Bài toán 3 : Chứng minh rằng nếu một số có tổng các chữ số là 2004 thì số đó không phải là số chính phương.. Dùng tính chất của số dư Chẳng hạn các em gặp bài toán sau đây : Bài toán 4
Trang 1SỬ DỤNG DIỆN TÍCH TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC
Có nhiều bài toán hình học tưởng như không liên quan đến diện tích, nhưng nếu ta sử dụng diện tích thì lại
dễ dàng tìm ra lời giải của bài toán
Bài toán 1 : Tam giác ABC có AC = 2 AB Tia phân giác của góc A cắt BC ở D Chứng minh rằng DC = 2
DB
SỬ DỤNG DIỆN TÍCH TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC
Có nhiều bài toán hình học tưởng như không liên quan đến diện tích, nhưng nếu ta sử dụng diện tích thì lại
dễ dàng tìm ra lời giải của bài toán
Bài toán 1 : Tam giác ABC có AC = 2 AB Tia phân giác của góc A cắt BC ở D Chứng minh rằng DC = 2
DB
Phân tích bài toán (h.1)
Để so sánh DC và DB, có thể so sánh diện tích hai tam giác ADC và ADB có chung đường cao kẻ từ A Ta
so sánh được diện tích hai tam giác này vì chúng có các đường cao kẻ từ D bằng nhau, và AC = 2 AB theo
đề bài cho
Giải : Kẻ DI vuông góc với AB, DK vuông góc với AC Xét ΔADC và ΔADB : các đường cao DI = DK,ADC và ΔADC và ΔADB : các đường cao DI = DK,ADB : các đường cao DI = DK,
các đáy AC = 2 AB nên SADC = 2 SADB
Vẫn xét hai tam giác trên có chung đường cao kẻ từ A đến BC, do SADC = 2 SADB nên DC = 2 DB
Giải tương tự như trên, ta chứng minh được bài toán tổng quát :
Nếu AD là phân giác của ΔADC và ΔADB : các đường cao DI = DK,ABC thì DB/DC = AB/AC
Bài toán 2 : Cho hình thang ABCD (AB // CD), các đường chéo cắt nhau tại O Qua O, kẻ đường thẳng
song song với hai đáy, cắt các cạnh bên AC và BC theo thứ tự tại E và F
Chứng minh rằng OE = OF
Trang 2Giả sử OE > OF thì S1 > S3 và S2 > S4 nên S1 + S2 > S3 + S4, trái với (1)
Giả sử OE < OF thì S1 < S3 và S2 < S4 nên S1 + S2 < S3 + S4, trái với (1)
Vậy OE = OF
Bài toán 3 : Cho hình bình hành ABCD Các điểm M, N theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC sao cho AN =
CM Gọi K là giao điểm của AN và CM Chứng minh rằng KD là tia phân giác của góc AKC
Trang 3Giải : (h.4) Kẻ DH vuông góc với KA, DI vuông góc với KC
Do AN = CM nên DH = DI Do đó KI là tia phân giác của góc AKC
Như vậy khi xét quan hệ giữa độ dài các đoạn thẳng, ta nên xét quan hệ giữa diện tích các tam giác mà cạnh
là các đoạn thẳng ấy Điều đó nhiều khi giúp chúng ta đi đến lời giải của bài toán
Bạn hãy sử dụng diện tích để giải các bài toán sau :
1 Cho tam giác ABC cân tại A Gọi M là một điểm bất kì thuộc cạnh đáy BC Gọi MH, MK theo thứ tự là
các đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC Gọi BI là đường cao của tam giác ABC Chứng minh rằng MH+ MK = BI
Hướng dẫn : Hãy chú ý đến
SAMB + SAMC = SABC
2 Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm M bất kì trong tam giác đều ABC đến ba cạnh của
tam giác không phụ thuộc vị trí của M
Hướng dẫn : Hãy chú ý đến
SMBC + SMAC + SMAB = SABC
3 Cho tam giác ABC cân tại A Điểm M thuộc tia đối của tia BC Chứng minh rằng hiệu các khoảng cách từ
điểm M đến đường thẳng AC và AB bằng đường cao ứng với cạnh bên của tam giác ABC
Hướng dẫn : Hãy chú ý đến
SMAC - SMAB = SABC
4 Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại O Gọi F là trung
điểm của CD, E là giao điểm của OF và AB Chứng minh rằng AE = EB
Hướng dẫn : Dùng phương pháp phản chứng.
Trang 4MỘT PHƯƠNG PHÁP VẼ ĐƯỜNG PHỤ
Bài toán 1 : Cho góc xOy Trên Ox lấy hai điểm A, B và trên Oy lấy hai điểm C, D sao
cho AB = CD Gọi M và N là trung điểm của AC và BD Chứng minh đường thẳng MNsong song với phân giác góc xOy
Suy luận : Vị trí đặc biệt nhất của CD là khi CD đối xứng với AB qua Oz, phân giác gócxOy
Gọi C1 và D1 là các điểm đối xứng của A và B qua Oz ; E và F là các giao điểm của AC1
và BD1 với Oz Khi đó E và F là trung điểm của AC1 và BD1, và do đó vị trí của MN sẽ
là EF Vì vậy ta chỉ cần chứng minh MN // EF là đủ (xem hình 1)
Thật vậy, do AB = CD (gt), AB = C1D1 (tính chất đối xứng) nên CD = C1D1 Mặt khác
ME và NF là đường trung bình của các tam giác ACC1 và BDD1 nên NF // DD1, NF =1/2DD1 , ME // CC1 , ME = 1/2 CC1 => ME // NF và NE = 1/2 NF => tứ giác MEFN làhình bình hành => MN // EF => đpcm
Bài toán 1 có nhiều biến dạng” rất thú vị, sau đây là một vài biến dạng của nó, đề nghịcác bạn giải xem như những bài tập nhỏ ; sau đó hãy đề xuất những “biến dạng” tương
tự
Bài toán 2 : Cho tam giác ABC Trên AB và CD có hai điểm D và E chuyển động sao
cho BD = CE Đường thẳng qua các trung điểm của BC và DE cắt AB và AC tại I và J.Chứng minh ΔADC và ΔADB : các đường cao DI = DK,AIJ cân
Bài toán 3 : Cho tam giác ABC, AB ≠ AC AD và AE là phân giác trong và trung tuyến
của tam giác ABC Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE cắt AB và AC tại M và N Gọi
F là trung điểm của MN Chứng minh AD // EF
Trong việc giải các bài toán chứa các điểm di động, việc xét các vị trí đặc biệt càng tỏ rahữu ích, đặc biệt là các bài toán “tìm tập hợp điểm”
Bài toán 4 : Cho nửa đường tròn đường kính AB cố định và một điểm C chuyển động
trên nửa đường tròn đó Dựng hình vuông BCDE Tìm tập hợp C, D và tâm hình vuông
Ta xét trường hợp hình vuông BCDE “nằm ngoài” nửa đường tròn đã cho (trường hợphình vuông BCDE nằm trong đường tròn đã cho được xét tương tự, đề nghị các bạn tựlàm lấy xem như bài tập)
Trang 5Suy luận : Xét trường hợp C trùng với B Khi đó hình vuông BCDE sẽ thu lại một điểm
B và các điểm I, D, E đều trùng với B, trong đó I là tâm hình vuông BCDE Vậy B làmột điểm thuộc các tập hợp cần tìm
Xét trường hợp C trùng với A Dựng hình vuông BAD1E1 khi đó D trùng với D1, E trùngvới E1 và I trùng với I1 (trung điểm của cung AB ) Trước hết, ta tìm tập hợp E Vì B vàE1 thuộc tập hợp cần tìm nên ta nghĩ ngay đến việc thử chứng minh Đ BEE1 không đổi.Điều này không khó vì Đ ACB = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) và ΔADC và ΔADB : các đường cao DI = DK,BEE1 =ΔADC và ΔADB : các đường cao DI = DK,BCA (c g c) => Đ BEE1 = Đ BCA = 90o => E nằm trên nửa đường tròn đường kính BE1(1/2 đường tròn này và 1/2 đường tròn đã cho nằm ở hai nửa mặt phẳng khác nhau với
“bờ” là đường thằng BE1)
Vì Đ DEB = Đ E1EB = 90o nên D nằm trên EE1 (xem hình 2)
=> Đ ADE1 = 90o = Đ ABE1 => D nằm trên đường tròn đường kính AE1, nhưng ABE1D1
là hình vuông nên đường tròn đường kính AE1 cũng là đường tròn đường kính BD1 Chú
ý rằng B và D1 là các vị trí giới hạn của tập hợp cần tìm, ta => tập hợp D là nửa đườngtròn đường kính BD1 (nửa đường tròn này và điểm A ở về hai nửa mặt phẳng khác nhauvới bờ là đường thẳng BD1)
Cuối cùng, để tìm tập hợp I, ta cần chú ý II1 là đường trung bình của ΔADC và ΔADB : các đường cao DI = DK,BDD1 nên II1 //DD1 => Đ BII1 = 90 => tập hợp I là nửa đường tròn đường kính BI1 (đường tròn này và A
ở về hai nửa mặt phẳng khác nhau với bờ là BD1)
Để kết thúc, xin mời bạn giải bài toán sau đây :
Bài toán 5 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB cố định và 1 điểm C chuyển động
trên nửa đường tròn đó Kẻ CH vuông góc với AB Trên đoạn thẳng OC lấy điểm M saocho OM = CH Tìm tập hợp M
Trang 6LÀM QUEN VỚI BẤT ĐẲNG THỨC TRÊ-BƯ-SEP
Các bạn đã từng được làm quen với các bất đẳng thức Cô si, Bunhiacôpski nhưng không ít bạn còn chưa biết vềbất đẳng thức Trê - bư - sép Con đường đi đến bất đẳng thức này thật là giản dị, quá gần gũi với những kiếnthức cơ bản của các bạn bậc THCS
Các bạn có thể thấy ngay : Nếu a1 ≤ a2 và b1 ≤ b2 thì (a2 - a1) (b2 - b1) ≥ 0 Khai triển vế trái của bất đẳng thứcnày ta có :
a1b1 + a2b2 - a1b2 - a2b1 ≥ 0
=> : a1b1 + a2b2 ≥ a1b2 + a2b1
Nếu cộng thêm a1b1 + a2b2 vào cả hai vế ta được :
2 (a1b1 + a2b2) ≥ a1 (b1 + b2) + a2 (b1 + b2)
=> : 2 (a1b1 + a2b2) ≥ (a1 + a2) (b1 + b2) (*)
Bất đẳng thức (*) chính là bất đẳng thức Trê - bư - sép với n = 2 Nếu thay đổi giả thiết, cho a1 ≤ a2 và b1 ≥ b2 thìtất cả các bất đẳng thức trên cùng đổi chiều và ta có :
2 (a1b1 + a2b2) ≤ (a1 + a2) (b1 + b2) (**)
Các bất đẳng thức (*) và (**) đều trở thành đẳng thức khi và chỉ khi a1 = a2 hoặc b1 = b2
Làm theo con đường đi tới (*) hoặc (**), các bạn có thể giải quyết nhiều bài toán rất thú vị
Bài toán 1 : Biết rằng x + y = 2 Chứng minh x2003 + y2003 ≤ x2004 + y2004
Lời giải : Do vai trò bình đẳng của x và y nên có thể giả sử x ≤ y Từ đó => : x2003 ≤ y2003
Bài toán 2 : Giải hệ phương trình :
Nếu các bạn quan tâm tới các yếu tố trong tam giác thì vận dụng các bất đẳng thức (*) hoặc (**) sẽ dẫn đếnnhiều bài toán mới
Bài toán 3 : Cho tam giác ABC có diện tích bằng 1 AH và BK là các đường cao của tam giác
Bài toán 4 : Cho tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c và các đường cao tương ứng của các cạnh này có
độ dài lần lượt là ha, hb, hc Chứng minh :
với S là diện tích tam giác ABC
Trang 7Lời giải : Do vai trò bình đẳng của các cạnh trong tam giác nên có thể giả sử rằng a ≤ b ≤ c
Bây giờ các bạn thử giải các bài tập sau đây :
1) Biết rằng x2 + y2 = 1 Tìm giá trị lớn nhất của F = (x4 + y4) / (x6 + y6)
2) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1 Chứng minh :
3) Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh lần lượt là a, b, c và độ dài các đường phân giác trong thuộc các cạnh
này lần lượt là la, lb, lc Chứng minh :
4) Hãy dự đoán và chứng minh bất đẳng thức Trê - bư - sép với n = 3 Từ đó hãy sáng tạo ra các bài toán Nếu
bạn thấy thú vị với những khám phá của mình ở bài tập này, hãy gửi gấp bài viết về cho chuyên mục EUREKAcủa TTT2
PHƯƠNG PHÁP HOÁN VỊ VÒNG QUANH
Phân tích thành nhân tử là một trong những kĩ năng cơ bản nhất của chương trình đại số bậc THCS Kĩ năng nàyđược sử dụng khi giải các bài toán : biến đổi đồng nhất các biểu thức toán học, giải phương trình, chứng minhbất đẳng thức và giải các bài toán cực trị Sách giáo khoa lớp 8 đã giới thiệu nhiều phương pháp phân tíchthành nhân tử Sau đây tôi xin nêu một phương pháp thường sử dụng, dựa vào việc kết hợp các phương phápquen thuộc như đặt nhân tử chung, nhóm số hạng, hằng đẳng thức
Phương pháp này dựa vào một số nhận xét sau đây :
1/ Giả sử phải phân tích biểu thức F(a, b, c) thành nhân tử, trong đó a, b, c có vai trò như nhau trong biểu thức đó Nếu F(a, b, c) = 0 khi a = b thì F(a, b, c) sẽ chứa các nhân tử a - b, b - c và c - a
F(a, b, c) = a2(b - c) + b2(c - a) + c2(a - b)
F(a, b, c) = a2(a - c) + a2(c - a) = 0, do đó F(a, b, c) có chứa nhân tử a - b
Tương tự F(a, b, c) chứa các nhân tử b c, c a Vì F(a, b, c) là biểu thức bậc ba, do đó F(a, b, c) = k.(a b)(b c)(c - a)
-Cho a = 1, b = 0, c = -1 ta có :
1 + 1 = k.1.1.(-2) => k = -1
Vậy : F(a, b, c) = -(a - b)(b - c)(c - a)
F(a, b, c) = a3(b - c) + b3(c - a) + c3(a - b)
Nhận xét : Tương tự như bài toán 1, ta thấy F(a, b, c) phải chứa các nhân tử a - b, b - c, c - a Nhưng ở đây F(a,
b, c) là biểu thức bậc bốn, trong khi đó (a - b)(b - c)(c - a) bậc ba, vì vậy F(a, b, c) phải có một thừa số bậc nhất
7
Trang 8của a, b, c Do vai trò a, b, c như nhau nên thừa số này có dạng k(a + b + c) Do đó :F(a, b, c) = k(a - b)(b - c)(c - a)(a + b + c)
Cho a = 0 ; b = 1 ; c = 2 => k = -1
Vậy : F(a, b, c) = -(a - b)(b - c)(c - a)(a + b + c)
2/ Trong một số bài toán, nếu F(a, b, c) là biểu thức đối xứng của a, b, c nhưng F(a, b, c) ≠ 0 khi a = b thì
ta thử xem khi a = -b, F(a, b, c) có triệt tiêu không, nếu thỏa mãn thì F(a, b, c) chứa nhân tử a + b, và từ
F(x, y, z) = (xy + xz + yz)(x + y + z) - xyz thành nhân tử
Chú ý rằng khi x = - y thì F(x, y, z) = - y2z + y2z = 0 nên F(x, y, z) chứa nhân tử x + y Lập luận tương tự nhưbài toán 1, ta có F(x, y, z) = (x + y)(y + z)(x + z)
Do đó (*) trở thành : (x + y)(y + z)(x + z) = 0Tương đương với : x + y = 0 hoặc y + z = 0 hoặc z + x = 0
Nếu x + y = 0 chẳng hạn thì x = - y và do n lẻ nên xn = (-y)n = -yn
Vậy : 1/xn + 1/yn + 1/zn = 1/(xn + yn + zn)
Tương tự cho các trường hợp còn lại, ta có đpcm
Có những khi ta phải linh hoạt hơn trong tình huống mà hai nguyên tắc trên không thỏa mãn :
Bài toán 4 :
F(x, y, z) = x3 + y3 + z3 - 3xyz
Nhận xét : Ta thấy rằng khi x = y hay x = -y thì F(x, y, z) ≠ 0 Nhưng nếu thay x = -(y + z) thì F(x, y, z) = 0 nên
F(x, y, z) có nhân tử x + y + z Chia F(x, y, z) cho x + y + z, ta được thương x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx và dư là 0
F(x, y, z) = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx)
Ta có thể thêm bớt vào F(x, y, z) một lượng 3x2y + 3xy2 để nhân được kết quả này
Các bạn hãy dùng các phương pháp và kết quả nêu trên để giải các bài tập sau đây
MỘT PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM ĐỘC ĐÁO
Bằng kiến thức hình học lớp 6 ta có thể giải được các phương trình bậc hai một ẩn được không ? Câu trả lời là ởtrường hợp tổng quát thì không được, nhưng trong rất nhiều trường hợp ta vẫn có thể tìm được nghiệm dương
Ví dụ : Tìm nghiệm dương của phương trình x2 + 10x = 39
Lời giải :
Trang 9Vậy phương trình có nghiệm dương là x = 3
Phương pháp này đã được nhà toán học Italia nổi tiếng Jerôm Cacđanô (1501 - 1576) sử dụng khi tìm nghiệmdương của phương trình x2 + 6x = 31
Các bạn hãy tìm nghiệm dương của phương trình x2 - 8x = 33 bằng phương pháp hình học thử xem ?
MỘT DẠNG TOÁN VỀ ƯCLN VÀ BCNN
Trong chương trình số học lớp 6, sau khi học các khái niệm ước chung lớn nhất (ƯCLN) và bội chung nhỏ nhất(BCNN), các bạn sẽ gặp dạng toán tìm hai số nguyên dương khi biết một số yếu tố trong đó có các dữ kiện vềƯCLN và BCNN
Phương pháp chung để giải :
1/ Dựa vào định nghĩa ƯCLN để biểu diễn hai số phải tìm, liên hệ với các yếu tố đã cho để tìm hai số
2/ Trong một số trường hợp, có thể sử dụng mối quan hệ đặc biệt giữa ƯCLN, BCNN và tích của hai số nguyên
dương a, b, đó là : ab = (a, b).[a, b], trong đó (a, b) là ƯCLN và [a, b] là BCNN của a và b Việc chứng minh
Chúng ta hãy xét một số ví dụ minh họa
Bài toán 1 : Tìm hai số nguyên dương a, b biết [a, b] = 240 và (a, b) = 16 Lời giải : Do vai trò của a, b là như
nhau, không mất tính tổng quát, giả sử a ≤ b
Từ (*), do (a, b) = 16 nên a = 16m ; b = 16n (m ≤ n do a ≤ b) với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1
Bài toán 2 : Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 216 và (a, b) = 6
Lời giải : Lập luận như bài 1, giả sử a ≤ b
9
Trang 10Do (a, b) = 6 => a = 6m ; b = 6n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1 ; m ≤ n
Vì vậy : ab = 6m.6n = 36mn => ab = 216 tương đương mn = 6 tương đương m = 1, n = 6 hoặc m = 2, n = 3tương đương với a = 6, b = 36 hoặcc là a = 12, b = 18
Bài toán 3 : Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 180, [a, b] = 60
Bài toán 4 : Tìm hai số nguyên dương a, b biết a/b = 2,6 và (a, b) = 5
Lời giải : Theo (*), (a, b) = 5 => a = 5m ; b = 5n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1
Vì vậy : a/b = m/n = 2,6 => m/n = 13/5 tương đương với m = 13 và n = 5 hay a = 65 và b = 25
Chú ý : phân số tương ứng với 2,6 phải chọn là phân số tối giản do (m, n) = 1
Bài toán 5 :
Tìm a, b biết a/b = 4/5 và [a, b] = 140
Lời giải : Đặt (a, b) = d Vì , a/b = 4/5 , mặt khác (4, 5) = 1 nên a = 4d, b = 5d
Lưu ý [a, b] = 4.5.d = 20d = 140 => d = 7 => a = 28 ; b = 35
Bài toán 6 : Tìm hai số nguyên dương a, b biết a + b = 128 và (a, b) = 16
Lời giải : Lập luận như bài 1, giả sử a ≤ b
Ta có : a = 16m ; b = 16n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1 ; m ≤ n
Vì vậy : a + b = 128 tương đương 16(m + n) = 128 tương đương m + n = 8Tương đương với m = 1, n = 7 hoặc m = 3, n = 5 hay a = 16, b = 112 hoặc a = 48, b = 80
Bài toán 7 : Tìm a, b biết a + b = 42 và [a, b] = 72
Lời giải : Gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1
Không mất tính tổng quát, giả sử a ≤ b => m ≤ n
Do đó : a + b = d(m + n) = 42 (1)
[a, b] = mnd = 72 (2)
=> d là ước chung của 42 và 72 => d thuộc {1 ; 2 ; 3 ; 6}
Lần lượt thay các giá trị của d vào (1) và (2) để tính m, n ta thấy chỉ có trường hợp d = 6 => m + n = 7 và mn =
12 => m = 3 và n = 4 (thỏa mãn các điều kiện của m, n) Vậy d = 6 và a = 3.6 = 18 , b = 4.6 = 24
Bài toán 8 : Tìm a, b biết a - b = 7, [a, b] = 140
Lời giải : Gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1
Do đó : a - b = d(m - n) = 7 (1’)
[a, b] = mnd = 140 (2’)
=> d là ước chung của 7 và 140 => d thuộc {1 ; 7}
Thay lần lượt các giá trị của d vào (1’) và (2’) để tính m, n ta được kết quả duy nhất :
d = 7 => m - n = 1 và mn = 20 => m = 5, n = 4
Vậy d = 7 và a = 5.7 = 35 ; b = 4.7 = 28
Bài tập tự giải :
1/ Tìm hai số a, b biết 7a = 11b và (a, b) = 45
2/ Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 448, ƯCLN của chúng bằng 16 và chúng có các chữ số hàng đơn vịgiống nhau
3/ Cho hai số tự nhiên a và b Tìm tất cả các số tự nhiên c sao cho trong ba số, tích của hai số luôn chia hết cho
số còn lại
VẬN DỤNG BỔ ĐỀ HÌNH THANG VÀO GIẢI TOÁN
* Trong Tạp chí Toán Tuổi thơ 2 số 4 (TTT2(4)), tháng 6 năm 2003, ở mục kết quả Thử tí toán, để chia đôi
một đoạn thẳng song song với một đường thẳng cho trước chỉ bẳng thước thẳng, ta đã dựa vào một bổ đề :
Trang 11“Đường thẳng nối giao điểm các đường chéo của hình thang với giao điểm các cạnh bên kéo dài sẽ chia đáy củahình thang thành hai phần bằng nhau”
Bổ đề này thường được gọi là bổ đề “Hình thang” Để chứng minh bổ đề, các bạn có thể tham khảo phần chứngminh trong TTT2(4)
* ở bài viết này, xin nêu thêm một số dạng ứng dụng khác của bổ đề “Hình thang”
Bài toán 1 : Cho DABC M, N, P lần lượt là các điểm trên các cạnh BC, CA, AB Nối AM, BN, CP cắt nhau tại
I, J, K (hình 1) Kí hiệu S là diện tích, chứng minh rằng :
Nếu SΔADC và ΔADB : các đường cao DI = DK,AIN = SΔADC và ΔADB : các đường cao DI = DK,BJP = SΔADC và ΔADB : các đường cao DI = DK,CKM = SΔADC và ΔADB : các đường cao DI = DK,IJK thì SAPJI = SBMKJ = SCNIK
Lời giải : Gọi L là giao điểm của CI và NK
Từ SΔADC và ΔADB : các đường cao DI = DK,ANI = SΔADC và ΔADB : các đường cao DI = DK,IJK => SΔADC và ΔADB : các đường cao DI = DK,ANI + SΔADC và ΔADB : các đường cao DI = DK,AIJ = = SΔADC và ΔADB : các đường cao DI = DK,IJK + SΔADC và ΔADB : các đường cao DI = DK,AIJ => SΔADC và ΔADB : các đường cao DI = DK,NAJ = SΔADC và ΔADB : các đường cao DI = DK,KAJ
Ta nhận thấy ΔADC và ΔADB : các đường cao DI = DK,NAJ và ΔADC và ΔADB : các đường cao DI = DK,KAJ có chung cạnh AJ nên khoảng cách từ N và K tới AJ là bằng nhau, dẫn đến NK //
AJ
Xét hình thang KNAJ, có hai cạnh bên AN x JK = C ; có hai đường chéo AK x JN = I, theo bổ đề “Hình thang”,
CI cắt NK tại trung điểm của NK Vậy L là trung điểm của NK (*)
Từ (*) ta chứng minh được SΔADC và ΔADB : các đường cao DI = DK,CIN = S ΔADC và ΔADB : các đường cao DI = DK,CIK, mà SΔADC và ΔADB : các đường cao DI = DK,AIN = S ΔADC và ΔADB : các đường cao DI = DK,CKM => SΔADC và ΔADB : các đường cao DI = DK,CIM = SΔADC và ΔADB : các đường cao DI = DK,CIA => IA = IM (**) ( ΔADC và ΔADB : các đường cao DI = DK,CIM và ΔADC và ΔADB : các đường cao DI = DK,CIA
có chung đường cao hạ từ C tới AM)
Từ (**) => S ΔADC và ΔADB : các đường cao DI = DK,BIA = S ΔADC và ΔADB : các đường cao DI = DK,BIM ( ΔADC và ΔADB : các đường cao DI = DK,BIM và ΔADC và ΔADB : các đường cao DI = DK,BIA có chung đường cao hạ từ B tới AM)
Tương đương với S ΔADC và ΔADB : các đường cao DI = DK,BPJ + SAPJI = S ΔADC và ΔADB : các đường cao DI = DK,IJK + SBJKM hay SAPJI = SBJKM (do S ΔADC và ΔADB : các đường cao DI = DK,BPJ = SIJK)
Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được từng cặp trong ba tứ giác APJI, BMKJ, CNIK có diện tích bằng nhau
và do đó diện tích của ba tứ giác này bằng nhau
* Xét bài toán đảo của bài toán dựng hình chỉ bằng thước kẻ trong TTT2(4) nói trên
Bài toán 2 : Cho trước một đoạn thẳng AB và trung điểm M của nó Chỉ bằng thước thẳng, hãy dựng qua điểm
C nằm ngoài AB, một đường thẳng song song với AB
Lời giải :
Phân tích : Giả sử dựng được đường thẳng (d) đi qua C và song song với AB (hình 2)
11
Trang 12Trên phần kéo dài của tia BC, lấy một điểm S bất kì Gọi giao điểm của SA và (d) là D, AC cắt BD tại O Theo
bổ đề Hình thang, đường thẳng SO đi qua điểm M, từ đó ta có cách dựng
Cách dựng : Lấy điểm S như trên Lần lượt nối AC, SM, các đường thẳng này cắt nhau tại O Nối SA, BO, cắt
nhau tại D Đường thẳng (d) đi qua C, D chính là đường thẳng cần dựng : (d) đi qua C, (d) // AB
* Kết quả của bài toán 2 cũng được vận dụng trong nhiều bài toán dựng hình chỉ bằng thước thẳng
Bài toán 3 : Cho hình bình hành ABCD với O là tâm Chỉ dùng thước thẳng, qua O, hãy dựng đường thẳng
song song với một cạnh bất kì của hình bình hành ABCD
Lời giải : Theo bài toán, O lần lượt là trung điểm AC, BD (hình 3)
áp dụng bài toán 2 cho đoạn thẳng AC với O là trung điểm của AC và B là điểm nằm ngoài AC, ta hoàn toàndựng được đường thẳng Bx // AC
Tương tự, ta cũng dựng được đường thẳng Cy // BD
Gọi E là giao điểm của Bx, Cy, ta thấy ngay OBEC là hình bình hành
Do đó, nếu gọi I là giao điểm của BC và OE thì I là trung điểm của BC, mặt khác O là trung điểm của BD nên
OI là đường trung bình của DBCD, OI // CD
=> OE là đường thẳng cần dựng
Bài toán 4 : Trong mặt phẳng cho trước đường tròn (S) và tâm O của nó ; một điểm M và một đường thẳng (d)
bất kì Chỉ bằng thước thẳng, hãy dựng một đường thẳng đi qua M song song với (d)
Lời giải : Để áp dụng được bài toán 2 trong trường hợp này, ta cần xác định được trên (d) hai điểm P, Q khác
nhau và điểm N là trung điểm của PQ
Ta thực hiện như sau :
Trang 13Trên (d), lấy một điểm P tùy ý (hình 4) Qua P, kẻ cát tuyến PAB tới (S) AO, BO cắt (S) lần lượt tại C, D CDcắt (d) tại Q
Theo tính chất của đường tròn, ta chứng minh được tứ giác ABCD là hình bình hành có tâm là điểm O Theo bàitoán 3, qua O ta dựng được đường thẳng song song với AB và dễ thấy đường thẳng này cắt PQ tại N là trungđiểm của PQ Đến đây, ta có thể => cách dựng đường thẳng qua M song song với (d) dựa vào bài toán 2
Bài tập tự giải :
Bài toán 5 : Cho trước đường tròn (S) và tâm O của nó, M là một điểm bất kì Chỉ dùng thước thẳng, hãy dựng
qua M một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng (d) cho trước
Bài toán 6 : Cho tứ giác ABCD, AD cắt BC tại S, AC cắt BD tại O Chứng minh rằng nếu SO đi qua trung
điểm M của AB thì SO cũng đi qua trung điểm N của CD và tứ giác ABCD là hình thang
MỘT SỐ DẠNG TOÁN SỬ DỤNG PHÉP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Sau khi xem xong tạp chí Toán Tuổi thơ 2 số 5 (tháng 7 năm 2003), tôi rất tâm đắc với các bài toán phân tích đathức thành nhân tử Do đó tôi mạnh dạn trao đổi với bạn đọc về vấn đề vận dụng phép phân tích đa thức thànhnhân tử vào giải một số dạng toán ở bậc THCS
Trang 14Vì góc A ≥ góc B ≥ góc C tương đương với a ≥ b ≥ c nên (**) đúng, tức là (*) được chứng minh
3 Giải phương trình và bất phương trình
Bài toán 4 : Giải phương trình : 4x3 - 10x2 + 6x - 1 = 0 (1)
Lời giải :
(1) 4x3 - 2x2 - 8x2 + 4x + 2x - 1 = 0 tương đương 2x2(2x - 1) - 4x(2x - 1) + (2x - 1) = 0hay (2x - 1)(2x2 - 4x + 1) = 0
Bài toán 5 : Giải phương trình :
Lời giải : Ta có :
Trang 15Vậy phương trình (2) có nghiệm duy nhất là x = 3
Bài toán 6 : Giải bất phương trình : 7x3 - 12x2 - 8 < 0 (3)
Lời giải : (3) 7x3 - 14x2 + 2x2 - 8 < 0
tương đương với 7x2(x - 2) + 2(x2 - 4) < 0 hay (x - 2)(7x2 + 2x + 4) < 0
tương đương với (x - 2)[6x2 + 3 + (x + 1)2] < 0 hay x - 2 < 0 => x < 2
Vậy bất phương trình (3) có nghiệm là x < 2
(b - a)[3ab + 2ab(b + a) - 2(a + b)] = 0
Vì a ≠ b => b - a ≠ 0 nên hệ thức trên tương đương với : 3ab + 2ab(b + a) - 2(a + b) = 0
Do a.b ≠ 0 => 3/2 + a + b - (a + b)/ab = 0
=> : a + b + 3/2 = 1/a + 1/b (đpcm)
Bài toán 8 : Chứng minh : n2 + 11n + 39 không chia hết cho 49 với "n thuộc N
Lời giải : Xét M = n2 + 11n + 39 = n2 + 2n + 9n + 18 + 21 = (n + 2)(n + 9) + 21
Có (n + 9) - (n + 2) = 7 => n + 9 và n + 2 cùng chia hết cho 7 hoặc không cùng chia hết cho 7
- Nếu n + 9 và n + 2 cùng chia hết cho 7 thì (n + 9)(n + 2) chia hết cho 49 mà 21 không chia hết cho 49 nên Mkhông chia hết cho 49
- Nếu n + 9 và n + 2 không cùng chia hết cho 7 thì (n + 9)(n + 2) không chia hết cho 7 mà 21 chia hết cho 7 nên
M không chia hết cho 49
Vậy n22 + 11n + 39 không chia hết cho 49
Sau đây là một số bài tập để các bạn thử vận dụng :
1 Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình : x6 - x4 + 2x3 + 2x2 = y2
Chứng minh : 1/(1 + a2) + 1/(1 + b2) ≥ 2/(1 + ab)
3 Chứng minh rằng với mỗi số nguyên lẻ n thì (n86 - n4 + n2) chia hết cho 1152.
15
Trang 16CHỨNG MINH MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Trong chương trình Toán lớp 6, các em đã được học về các bài toán liên quan tới phép chia hết của một số tựnhiên cho một số tự nhiên khác 0 và đặc biệt là được giới thiệu về số chính phương, đó là số tự nhiên bằng bìnhphương của một số tự nhiên (chẳng hạn : 0 ; 1 ; 4 ; 9 ;16 ; 25 ; 121 ; 144 ; …)
Kết hợp các kiến thức trên, các em có thể giải quyết bài toán : Chứng minh một số không phải là số chínhphương Đây cũng là một cách củng cố các kiến thức mà các em đã được học Những bài toán này sẽ làm tăngthêm lòng say mê môn toán cho các em
1 Nhìn chữ số tận cùng
Vì số chính phương bằng bình phương của một số tự nhiên nên có thể thấy ngay số chính phương phải có chữ
số tận cùng là một trong các chữ số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9 Từ đó các em có thể giải được bài toán kiểu sau đây : Bài toán 1 : Chứng minh số : n = 20042 + 20032 + 20022 - 20012không phải là số chính phương
Lời giải : Dễ dàng thấy chữ số tận cùng của các số 20042 ; 20032 ; 20022 ; 20012 lần lượt là 6 ; 9 ; 4 ; 1 Do đó
số n có chữ số tận cùng là 8 nên n không phải là số chính phương
Chú ý : Nhiều khi số đã cho có chữ số tận cùng là một trong các số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9 nhưng vẫn không phải là
số chính phương Khi đó các bạn phải lưu ý thêm một chút nữa :
Nếu số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì phải chia hết cho p 2
Bài toán 2 : Chứng minh số 1234567890 không phải là số chính phương
Lời giải : Thấy ngay số 1234567890 chia hết cho 5 (vì chữ số tận cùng là 0) nhưng không chia hết cho 25 (vì
hai chữ số tận cùng là 90) Do đó số 1234567890 không phải là số chính phương
Chú ý : Có thể lý luận 1234567890 chia hết cho 2 (vì chữ số tận cùng là 0), nhưng không chia hết cho 4 (vì hai
chữ số tận cùng là 90) nên 1234567890 không là số chính phương
Bài toán 3 : Chứng minh rằng nếu một số có tổng các chữ số là 2004 thì số đó không phải là số chính phương
Lời giải : Ta thấy tổng các chữ số của số 2004 là 6 nên 2004 chia hết cho 3 mà không chia hết 9 nên số có tổngcác chữ số là 2004 cũng chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9, do đó số này không phải là số chính phương
2 Dùng tính chất của số dư
Chẳng hạn các em gặp bài toán sau đây :
Bài toán 4 : Chứng minh một số có tổng các chữ số là 2006 không phải là số chính phương
Chắc chắn các em sẽ dễ bị “choáng” Vậy ở bài toán này ta sẽ phải nghĩ tới điều gì ? Vì cho giả thiết về tổng cácchữ số nên chắc chắn các em phải nghĩ tới phép chia cho 3 hoặc cho 9 Nhưng lại không gặp điều “kì diệu” nhưbài toán 3 Thế thì ta nói được điều gì về số này ? Chắc chắn số này chia cho 3 phải dư 2 Từ đó ta có lời giải
Lời giải : Vì số chính phương khi chia cho 3 chỉ có số dư là 0 hoặc 1 mà thôi (coi như bài tập để các em tự
chứng minh !) Do tổng các chữ số của số đó là 2006 nên số đó chia cho 3 dư 2 Chứng tỏ số đã cho không phải
là số chính phương
Tương tự các em có thể tự giải quyết được 2 bài toán :
Bài toán 5 : Chứng minh tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2005 không phải là số chính phương
Bài toán 6 : Chứng minh số :
n = 20044 + 20043 + 20042 + 23 không là số chính phương
Bây giờ các em theo dõi bài toán sau để nghĩ tới một “tình huống” mới
Bài toán 7 : Chứng minh số :
n = 44 + 4444 + 444444 + 44444444 + 15 không là số chính phương
Nhận xét : Nếu xét n chia cho 3, các em sẽ thấy số dư của phép chia sẽ là 1, thế là không “bắt chước” được
cách giải của các bài toán 3 ; 4 ; 5 ; 6 Nếu xét chữ số tận cùng các em sẽ thấy chữ số tận cùng của n là 9 nênkhông làm “tương tự” được như các bài toán 1 ; 2 Số dư của phép chia n cho 4 là dễ thấy nhất, đó chính là 3
Một số chính phương khi chia cho 4 sẽ cho số dư như thế nào nhỉ ? Các em có thể tự chứng minh và được kết quả : số dư đó chỉ có thể là 0 hoặc 1 Như vậy là các em đã giải xong bài toán 7
3 “Kẹp” số giữa hai số chính phương “liên tiếp”
Các em có thể thấy rằng : Nếu n là số tự nhiên và số tự nhiên k thỏa mãn n2 < k < (n + 1)2 thì k không là sốchính phương Từ đó các em có thể xét được các bài toán sau :
Bài toán 8 : Chứng minh số 4014025 không là số chính phương
Trang 17Nhận xét : Số này có hai chữ số tận cùng là 25, chia cho 3 dư 1, chia cho 4 cũng dư 1 Thế là tất cả các cách
làm trước đều không vận dụng được Các em có thể thấy lời giải theo một hướng khác
Lời giải : Ta có 20032 = 4012009 ; 20042 = 4016016 nên 20032 < 4014025 < 20042 Chứng tỏ 4014025 không là
(n2 + 3n)2 < (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) = A
Điều này hiển nhiên đúng vì n ≥ 1 Chứng tỏ : (n2 + 3n)2 < A < A + 1 = (n2 + 3n +1)2 => A không là số chínhphương
Các em có thể rèn luyện bằng cách thử giải bài toán sau :
Bài toán 10 : Hãy tìm số tự nhiên n sao cho A = n4 - 2n3 + 3n2 - 2n là số chính phương
Gợi ý : Nghĩ đến (n2 - n + 1)2
Bài toán 11 : Chứng minh số 235 + 2312 + 232003 không là số chính phương
Gợi ý : Nghĩ đến phép chia cho 3 hoặc phép chia cho 4
Bài toán 12 : Có 1000 mảnh bìa hình chữ nhật, trên mỗi mảnh bìa được ghi một số trong các số từ 2 đến 1001
sao cho không có hai mảnh nào ghi số giống nhau Chứng minh rằng : Không thể ghép tất cả các mảnh bìa nàyliền nhau để được một số chính phương
Bài toán 13 : Chứng minh rằng : Tổng các bình phương của bốn số tự nhiên liên tiếp không thể là số chính
phương
Gợi ý : Nghĩ tới phép chia cho 4
Bài toán 14 : Chứng minh rằng số 333333 + 555555 + 777777 không là số chính phương
Gợi ý : Nghĩ đến phép chia cho … một chục (?)
Bài toán 15 : Lúc đầu có hai mảnh bìa, một cậu bé tinh nghịch cứ cầm một mảnh bìa lên lại xé ra làm bốn
mảnh Cậu ta mong rằng cứ làm như vậy đến một lúc nào đó sẽ được số mảnh bìa là một số chính phương Cậu
ta có thực hiện được mong muốn đó không ?
LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Các bạn đã được giới thiệu các phương pháp chứng minh một số không phải là số chính phương trong TTT2 số
9 Bài viết này, tôi muốn giới thiệu với các bạn bài toán chứng minh một số là số chính phương
Phương pháp 1 : Dựa vào định nghĩa
Ta biết rằng, số chính phương là bình phương của một số tự nhiên Dựa vào định nghĩa này, ta có thể địnhhướng giải quyết các bài toán
Bài toán 1 : Chứng minh : Với mọi số tự nhiên n thì
Với n là số tự nhiên thì n2 + 3n + 1 cũng là số tự nhiên, theo định nghĩa, an là số chính phương
Bài toán 2 : Chứng minh số :
là số chính phương
17
Trang 18Lời giải :
Ta có :
Phương pháp 2 : Dựa vào tính chất đặc biệt
Ta có thể chứng minh một tính chất rất đặc biệt : “Nếu a, b là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau và a.b là một
số chính phương thì a và b đều là các số chính phương”
Bài toán 3 : Chứng minh rằng : Nếu m, n là các số tự nhiên thỏa mãn 3m2 + m = 4n2 + n thì m - n và 4m + 4n +
Mặt khác, từ (*) ta có : m2 chia hết cho d2 => m chia hết cho d
Từ 8m + 1 chia hết cho d và m chia hết cho d ta có 1 chia hết cho d => d = 1
Vậy m - n và 4m + 4n + 1 là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn (*) nên chúng đều là các số chínhphương Cuối cùng xin gửi tới các bạn một số bài toán thú vị về số chính phương :
1) Chứng minh các số sau đây là số chính phương :
2) Cho các số nguyên dương a, b, c đôi một nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn : 1/a + 1/b = 1/c Hãy cho biết a + b
có là số chính phương hay không ?
3) Chứng minh rằng, với mọi số tự nhiên n thì 3n + 4 không là số chính phương
4) Tìm số tự nhiên n để n2 + 2n + 2004 là số chính phương
Trang 195) Chứng minh : Nếu : và n là hai số tự nhiên thì a là số chính phương.
KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC
Một vấn đề đặt ra là nên cấu tạo đề bài tập toán như thế nào (với mục đích vận dụng kiến thức, rèn luyện kĩnăng, kiểm tra năng lực toán học v.v ) để phù hợp phương pháp dạy học đổi mới theo định hướng tích cực,độc lập, sáng tạo
Câu trả lời đã trở nên rõ ràng nếu chú ý nhận xét tính đa dạng và phong phú của hệ thống bài tập trong sách giáokhoa mới Trong khuôn khổ một bài báo, do không thể phân tích hết ưu nhược điểm của từng thể loại bài tậptoán nhằm giúp học sinh học tập chủ động, sáng tạo, tác giả xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp về vấn đề này
Thí dụ 1 : Bài tập kích thích mạnh mẽ tư duy học sinh là loại bài tập tình huống Ta hãy xét bài tập sau (lớp 7).
Cho điểm M trên trang giấy và hai đường thẳng d, d’ cắt nhau nhau ngoài trang giấy Hãy vẽ đường thẳng d’’ điqua điểm M và giao điểm của d, d’ Nói cách vẽ và giải thích vì sao vẽ được như vậy
Tình huống của bài tập này là : Học sinh phải vẽ một đường thẳng đi qua hai điểm, trong đó một điểm đã chotrước, còn điểm thứ hai thì chưa xác định được
Hướng giải quyết bài toán không phải là vẽ giao điểm của hai đường thẳng d và d’ mà là tìm quan hệ giữađường thẳng phải vẽ (đường thẳng d’’ đi qua điểm M) với những đường thẳng khác có thể vẽ được trên tranggiấy
Quá trình mò mẫm dẫn đến cấu hình ba đường cao đồng quy trong tam giác, từ đó => cách vẽ
Cách vẽ : Vẽ đường thẳng a đi qua M và vuông góc với d’, a cắt d tại A Vẽ đường thẳng b đi qua M và vuông
góc với d, b cắt d’ tại B Vẽ đường thẳng d’’ đi qua M và vuông góc với AB, d’’ là đường thẳng phải vẽ, nó điqua giao điểm của d và d’ (giao điểm này nằm ngoài trang giấy) vì ba đường cao d, d’, d’’ của tam giác MABđồng quy
Cũng có thể giải thích như sau :
Giả sử giao điểm của d và d’ là C (nằm ngoài trang giấy) Trong tam giác ABC, hai đường cao a và b cắt nhautại M Thế thì đường thẳng d’’ đi qua M (trực tâm của tam giác ABC) và vuông góc với AB phải là đường cao
Thí dụ 2 : Ta hãy xét bài tập sau (lớp 8).
Cho hình vuông ABCD, I là trung điểm của AB, J là trung điểm của BC và K là trung điểm của IB Gọi H làchân đường vuông góc hạ từ B xuống IC Chứng minh rằng hai đường thẳng HJ và HK vuông góc với nhau
19
Trang 20Tình huống đặt ra đối với học sinh ở bài tập này là : Với kiến thức đã học, nên chọn phương pháp nào để chứngminh hai đường thẳng HJ và HK vuông góc với nhau Học sinh có thể nghĩ tới các hướng chứng minh sau :
Đ HKJ = 90o (?)
HK và HJ là hai tia phân giác của hai góc kề bù (không thể được !)
ΔADC và ΔADB : các đường cao DI = DK, KHJ = ΔADC và ΔADB : các đường cao DI = DK, KBJ (?)
Định lí Py-ta-go thuận và đảo (?)
v.v
Học sinh loại dần hướng chứng minh sai, và thử các hướng chứng minh có triển vọng
Lời giải (tóm tắt) mong đợi là như sau :
Tính HJ2 : Trong tam giác vuông BHC, HJ là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC
HK = IB/2 = a / 4 , từ đó HK2 = a2 / 16
Chú ý rằng, theo chương trình mới, học sinh lớp 7 chưa học định lí : Trong tam giác vuông, đường trung tuyến
ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
Thí dụ 3 : Ta hãy xét bài tập sau (lớp 7)
Trên hình vẽ, người ta đã cho biết : AE = CE, BE // CD, Đ ABC = 88o, Đ BCE = 31o
a) Tính Đ ECD
b) Tính Đ EDC
c) Trong tam giác CDE thì cạnh nào lớn nhất ?
Đây là một bài tập dễ, vận dụng nhiều kiến thức và có nhiều cách giải khác nhau Nếu đề kiểm tra cuối nămphần hình học lớp 7 được ra theo kiểu này thì chắc chắn học sinh sẽ bộc lộ rõ ràng mức độ nắm vững kiến thức
cơ bản, kĩ năng cơ bản của mình và ngay cả học sinh trung bình, yếu cũng hi vọng giải được hầu hết các câu hỏicủa bài toán
Đ EDC = Đ AEB - 61o (hai góc đồng vị)
c) Trong tam giác CDE : Đ DEC = 180o - (57o + 61o) = 62
Vậy cạnh CD lớn nhất Cách giải khác :
a) Vì tam giác EAC cân nên Đ EAB = Đ ECB = 31o Trong tam giác AEB : Đ ABE = 61o.Với tam giác BEC : góc ABE = 88o là góc ngoài ở đỉnh B nên góc BEC = 88o - 31o = 57o
Vì BE // CD nên Đ ECD = Đ BEC = 57o (hai góc so le trong)
b) Vì BE // CD nên Đ EDC = Đ AEB = 61o (hai góc đồng vị)
Trang 21c) Trong tam giác CDE : Đ DEC = 180o - (57o + 61o) = 62oVậy cạnh CD lớn nhất.
PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
Trong quá trình giảng dạy và làm toán, tôi đã hệ thống được một số phương pháp giải phương trình nghiệmnguyên, hi vọng sẽ giúp các em học sinh biết lựa chọn phương pháp thích hợp khi giải bài toán loại này
Phương pháp 1 : Đưa về dạng tích
Biến đổi phương trình về dạng : vế trái là tích của các đa thức chứa ẩn, vế phải là tích của các số nguyên.
Thí dụ 1 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
y3 - x3 = 91 (1)
Lời giải : (1) tương đương với (y - x)(x2 + xy + y2) = 91 (*)
Vì x2 + xy + y2 > 0 với mọi x, y nên từ (*) => y - x > 0 Mặt khác, 91 = 1 x 91 = 7 x 13 và y - x ; x2 + xy + y2 đều nguyên dương nên ta có bốn khả năng sau :
Do vai trò bình đẳng của x, y, z trong phương trình, trước hết ta xét x ≤ y ≤ z
Vì x, y, z nguyên dương nên xyz ≠ 0, do x ≤ y ≤ z => xyz = x + y + z ≤ 3z => xy ≤ 3 => xy thuộc {1 ; 2 ; 3} Nếu xy = 1 => x = y = 1, thay vào (2) ta có : 2 + z = z, vô lí Nếu xy = 2, do x ≤ y nên x = 1 và y = 2, thay vào (2), => z = 3 Nếu xy = 3, do x ≤ y nên x = 1 và y = 3, thay vào (2), => z = 2
Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (2) là các hoán vị của (1 ; 2 ; 3)
Thí dụ 3 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :
Trang 22Đặt y = 2t (t thuộc Z), ta có :
tương đương k(k + 1) = 2t2 + 1 (**)
Vậy phương trình (4) không có nghiệm nguyên
Thí dụ 5 : Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x, y, z thỏa mãn :
x3 + y3 + z3 = x + y + z + 2000 (5)
Lời giải : Ta có x3 - x = (x - 1).x.(x + 1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp (với x là số nguyên) Do đó : x3 - x chiahết cho 3
Tương tự y3 - y và z3 - z cũng chia hết cho 3 Từ đó ta có : x3 + y3 + z3 - x - y - z chia hết cho 3
Vì 2000 không chia hết cho 3 nên x3 + y3 + z3 - x - y - z ≠ 2000 với mọi số nguyên x, y, z tức là phương trình (5)không có nghiệm nguyên
Thí dụ 6 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
Chú ý : Có thể dùng phương pháp 1 để giải bài toán này, nhờ đưa phương trình (6) về dạng : x(y + 1) - 2(y + 1)
= 1 tương đương (x - 2)(y + 1) = 1
Phương pháp 4 : Sử dụng bất đẳng thức
Dùng bất đẳng thức để đánh giá một ẩn nào đó và từ sự đánh giá này => các giá trị nguyên của ẩn này
Thí dụ 7 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
là các bạn lớp 6 và lớp 7 khó có thể hiểu và tiếp thu được
Qua bài viết này, tôi xin trình bày với các bạn một số tính chất và phương pháp giải bài toán “tìm chữ số tậncùng”, chỉ sử dụng kiến thức THCS
Trang 23Chúng ta xuất phát từ tính chất sau :
Tính chất 1 :
a) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi
b) Các số có chữ số tận cùng là 4, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi
c) Các số có chữ số tận cùng là 3, 7, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận cùng là 1
d) Các số có chữ số tận cùng là 2, 4, 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận cùng là 6
Việc chứng minh tính chất trên không khó, xin dành cho bạn đọc Như vậy, muốn tìm chữ số tận cùng của số tựnhiên x = am, trước hết ta xác định chữ số tận cùng của a
=> 4567 = 44k + 1 = 44k.4, theo tính chất 1d, 44k có chữ số tận cùng là 6 nên 4567 có chữ số tận cùng là 4
Tính chất sau được => từ tính chất 1
Tính chất 2 : Một số tự nhiên bất kì, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 1 (n thuộc N) thì chữ số tận cùng vẫn
không thay đổi
Chữ số tận cùng của một tổng các lũy thừa được xác định bằng cách tính tổng các chữ số tận cùng của từng lũythừa trong tổng
Bài toán 2 : Tìm chữ số tận cùng của tổng S = 21 + 35 + 49 + … + 20048009
Trang 24Như vậy, tổng T có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của tổng : (8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 199.(1 + 8+ 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 1 + 8 + 7 + 4 = 200(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 8 + 7 + 4 = 9019
Vậy chữ số tận cùng của tổng T là 9
* Trong một số bài toán khác, việc tìm chữ số tận cùng dẫn đến lời giải khá độc đáo
Bài toán 4 : Tồn tại hay không số tự nhiên n sao cho n2 + n + 1 chia hết cho 19952000
Lời giải : 19952000 tận cùng bởi chữ số 5 nên chia hết cho 5 Vì vậy, ta đặt vấn đề là liệu n2 + n + 1 có chia hếtcho 5 không ?
Ta có n2 + n = n(n + 1), là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chữ số tận cùng của n2 + n chỉ có thể là 0 ; 2 ; 6
=> n2 + n + 1 chỉ có thể tận cùng là 1 ; 3 ; 7 => n2 + n + 1 không chia hết cho 5
Vậy không tồn tại số tự nhiên n sao cho n2 + n + 1 chia hết cho 19952000
Sử dụng tính chất “một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi các chữ số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9”, ta có thể giải
được bài toán sau :
Bài toán 5 : Chứng minh rằng các tổng sau không thể là số chính phương :
a) M = 19k + 5k + 1995k + 1996k (với k chẵn)
b) N = 20042004k + 2003
Sử dụng tính chất “một số nguyên tố lớn hơn 5 chỉ có thể tận cùng bởi các chữ số 1 ; 3 ; 7 ; 9”, ta tiếp tục giải
quyết được bài toán :
Bài toán 6 : Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5 Chứng minh rằng : p8n +3.p4n - 4 chia hết cho 5
* Các bạn hãy giải các bài tập sau :
Bài 1 : Tìm số dư của các phép chia :
Sau bài “Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên” của cô giáo Nguyễn Thị Lệ Huyền (TTT2 số
14), rất nhiều bạn đã bổ sung thêm các phương pháp khác hoặc minh họa bằng nhiều bài toán khá thú vị Kì này,
tòa soạn tổng hợp giới thiệu tiếp một số phương pháp từ các bài gửi về của nhóm giáo viên Toán, trường THCS Phan Bội Châu, Hải Dương, nhà giáo Minh Trân, phòng giáo dục Hương Thuỷ, Thừa Thiên, Huế ; Phan Tuấn
Dũng, 9A, THCS Phong Bắc, Kì Anh ; Dương Ngọc Tuyền, 9B, THCS Hoàng Xuân Hàn, Đức Thọ, Hà Tĩnh ; Dương Mạnh Linh, 9A2, THCS Lê Quý Đôn, ý Yên, Nam Định để bạn đọc cùng tham khảo
Phương pháp 5 : Đưa về dạng tổng
Biến đổi phương trình về dạng : vế trái là tổng của các bình phương, vế phải là tổng của các số chính phương
Thí dụ 8 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 + y2 - x - y = 8 (8)
Trang 25Giải các hệ trên => phương trình (8) có bốn nghiệm nguyên là (x ; y) Є {2 ; 3) ; (3 ; 2) ; (-1 ; -2) ; (-2 ; -1)}
Phương pháp 6 : lùi vô hạn
Thí dụ 9 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 - 5y2 = 0 (9)
Vậy nếu (x0 ; y0) là nghiệm nguyên của (9) thì (x0/5 ; y0/5) cũng là nghiệm nguyên của (9)
Tiếp tục lập luận tương tự, ta có với k nguyên dương bất kì, cũng là nghiệm nguyên của (9) hay x0 và y0 đềuchia hết cho 5k với mọi k là số nguyên dương tùy ý Điều này chỉ xảy ra khi x0 = y0 = 0
Vậy phương trình (9) có nghiệm duy nhất là x = y = 0
Phương pháp 7 : xét chữ số tận cùng
Thí dụ 10 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 1! + 2! + + x! = y2 (10)
Lời giải : Cho x lần lượt bằng 1 ; 2 ; 3 ; 4, ta có ngay 2 nghiệm nguyên dương (x ; y) của phương trình (10) là (1
; 1) và (3 ; 3)
Nếu x > 4 thì dễ thấy k! với k > 4 đều có chữ số tận cùng bằng 0 ị 1! + 2! + 3 ! + 4! + 5! + + x! = 33 + 5! + + x! có chữ số tận cùng bằng 3
Mặt khác vế phải là số chính phương nên không thể có chữ số tận cùng là 3
Vậy phương trình (10) chỉ có hai nghiệm nguyên dương (x ; y) Є {(1 ; 1) ; (3 ; 3)}
Thí dụ 11 : Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn phương trình :
x2 + x - 1 = 32y + 1 (11)
Lời giải : Cho x các giá trị từ 0 đến 9, dễ dàng xác định được chữ số tận cùng của x2 + x - 1 chỉ nhận các giá trị
1 ; 5 ; 9 Mặt khác, ta thấy 32y + 1 là lũy thừa bậc lẻ của 3 nên chữ số tận cùng của nó chỉ có thể là 3 hoặc 7, khácvới 1 ; 5 ; 9
Vậy (11) không thể xảy ra Nói cách khác, phương trình (11) không có nghiệm nguyên dương
Bài toán này cũng có thể giải bằng phương pháp sử dụng tính chất chia hết
Phương pháp 8 : Sử dụng tính chất nghiệm của phương trình bậc hai
Biến đổi phương trình về dạng phương trình bậc hai của ẩn, coi các ẩn khác là tham số, sử dụng các tính chất
về nghiệm của phương trình bậc 2 để xác định giá trị của các tham số
Ta thấy nếu phương trình có nghiệm thì y nguyên => - 4x - 2 nguyên, mà x nguyên nên nguyên
=> ∆'y = x2 - 4 = n2 với n Є Z, dùng phương pháp 1 (đưa về dạng tích) => (x + n)(x - n) = 4, ta xác định được x
= 2 và x = -2
Vậy phương trình (12) có hai nghiệm nguyên (x ; y) Є {(2 ;-5); (-2 ; 3)}
Thí dụ 13 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 - (y + 5)x + 5y + 2 = 0 (13)
Lời giải : Giả sử phương trình ẩn x có nghiệm nguyên x1, x2 thì theo định lí Vi-ét ta có :
=> (x1 - 5)(x2 - 5) = 2 = 1.2 = (-1)(-2)
=> x1 + x2 = 13 hoặc x1 + x2 = 7
25
Trang 26=> y = 8 hoặc y = 2, thay vào (13), phương trình này có 4 nghiệm : (x ; y) Є {(7 ; 8) ; (6 ; 8) ; (4 ; 2) ; (3 ; 2)}
Chú ý : Một số phương pháp mà các bạn gọi là phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên nhưng chúng tôi
thấy không phải là đặc trưng cho phương trình nghiệm nguyên nên không giới thiệu Chẳng hạn có bạn nêuphương pháp chứng minh nghiệm duy nhất với thí dụ giải phương trình nghiệm nguyên 2x + 5x = 7x Có bạn viếtphương trình về dạng phương trình bậc 2 ẩn x rồi đặt điều kiện ∆x ≥ 0 để có miền giá trị của y, phương pháp nàythực ra đã được trình bày ở thí dụ 7, tuy không viết biệt thức ∆’x Các bạn có thể làm thêm một số bài tập :
Bài 1 : Tìm x, y nguyên thỏa mãn các phương trình :
Bài 3 : Chứng minh rằng phương trình 25t = 2t5 + 1997 không có nghiệm nguyên
<B.BàI b :< 4>Tìm nghiệm nguyên của phương trình x3 - 3y3 - 9z3 = 0
Bài 5 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2x2 + 2y2 - 2xy + x + y - 10 = 0
Rõ ràng số y càng nhỏ thì việc tìm các chữ số tận cùng của y càng đơn giản hơn
Từ nhận xét trên, ta đề xuất phương pháp tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên x = am như sau :
Trường hợp 1 : Nếu a chẵn thì x = am 2∶ 2 m Gọi n là số tự nhiên sao cho an - 1 25 ∶ 2
Vậy hai chữ số tận cùng của 22003 là 08
b) Do 799 là số lẻ, theo trường hợp 2, ta tìm số tự nhiên n bé nhất sao cho 7n - 1 100 ∶ 2
Ta có 74 = 2401 => 74 - 1 100 ∶ 2
Mặt khác : 99 - 1 4 => 9∶ 2 9 = 4k + 1 (k Є N)
Trang 27Vậy 799 = 74k + 1 = 7(74k - 1) + 7 = 100q + 7 (q Є N) tận cùng bởi hai chữ số 07
Bài toán 8 :
Tìm số dư của phép chia 3517 cho 25
Lời giải : Trước hết ta tìm hai chữ số tận cùng của 3517 Do số này lẻ nên theo trường hợp 2, ta phải tìm số tựnhiên n nhỏ nhất sao cho 3n - 1 100 ∶ 2
Ta có 310 = 95 = 59049 => 310 + 1 50 => 3∶ 2 20 - 1 = (310 + 1) (310 - 1) 100 ∶ 2
Mặt khác : 516 - 1 ∶ 2 4 => 5(516 - 1) ∶ 2 20
=> 517 = 5(516 - 1) + 5 = 20k + 5 =>3517 = 320k + 5 = 35(320k - 1) + 35 = 35(320k - 1) + 243, có hai chữ số tận cùng là
43
Vậy số dư của phép chia 3517 cho 25 là 18
Trong trường hợp số đã cho chia hết cho 4 thì ta có thể tìm theo cách gián tiếp
Trước tiên, ta tìm số dư của phép chia số đó cho 25, từ đó suy ra các khả năng của hai chữ số tận cùng Cuốicùng, dựa vào giả thiết chia hết cho 4 để chọn giá trị đúng
Các thí dụ trên cho thấy rằng, nếu a = 2 hoặc a = 3 thì n = 20 ; nếu a = 7 thì n = 4
Một câu hỏi đặt ra là : Nếu a bất kì thì n nhỏ nhất là bao nhiêu ? Ta có tính chất sau đây (bạn đọc tự chứngminh)
Mặt khác, từ tính chất 4 ta suy ra với mọi a Є N và (a, 5) = 1 ta có a100 - 1 25 ∶ 2
Vậy với mọi a Є N ta có a2(a100 - 1) 100 ∶ 2
Vậy hai chữ số tận cùng của tổng S1 là 30
b) Hoàn toàn tương tự như câu a, S2 = 12003 + 23(22000 - 1) + + 20043(20042000 - 1) + 23 + 33 + 20043 Vì thế, haichữ số tận cùng của tổng S2 cũng chính là hai chữ số tận cùng của 13 + 23 + 33 + + 20043
áp dụng công thức :
=> 13 + 23 + + 20043 = (2005 x 1002)2 = 4036121180100, tận cùng là 00
Vậy hai chữ số tận cùng của tổng S2 là 00
Trở lại bài toán 5 (TTT2 số 15), ta thấy rằng có thể sử dụng việc tìm chữ số tận cùng để nhận biết một số khôngphải là số chính phương Ta cũng có thể nhận biết điều đó thông qua việc tìm hai chữ số tận cùng
Ta có tính chất sau đây (bạn đọc tự chứng minh)
Tính chất 5 : Số tự nhiên A không phải là số chính phương nếu :
Bài toán 10 : Cho n Є N và n - 1 không chia hết cho 4 Chứng minh rằng 7n + 2 không thể là số chính phương
Lời giải : Do n - 1 không chia hết cho 4 nên n = 4k + r (r Є {0, 2, 3}) Ta có 74 - 1 = 2400 100 Ta viết 7∶ 2 n + 2 =
74k + r + 2 = 7r(74k - 1) + 7r + 2
27
Trang 28Vậy hai chữ số tận cùng của 7n + 2 cũng chính là hai chữ số tận cùng của 7r + 2 (r = 0, 2, 3) nên chỉ có thể là 03,
51, 45 Theo tính chất 5 thì rõ ràng 7n + 2 không thể là số chính phương khi n không chia hết cho 4
TIM CÁC CHỮ SỐ
(tiếp theo kì trước)
* Tìm ba chữ số tận cùng
Nhận xét : Tương tự như trường hợp tìm hai chữ số tận cùng, việc tìm ba chữ số tận cùng của số tự nhiên x
chính là việc tìm số dư của phép chia x cho 1000
Nếu x = 1000k + y, trong đó k ; y Є N thì ba chữ số tận cùng của x cũng chính là ba chữ số tận cùng của y (y ≤x)
Do 1000 = 8 x 125 mà (8, 125) = 1 nên ta đề xuất phương pháp tìm ba chữ số tận cùng của số tự nhiên x = amnhư sau :
Trường hợp 1 : Nếu a chẵn thì x = am chia hết cho 2m Gọi n là số tự nhiên sao cho an - 1 chia hết cho 125 Viết m = pn + q (p ; q Є N), trong đó q là số nhỏ nhất để aq chia hết cho 8 ta có :
Vì an - 1 chia hết cho 1000 => aun - 1 chia hết cho 1000
Vậy ba chữ số tận cùng của am cũng chính là ba chữ số tận cùng của av Tiếp theo, ta tìm ba chữ số tận cùng của
av
Tính chất sau được suy ra từ tính chất 4
Tính chất 6 :
Nếu a Є N và (a, 5) = 1 thì a100 - 1 chia hết cho 125
Chứng minh : Do a20 - 1 chia hết cho 25 nên a20, a40, a60, a80 khi chia cho 25 có cùng số dư là 1
=> a20 + a40 + a60 + a80 + 1 chia hết cho 5 Vậy a100 - 1 = (a20 - 1)( a80 + a60 + a40 + a20 + 1) chia hết cho 125
Lời giải : Theo tính chất 6, do (9, 5) = 1 => 9100 - 1 chi hết cho 125 (1)
Tương tự bài 11, ta có 9100 - 1 chia hết cho 8 (2)
Vì (8, 125) = 1, từ (1) và (2) suy ra : 9100 - 1 chia hết cho 1000 => 3399 98 = 9199 9 = 9100p + 99 = 999(9100p - 1) + 999 =1000q + 999 (p, q Є N)
Vậy ba chữ số tận cùng của 3399 98 cũng chính là ba chữ số tận cùng của 999
Lại vì 9100 - 1 chia hết cho 1000 => ba chữ số tận cùng của 9100 là 001 mà 999 = 9100 : 9 => ba chữ số tận cùng của
999 là 889 (dễ kiểm tra chữ số tận cùng của 999 là 9, sau đó dựa vào phép nhân để xác định
)
Vậy ba chữ số tận cùng của 3399 98 là 889
Trang 29Nếu số đã cho chia hết cho 8 thì ta cũng có thể tìm ba chữ số tận cùng một cách gián tiếp theo các bước : Tìm
dư của phép chia số đó cho 125, từ đó suy ra các khả năng của ba chữ số tận cùng, cuối cùng kiểm tra điều kiệnchia hết cho 8 để chọn giá trị đúng
Bài toán 13 :
Tìm ba chữ số tận cùng của 2004200
Lời giải : do (2004, 5) = 1 (tính chất 6)
=> 2004100 chia cho 125 dư 1
=> 2004200 = (2004100)2 chia cho 125 dư 1
=> 2004200 chỉ có thể tận cùng là 126, 251, 376, 501, 626, 751, 876 Do 2004200 chia hết cho 8 nên chỉ có thể tậncùng là 376
Từ phương pháp tìm hai và ba chữ số tận cùng đã trình bày, chúng ta có thể mở rộng để tìm nhiều hơn ba chữ sốtận cùng của một số tự nhiên
Sau đây là một số bài tập vận dụng :
Bài 1 : Chứng minh 1n + 2n + 3n + 4n chia hết cho 5 khi và chỉ khi n không chia hết cho 4
Bài 2 : Chứng minh 920002003, 720002003 có chữ số tận cùng giống nhau
Bài 3 : Tìm hai chữ số tận cùng của :
Bài 6 : Cho (a, 10) = 1 Chứng minh rằng ba chữ số tận cùng của a101 cũng bằng ba chữ số tận cùng của a
Bài 7 : Cho A là một số chẵn không chia hết cho 10 Hãy tìm ba chữ số tận cùng của A200
Bài 8 : Tìm ba chữ số tận cùng của số :
199319941995 2000
Bài 9 : Tìm sáu chữ số tận cùng của 521
GIẢI BÀI TOÁN TÍNH GÓC
Các bài toán về tính số đo góc rất đa dạng, xuất hiện nhiều trong các kì thi Để giải quyết tốt dạng toán này cókhi phải vẽ hình phụ Trong bài viết này, tôi xin giới thiệu với các em phương pháp vẽ thêm hình phụ là tamgiác đều trong bài toán tính số đo góc
Bài toán 1 : Cho tam giác ABC cân tại A, A = 200 Trên AB lấy điểm D sao cho AD = BC Tính BDC
Lời giải :
Cách 1 : Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng BC, chứa điểm A, dựng tam giác đều BCE (hình 1)
29
Trang 30Vì tam giác ABC cân tại A, A = 200 nên ABC = ACB = 800 Vậy E thuộc miền trong tam giác ABC, suy
ra ACE = 200 (1)
Dễ thấy ∆ABE = ∆ACE (c.c.c) nên BAE = CAE = A / 2 = 100 (2)
Từ (1) suy ra A = ACE = 200 suy ra ∆DAC = ∆ECA (c.g.c), kết hợp với (2) suy ta ACD = CAE =
1010
Ta có BDC là góc ngoài của ∆DAC nên BDC = DAC + DCA = 200 + 100 = 300
Cách 2 : Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB, chứa điểm C, dựng tam giác đều ABI (hình 2)
Vì ∆ABC cân tại A, A = 200 nên AI = AB = AC ; CAI = 400 ; IBC = 200 suy ra ACI = 700(∆ACI cântại A) suy ra BCI = 1500
Suy ra ADC = BCI = 1500 suy ra BDC = 300
Bài toán 2 (đề thi vô định toán Nam Tư năm 1983) : Cho tam giác ABC cân tại A, A = 800 Ở miền trong tamgiác lấy điểm I sao cho IBC = 100 ; ICB = 300 Tính AIB
Lời giải : Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng BC, chứa điểm A, dựng tam giác đều BCE (hình 3)
Vì ∆ABC cân tại A, nên A = 800 nên ABC = ACB = 500 suy ra ABE = ACE = 100 ; điểm A thuộcmiền trong tam giác BCE
Dễ dàng chứng minh được ∆AEB = ∆ICB (g.c.g) suy ra BA = BI suy ra ∆ ABI cân tại B, có ABI = 500 - 100
Trang 31Vì ∆ABC cân tại A, A = 1000 nên ABC = 400 ; tia AF nằm giữa hai tia AE, AC
Suy ra AEC = FEC = 1 / 2 AEF = 600 / 2 = 300
Qua một số bài toán nêu trên có thể thấy, việc vẽ thêm hình phụ là tam giác đều tỏ ra rất hiệu quả đối với bàitoán tính số đo góc bởi vì nó đã tạo ra các góc 60o ; tạo ra nhiều mối quan hệ bằng nhau giữa các cạnh, các góc,các tam giác,
Các bạn hãy làm thêm bài toán sau :
Bài toán 4 : Cho tam giác ABC cân tại A, A = 800 Trên AC lấy điểm E, trên BC lấy điểm F sao cho ABE
= CAF = 300 Tính BEF
ĐỊNH LÍ PY - TA - GO MANG ĐẾN NHIỀU BÀI TOÁN THÚ VỊ
Khi hỏi một bạn học sinh lớp 8 năm học 2003-2004 : “Nếu một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng 1thì cạnh huyền bằng bao nhiêu ?”, chắc bạn đó sẽ lúng túng Điều đó cũng dễ hiểu vì trong chương trình môntoán thì năm học 2003-2004 trở về trước, học sinh lớp 8 chưa học căn bậc hai
Nhưng nếu đặt câu hỏi đó cho một học sinh lớp 7 vào cuối học kì I của năm học 2003-2004 thì bạn đó sẽ trảlời :
Trang 32Do đó : x = 20 ; y = 15
Ví dụ 2 : Một tam giác có độ dài hai cạnh bằng 3 và 8, góc xen giữa bằng 60o Tính độ dài cạnh còn lại
Lời giải : (hình 2) Xét tam giác ABC có AB = 8 ; AC = 3 Kẻ đường cao AH
Tam giác vuông AHB có ĐA = 60o nên AH = AB : 2 = 8 : 2 = 4
Do AC = 3 nên C nằm giữa A và H và CH = AH - AC = 4 - 3 = 1
Áp dụng định lí Py-ta-go vào các tam giác vuông CHB, AHB ta có : BC2 = BH2 + CH2 = (AB2 - AH2 ) + CH2 =
82 - 42 + 12 = 49
Vậy BC = 7
Ví dụ 3 : Tính chu vi của đường gấp khúc ABCDEA trên hình 3
Hướng dẫn : Hãy kéo dài AB và ED cho cắt nhau tại I.Ááp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông AIE, ta
tính được AE = 5, do đó chu vi đường gấp khúc ABCDEA bằng 12
2 Bài toán tính diện tích tam giác
Ví dụ 4 : Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 1dm Số nào trong các số sau cho giá trị sát nhất với diện tích
tam giác ABC : 0,4 dm2 ; 0,5 dm2 ; 0,6 dm2 ?
Lời giải : (hình 4) Kẻ đường cao AH Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông AHC ta có : AH2 = AC2
-HC2 = 12 - 0,52 = 0,75
Trang 33Giá trị sát nhất với diện tích tam giác ABC là 0,4 dm2
Hướng dẫn : Chú ý rằng 10 = 32 + 12 ; 20 = 22 + 42 ; 50 = (3 + 2)2 + (1 + 4)2
Lời giải : Vẽ thêm các điểm D, H, E như trên hình 5 Ta tính được SADB = 1,5 ; SBHC = 4 ; SBDEH = 2 ; SAEC =
12,5 Do đó : SABC = 12,5 - 1,5 - 4 - 2 = 5
Mời các bạn tự giải các bài tập sau :
Bài 1 : Một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng 2 Cạnh huyền của tam giác có giá trị sát nhất với số
nào trong các số sau : 2,6 ; 2,7 ; 2,8 ; 3
Bài 2 : Một tam giác có độ dài hai cạnh bằng 7 và 5, góc xen giữa bằng 60o Tính độ dài cạnh thứ ba
Bài 3 : Một tam giác có độ dài hai cạnh bằng 5 và 6, góc xen giữa bằng 120o Tính độ dài cạnh thứ ba
Bài 4 (bài toán của Xem Lôi-đơ) : ở một hội chợ, người ta quảng cáo bán một cái hồ hình tam giác và ba miếng
đất hình vuông dựng trên ba cạnh đó (hình 6) Diện tích ba miếng đất đó bằng 74 acrơ ; 116 acrơ ; 370 acrơ
(1acrơ = 4047m2)
33
Trang 34Bảng quảng cáo không nói rõ diện tích của cái hồ làm nhiều người thắc mắc không rõ diện tích đó lớn hay nhỏ.Bạn hãy tìm diện tích của hồ
Vậy nghiệm duy nhất của hệ phương trình (thỏa mãn điều kiện) là : x = y = 1
Ví dụ 2 (đề thi vào khối chuyên, ĐHSPHN năm 2004) : Tìm nghiệm dương của hệ
Lời giải : Ta sẽ chứng minh x = y = z Do x, y, z có vai trò như nhau nên không mất tổng quát, giả sử x y và x z.
(4)
Trang 35Vì x > 0, y > 0, z > 0 nên :
Từ (1), (2), (4) => 2x2004 = y6 + z6 ≤ x6 + z6 = 2y2004 => 2x2004 ≤ 2y2004 => x ≤ y (5)
Từ (1), (3), (4) => 2x2004 = y6 + z6 ≤ y6 + x6 = 2z2004 => 2x2004 ≤ 2z2004 => x ≤ z (6)
Từ (4), (5), (6) suy ra x = y = z
Thay vào (1) ta có 2x2004 = x6 + x6 = 2x6 suy ra x = 1 (do x > 0)
Vậy hệ có nghiệm dương duy nhất : x = y = z = 1
=> b > c > a trái với giả thiết a > b => a ≤ b
Tương tự như trên, nếu a < b thì cũng dẫn đến điều vô lí Vậy a = b, suy ra :
4a - 4b = b2 - c2 = 0 => b = c => a = b = c
Thay vào (*) ta có :
4a - b2 = 1 <=> 4a - a2 = 1 <=> a2 - 4a + 1 = 0
Giải phương trình bậc hai ẩn a trên ta được hai nghiệm là ++++++++
Vậy hệ phương trình (*) có hai nghiệm :
2 Đánh giá ẩn với một số
Ví dụ 4 (đề thi vào lớp 10 chuyên, ĐHQG Hà Nội 2004) : Biết a > 0, b > 0 và a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102(1)
Tính giá trị của biểu thức P = a2004 + b2004
Lời giải : Ta sẽ chứng minh a = 1, b = 1, từ đó tính được P Thật vậy, từ (1) ta có :
Trang 36Tương tự, x < 1 cũng dẫn đến điều vô lí
Suy ra x = 1, thay vào (1) và (2) ta có :
Vậy hệ có nghiệm duy nhất : x = y = z = 1
Các bạn hãy thử giải các hệ phương trình sau :
THAY ĐỔI KẾT LUẬN CỦA BÀI TOÁN HÌNH HỌC
Trang 37Trong chứng minh hình học, việc phát hiện các kết quả tương đương với kết luận của bài toán rất có thể sẽ đưa
ta đến những chứng minh quen thuộc, đơn giản hơn hoặc những phép chứng minh độc đáo Đây cũng là côngviệc thường xuyên của người làm toán Các bạn hãy theo dõi một số bài toán sau
Bài toán 1 : Cho tam giác ABC có BC < BA, đường phân giác BE và đường trung tuyến BD (E, D thuộc AC).
Đường thẳng vuông góc với BE qua C cắt BE, BD lần lượt tại F, G Chứng minh rằng đường thẳng DF chia đôiđoạn thẳng GE
Lời giải : Gọi giao điểm của CG với AB là K và DF với BC là M
Dễ thấy ∆ BKC cân tại B, BF là trung trực của KC suy ra F là trung điểm của KC
Theo giả thiết, D là trung điểm của AC
=> DF là đường trung bình của DCKA
=> DF // KA hay DM // AB
=> DM là đường trung bình của DABC
=> M là trung điểm của BC
Xét ∆ DBC, F thuộc trung tuyến DM nên DF chia đôi đoạn thẳng GE <=> GE // BC
Ta sẽ chứng minh GE // BC, thật vậy :
Cách 1 : Ta có AE = AD + DE = CD + DE = CE + 2DE hay CE = AE - 2DE, suy ra
Mặt khác, vì DF // AB, K thuộc AB và AK = 2DF nên
Vậy BG/GD = BK/DF hay GE // BC
Cách 2 : Vì BE là phân giác của ABC
Vậy DE/EC = DG/GB hay GE // BC
Cách 3 : áp dụng định lí Xê-va ta có Mặt khác MB = MC nên
37
Trang 38Bài toán 2 : Trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC lần lượt lấy các điểm C1, A1, B1 sao cho các đườngthẳng AA1, BB1, CC1 đồng quy tại O Đường thẳng qua O song song với AC cắt A1B1 và B1C1 lần lượt tại K và
M Chứng minh rằng OK = OM
Lời giải : Qua B vẽ đường thẳng song song với AC cắt A1B1 và B1C1 lần lượt tại K1 và M1
Xét ∆ B1K1M1, dễ thấy MK // M1K1 nên OM = OK <=> BM1 = BK 1 Ta sẽ chứng minh BM1 = BK1, thật vậy :
∆ AB1C1 đồng dạng với ∆ BM1C1 suy ra
∆ CB1A>sub>1 ∆ đồng dạng với BK1A1 suy ra
Bài toán 3 : Xét bài 5(20) trang 15
Hướng dẫn :
Do OX = OY nên :
XZ = YT <=> OZ = OT
Trang 39Ta sẽ chứng minh OZ = OT Trước hết, ta chứng minh IO1OO2 là hình bình hành bằng cách xét 3 trường hợp :
IBA < 90o ; IBA > 90o ; IBA = 90 o
Gọi M là giao điểm của O1I và CD
Với IBA < 90o, ∆ IBA nội tiếp (O1), ta có thể chứng minh được : AIO1 + IBA = 90 o => CIM +
ICM = 90 o =>O1I CD ; Mà OO2 CD => OO2 // O1I
Tương tự OO1 // O2I, suy ra IO1OO2 là hình bình hành (bạn đọc tự chứng minh hai trường hợp còn lại)
Từ đó, ta có (xem phần hình màu) : OO1 = O2I = O2T ; OO2 = O1I = O1Z ;
OO1Z = (180o - 2O1IZ) + OO1I = 360o - OO2I - (180o - 2(OO2</SUB Đ O1IZ)) = 360o
- OO2MI - (180 o 2O,sub>2IT) = OO2T
-=> ∆ OO1Z = ∆ TO2O (c.g.c) -=> OZ = OT.(Chứng minh trên không cần dùng tới kiến thức về tam giác đồng dạng) l Bài tập áp dụng :
1) Từ điểm C ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến CA, CB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm) Đường tròn (O1) qua C và tiếp xúc với AB tại B cắt (O) tại M Chứng minh rằng AM chia đoạn thẳng BC thành hai phần bằng nhau
2) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến với (O) tại B lần lượt cắt các tiếp tuyến với (O) tại A
và C ở M và N Qua B vẽ đường thẳng vuông góc với AC tại P Chứng minh rằng BP là phân giác của MPN 3) Cho hình thang ABCD có đáy lớn CD ; AC cắt BD tại O, AD cắt BC tại I và OI cắt AB tại E Đường thẳng đi qua A song song với BC cắt BD tại M và đường thẳng đi qua B song song với AD cắt AC tại N Chứng minh
MỘT PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIẤ TRỊ LỚN NHẤT
Trong bài viết này, tôi đề cập đến một dạng toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của
một biểu thức nhiều ẩn, trong đó các ẩn là nghiệm của những phương trình hoặc bất phương trình cho trước
Đối với dạng toán này, ta cần xác định và giải một bất phương trình một ẩn mà ẩn đó là biểu thức cần tìmGTLN, GTNN
Bài toán 1 : Tìm GTLN và GTNN của xy biết x và y là nghiệm của phương trình
Bài toán 2 : Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn xyz ≥ x + y + z + 2 Tìm GTNN của x + y + z
Lời giải : áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương x, y, z ta có :
39
Trang 40Vậy t = x + y + z đạt GTNN bằng 6 khi và chỉ khi x = y = z = 2
Bài toán 3 : Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x2 + 2y2 + 2x2z2 + y2z2 + 3x2y2z2 = 9 Tìm GTLN và GTNN của A