11 𝑛10 𝛿𝑛1 − 𝑔22 𝑛20 − 𝑔22 𝑛20 𝛿𝑛2 2 =− 𝛼𝜀 𝑅02 (𝑘 𝑅02 − 1)𝑠𝑖𝑛𝜎 hay 𝑔11 𝑛10 𝛿𝑛1 − 𝑔22 𝑛20 𝛿𝑛2 = − 𝛼𝜀 𝑅02 (2.34) (𝑘 𝑅02 − 1)𝑠𝑖𝑛𝜎 (2.35) Thay (2.33) vào (2.31): 𝑛10 𝑚1 𝜀.𝜔(𝜔−𝑘𝑉)𝐼0 (𝑘𝑟)𝑠𝑖𝑛𝜎 𝑘𝐼1 (𝑘𝑅0 ) + 𝑛20 𝜀𝜔2 𝑚2 𝐾0 (𝑘𝑟)𝑠𝑖𝑛𝜎 𝑘𝐾1 (𝑘𝑅0 ) =− 𝛼𝜀 𝑅02 (𝑘 𝑅02 − 1)𝑠𝑖𝑛𝜎 (2.36) Cuối ta phương trình: 𝐼 (𝑘𝑟) 𝐾 (𝑘𝑟) 𝐼 (𝑘𝑟)𝑉 (𝑚1 𝑛10 𝑘𝐼0 (𝑘𝑅 ) + 𝑚2 𝑛20 𝑘𝐾0 (𝑘𝑅 )) 𝜔2 − 𝑚1 𝑛10 𝐼0 (𝑘𝑅 ) 𝜔 + 𝛼 𝑅02 1 (𝑘 𝑅02 − 1) = Đặt 𝑚1 𝑛10 (2.37) 𝐼0 (𝑘𝑟) 𝐼0 (𝑘𝑟) 𝐾0 (𝑘𝑟) 𝐼1 (𝑘𝑅0 𝐼1 (𝑘𝑅0 𝐾1 (𝑘𝑅0 ) = 𝐵 𝑚1 𝑛10 ) + 𝑚2 𝑛20 ) =𝐴 Phương trình (2.37) có nghiệm: 4𝐴𝑘𝛼 𝜔±= 𝐵𝑉𝑘±√𝐵2 𝑉 𝑘 − (𝑘 𝑅02 −1) 𝑅0 (2.38) 2𝐴 Biểu thức (2.38) hệ thức tán sắc phonon ta xét sóng dài Mặt khác phương trình (2.38) cho thấy khơng ổn định mao mạch xảy 𝑘 < 𝑅0 , không phụ thuộc vào V Khi V = lại thu kết (2.29) 41 KẾT LUẬN VÀ THẢO LUẬN Về khóa luận hồn thành mục đích đề là: - Tìm hiểu tổng quan nghiên cứu thực nghiệm ngưng tụ BEC - Tìm hiểu tổng quan nghiên cứu lý thuyết ngưng tụ BEC - Dẫn chi tiết phương trình GP, hệ phương trình GP - Trình bày phương pháp hydrodynamics - Áp dụng phương pháp hydrodynamics để tìm hệ thức tán sắc hai ngưng tụ Bose- Einstein hai thành phần bị giới hạn cấu trúc trụ Do làm quen với công việc nghiên cứu nên hồn thành khóa luận em khơng tránh khỏi thiếu sót mong thầy, bạn sinh viên góp ý để em hồn thiện khóa luận vốn kiến thức thân Em chân thành cảm ơn 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Kazuki Sasaki, Naoya Suzuki, and Hiroki Saito, Capillary instability in a two-component Bose-Einstein condensate, Physicalreviewa 83, 053606 (2011), [2] Hoang Van Quyet , Tran Huu Phat, Ripplon modes of two segregated Bose- Einstein Condensates in confined geometry, Communications in Physics, Vol 26, No (2016), pp 11-18 DOI:10.15625/08683166/26/1/7790 43 ... phương pháp hydrodynamics 30 CHƯƠNG ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG HYDRODYNAMICS TÌM HỆ THỨC TÁN SẮC CỦA HỆ BOSEEINSTEIN HAI THÀNH PHẦN BỊ GIỚI HẠN BỞI CẤU TRÚC TRỤ 37 KẾT LUẬN VÀ THẢO LUẬN... địa phương vận tốc địa phương hồn tồn khác 36 CHƯƠNG ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG HYDRODYNAMICS TÌM HỆ THỨC TÁN SẮC CỦA HỆ BOSEEINSTEIN HAI THÀNH PHẦN BỊ GIỚI HẠN BỞI CẤU TRÚC TRỤ Xét hệ BEC hai. .. tiết phương trình GP, hệ phương trình GP - Trình bày phương pháp hydrodynamics - Áp dụng phương pháp hydrodynamics để tìm hệ thức tán sắc hai ngưng tụ Bose- Einstein hai thành phần bị giới hạn cấu