Phương trình Gross-Pitaevskii

CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN

1.3. Tổng quan các nghiên cứu lý thuyết của ngưng tụ Bose-Einstein có liên quan đến khóa luận

1.3.3. Phương trình Gross-Pitaevskii

Ở trạng thái ngưng tụ tính chất hạt của vật chất cổ điển không còn thể hiện rõ nữa mà thể hiện chủ yếu của nó là tính chất sóng như tính chất các photon vì vậy các phương trình động học cổ điển không dùng được nữa khi nghiên cứu chuyển đông của nó. Vì vậy nghiên cứu chuyển động của nó ta cần phải dùng những phương trình chuyển động cho cơ học lượng tử. Một trong những phương trình quan trọng kinh điển đó là phương trình Gross- Pitaevskii. Sau đây ta tìm hiểu về nó cho hệ riêng biệt và hệ hai thành phần ngưng tụ.

1.3.3.1. Hệ riêng biệt

Chúng ta đã biết rằng sự tương tác hiệu dụng giữa hai hạt ở năng lượng thấp là một hằng số trong biểu diễn động lượng U0 4 2a

m

  . Trong biểu diễn tọa độ, năng lượng tương ứng tới một tương tác tiếp xúc U0δrr' , trong đó r và r' là bán kính véctơ xác định vị trí của hai hạt. Trong trạng thái ngưng tụ hoàn toàn, tất cả các hạt bose có trạng thái như nhau, hàm sóng của 1 hạt là  r và do đó chúng ta có thể viết hàm sóng của hệ N hạt như sau:

r r1, ...2, rN =

1

(r )i

N

i

 (1.38)

26

Hàm sóng của một hạt  ri là hàm sóng chuẩn hóa theo cách thông thường

( )2dr 1

 

 r (1.39) Hàm Hamiltonian cho hệ N hạt có thể được viết là:

2

0 1

(r ) ( )

2

N i

i i j

i i j

H p V U r r

m 

 

 

    

 

 

(1.40)

Với V r( )i là thế bên ngoài tác dụng lên hạt thứ i. Năng lượng của hệ các hạt có hàm Hamiltonian (1.40) được xác định bằng:

2 2 2 4

0

( ) ( ) ( ) 1 ( )

2 2

E N r V r r N U r

m

  

       

 

 d𝑟 (1.41)

Trong đó ( 1) 2 N N

là số hạng năng lượng tương tác, U0( )r 4dr là năng lượng tương tác của hai hạt với hàm sóng ( )r .

Xét hệ gồm rất lớn số hạt Boson ở nhiệt độ rất thấp, khi này động năng có thể bỏ qua. Xét hệ không tương tác với bên ngoài (V r( ) =0). Năng lượng tương ứng của hệ là:

E = 𝑁(𝑁−1)

2 𝑈0 = 1

2𝑉𝑛2𝑈0 (1.42) Với n N

 V là mật độ các hạt của hệ.

Quy ước đưa vào khái niệm hàm sóng ( )r của không gian ngưng tụ định nghĩa bởi:

( )r N1/2 ( )r

   (1.43)

Mật độ các hạt lúc này được cho bởi:

( ) ( )2

n r  r (1.44)

27 Bỏ qua số hạng của bậc 1

N , năng lượng của hệ có thể được tìm thấy từ việc thay (1.43) vào (1.41) ta được:

𝐸(𝜓) = ∫ [2𝑚ћ2 |∇𝜓(𝑟 )|2+ 𝑉(𝑟 )|𝜓(𝑟 )|2+1

2𝑈0|𝜓(𝑟 )|4] 𝑑𝑟 (1.45) Tìm trạng thái cơ bản của hàm sóng  bằng cách cực tiểu hóa năng lượng (1.45) với biến phân độc lập tương ứng của ( )r và liên hợp phức của nó *( )r với điều kiện là tổng số hạt

( )2

N  r dr (1.46) là không đổi.

Ta có phương trình cực tiểu năng lượng Lagrange 0

E N

   (1.47)

với thế hóa học  là hằng số tùy ý. Phương pháp này là tương đương với việc cực tiểu hóa năng lượng EN khi cố định  . Tương đương với biến phân không của EN tương ứng tới *( )r bằng cách thế (1.45) và (1.46) vào (1.47) ta được:

2 2 2

( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( )

2 r V r r U r r r

m     

     (1.48)

Phương trình (1.48) là phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc thời gian.

Xét một hệ khí bose đồng nhất ở trạng thái ngưng tụ có V r( )0 , phương trình Gross-Pitaevskii (1.48) tương ứng là:

2

0 (r) 0

U U n

    (1.49)

Với E

 N

 là thế hóa học từ năng lượng của trạng thái đồng nhất.

1.3.3.2. Hệ hai thành phần

1.3.3.2.1. Phương trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc thời gian

28

Chúng ta coi hai thành phần BEC của các nguyên tử với khối lượng mj t hế năng Vj chỉ số j = 1, 2 chỉ thành phần 1 hoặc thành phần 2.

Xét một hỗn hợp của hai nguyên tử boson khác nhau. Ta có hàm sóng Hartree hai thành phần, ký hiệu là 1 và hai tương ứng với N1và N2 hạt là:

𝜓(𝑟1, . . . , 𝑟𝑁1; 𝑟1′. . . 𝑟𝑁′2) = ∏ 𝜑1

𝑁1

𝑖=1

(𝑟𝑖) ∏ 𝜑2

𝑁2

𝑗=1

(𝑟𝑗′)

(1.50) Ở đây trạng thái 1 được biểu diễn bởi 𝑟𝑖 và trạng thái 2 biểu thị bởi 𝑟𝑗

Các hàm sóng đơn tương ứng là 𝜑1và 𝜑2 đối với hệ đồng nhất năng lượng cho bởi phương trình tổng quát

E=𝑁1(𝑁1−1)𝑔11

2𝑉 +𝑁1𝑁2𝑔12

𝑉 +𝑁2(𝑁2−1)𝑔22

2𝑉 (1.51) Nếu đưa vào hàm sóng ngưng tụ hai thành phần với ψ1=𝑁11/2𝜑1 và ψ2=𝑁21/2𝜑2

Thì năng lượng tương ứng cho hệ hai thành phần là như sau:

𝐸 = ∫( ћ2

2𝑚1|𝛻𝜓1|2 + 𝑉1|𝜓1|2 + ћ2

2𝑚2|𝛻𝜓12|2 + 𝑉2|𝜓2|2

+ 1

2𝑔11|𝜓1|4+1

2𝑔22|𝜓2|4+ 𝑔12|𝜓1|2|𝜓2 |2) 𝑑𝑟

(1.52)

Tại đó bỏ qua ảnh hưởng của 1/N1 và 1/N2, hai giá trị này nhỏ nếu N1 và N2 lớn. mi là khối lượng của hạt thứ i, Vi là thế năng bên ngoài. Các hằng số

g11, g22, g12 = g21 được xác định bởi độ dài tán xạ a11, a22, a12 = a21, với 𝑔𝑖𝑗 = 2𝜋ħ𝑎𝑖𝑗/𝑚𝑖𝑗 , (𝑖, 𝑗 = 1,2) và 𝑚𝑖𝑗 = 𝑚𝑖𝑚𝑗/(𝑚𝑖 + 𝑚𝑗) là khối lượng rút gọn của nguyên tử i và nguyên tử j.

29

Từ (1.51) và (1.52) ta thu được phương trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc và thời gian như sau:

iћ𝜕𝜓1

𝜕𝑡 = (− ћ2

2𝑚1∇2 + 𝑉1 + 𝑔11|𝜓1|2 + 𝑔12|𝜓2|2)𝜓1 iћ𝜕𝜓2

𝜕𝑡 = (− ћ2

2𝑚2∇2 + 𝑉2 + 𝑔22|𝜓2|2 + 𝑔12|𝜓1|2)𝜓2

(1.53) (1.54) Như vậy, ta đã thu được phương trình Gross-Pitaevskii hai thành phần theo hình thức luận Hamilton.

Sự tiến triển của hệ theo thời gian có thể xác định bằng cách giải số các phương trình (1.53) và (1.54) theo phương pháp giải phổ với các điều kiện biên xác định.

1.3.3.2.2. Phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc vào thời gian Để tìm phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc vào thời gian ta đặt:

𝜓1 = 𝜓10(𝑟)𝑒−𝑖𝜇1𝑡/ћ

𝜓2 = 𝜓20(𝑟)𝑒−𝑖𝜇2𝑡/ћ (1.55) trong đó ψ10 và ψ20 là hàm sóng ở trạng thái cơ bản của các thành phần.

Thay lần lượt (1.55) vào (1.53) ta được:

𝑖ћ𝜕(𝜓10(𝑟)𝑒−𝑖𝜇1𝑡/ћ

𝜕𝑡 = − ћ2

2𝑚1∇2+ 𝑉1+ 𝑔11|𝜓10(𝑟)𝑒−𝑖𝜇1𝑡/ћ|2 + 𝑔12|𝜓20(𝑟)𝑒−𝑖𝜇2𝑡/ћ|2)𝜓10(𝑟)𝑒−𝑖𝜇1𝑡/ћ

𝑖ћ𝜕(𝜓20(𝑟)𝑒−𝑖𝜇2𝑡/ћ )

𝜕𝑡 = (− ћ2

2𝑚2∇2+ 𝑉2 + 𝑔22|𝜓20(𝑟)𝑒−𝑖𝜇2𝑡ћ |

2

+ 𝑔12|𝜓10(𝑟)𝑒−𝑖𝜇1𝑡/ћ|2)𝜓20(𝑟)𝑒−𝑖𝜇2𝑡/ћ Thực hiện phép lấy đạo hàm theo thời gian thu được

− ћ2

2𝑚1∇2𝜓1 − 𝜇1𝜓1+ 𝑉1𝜓1+ 𝑔11|𝜓1|2𝜓1+ 𝑔12|𝜓1|2𝜓2 = 0 (1.56)

30

− ћ2

2𝑚2∇2𝜓2− 𝜇2𝜓2+ 𝑉2𝜓2+ 𝑔22|𝜓2|2𝜓2+ 𝑔12|𝜓2|2𝜓1 = 0 (1.57) Phương trình (1.56) và (1.57) được gọi là phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc vào thời gian.