Các bài toán về tính số đo góc rất đa dạng, xuất hiện nhiều trong các kì thi. Để giải quyết tốt dạng toán này có khi phải vẽ hình phụ. Trong bài viết này, tôi xin giới thiệu với các em phương pháp vẽ thêm hình phụ là tam giác đều trong bài toán tính số đo góc.
Bài toán 1 : Cho tam giác ABC cân tại A, ∠ A = 200. Trên AB lấy điểm D sao cho AD = BC. Tính ∠ BDC.
Lời giải :
Cách 1 : Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng BC, chứa điểm A, dựng tam giác đều BCE (hình 1).
Vì tam giác ABC cân tại A, ∠ A = 200 nên ∠ ABC = ∠ ACB = 800. Vậy E thuộc miền trong tam giác ABC, suy ra
Dễ thấy ∆ABE = ∆ACE (c.c.c) nên ∠ BAE = ∠ CAE = ∠ A / 2 = 100 (2).
Từ (1) suy ra ∠ A = ∠ ACE = 200 suy ra ∆DAC = ∆ECA (c.g.c), kết hợp với (2) suy ta ∠ ACD = ∠ CAE = 1010. Ta có ∠ BDC là góc ngoài của ∆DAC nên ∠ BDC = ∠ DAC + ∠ DCA = 200 + 100 = 300.
Cách 2 : Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB, chứa điểm C, dựng tam giác đều ABI (hình 2).
Vì ∆ABC cân tại A, ∠ A = 200 nên AI = AB = AC ; ∠ CAI = 400 ; ∠ IBC = 200 suy ra ∠ ACI = 700(∆ACI cân tại A) suy ra ∠ BCI = 1500
Lại có ∆ADC = ∆BCI (c.g.c)
Suy ra ∠ ADC = ∠ BCI = 1500 suy ra ∠ BDC = 300.
Bài toán 2 (đề thi vô định toán Nam Tư năm 1983) : Cho tam giác ABC cân tại A, ∠ A = 800. Ở miền trong tam giác lấy điểm I sao cho ∠ IBC = 100 ; ∠ ICB = 300. Tính ∠ AIB.
Lời giải : Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng BC, chứa điểm A, dựng tam giác đều BCE (hình 3).
Vì ∆ABC cân tại A, nên ∠ A = 800 nên ∠ ABC = ∠ ACB = 500 suy ra ∠ ABE = ∠ ACE = 100 ; điểm A thuộc miền trong tam giác BCE.
Dễ dàng chứng minh được ∆AEB = ∆ICB (g.c.g) suy ra BA = BI suy ra ∆ ABI cân tại B, có ∠ ABI = 500 - 100 = 400 suy ra ∠ AIB = 700.
Bài toán 3 : Cho tam giác ABC cân tại A, ∠ A = 1000. Trên cạnh AB kéo dài về phía B, lấy điểm E sao cho AE = BC. Tính ∠ AEC.
Lời giải : Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AE, chứa điểm C, dựng tam giác đều AEF (hình 4).
Vì ∆ABC cân tại A, ∠ A = 1000 nên ∠ ABC = 400 ; tia AF nằm giữa hai tia AE, AC
Suy ra ∠ CAF = 400 suy ra ∆ABC = ∆CAF (c.g.c)
Suy ra AC = FC suy ra ∆AEC = ∆FEC (c.c.c)
Suy ra ∠ AEC = ∠ FEC = 1 / 2 ∠ AEF = 600 / 2 = 300.
Qua một số bài toán nêu trên có thể thấy, việc vẽ thêm hình phụ là tam giác đều tỏ ra rất hiệu quả đối với bài toán tính số đo góc bởi vì nó đã tạo ra các góc 60o ; tạo ra nhiều mối quan hệ bằng nhau giữa các cạnh, các góc, các tam giác, ...
Bài toán 4 : Cho tam giác ABC cân tại A, ∠ A = 800. Trên AC lấy điểm E, trên BC lấy điểm F sao cho ∠ ABE =
∠ CAF = 300. Tính ∠ BEF.