Một chú thích về nghiệm dương của một bài toán ba điểm biên

Bài báo sử dụng định lí điểm bất động Guo - Krasnoselskii trên một nón để chứng minh sự tồn tại nghiệm dương của bài toán giá trị biên ba điểm. Ngoài ra, sự tồn tại hai nghiệm dương phân biệt và tính compact của tập nghiệm dương của bài toán cũng được nghiên cứu.

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007 MỘT CHÚ THÍCH VỀ NGHIỆM DƯƠNG CỦA MỘT BÀI TỐN BA ĐIỂM BIÊN Lê Thị Phương Ngọc * Giới thiệu Trong báo này, chúng tơi xét tốn giá trị biên ba điểm sau : x // (t )  f (t , x(t )),  t  1, (1.1) x / (0)  0, x(1)  x( ), (1.2)  ,  (0,1) hàm số f cho trước thoả số điều kiện thích hợp Tính giải tính chất nghiệm cho toán giá trị biên ba điểm nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu, xem [1 - 4] tài liệu tham khảo Trong trường hợp   1, tốn giá trị biên ba điểm (1.1) - (1.2) X Han [2] nghiên cứu Dựa phương pháp kỹ thuật sử dụng [2], nêu điều kiện để toán (1.1) - (1.2) tồn nghiệm hai nghiệm dương Hơn nữa, tính compact tập nghiệm dương nghiên cứu Xét không gian Banach C[0,1] với chuẩn x  max x(t ) không gian t[ ,1] Banach C [0,1] với chuẩn x  max x , x / , x //  Chúng thành lập giả thiết sau :  ( H1 )  ,  (0,1),   ( 0, ) cho  cos   cos   ( H ) f :[0,1]  [0,  )  hàm liên tục thoả điều kiện : g (t , x)  f (t , x)   x  0, (t , x)  [0,1]  [0,) Khi đó, tốn (1.1) - (1.2) tương đương với toán : * ThS Trường Cao đẳng Sư phạm Nha Trang 29 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Định nghĩa Lê Thị Phương Ngọc x // (t )   x(t )  g (t , x(t )),  t  1, (1.3) x / ( 0)  0, x(1)   x( ) (1.4) toán tử tuyến L : D ( L)  C [0, 1]  C[0, 1] tính   Lx  x //   x, với x  D(L), D( L)  x  C 2[0,1] : x / (0)  0, x(1)  x( ) Điều kiện ( H1 ) bảo đảm tốn tử L khả nghịch, tốn (1.3) - (1.4) viết lại thành phương trình tích phân tương đương Khi đó, ta chứng minh (1.1) - (1.2) tồn nghiệm dương, cách áp dụng định lí điểm bất động nón sau Guo - Krasnoselskii : Định lí 1.1 (Xem [2]) Cho X không gian Banach K  X nón Giả sử 1 ,  hai tập mở, bị chặn X với  1 , 1   giả sử A : K  ( \ 1 )  K tốn tử hồn tồn liên tục thoả mãn hai điều kiện sau : (i ) Au  u , u  K  1 , Au  u , u  K   , (ii) Au  u , u  K  1 , Au  u , u  K   Khi tốn tử A có điểm bất động thuộc K  ( \ 1 ) Bài báo gồm mục Trong mục 2, chúng tơi trình bày bổ đề cần thiết cho chứng minh định lí mục Trong mục 4, chúng tơi xét tính compact tập nghiệm dương Các bổ đề Xét toán biên ba điểm : x // (t )   x(t )  h(t ),  t  1, (2.1) x / ( 0)  0, x(1)   x( ) (2.2) Bổ đề 2.1 Giả sử ( H1 ) Khi : (i) Với h  C[0, 1], tốn (2.1) - (2.2) có nghiệm 30 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007 x(t )   G (t , s ) h( s )ds  (Th )(t ),  t  1, (2.3)  sin  (t  s ),  s  t  1, G (t , s )    0,  t  s  1,  (2.4) sin  (1  s)   sin  (  s ),  s    cos  t   ( cos   cos  ) sin  (1  s),    s  Mặt khác : (ii)  G (t , s )  M , (t , s )  [0,1]  [0,1],  M  sin  1     cos   cos  (2.5)     (iii) T : C[0, 1]  C[0, 1] tốn tử tuyến tính hồn tồn liên tục; (iv) Với h  C[0,1], h(t )  0, t  [0,1] (Th)(t )  0, t [0,1] Chứng minh (i) Giải (2.1) phương pháp biến thiên số, kết hợp điều kiện biên (2.2), ta suy x(t )   G (t , s ) h( s )ds,  t  1, nghiệm toán (2.1) - (2.2) (ii) Từ ( H1 ), (2.4) ý đến bất đẳng thức : sin  (t  s )  0,  s  t  1, sin  (1  s )  0,  s  1,   sin  (  s )  sin  (  s )  sin  (1  s ),  s    1, ta suy G (t , s )  0, (t , s )  [0,1] Tương tự, (t , s )  [0,1], G (t , s )  sin    sin  (1  s ) sin   sin    M   ( cos   cos  )  ( cos   cos  ) 31 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Lê Thị Phương Ngọc (iii) Rõ ràng T toán tử tuyến tính liên tục Tiếp theo, ta giả sử  tập bị chặn C[0,1] Từ tính chất bị chặn hàm G (t , s ) [0, 1], (ii) ta suy T () bị chặn Mặt khác, tính liên tục hàm G [0,1]  [0,1], ta có T () đẳng liên tục Áp dụng định lí Ascoli - Arzela, ta có T () compact tương đối C[0,1] Suy T tốn tử hồn tồn liên tục Cuối (iv) suy dễ dàng từ tính chất G (t , s )  0, (t , s )  [0,1] Bổ đề 2.1 chứng minh Bổ đề 2.2 Giả sử ( H1 ) giả sử thêm tg  sin  Khi :   cos  G (t , s)  M , (t , s )  [0, 1]  [ 0,  ], M  cos  sin  (1   )   sin     ( cos   cos  ) Chứng minh (t , s ) [0,1]  [0, ], cos t sin  (1  s)   sin  (  s)   ( cos   cos  ) cos   sin  (1   )   sin    M  ( cos   cos  ) G (t , s )  Do ( H1 ) tg  sin  , ta nhận   cos  G (t , s )  M  0, (t , s)  [0,1]  [0, ] Bổ đề 2.2 chứng minh Bổ đề 2.3 Tồn hàm số liên tục  : [0, 1]  [0,  ) số c  (0,1) cho c( s )  G (t , s )  ( s ), t , s [0, 1] 32 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007 Chứng minh Đặt  ( s )   s , H (t , s)   (s )  G (t , s ) Bước Ta chứng minh số   chọn đủ lớn H (t , s) s t  0, H (t , s ) s  t  0, (t , s )  [0,1]  [0,1] Trường hợp s  [0,  ] 1a) Với s  t , cos  t sin  (1  s)   sin  (  s)   ( cos   cos  )  sin  ,  ( cos   cos  ) G (t , s)  nên sin   ( cos   cos  ) sin    (1   )   ( cos   cos  ) H (t , s ) st   (1  s )  Nếu ta chọn     sin  H (t , s) s t   (1   )( cos   cos  ) 1b) Với s  t , sin  sin  (t  s )    ( cos   cos  ) sin    (1   )  sin     ( cos   cos  ) H (t , s ) s  t   (1  s)  Nếu ta chọn     M sin    1     (1   )   cos   cos    H (t , s ) s t   Trường hợp s  [ ,1] 2a) Với s  t , G (t , s )  cos t sin  (1  s )   (1  s ),  ( cos   cos  )  ( cos   cos  ) 33 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Lê Thị Phương Ngọc nên H (t , s ) s  t   (1  s )  Nếu ta chọn      1 s  (1  s )    cos   cos   cos   cos   H (t , s ) s t   cos   cos  2b) Với s  t , sin  (1  s ) sin  (t  s )    ( cos   cos  ) (1  s )   (1  s )  (1  s )   cos   cos  H (t , s ) st   (1  s )    (1  s )     cos   cos   Nếu ta chọn         H (t , s ) s t   cos   cos  Chú ý 1   ,    Từ đó, với *  max ,   ta có :  *  (s )  G (t , s ), (t , s )  [0,1] Đặt  (s )   * (s ) Thế G (t , s )   (s ), (t , s )  [0,1] Bước Ta chứng minh số   chọn đủ bé H (t , s ) s t  0, H (t , s ) s  t  0, (t , s )  [0,1]  [ 0,1] Trường hợp s  [0,  ] 1a) Với s  t , cos  t sin  (1  s)   sin  (  s)  ( cos   cos  ) (1   ) cos   sin  (1  s )  ( cos   cos  ) (1   ) cos   sin  (1   ),  ( cos   cos  ) G (t , s )  34    Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007 nên (1   ) cos  sin  (1   )  ( cos   cos  ) (1   ) cos  sin  (1   )   ( cos   cos  ) H (t , s ) st   (1  s )  Nếu ta chọn     (1   ) cos  sin  (1   ) H (t , s ) s t   ( cos   cos  ) 1b) Với s  t , 1   cos  sin  (1   ) sin  (t  s )    ( cos   cos  ) 1   cos  sin  (1   )     5  ( cos   cos  ) H (t , s ) s  t   (1  s )  Nếu ta chọn    H (t , s ) s t  Trường hợp s  [ ,1] Nếu s  1, hiển nhiên G (t , s)  0,  (s )  Khi H (t , s )  Nếu s  [ ,1) : 2a) Với s  t , G (t , s )  cos  t sin  (1  s ),  ( cos   cos  ) nên H (t , s ) s  t   (1  s )  cos  sin  (1  s )  ( cos   cos  )  cos  sin  (1  s )    (1  s )    cos   cos   (1  s )   Vì hàm g ( z )  sin  (1  s ) sin  (1   ) sin z giảm (0,  ] nên  ,  (1  s )  (1   ) z  cos  sin  (1   )   H (t , s ) st  (1  s )    cos   cos   (1   )   35 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Nếu ta chọn     Lê Thị Phương Ngọc cos  sin  (1   ) H (t , s ) s t  (1   )  ( cos   cos  ) 2b) Với s  t , cos  sin  (1  s ) sin  (t  s )    ( cos   cos  ) cos  sin  (1   )   (1  s )   (1   )( cos   cos  )  (1  s )    H (t , s ) s  t   (1  s )  Nếu ta chọn    H (t , s ) s t  Từ đó, với  *   ,   ta có :  * ( s)  G (t , s )   *  ( s), (t , s )  [0,1] Đặt c  * Thế  c  ta thu : * c( s )  G(t , s)  ( s ), (t , s )  [0,1] Bổ đề 2.3 chứng minh Đặt K  x  C[0,1] : x(t )  0, t  [0,1], với x  K , đặt Fx(t )  g (t , x(t )), t  [0,1] Khi đó, tốn tử F : K  K hoàn toàn xác định liên tục Đặt A  T  F Khi A  T  F : K  K tốn tử hồn tồn liên tục Rõ ràng điểm bất động A nghiệm dương toán (1.1) (1.2) ngược lại Đặt K  x  C[0,1] : x(t )  c || x ||, t  [0,1] Dễ dàng chứng minh K  K K nón dương C[0,1] Hơn Bổ đề 2.4 A( K )  T  F ( K )  K Chứng minh Với x  C[0,1], x  0, ta có : 36 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007 1 ( Ax)(t )  T ( F ( x))(t )   G (t , s ) g ( s, x( s)) ds  c   ( s) g ( s, x( s ))ds, t  [0,1], 0 1 || Ax || max  G (t , s ) g (s , x( s ))ds   ( s ) g ( s, x(s ))ds, t  [0,1] t[0, 1] 0 Nên ( Ax)(t )  c || Ax ||, t [0,1] Bổ đề 2.4 chứng minh Sự tồn nghiệm dương Trong mục này, ta xét A  T  F : K  K Từ bổ đề trên, tồn nghiệm dương, hai nghiệm dương nghiên cứu [2] trường hợp mở rộng Chứng minh kết sau thực tương tự [2] Giả sử f  lim sup max f (t , x) f (t , x) , f  lim inf ,  t[ , 1] x0 x x f   lim sup max f (t , x) f (t , x) , f   lim inf x   t  [ , ] x x x0  x   t[ , 1] t[ 0, 1] Định lí 3.1 Giả sử ( H1 ), ( H ) tg  sin  Giả sử hai   cos  trường hợp sau xảy : (i) f    , f   , (ii) f  , f     Khi tốn (1 1) - (1.2) có nghiệm dương Bổ sung giả thiết sau : ( H ) f  , f   , tồn   cho max f (t , x)  (   ) ,  t 1, c  x     chọn cho M  37 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Lê Thị Phương Ngọc ( H ) f    , f     tồn   cho f (t , x)  (   c ) ,  t 1, c  x     chọn cho M   Định lí 3.2 Giả sử ( H1 ), ( H ) tg  sin  Giả sử thêm ( H )   cos  ( H ) Khi tốn (1 1) - (1.2) có hai nghiệm dương Tính compact tập hợp nghiệm dương Định lí 4.1 Giả sử ( H1 ), ( H ) tg  sin  Giả sử thêm :   cos  f  , f     Khi tập hợp nghiệm dương toán (1 1) - (1.2) khác rỗng compact Chứng minh Đặt   x  K : x  Ax Như vậy,  tập nghiệm dương toán (1.1) - (1.2) Áp dụng định lí 3.1, ta có  khác rỗng Ta chứng minh  tập compact Bước  tập hợp bị chặn Chọn m  cho  * m  Từ giả thiết ta suy R  : y  R  f (t , y )  (    m) y, t  [0,1] Với x  , với s  [0,1] tuỳ ý, có hai trường hợp xảy : x( s )  R x (s )  R Nếu x( s )  R 38 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007 f ( s, x( s ))  (    m) x( s), suy g ( s, x(s ))  mx(s ) Nếu x( s )  R g ( s, x( s))   ,  giá trị lớn g [0,1]  [0, R] Suy với x  , ta ln có g ( s, x( s ))  mx( s )   , s  [0,1] Thế x  , t  [0,1], ý  (s )   * (1  s )   *, s  [0,1] ta thu 1 0 x(t )   G (t , s ) g ( s , x( s ))ds    ( s )mx( s )   ds   * ( m || x ||   ), || x ||  * m || x ||   *  , x  , || x ||  * , x   1  * m Nghĩa  tập hợp bị chặn Bước  tập compact tương đối Vì A  T  F : K  K tốn tử hồn tồn liên tục,   K bị chặn nên A() tập compact tương đối Ta lại có   A() nên  tập compact tương đối Bước  tập đóng Giả sử {x n }   xn  xˆ, n   Khi 39 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Lê Thị Phương Ngọc max | x n (t )  xˆ (t ) |  t[ , 1] Suy t  [0,1], 1 | xˆ (t )   G (t , s ) g ( s, xˆ( s ))ds | | xˆ (t )  xn (t ) |  | xn (t )   G (t , s ) g ( s, xn (s ))ds | 0 1  |  G (t , s ) g ( s, xn ( s ))ds   G (t , s ) g ( s, xˆ ( s))ds | 0  | xˆ (t )  xn (t ) |   | G (t , s ) g ( s, xn (s ))  G (t , s ) g ( s, xˆ ( s)) | ds, tính liên tục g , | xˆ (t )   G (t , s ) g ( s, xˆ ( s ))ds |  0, n   Từ xˆ (t )   G (t , s ) g (s, xˆ ( s ))ds |, t  [0,1] Nghĩa  tập đóng Định lí 4.1 chứng minh TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Y Chen, B Yan, L Zhang, 2007, Positive solutions for singular three-point boundary-value problems with sign changing nonlinearities depending on x’, Electronic J Differential Equations, (63) (2007) 1–9 [2] X Han, 2007, Positive solutions for a three-point boundary value problem at resonance, J Math Anal Appl 336, 556–568 [3] R Ma, 1999, Positive solutions of a nonlinear three-point boundary value problem, Electronic J Differential Equations 1999 (34) 1–8 [4] Yong-Ping Sun, 2004, Nontrivial solution for a three-point boundary-value problem, Electronic J Differential Equations, 2004 (111) 1-10 40 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007 Tóm tắt Một thích nghiệm dương tốn ba điểm biên Bài báo sử dụng định lí điểm bất động Guo - Krasnoselskii nón để chứng minh tồn nghiệm dương toán giá trị biên ba điểm sau :  x // (t )  f (t , x(t )),  t  1,  /  x (0)  0, x(1)   x( ),  ,  (0, 1) f thoả số điều kiện thích hợp Ngoài ra, tồn hai nghiệm dương phân biệt tính compact tập nghiệm dương tốn nghiên cứu Abstract Note on the positive solutions for a three-point boundary value problem In this paper, we consider the three-point boundary value problem  x // (t )  f (t , x(t )),  t  1,  /  x (0)  0, x(1)   x( ), where  ,  (0, 1) and f  C ([0,1]  [0, ), IR) is given Under some suitable assumptions on the function f , we prove the existence and multiplicity of positive solutions of the problem Furthermore, the paper shows that the positive solutions set of the problem is compact The main tool is the Guo Krasnoselskii's fixed point theorem in cones 41 ... 12 năm 2007 Tóm tắt Một thích nghiệm dương toán ba điểm biên Bài báo sử dụng định lí điểm bất động Guo - Krasnoselskii nón để chứng minh tồn nghiệm dương toán giá trị biên ba điểm sau :  x //... bổ đề Xét toán biên ba điểm : x // (t )   x(t )  h(t ),  t  1, (2.1) x / ( 0)  0, x(1)   x( ) (2.2) Bổ đề 2.1 Giả sử ( H1 ) Khi : (i) Với h  C[0, 1], toán (2.1) - (2.2) có nghiệm 30... || Ax ||, t [0,1] Bổ đề 2.4 chứng minh Sự tồn nghiệm dương Trong mục này, ta xét A  T  F : K  K Từ bổ đề trên, tồn nghiệm dương, hai nghiệm dương nghiên cứu [2] trường hợp mở rộng Chứng minh