CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN
1.4. Sơ lược về phương pháp hydrodynamics
Phương pháp này chúng ta coi chuyển động của các hạt trong trạng thái ngưng tụ như là những chuyển động của các dòng chảy chất lỏng. Mục đích của ta là cần tìm ra những phương trình cho chuyển động của dòng như những phương trình thủy động học có dạng tương tự cổ điển như phương trình Bernoulli, phương trình Euler, phương trình liên tục...từ đó nghiên cứu các tính chất động học của hệ BEC.
Chúng ta đã thấy rằng cấu trúc cân bằng của thế ngưng tụ được mô tả bởi phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian với đóng góp phi tuyến của thế năng để tính đến sự tương tác qua lại giữa các hạt. Để nghiên cứu các vấn đề động lực học chúng ta sử dụng phương trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc thời gian
2 2 0 2
, , , , ,
2
i r t r t V r r t U r t r t
t m
(1.58)
đây là cơ sở để nghiên cứu động lực học ngưng tụ.
Đảm bảo tính thống nhất giữa phương trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc thời gian và phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc thời gian thì với điều kiện dừng r t, là phụ thuộc thời gian dưới dạng expi t
. Hệ số pha phản xạ của toán tử sinh 𝜓̂|𝑁› là bằng với phần tử ma trận của toán tử hủy
‹N-1|ˆ giữa trạng thái cơ bản có N hạt và trạng thái có N-1 hạt, được xác định bằng phương trình:
𝜓(𝑟 , 𝑡) = ⟨𝑁 − 1|𝜓̂|𝑁⟩ ~ exp [−𝑖(𝐸𝑁 − 𝐸𝑁−1)t
ћ] (1.59)
31
Trạng thái N và N 1 phụ thuộc vào thời gian lần lượt có dạng là
expiE tN
và expiEN1t
. Đối với N lớn thì sự khác nhau trong các năng lượng trạng thái cơ bản EN EN1 là bằng với E
N
(đây là thế hóa học). Do đó kết quả này về cơ bản là hệ thức Josephson cho khai triển của pha của hàm sóng ngưng tụ
d
dt
Φ (1.60)
Phương trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc thời gian (1.58) có thể được suy ra từ nguyên lý tác dụng tối thiểu
𝛿 ∫ 𝐿𝑑𝑡 = 0 (1.61)
𝑡2
𝑡1
Ở đây Lagrangian L được cho bởi 𝐿 = ∫ [𝑖ћ
2 (𝜓∗𝜕𝜓
𝜕𝑡 − 𝜓𝜕𝜓∗
𝜕𝑡 ) − 𝐸] 𝑑𝑟
= ∫ [𝑖ћ
2 (𝜓∗𝜕𝜓
𝜕𝑡 − 𝜓𝜕𝜓∗
𝜕𝑡 ) − 𝜀] 𝑑𝑟 ⃗⃗ (1.62)
Trong đó E là năng lượng, ε là mật độ năng lượng và ε được cho bởi
2 2 2 0 4
2 2
V r U
m (1.63)
Trong nguyên lý biến phân (1.61) biến phân của (hoặc *) là tùy ý, ngoài các yêu cầu triệt tiêu tại tt1, tt2 và trên bất kì biên không gian nào với mọi thời gian t.
Ta có thể sử dụng thay thế phương trình (1.58) cho mật độ và gradient của pha. Để hiểu bản chất của vận tốc của ngưng tụ chúng ta đi xây dựng phương trình liên tục. Nếu nhân Phương trình Gross-Pitaevskii phụ
32
thuộc thời gian (1.58) với * r t, và trừ đi số liên hợp phức của phương trình cuối ta có
2 * * 0
2
t mi
(1.64) Nó giống như kết quả thu được từ phương trình Schrodinger thông thường (tuyến tính), suy ra thế phi tuyến trong Phương trình Gross-Pitaevskii là thực.
Phương trình (1.64) có dạng phương trình liên tục cho mật độ hạt
n 2 và nó có thể được viết là
n . nv 0
t
(1.65)
Trong đó vận tốc của ngưng tụ được xác định bằng
* *
2 2
v mi
(1.66)
Mật độ xung lượng J được cho bởi
J 2i * * (1.67)
Do đó hệ thức (3.9) tương đương với kết quả
J mnv (1.68) Biểu thức đơn giản cho mật độ và vận tốc có thể thu được nếu chúng ta viết hàm sóng của ngưng tụ có dạng
A e. i (1.69)
Với A là biên độ, là pha.
Trong đó mật độ được cho bởi
n A2 (1.70)
Và vận tốc v là
33 v
m (1.71)
Từ phương trình (1.71) chúng ta kết luận rằng chuyển động của ngưng tụ phù hợp với dòng thế, do đó vận tốc là gradient của một đại lượng vô hướng. Nếu không kì dị thì chúng ta có thể kết luận rằng chuyển động của ngưng tụ không xoáy
0 v m
(1.72)
Chuyển động có thể của ngưng tụ hạn chế hơn nhiều so với các chất lỏng cổ điển.
Phương trình chuyển động cho biên độ A và pha có thể tìm thấy bằng cách thế (1.69) vào trong (1.58) và tách phần thực và phần ảo ra từ đó ta có
i i Aei
t t
(1.73)
Và
2 2A 2 A i 2 A2i . A e i
(1.74) Chúng ta thu được hai phương trình
A2 A2
t m
(1.75)
Và
2 2 2 0 2
1
2 A 2mv V r U A
t mA
(1.76)
Phương trình (1.75) và (1.76) cũng có thể bắt nguồn trực tiếp từ nguyên lý tác dụng tối thiểu (1.61) với hàm Lagrangian (1.62).
34
Phương trình (1.75) là phương trình liên tục như (1.65) nhưng được biểu thị với biến số mới. Để tìm phương trình chuyển động cho vận tốc được cho bởi phương trình (1.71) thì chúng ta đưa vào gradient của phương trình (1.76) và thu được kết quả là
1 2
2
m v mv
t
(1.77) Ở đây
2
0 2
V nU n
m n (1.78)
Phương trình (3.19) có thể biểu diễn theo E
n
, 1
r t E
t n r
(1.79)
Đại lượng
E n r
là năng lượng cần để thêm một hạt ở điểm r, do đó kết quả này là sự khái quát hóa của hệ thức Josephson (1.60) đến hệ không gian ở trong trạng thái cơ bản của nó. Ở trạng thái dừng 1 2
2mv
là không đổi và nếu trong phép cộng vận tốc là không thì pha không phụ thuộc vào vị trí, là một hằng số từ đó suy ra Phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc thời gian (1.68)
Đại lượng nU0 trong phương trình (1.78) là biểu thức cho thế hóa học của khí bose đều, bỏ qua đóng góp từ thế ngoại lực. Ở nhiệt độ không, sự thay đổi trong thế hóa do có sự liên quan đến việc thay đổi trong áp suất p bằng hệ thức Gibbs-Duhem dpnd, kết quả dễ dàng xác nhận cho khí bose pha loãng đồng đều, vì nU0 và 2 0
2 n U p E
V
(theo (1.49) và (1.42)) Phương trình (1.77) có thể viết lại dưới dạng
35
2 2
1 1 2 1
2 2
v v
p n V
t mn m m n m
(1.80) Phương trình (1.65) và (1.80) rất giống với phương trình thủy động lực cho chất lỏng lý tưởng. Nếu chúng ta kí hiệu vận tốc của chất lỏng là v, phương trình liên tục (1.65) là chính xác như dạng của chất lỏng lý tưởng, trong khi phương trình (1.80) tương tự như phương trình Euler
vt v. v mn1 p m1 V (1.81)
Hoặc
vt v v mn1 p v22 m1 V (1.82) Ở đây áp suất p là áp suất của chất lỏng, thường có dạng khác với áp suất ngưng tụ.
Có hai sự khác nhau giữa các phương trình (1.80) và (1.82). Đầu tiên là phương trình Euler chứa số hạng v v. Tuy nhiên vì trường vận tốc của chất siêu lỏng tương ứng với dòng thế v 0, số hạng v v
không đóng góp vào trong phương trình Euler. Sự khác nhau duy nhất giữa hai phương trình cho dòng thế là do số hạng thứ ba bên phải của phương trình (1.80) và được gọi là số hạng áp lực lượng tử. Mô tả các lực này do biến phân không gian trong độ lớn của hàm sóng cho trạng thái ngưng tụ giống như số hạng 2
2
v , gốc của nó là số hạng động năng 2 2 2 2 2
2 2 2
mnv A
m m
trong
mật độ năng lượng, nhưng hai đóng góp tương ứng với tác dụng vật lý khác : Đầu tiên là động năng của chuyển động các hạt, trong khi đóng góp sau phù hợp với “chuyển động điểm không” không tạo nên dòng hạt. Nếu thang đo không gian của hàm sóng ngưng tụ là l, số hạng áp suất của phương trình
36 (1.80) là nU0
ml , trong khi số hạng áp suất lượng tử là
2
m l2 3 . Do số hạng áp suất lượng tử chiếm ưu thế với số hạng áp suất thường nếu biến phân không gian của mật độ xuất hiện trên thang dài là ít hơn bậc của thang kết hợp ξ =
ћ
(𝑚𝑛𝑈0)1/2 và nó trở nên ít quan trọng trên thang dài lớn hơn.
Như chúng ta thấy, chuyển động của ngưng tụ có thể xác định trong số hạng của mật độ địa phương và vận tốc địa phương. Đây là bậc tự do duy nhất của hàm sóng ngưng tụ, nó có độ lớn và pha xác định. Bình thường chất lỏng và chất khí có nhiều bậc tự do hơn, nó cần thiết để sử dụng mô tả vi mô, ví dụ như sử dụng trong số hạng của hàm phân bố các hạt. Ta có thể dùng mô tả thủy động lực cho chất khí và chất lỏng thông thường nếu va chạm giữa các hạt thỏa mãn cân bằng nhiệt động. Trạng thái của chất lỏng có thể được bổ sung trong số hạng của mật độ địa phương, vận tốc địa phương và nhiệt độ địa phương. Ở nhiệt độ không thì nhiệt độ không còn là biến số liên quan và chuyển động có thể được mô tả trong số hạng của mật độ địa phương, vận tốc chất lỏng địa phương cũng như cho ngưng tụ. Vì phương trình của chuyển động cho ngưng tụ và cho chất lỏng lý tưởng là tương tự nhau, nó là biểu thức của định luật bảo toàn cho số hạt và cho động lượng toàn phần. Tuy nhiên với hai trạng thái chất lỏng và ngưng tụ thì lý thuyết để mô tả số hạng của mật độ địa phương và vận tốc địa phương có thể hoàn toàn khác nhau.
37