Trong bài viết này, công thức phần tử hữu hạn tấm tam giác 3 nút mới được đề xuất. So với phần tử tấm tam giác 3 nút truyền thống, xấp xỉ chuyển vị của phần tử đề xuất được bổ sung thêm hàm dạng nổi bậc ba (cubic bubble shape function) tại nút nổi (bubble node) ở vị trí trọng tâm phần tử.
Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng NUCE 2019 13 (4V): 139–150 PHẦN TỬ MITC3+ ĐƯỢC LÀM TRƠN TRÊN CẠNH DÙNG PHÂN TÍCH TĨNH TẤM REISSNER-MINDLIN Châu Đình Thànha,∗, Trần Văn Chơnb , Tơn Thất Hồng Lâna a Khoa Xây dựng, Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Tp Hồ Chí Minh, Số 01 đường Võ Văn Ngân, quận Thủ Đức, Tp Hồ Chí Minh, Việt Nam b Cơng ty Quản lý Dự án Shin Yeong, Tòa nhà SFC, Tầng 4, 146E Nguyễn Đình Chín, quận Phú Nhuận, Tp Hồ Chí Minh, Việt Nam Nhận ngày 09/08/2019, Sửa xong 06/09/2019, Chấp nhận đăng 09/09/2019 Tóm tắt Trong báo này, công thức phần tử hữu hạn tam giác nút đề xuất So với phần tử tam giác nút truyền thống, xấp xỉ chuyển vị phần tử đề xuất bổ sung thêm hàm dạng bậc ba (cubic bubble shape function) nút (bubble node) vị trí trọng tâm phần tử Biến dạng uốn phần tử làm trơn trên miền chung cạnh (ES) xác định đoạn thẳng nối nút phần tử chung cạnh với nút cạnh chung Nhờ vào kỹ thuật làm trơn cạnh, tích phân miền làm trơn độ cứng uốn chuyển sang tích phân biên miền làm trơn bị ảnh hưởng hình dạng phần tử Để khử tượng khóa cắt phân tích mỏng, biến dạng cắt mặt phẳng phần tử xấp xỉ lại theo kỹ thuật khử khóa cắt MITC3+ Phần tử đề xuất, gọi ES-MITC3+, sử dụng để phân tích tĩnh số tốn điển hình nhằm đánh giá mức độ xác hội tụ Thông qua kết số đạt được, phần tử ES-MITC3+ có khả phân tích tĩnh cho mỏng dày với độ xác tương đương tốt số loại phần tử khác Từ khố: Reissner-Mindlin; khử khóa cắt MITC3+; phần tử hữu hạn trơn cạnh (ES-FEM); phân tích tĩnh AN EDGE-BASED SMOOTHED MITC3+ ELEMENT FOR STATIC ANALYSIS OF REISSNER-MINDLIN PLATES Abstract In this paper, a novel formula of 3-node triangular plate finite element is proposed In comparison with the traditional 3-node triangular plate finite elements, the displacements of the proposed element are added the cubic bubble shape function at the bubble node located at the centroid of the element The bending strains of the suggested element are averaged on edge-based smoothed (ES) domains which are determined by straight lines connecting bubble nodes of adjacent elements with common nodes of them Thanks to the edgebased smoothed technique, the integration of the bending stiffness is transformed from the smoothed domain into its boundary and thus reduces errors due to element shapes To remove the shear-locking phenomenon, the transverse shear strains are separately interpolated by using the MITC3+ technique The proposed element, namely ES-MITC3+, is employed to statically analyze some benchmark plates for evaluation of the accuracy and robustness Numerical results show that the ES-MITC3+ element can analyze both thin and thick plates in good agreement, or better than other reference elements Keywords: Reissner-Mindlin plates; shear-locking removal MITC3+; edge-based smoothed FEM; static analysis https://doi.org/10.31814/stce.nuce2019-13(4V)-13 c 2019 Trường Đại học Xây dựng (NUCE) ∗ Tác giả Địa e-mail: chdthanh@hcmute.edu.vn (Thành, C Đ.) 139 Thành, C Đ., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Giới thiệu Kết cấu kết cấu phổ biến ứng dụng vào nhiều phận cơng trình xây dựng như: sàn, mái, tường, vách, đặc trưng mỏng, nhẹ, khả chịu uốn, vượt nhịp lớn Ứng xử đồng tính tốn dựa (1) lý thuyết mỏng Kirchhoff-Love (2) lý thuyết dày Reissner-Mindlin [1] Ứng xử kết cấu phân tích phương pháp giải tích phương pháp số Các phương pháp giải tích [1–3] cho lời giải có độ xác cao, kết để so sánh đánh giá nghiên cứu phương pháp số áp dụng cho kết cấu có hình học, điều kiện biên tải trọng đơn giản Vì vậy, để phân tích ứng xử kết cấu bất kỳ, phương pháp số nghiên cứu phát triển nhằm cải thiện độ xác, tốc độ hội tụ thời gian tính tốn Trong đó, phương pháp số dựa tiếp cận phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) thu hút quan tâm nhiều nhà nghiên cứu nước Với giả thuyết bỏ qua biến dạng cắt mặt phẳng, lý thuyết Kirchhoff-Love đòi hỏi xấp xỉ chuyển vị phương pháp PTHH có đạo hàm cấp liên tục, tức dạng C Trong đó, xấp xỉ chuyển vị dạng C đủ để thiết lập công thức PTHH theo lý thuyết dày Reissner-Mindlin Việc xây dựng hàm xấp xỉ chuyển vị dạng C , đặc biệt phần tử đẳng tham số, dễ nhiều so với xây dựng hàm xấp xỉ chuyển vị dạng C Tuy nhiên, xấp xỉ chuyển vị dạng C túy khơng loại bỏ biến dạng cắt ngồi mặt phẳng phân tích mỏng dẫn đến kết chuyển vị giảm chiều dày giảm, hay gọi tượng khóa cắt Cùng với khả chia lưới dễ dàng phần tử tam giác so với phần tử tứ giác, số nghiên cứu tập trung vào phát triển phần tử tam giác nút dựa lý thuyết dày Reissner-Mindlin sử dụng xấp xỉ chuyển vị dạng C kết hợp với kỹ thuật khử khóa cắt phần tử MIN3 [4], DSG3 [5] MITC3 [6] Các loại phần tử có biến dạng uốn số phần tử biến dạng cắt mặt phẳng xấp xỉ lại để phân tích ứng xử dày mỏng Bằng cách sử dụng thêm hàm bậc ứng với nút đặt trọng tâm phần tử tam giác nút xấp xỉ chuyển vị, phần tử MITC3+ [7] có biến dạng uốn tuyến tính phần tử Do đó, phần tử MITC3+ có độ xác hội tụ tốt phần tử MITC3 [6] Để giảm chênh lệch biến dạng phần tử kết cấu phân tích loại phần tử tam giác nút, kỹ thuật xấp xỉ lại biến dạng cách trung bình biến dạng phần tử có chung cạnh chung nút, hay gọi phương pháp PTHH trơn, đề xuất [8] Kỹ thuật làm trơn cạnh (ES) làm trơn nút (NS) áp dụng cho phần tử DSG3 MITC3 để phân tích Reissner-Mindlin [9–12] Trong phần tử ES-DSG3 [9], ES-MITC3 [11], NS-DSG3 [10], NS-MITC3 [12], biến dạng tính miền chung cạnh chung nút phần tử trung bình biến dạng phần tử Nhờ đó, biến dạng chênh lệch phần tử làm trơn miền nhiều phần tử Kết quả, phần tử làm trơn ES-DSG3, ES-MITC3, NS-DSG3, NS-MITC3 cải thiện khả tính tốn so với phần tử không làm trơn DSG3, MITC3, DSG3, MITC3 Trong nghiên cứu này, kỹ thuật làm trơn cạnh phát triển cho phần tử tam giác nút MITC3+ Với tên gọi ES-MITC3+, phần tử đề xuất có biến dạng uốn trung bình miền xác định đoạn thẳng nối nút phần tử chung cạnh với nút cạnh chung này, biến dạng cắt mặt phẳng xấp xỉ theo kỹ thuật khử khóa cắt MITC3+ [7] Khác với phần tử ES-DSG3 ES-MITC3, biến dạng uốn phần tử đề xuất không số miền phần tử nên tích phân miền làm trơn biến dạng uốn chuyển thành tích phân đường biên miền làm trơn cách áp dụng định lý phân kỳ Gauss-Ostrogradsky Nhờ đó, phần tử ES-MITC3+ giảm sai số tính tích phân Gauss, đặc biệt trường hợp lưới phần tử không Trong phần tiếp theo, công thức phần tử ES-MITC3+ thiết lập Độ xác tính hiệu phần tử đề xuất trình bày phần thơng qua đánh giá kết phân tích chuyển vị 140 Thành, C Đ., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng mơ-men số kết cấu điển hình Cuối cùng, số kết luận tổng kết phần Công thức phần tử Reissner-Mindlin ES-MITC3+ 2.1 Cơng thức phần tử MITC3+ Xét có diện tích mặt trung bình Ω chịu uốn lực pz tác dụng vng góc với mặt trung bình Ω Hình Các chuyển vị thẳng u, v, w tương ứng phương x, y, z xác định [1] (1) u (x, y, z) = zβ x (x, y) ; v (x, y, z) = zβy (x, y) ; w (x, y, z) = w0 (x, y) Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng NUCE 2019 w0 , β x , βyTạp lầnchí lượt chuyển vịnghệ thẳng theo z góc xoay pháp tuyến mặt trung Khoa học Công Xây dựngphương NUCE 2019 bình quanh trục y trục x với chiều dương qui ước Hình HìnhHình Tấm chịuvà uốn định nghĩa cáccác chuyển 1.uốn Tấm chịu uốn vànghĩa định nghĩa chuyểnvịvị vị h Tấm chịu định chuyển mặt trung bình mặt trung bình tấmcủa vàtấm củavàmặt trung bình Hình 2.Hình Phần tử tấmtửtử 3tấm nút Phần 3với nút với nút Hình 2.Phần nút nútnútvới chiều dương qui ước nổi chiều dương dương qui ước qui ước chiều Mặttấm trung củamặt trung rời rạcWbằng phần tử lực ptam nút có diện Xét có bình diệnΩtích bình chịuN uốn tácgiác dụng vng góctích Ω Trường z e Xét có vị diện tích tửmặt trung bình W chịu uốn lực pz tác dụng vnge góc chuyển phần tam giác xấp xỉ sau [7] với mặt trung bình W Hình Các chuyển vị thẳng u, v, w tương ứng phương i mặt trung bình W Hình Các chuyển vị thẳng u, v, w tương ứng phương 4 x, y, z xác định [1] y, z xác định [1] w0 = Ni wi ; β x = Ni θyi ; βy = − Ni θ xi (2) (1) u ( x, y, z ) = zb x ( x, y ) ; v ( x, yi=1 , z ) = zb y ( x, y ) ; i=1 w ( x, y, z ) = w0 ( x, yi=1 ) (1) u ( x, y, z ) = zb x ( x, y ) ; v ( x, y, z ) = z b y ( x, y ) ; w ( x, y, z ) = w0 ( x, y ) lầnlượt lượtlàlàchuyển chuyển vị vị thẳng gócphương xoay quanh trục nút i với chiều đó,đó w0wi, , bxθ,xib, yθyilần thẳng theo z trục góc xxoay củaypháp định Hình N hàm dạng tọa độ tự nhiên η) i theo ong đó,tuyến wdương bx, qui by ước nghĩa chuyển vị phương z vàhệHình góc xoay của(ξ,pháp 0, mặt trung bình quanh trục ytrong trục xthẳng với chiều dương qui ước xác định ứng với nút đỉnh (i = 1, 2, 3) nút (i = 4) đặt trọng tâm phần tử sau yến mặt trung y trục vớibằng chiều dương quitam ướcgiác Hình Mặtbình trung quanh bình W trục rờixrạc Ne phần tử nút có N1 = − ξ − η − 9ξη (1 − ξ − η) ; N2 = ξ − 9ξη (1 − ξ − η) tích W chuyển phần tấmbằng tam giác xấptửxỉtấm sau e Trường Mặtdiện trung bình W tấmvịđược rờitửrạc Neđược phần tam[7]giác nút có(3) N3 = η − 9ξη (1 − ξ − η) ; N4 = 27ξη (1 − ξ − η) ện tích We Trường chuyển 4vị phần tử tam giác xấp xỉ sau (2) [7] w0 = å Ni wi ; b x = å Niq yi ; b y = -å Niq xi Từ (1) (2), quan hệ biến dạng chuyển vị nút phần tử thiết lập i =1 i =1 4i =1 (2) Niq xi w0 = å Ni wi ; b x = å Niqyi ; b y = -å wi trục ε xi =lượt β x,xvị thẳng 0xoay 0quanhNi,x nút đây, wi, qxi, q trục x y yi lần là chuyển 1 4góc i =1 1 i= −N θ xi εy ước βy,y nghĩa =z Bhệ (4) = z = z Hình bi dei i với chiều dương i,yNi 0các hàm θ dạng γqui β định i=1 i=1 + β −N N i,x quanh i,y yi x trục y nút xy chuyển x,y vị y,x đây, witọa , qxiđộ , qtự thẳng góc xoay trục yi nhiên (x,h) xác định ứng với nút đỉnh (i = 1, 2, 3) nút κ dei hàm dạng hệ ới chiều ước định HìnhBbi2 Ni (i =dương 4) đặt tạiqui trọng tâmđược phần tử nghĩa sau a độ tự nhiên (x,h) xác định ứng với nút đỉnh (i = 1, 2, 3) nút N1 = - x - h - 9xh (1 - x - h ) ; N = x - 9xh (1 - x - h ) ; N = h - 9xh (1 - x - h ) (3) 141 = 4) đặt Ntrọng tâm phần tử sau = 27xh - x - h ( ) N1 = - x - h - 9xh (1 - x - h ) ; N = x - 9xh (1 - x - h ) ; N = h - 9xh (1 - x - h ) Từ (1) (2), quan hệ biến dạng chuyển vị nút phần tử thiết lập (3) N = 27xh (1 - x - h ) Thành, C Đ., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng γ xz γyz = β x + w0,x βy + w0,y = i=1 Ni,x Ni Ni,x −Ni B si wi θ xi = θ yi (5) B si dei i=1 dei Do xấp xỉ (2) không sử dụng độ võng nút (i = 4) nên công thức (4) (5) w4 = Trong báo ký hiệu , đạo hàm hàm biến Vì biến dạng cắt ngồi mặt phẳng xấp xỉ (5) tiến đến 0, nghĩa phân tích mỏng mỏng biến dạng cắt ngồi mặt phẳng tồn Điều khơng phù hợp với ứng xử thực tế mỏng dẫn đến kết quả, mỏng độ võng lớn Đây tượng khóa cắt xảy với phần tử dùng hàm xấp xỉ chuyển vị bậc thấp Do đó, biến dạng cắt ngồi mặt phẳng xấp xỉ lại theo kỹ thuật nội suy thành phần ten-xơ hỗn hợp MITC3+ [7] Cụ thể, biến dạng cắt mặt phẳng hệ tọa độ tự nhiên xấp xỉ lại sau C B B γ − γ + γ + γCηζ + cˆ (3η − 1) ξζ ηζ ξζ A A C = γξζ − γηζ + γξζ + γCηζ + cˆ (3ξ − 1) 3 γˆ ξζ = γˆ ηζ (6) F D F E I I − γξζ + γηζ , γηζ giá trị biến dạng cắt ngồi mặt phẳng tính với cˆ = γξζ − γηζ Ở đây, γξζ điểm buộc I = A, B, C, D, E, F có tọa độ cho Bảng Bảng Tọa độ điểm buộc kỹ thuật khử khóa cắt MITC3+ với d = 1/10000 Điểm buộc ξ η A B C D E F 1/6 2/3 1/6 1/3 + d 1/3 − 2d 1/3 + d 2/3 1/6 1/6 1/3 − 2d 1/3 + d 1/3 + d Từ tọa độ điểm buộc cho Bảng 1, giá trị biến dạng cắt mặt phẳng hệ tọa độ (x, y) xác định theo (5) Sử dụng cơng thức biến đổi biến dạng cắt ngồi mặt phẳng từ hệ tọa độ (x, y) sang hệ tọa độ (ξ, η) vào xấp xỉ biến dạng cắt cho (6), ta thiết lập quan hệ biến dạng cắt mặt phẳng chuyển vị nút phần tử theo kỹ thuật khử khóa cắt MITC3+ sau γˆ xz ˆ si dei = B (7) γˆ yz i=1 Quan hệ ứng suất biến dạng đồng đẳng hướng xác định σx 0 εx ν ν E Ez σy = εy = ν ν τ − ν2 0 (1 − ν)/2 γ − ν2 0 (1 − ν)/2 xy xy τ xz τyz = E 2(1 − ν) γˆ xz γˆ yz = E 2(1 − ν) Bbi dei (8) i=1 ˆ si dei B i=1 142 (9) Thành, C Đ., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng E mơ-đun đàn hồi ν hệ số Poisson vật liệu Nguyên lý cơng ảo có diện tích mặt trung bình Ω chịu tải trọng pz tác dụng vng góc với mặt trung bình [13] t/2 δε x δεy δγ xy Ω −t/2 σx kt2 σ dzdΩ + y t2 + αh2e τ xy t/2 δˆγ xz δˆγyz Ω −t/2 τ xz τyz dzdΩ = δwpz dΩ (10) Ω δ đại lượng ảo, k = 5/6 số hiệu chỉnh kể đến phân bố không theo chiều dày ứng suất cắt mặt phẳng τ xz , τyz , he cạnh dài phần tử α = 0,1 hệ số ổn định [14] Thế quan hệ ứng suất – biến dạng (8), (9) vào (10), ta có Ne Ne Ne ˆT ˆ d = D Npz dΩ (11) δdTe B B dΩ δdTe δdTe BTb Db Bb dΩ de + s s s e e=1 e=1 e=1 Ωe Ωe Ωe Bb = [Bb1 Bb2 Bb3 Bb4 ], B s = [B s1 B s2 B s3 B s4 ], de = [dTe1 dTe2 dTe3 dTe4 ]T , N = [N1 0 N2 0 N3 0 N4 0]T v Et3 với D = Db = D v (12) 12 − ν2 0 (1 − ν)/2 Ds = kEt3 t2 + αh2e 2(1 + v) 0 (13) Từ (11), phương trình cân rời rạc PTHH chịu tải trọng tĩnh pz viết dạng Kd = F (14) d, K, F véc-tơ chuyển vị, ma trận độ cứng véc-tơ tải trọng Ma trận K véc-tơ F tương ứng lắp ghép từ ma trận độ cứng ke véc-tơ tải trọng fe phần tử có cơng thức sau ke = BTb Db Bb dΩ + Ωe fe = ˆ s dΩ ˆ Ts D s B B (15) Ωe (16) Npz dΩ Ωe 2.2 Công thức phần tử ES-MITC3+ Trong nghiên cứu này, biến dạng uốn trung bình miền làm trơn có diện tích Ωk giới hạn đoạn thẳng nối nút phần tử chung cạnh với nút đỉnh cạnh chung Hình 143 Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng NUCE 2019 ( ò Np dW fe = z Thành, C Đ., cs / Tạp chíW Khoa học Cơng nghệ Xây dựng e Cơng Do đó, biến dạng uốn xấp xỉ lại2.2 sauthức phần tử ES-MITC3+ cứunày, biến dạng uốn trung bình miền làm trơn Trong nghiên εx ε ˜ x giới hạn diện đoạn thẳng nối nút phần tử chung cạ tích 1Wk ε ε ˜ dΩ (17) = y y với nút đỉnh cạnh γ γ˜ Ωk chung Hình xy xy Ωk Do đó, biến dạng uốn xấp xỉ lại sau ì e!dạng ü ü Thế (4) vào (17) ta quan hệ biến trơnìvà vị nút phần tử e x chuyển x ï ï ï ï í e! y ý = ò í e y ý dW ïg! ï W k W ïg ù xy d ợ i,x ỵ N 0ợ xy ỵ Th (4) vo (17) Ωkta quan hệ giữa biến dạng trơn chuyển vị nút phần tử wi − Ni,y dΩ 0é ˜ bi dei (18) =Nz dW ùúB θ xi ê0 i,x ò Ωk Ωk ì e" ü ê ú W i=1 ì ü θ w yi x 4 úï i ï ê ï ï " d e" ydΩ - òN i , y dW q xi ý = z å B ý = z å Ni,y í ê0dΩ ú bi ei − Níi,x dei i =1 W k ê i =1 W ïg" ï ú ïq ï ỵ xy ỵ ợ yi ỵ ( k x ε˜ y γ˜ xy =z i=1 k ( k Ωk ê ú! ê0 - ò N i , x dW ò N i , y dW ú dei W W k k ë #$$$$ $%$$$$$ &û Ωk ˜ bi B " B bi Áp dụng định lý phân kỳ Gauss-Ostrogradsky, tích phân miền làm trơn Ωk đạo hàm hàm dạng (18) chuyển thành tích phân đường biên Γk Ωk sau Ni,x dΩ = Ωk Ni,y dΩ = Ni n x dΓ; Γk Ni ny dΓ Γk Ωk (19) n x ny hình chiếu theo Miền làm trơn cạnh (ES) cho biến dạng uốn phần tử ES-MITC phương x y véc-tơ n pháp tuyếnHình với biên Hình Miền làm trơn cạnh (ES) cho biến định nghĩa véc-tơ pháp tuyến biên miền làm trơn Γk biểu diễn Hình dạng uốn phần tử ES-MITC3+ định Với hàm dạng cho (3), tích phân đường Áp dụng địnhnghĩa lý phân kỳ Gauss-Ostrogradsky, véc-tơ pháp tuyến biên tích miềnphân làmtrên trơnmiền làm trơn (19) tính xác cách sử dụng đạo hàm hàm dạng (18) chuyển thành tích phân đường b điểm Gauss đoạn thẳng biên Γk WDo Gk k sau đó, tích phân (19) tính sau òN i,x Wk Ni,x dΩ = Ned i x i, y dW = Wk ( ò N n dG i y Gk ed=1 gp=1 Ned Γk Ni ny dΓ = Ni,y dΩ = Ωk ò N n dG; ò N Gk ed ed ed Ntrong wed i n x dΓ i ξgp đó,= nx ny lầnNlượt là, η hình gp n xtheo phương x y véc-tơ n pháp gp chiếu Γk Ωk dW = ed ed Ni ξgp , ηgp (20) ed wed gp ny ed=1 gp=1 Ned = miền Ωk nằm biên Ned = miền Ωk không nằm biên ed ed ed ed ξgp , ηgp , wed gp , n x , ny tọa độ tự nhiên, trọng số điểm Gauss thành phần véc-tơ pháp tuyến n cạnh ed biên Γk 144 Thành, C Đ., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Vì vậy, biến dạng uốn sau làm trơn xác định Ned ed ed ed Ni ξgp , ηgp wed gp n x ed=1 gp=1 Ned ε ˜ x ed ed ed − Ni ξgp , ηgp wed ε˜ y =z gp ny Ω γ˜ k gp=1 ed=1 i=1 xy Ned Ned ed ed ed ed ed ed ed − Ni ξgp , ηgp wgp n x Ni ξgp , ηgp wed gp ny ed=1 gp=1 ed=1 gp=1 wi θ xi θ yi dei ˜ bi B =z ˜ bi dei B i=1 (21) Tạptrơn chí Khoa NUCE 2019 Thế biến dạng uốn xấp xỉ lại theo kỹ thuật làm học cạnhCông chonghệ Xây (21)dựng vào ngun lý cơng ảo (10), phương trình cân rời rạc PTHH chịu uốn viết lại ˜ != F ! T Kd k! e = Β b Db B b W k + ò Βˆ T s ˆ dW Ds B s (22) We ˜ lắp ghép từ ma trận độ cứng phần tử ES-MITC3+ có biến dạng uốn làm K Ví dụ số trơn cạnh T ˆ s dΩ ˜ b dΩ +test B ˜ toán ˆ Ts D s B (23) k˜3.1 B e = Bài b Db Bpatch Ωe Ω Để kiểm tra khảe xấp xỉ trường biến dạng ứng suất ph ˜b = B ˜ b1 B ˜ b2 B ˜ b3 B ˜ b4 B MITC3+, xét chữ nhật dày t = 0,01 m có tọa độ nút lưới phần tử n ˜ bi cho (21) ˜ Theo cách tính B B số.mơ-đun Do đó, cơng ma7 trận độvà cứng bi Tấm làm bằngB˜ bvật liệu có đàn thức hồi Etính = 10 kN/m hệ số Poisson phần tử ES-MITC3+ viết lại 2 Tấm chịu độ võng cưỡng w = (1 + x + 2y + x + xy + y ) / 200 m [9] ˆ s dΩbỏ qua biến dạng cắt (24) ˜ bΩ ˜ T Db B ˆ Ts Dmỏng, lý thuyết mặt phẳng, từ k˜ e = Theo B B sB k + b tính góc xoayΩequanh trục x, y tương ứng q x = ¶w ¶y , q y = ¶w ¶x , Ví dụ số 3.1 Bài toán patch test phần biến dạng, ứng suất mơ-men Kết tính tốn chuyển vị nội có tọa độ x = 0,1 m y = 0,08 m lời giải lý thuyết mỏng p MITC3+ cho Bảng Để kiểm tra khả xấp xỉ trường biến dạng ứng suất phần tử ES-MITC3+, xét chữ nhật dày t = 0,01 m có tọa độ nút lưới phần tử Hình Tấm làm vật liệu có mô-đun đàn hồi E = 107 kN/m hệ số Poisson ν = 0,25 Tấm chịu độ võng cưỡng w = (1 + x + 2y + x2 + xy + y2 )/200 m [9] Theo lý thuyết mỏng, bỏ qua biến dạng cắt mặt phẳng, từ độ võng w tính góc Tọa phần củatửbài patch testtest (đơn vị m) Hìnhđộ nút Tọa độ núttử phần củatoán toán patch xoay quanh trục x, y tương ứng θ x = ∂w/∂y, θHình y = (đơn vị m) ∂w/∂x, thành phần biến dạng, ứng suất Bảng Kết độ võng mơ-men nút tốn patch te Lời giải ES-MITC3+ 145 w qx5 qy5 Mx5 My5 (´10-2 m) (´10-2 rad.) (´10-2 rad.) (kNm/m) (kNm/m) 0,6422 1,1300 -0,6400 -0,0111 -0,0111 Thành, C Đ., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng NUCE 2019 BảngTạp Kết độ võng mơ-men nútdựng củaNUCE tốn patch test chíquả Khoa học Cơng nghệ Xây 2019 Lời giải w5 (×10−2 m) θ x5 (×10−2 rad.) θy5 (×10−2 rad.) M x5 (kNm/m) My5 (kNm/m) M xy5 (kNm/m) ES-MITC3+ Chính xác 0,6422 0,6422 1,1300 1,1300 −0,6400 −0,6400 −0,0111 −0,0111 −0,0111 −0,0111 −0,0033 −0,0033 mơ-men Kết tính tốn chuyển vị nội lực nút có tọa độ x = 0,1 m y = 0,08 m lời giải lý thuyết mỏng phần tử ES-MITC3+ cho Bảng Với kết độ võng mơ-men phần tử ES-MITC3+ hồn tồn trùng với lời giải xác, phần tử ES-MITC3+ vượt qua điều kiện patch test có khả biểu diễn xác trường chuyển vị biến dạng, ứng suất nội lực 3.2 Tấm hình vng tựa đơn cạnh chịu tải phân bố Hình Tấm vng đơnt với cạnh chịu tải phân vàTấm chia lưới với N = 4tải Xét5.5 vuông cạnhtựa L, số t/L = 0,001 hoặcbố t/Lđều = 0,1 đơnđều cạnh Hình Tấm vuông tựadày đơn tỉcạnh chịu tải phân bố chiatựalưới vớivàNchịu =4 2 Hình Vật liệu làm có E = 1092000 kN/m ν = 0,3 trọng phân bố p = kN/m z Xét vuông cạnh L, dày t với tỉ số t/L = 0,001 t/L = 0,1 Tấm tựa đơnĐể4 so sánh vớitấm kết thamcạnh khảo,L, độdày võngt w tâmhoặc sauđơn Xét vuông với số t/L 2=Mc0,001 t/L =chuẩn 0,1 hóa Tấmnhư tựa c vàtỉmô-men cạnh chịu tải trọng phân bốKhoa đềuhọc pz Cơng = kN/m Hình Vật liệu làm có E = Tạp chí nghệ Xây dựng NUCE 2019 cạnh chịu tải trọng phân bố pz100D = kN/m Hình Vật liệu làm có E = 10 ¯ 1092000 kN/m2 2và n = 0,3 Đểw¯so kết tham khảo, độ võng wc mô-men wc với ; M = M (25) c =sánh c c kết tham pz Lvới pz L2khảo, độ võng wc mô-men 1092000 kN/m n = 0,3 Để so sánh Mc tâm chuẩn hóa sau Mc tâm chuẩn hóa sau 100 D 10 wc = wc 1004D; M c = M c 102 wc = wc pz L ; M c = M c p z L pz L pz L (25) (25) Tấm chia lưới 2´N´N phần tử tam giác nút Hình Trong đó, Tấm chia lưới 2´N´N phần tử tam giác nút Hình Trong đó, NN==4,4,8,8,12 tốn độ độ võng võng wc 12và và16 16làlàsố sốphần phầntử tửtrên trênmỗi cạnh cạnh của tấm Kết Kết quả tính tính tốn wc vàvàmơ-men với các loại loại lưới lưới mơ-menMMc cchuẩn chuẩnhóa hóatại tạitâm tâmtấm tấmbằng phần phần tử tử ES-MITC3+ ES-MITC3+ ứng ứng với khác trường hợp hợp tấm khácnhau nhauđược đượcbiểu biểudiễn diễn tương tương ứng ứng trong Hình Hình 66 và Hình Hình 77 cho cho trường Hình Tấm vng cạnhchịu chịu tải tải phân chia lưới N =với N=4 Hình= Tấm5.vng tựa tựa đơnđơn cạnh phânbốbốđềuđều chia lướivớiđều mỏng mỏngt/L t/L =0,001 0,001hoặc hoặctấm tấmdày dàyt/L t/L==0,1 0,1 Xét vuông cạnh L, dày t với tỉ số t/L = 0,001 t/L = 0,1 Tấm tựa đơn cạnh chịu tải trọng phân bố pz = kN/m2 Hình Vật liệu làm có E = 1092000 kN/m2 n = 0,3 Để so sánh với kết tham khảo, độ võng wc mô-men Mc tâm chuẩn hóa sau wc = wc 100 D 10 ; Mc = Mc pz L p z L2 (25) Tấm chia lưới 2´N´N phần tử tam giác nút Hình Trong đó, N = 4, 8, 12 16 số phần tử cạnh Kết tính tốn độ võng wc (a) t/L = 0,001 (b) t/L = 0,1 mơ-men(a) chuẩn0,001 hóa tâm phần tử ES-MITC3+ ứng= với Mt/L (b) t/L (a) 0,1 loại lưới c t/L==0,001 Hìnhđược Độ biểu võng chuẩn w¯ c tâm vuông tựa6đơn cạnh chịu tải phân bố đềuhợp khác diễn hóa tương ứng Hình và4 Hình cho trường mỏng t/L = 0,001 dày t/L = 0,1 Hình vng bố đều Hình6.6.Độ Độvõng võngchuẩn chuẩnhóa hóaứng tạitâm tâmlưới vuông tựa đơn wwc ctại với phần tử N =tựa 4, 8,đơn 12, 164 cạnh chịu tải phân bố ứng ứngvới vớicác cáclưới lướiphần phần tử tử N N == 4, 4, 8, 8, 12, 16 146 Thành, C Đ., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Tấm chia lưới 2×N×N phần tử tam giác nút Hình Trong đó, N = 4, 8, 12 ¯ c chuẩn hóa 16 số phần tử cạnh Kết tính tốn độ võng w¯ c mơ-men M Tạp Tạpchí chíKhoa Khoahọc họcCơng Cơngnghệ nghệXây Xâydựng dựng NUCE NUCE 2019 2019 tâm phần tử ES-MITC3+ ứng với loại lưới khác biểu diễn tương ứng Hình Hình cho trường hợp mỏng t/L = 0,001 dày t/L = 0,1 (a) t/L (a) =t/L0,001 = 0,001 (b) (b) t/L t/L = 0,1 = 0,1 HìnhHình Mơ-men chuẩn hóa hóa tấmtấm vng tựa tựa đơnđơn cạnh chịuchịu tải tải phân bố bố đềuđều M c Mô-men chuẩn tâm vuông cạnh phân M ctâm ứngứng với với các lướilưới phần tử Ntử=N4,=8,4,12, 16 16 phần 8, 12, HìnhHình cho thấy, với tấmtấm mỏng dàydày phần tử(b)ES-MITC3+ chocho kếtkết quảquả cho đối mỏng phần tử (a)thấy, t/L = 0,001 t/LES-MITC3+ = 0,1 (a) t/Ltấm 0,001 (b) t/L t/L ==kết 0,1 cho t/L == 0,001 (b) 0,1 giá trị tại(a) tâm hội hội tụ đến lời giải giảigiải tíchtích [15][15] tốt giáđộ trịvõng độ võng tâm đến lời giải tốt kết cho ¯tụ Hình Mơ-men chuẩn hóa M c tâm vng tựa đơn cạnh chịu tải phân bố Hình 7.MITC3 Mơ-men chuẩn hóaứng tạicác tâm vng tựa đơn cạnh chịu tải phân phân bố Hình Mơ-men chuẩn hóa tâm chịu tải Mc[11] M phầnphần tử MITC3 [6], [6], ES-MITC3 ES-DSG3 [9] Đối vớivới mô-men tạibố tâm tấm, với lướitấm phầnvuông tử N = tựa 4, 8, đơn 12, 1644 cạnh tử ES-MITC3 [11] ES-DSG3 [9] Đối mô-men tâm tấm, c ứng vớiES-MITC3+ cácES-MITC3+ lưới phần phần cho tử NNcho 4,kết 8, 12, 12, 16tốt ứng với lưới tử == 4, 8, 16 HìnhHình cho cho thấy,thấy, phần tử kết tốt nhấtnhất so với cáccác phần tử tử phần tử so với phần Hình cho thấy, mỏng dày phần tử ES-MITC3+ cho kết giá trị độ võng kháckhác trường hợp mỏng dày trường hợp mỏng dày tâm hội6 đến lời giảiđối giải tích [15] tốt kết dày cho tử phần tử MITC3 [6], ES-MITC3 Hình 6tụcho cho thấy, mỏng dàybởi phần tử ES-MITC3+ cho kết quả Hình thấy, với mỏng phần ES-MITC3+ cho kết [11] ES-DSG3 [9] Đối với mơ-men tâm tấm, Hình cho thấy, phần tử ES-MITC3+ cho giáTấm trị độhình võng tâm tâm tấm hội hộichịu tụ đến lời giải giải tích tích [15] [15] tốt tốt hơn kết kết quả cho cho bởi các giá trị độ võng tụ giải giải 3.3 3.3 Tấm hình thoiso Razzaque tảiđến phân bố thoi tảilời phân bố kết tốt với Razzaque phầnchịu tử khác trường hợp mỏng dày phần tử tử MITC3 MITC3 [6], [6], ES-MITC3 ES-MITC3 [11] [11] và ES-DSG3 ES-DSG3 [9] [9] Đối Đối với với mô-men mô-men tại tâm tâm tấm, tấm, phần Cho hình thoi Razzaque có cạnhcạnh dàikết L,quả dày t sốtỉvới t/L = 0,001 Tấm hình thoi Razzaque có dài L, tốt dày t tỉ vàso số t/L = 0,001 Tấm 3.3 Cho Tấm hình thoi Razzaque chịutử tải ES-MITC3+ phân bố Hình cho thấy, phần tử ES-MITC3+ cho kết tốt so với phần tử Hình 77 cho thấy, phần cho phần tử có cạnh dưới, cạnh tựa đơn vàvà 2và cạnh nghiêng góc b =bdưới, 60 soo so vớivới có cạnh dưới, dày cạnh tự do, 1cógóc = o60 Cho hìnhcạnh thoi Razzaque có đơn cạnh dài L,bên dày bên t tự tỉdo, số t/L = nghiêng 0,001 Tấm cạnh cạnh khác trường hợp tấmtựa mỏng dày khác trường hợp mỏng tựa đơn cạnh bên tự do, nghiêng góc β = 60 so với cạnh Hình 8(a) chịu tải 2 Tấm Hình 8(a) tải trọng phân bố kN/m Đặc trưng cạnhcạnh nhưhình Hình 8(a) TấmTấm chịu tảiphân trọng bố pz =pz1=kN/m Đặc trưng vậtvật 3.3 Tấm thoi chịuchịu tải phân bốphân 3.3 thoi tải bố trọngTấm phânhình bố pz Razzaque =Razzaque kN/m2 chịu Đặc trưng vật liệu làm có mơ-đun đàn hồi E = 1092000 kN/m2 làm cóνmơ-đun = 1092000 kN/m số hệ Poisson số Poisson = 0,3 liệu liệu làm có mơ-đun hồi hồi E = E1092000 kN/m và2 hệ n =n0,3 hệ số Poisson = 0,3.đàn đàn Cho hình thoi Razzaque có cạnh dài L, dày t tỉ số t/L = 0,001 Tấm ◦ Cho hình thoi Razzaque có cạnh dài L, dày t tỉ số t/L = 0,001 Tấm có cạnh cạnh dưới, dưới, cạnh cạnh trên tựa tựa đơn đơn và 22 cạnh cạnh bên bên tự tự do, do, nghiêng nghiêng 11 góc góc bb == 60 60oo so so với với có 2 cạnh dưới như Hình Hình 8(a) 8(a) Tấm Tấm chịu chịu tải tải trọng trọng phân phân bố bố đều ppzz == 11 kN/m kN/m Đặc Đặc trưng trưng vật vật cạnh liệulàm làm tấm có có mơ-đun mơ-đun đàn đàn hồi hồi EE == 1092000 1092000 kN/m kN/m22 và hệ hệ số số Poisson Poisson nn == 0,3 0,3 liệu (a) (a) (a) (b) (b) (b) Hình Tấm hình thoi Razzaque (a) Tựa đơn cạnh tự cạnh, chịu tải phân bố đều, Tấm Razzaque (a) đơn =cạnh vàdo tự 2docạnh, cạnh, phân (b) Tựa chia Tựa lưới N 4và tự HìnhHình Tấm hìnhhình thoithoi Razzaque (a) đơn 2vớicạnh chịuchịu tải tải phân bố bố (b) chia lưới (a) đều,đều, (b) (a) (b) chia lưới đềuđều với với N =N4= (b) 147 Hình 8 Tấm Tấm hình hình thoi thoi Razzaque Razzaque (a) (a) Tựa Tựa đơn đơn 22 cạnh cạnh và tự tự do 22 cạnh, cạnh, chịu chịu tải tải phân phân bố bố Hình đều, (b) (b) chia chia lưới lưới đều với với NN == 44 đều, TạpTạp chí Khoa học học CơngCơng nghệnghệ XâyXây dựngdựng NUCE 20192019 chí Khoa NUCE Thành, C Đ., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Hình Độ võng chuẩn hóa wc tâm Hình 10 Mơ-men chuẩn hóa M c tâm Hình Độ chuẩnbố hóa tâm Hình 10 Mơ-men chuẩnbố hóa tâm Mứng c hình thoi Razzaque chịuvõng tải phân đềuwc tạihình thoi Razzaque chịu tải phân hìnhphần thoi Razzaque chịu Razzaque chịu ứng với lưới tử N = 4, 8, 12,tải16phân bố với cáchình lướithoi phần tử N = 4, 8, tải 12,phân 16 bố ứng ứng với lưới phần tử N = 4, 8, 12, 16 với lưới phần tử N = 4, 8, 12, 16 Tấm chia lưới 2´N´N phần tử tam giác nút Hình 8(b) Trong đó, chia phần tử tam giác núttụđều N = 4, 8, 12 16Tấm sốđược phần tử lưới trên2´N´N cạnh Sự hội củanhư độ Hình võng8(b) wc vàTrong đó, N = 4, 8, 12 16 số phần tử cạnh Sự hội ¯tụ độ võng w Hình Độ võng chuẩn hóa w¯ c tâm hình thoi Hình 10 Mơ-men chuẩn hóa Mc tâm hình thoic mơ-men tâm phân tấmbốchuẩn hóa theo (25) choRazzaque tử ES-MITC3+ c HìnhRazzaque 9.MĐộ võng hóa tâm 10.phần Mơ-men tâm chịu tảichuẩn ứng với lưới phần Hình chịu tải phânchuẩn bố hóa ứng với cáctại lưới phầntấm wctấm M c M c tạivàtâm Hình 9.mơ-men Độ võngMchuẩn hóa tâmhóa tấmtheoHình hóa wc tại tâm chuẩn (25) 10 choMô-men phầnchuẩn tử ES-MITC3+ cáctấm N c= 4, 8, 12, 16 N = 4, 8, 12,hiện 16 phần tử MITC3 [6], tử ES-MITC3 [11] N tăng dần từ đến 16tử thể phần tử MITC3 [6], ES-MITC3 Nthoi tăng dầnRazzaque từ đến hìnhvàthoi Razzaque chịuvà tảiHình phân bố hìnhhình Razzaque chịu16 tảiđược phân bốhiện đềutrong ứng thoi Razzaque tải phân bố[11] thoi tải thể phân Hình hình Hình 10 Hình 9chịu 10 cho thấy trường hợp chịu hình bố ứng Hình 9chia Hình 10 912, vàtam Hình cho trường Tấm lưới phần tử8, giác 3tam nút đềuthấy Hình 8(b) Trong đó, N 4,12, 8,tấm 12 với lưới phần tử2×N×N Ntử=Hình 16 với lướilưới phần tửhợp N =N 4, 16vàhình ứng với lưới phần N4,tử =8,4, 12, 1610 với phần ==8,khi 4, 8, 12, 16 thoiứng phải chia lưới phần giác vuông cân ởtử ví dụ 3.2, thoi phải chiamỗi lưới tửtụkhơng giác vngM¯ cân víchuẩn dụ 3.2, 16 số phần tử cạnh củacác tấm.phần Sự hội độphải võngtam w¯ c mô-men tâm c độ võnghóa vàtheo mơ-men chuẩn hóatửcho phầnvàtửcácES-MITC3+ hội[6],tụES-MITC3 đến lời giải (25) cho phần ES-MITC3+ tửtử [11]8(b) NTrong tăng võng vàbởi mơ-men chuẩn hóaphần cho phần ES-MITC3+ hội Hình tụ8(b) đến lời giải Tấmđộ chia lưới 2´N´N phần tử tam giácgiác 3MITC3 nút đềuđều nhưnhư Hình Trong đó, đó, Tấm chia lưới 2´N´N tử phần tam nút phươngdần pháp hữusai hạn [16] với sai số kết phần tử MITC3 từ phương 4sai đếnphân 16pháp thể Hình Hình 10 Hình Hình 10 cho thấy trường hữu hạn [16] với saicủa số íttấm Sự kết hội tụ củacủa cácđộ phần tử MITC3 N =hợp 8,4, 12 số phần tửtửlưới mỗicác cạnh võng w N4,=này 8,[11] 12 16biệt, làphân số phần tử cạnh Sự hội tụ độ võng tấm16 hình thoi phải chia phần tửcải tamkể giác vng cân cvívà wc [6], ES-MITC3 Đặc phần ES-MITC3+ thiện đáng độ xác [6], ES-MITC3 [11] Đặc biệt, phần tử ES-MITC3+ cải thiện đáng kể độ xác dụ 3.2, độ võng mơ-men chuẩn hóa cho phần tử ES-MITC3+ hội tụ đến lời giải phương mô-men tâm so với phần tửíthóa MITC3 mơ-men tâm chuẩn theo chophần bởitửbởi phần tử[6],ES-MITC3+ vàĐặc M mô-men tâm hóa theo (25) cho phần tửES-MITC3 ES-MITC3+ Mtại tâm so với phần tử(25) MITC3 pháp sai phân hữu hạn [16] với saichuẩn số kết MITC3 [11] cmô-men c tử ES-MITC3+ cải thiện đángbố kể độ xác mơ-men tâm so với phần tử 3.4 phần Tấmbiệt, hình biên ngàm chịu phân tửphần MITC3 [6], ES-MITC3 [11] N phân tăng dầnđều từ 4từđến 16 thể thể hiệnhiện 3.4 Tấm hình tròn biêntải ngàm chịu tải bố phần tửtròn MITC3 [6], ES-MITC3 [11] N tăng dần đến 16 MITC3 Hình 9tấm và9tròn Hình 10 Hình 5và9kính Hình cho thấy trường hợphợp khitheo hình Cho bán kính R= m, t 5với =tthấy 0,02 0,2 Tấm ngàm Hình vàCho Hình 10 Hình vàdày Hình 10 cho trường hình tròn bán R =10 m,t/R dày với t/R = 0,02 0,2 Tấm ngàm theo 3.4 Tấm hình tròn biên ngàm chịu tải phân bố 2 chu vi chịu tảivi trọng phân bố pphần khơng kN/m Hình 11(a) Vật liệu chu chịu tải trọng phân bố đềukhông pz phải =như phải kN/m nhưgiác Hình 11(a) Vật liệu z =tử thoivà phải chia lưới cácđều phần tamtam giác vuông câncủa nhưtấm vícó 3.2, thoi phải chia lưới tử vng cân ởdụ vítấm dụcó3.2, Cho tròn bán kính R = m, dày t với t/R = 0,02 0,2 Tấm ngàm theo chu vi chịu tải 2 EkN/m 1092000 kN/m , n2 = 0,3 E = 1092000 , n =p 0,3 độ trọng võng và= mơ-men hóa cho phần tử tụ đến lời2 , νgiải bằngbằng phân bố kN/m Hình 11(a) Vật liệuES-MITC3+ củaES-MITC3+ có E = hội 1092000 kN/m độ võng mơ-men chuẩn hóa cho phần tử hội tụ đến lời= 0,3 giải z =chuẩn phương pháp sai sai phân hữuhữu hạnhạn [16][16] với với sai sai số ítsốhơn kết kết quảquả củacủa các phầnphần tử MITC3 phương pháp phân tử MITC3 [6],[6], ES-MITC3 [11] ĐặcĐặc biệt,biệt, phần tử ES-MITC3+ cải thiện đángđáng kể độ xác xác ES-MITC3 [11] phần tử ES-MITC3+ cải thiện kể độ củacủa mô-men tâm tấmtấm so với phần tử MITC3 mô-men tâm so với phần tử MITC3 3.4.3.4 TấmTấm hìnhhình tròntròn biênbiên ngàm chịuchịu tải phân bố ngàm tải phân bố ChoCho tấmtấm tròntròn bánbán kínhkính R =R5=m,5 m, dàydày t vớit với t/R t/R = 0,02 hoặchoặc 0,2.0,2 TấmTấm ngàm theotheo = 0,02 ngàm 2 chuchu vi tải trọng phân bố pz =p1z =kN/m nhưnhư Hình 11(a) VậtVật liệuliệu củacủa tấmtấm có có vi chịu chịu tải trọng phân bố kN/m Hình 11(a) 2 E =E1092000 kN/m , n =, n0,3 = 1092000 kN/m = 0,3 (a) (b) Hình 11 Tấm hình tròn (a) biên ngàm, chịu tải phân bố đều, (b) chia lưới 24 phần tử 12 đối xứng với điều kiện biên ngàm 12 148 Hình 11 Tấm hình tròn (a) biên ngàm, chịu tải phân bố đều, (b) chia lưới 24 phần tử vớivới điều kiện biên ngàm điều kiện biên ngàmvàvà vàđối đốixứng xứng với điều kiện biên ngàm đối xứng với điều kiện biên ngàm đối xứng SửSử dụng tính chất đốiđối xứng, dụng tính chất xứng, 1/4tấm tấmtròn trònđược đượcmơ mơphỏng phỏngvới vớicác cáclưới lướitam tamgiác giác Sử dụng tính chất đối xứng,1/4 1/4 tròn mơ với lưới tam giác Sử dụng tính chất đối xứng, 1/4 tròn mơ với lưới tam giác cócó 6, 6, 24,24, 5454 9696 phần tửtử Hình 11(b) Kết c phần Hình 11(b) Kếtquả quảtính tínhtốn tốnđộđộ độvõng võngww w vàmơ-men mơ-men có 24, 54 96 phần tử Hình 11(b) Kết tính tốn võng mơ-men cc Thành, C Đ., Hình cs / Tạp11(b) chí KhoaKết học Cơng nghệ Xây dựngđộ võng có 6,6,24, 54 96 phần tử tính tốn wc mô-men McM tâm phần tửtử ES-MITC3+ tâm phần ES-MITC3+ ứngvới vớicác cácloại loạilưới lướikhác khácnhau nhauđược đượcbiểu biểu c Mtại tâm phần tử ES-MITC3+ứng ứng với loại lưới khác biểu M tâm với loại lưới biểu cc Sử dụng tính chất đốiphần xứng,tử 1/4ES-MITC3+ tròn ứng mơ với lưới tamkhác giác có 6, 24, 54 diễn Hình 1212 vàvà Hình 13.13 TừTừ biểu đồđồ Hình 1212 1313 sososánh với diễn Hình Hình Từ biểu đồ Hình 12vàvà vàHình Hình 13cho chothấy, thấy, sánhtử với diễn Hình 12 Hình 13 biểu Hình Hình cho thấy, sánh với 96 phần tử Hình 11(b) Kết tính độđồ võng wc 12 mơ-men M13 tâmthấy, phần diễn Hình 12 Hình 13 Từ tốn biểu Hình Hình cho sososánh với c lờiES-MITC3+ giải giải tích [1], cảcả trường hợp mỏng = ==0,02) dày (t/R =biểu 0,2) từtừ lời giải giải tích [1], trường hợp mỏng (t/R 0,02) vàtấm dày (t/R 0,2) từ ứng với loại khác biểu (t/R diễn Hìnhvà Hình 13 Từ= đồtừ lời giải giải tích [1], trường hợp mỏng (t/R 0,02) dày (t/R ==0,2) 0,2) lời giải giải tích [1], 22lưới trường hợp mỏng (t/R = 0,02) và12 dày (t/R Hình 12 vàđến Hình 13mịn cho thấy, so tử sánh với lời giải giảiđều tích [1], cảra2rakết trường hợpgiá (t/R = 0,02) lưới thô đến lưới phần trịmỏng độđộ võng ww lưới thô lưới mịn phần tửES-MITC3+ ES-MITC3+ đềucho cho kếtquả giátrị trịđộ độvõng võng c ccvà lưới thô đến lưới mịn phần ES-MITC3+ cho kết giá trị võng lưới thô mịn tửtử ES-MITC3+ cho rarakết giá ww vàvà cđộ dàyđến (t/Rlưới = 0,2) từ phần lưới thô đến lưới mịn phần tử ES-MITC3+ cho kết giá trị mô-men McM tâm tốt Với lưới mịn (96 tử), độđộ võng vàvà mô-men mô-men tâm tốt Với lưới mịn (96phần phầntử), tử), độvõng võng vàmô-men mô-men c mô-men M tâm tốt Với lưới mịn (96 phần tử), võng mô-men võng w¯ c vàM mô-men Mctấm tâm rấtVới tốt lưới Với lưới mịn nhất(96 (96 phần phần độđộ võng mô-men cho mô-men tâm tốt mịn tử), c ctại cho phần tử ES-MITC3+ tốt kết phần tử tam giác nút ES-DSG3 cho phần tử ES-MITC3+ tốt kết phần tử tam giác nút ES-DSG3 tửphần ES-MITC3+ tốt kếttốt củakết phần tử tam giác nút ES-DSG3 [9], MITC3 [6] chophần bởiphần ES-MITC3+ tốt kếtquả quảcủa phần tamgiác giác nútES-DSG3 ES-DSG3 cho tửtửES-MITC3+ phần tửtử tam 3nút tương đương với kết giải phần tử ES-MITC3 [11] [9], MITC3 [6] tương đương với kết giảibằng bằngphần phầntử tửES-MITC3 ES-MITC3[11] [11] [9], MITC3 [6] vàvà tương đương với kết giải [11] [9], MITC3 [6] tương đương với kết giải phần ES-MITC3 [11] [9], MITC3 [6] tương đương với kết giải phần tửtử ES-MITC3 (a) t/R = 0,02 (b) t/R = 0,2 (a) t/R =0,02 0,02 (a)(a) t/R ==0,02 t/R (b)t/R t/R===0,2 0,2 (b) t/R 0,2 (b) Hình 12 Độ võng wc tâm tròn ngàm cạnh chịu tải phân bố Hình 12 Độ võng tâm tròn ngàm cạnh chịu phân bốđều đềuứng ứngvới với ctại phân bố ứng với Hình 12 Độ võng tâm tròn ngàm cạnh chịu tảitải ứng với cáctấm lưới phần tử có số phần tử 6, 24, 54, 96 bố Hình 12 Độ võng ww tâm tròn ngàm 444cạnh chịu tải phân ứng với ctại cw lưới phần 54,9696 96 có phầntử bằng6, 24,54, 54, lưới phần có sốsố phần tửtửbằng 6,6,24, 24, lưới phần tửtửtử có số phần (a) t/R = 0,02 (b) t/R = 0,2 t/R (b) t/R ===0,2 (b) t/R 0,2 (a) t/R =0,02 0,02 (b)t/R t/R= 0,2 (a)(a) t/R ==0,02 (b) 0,2 Hình 13 Mơ-men Mc tâm tròn ngàm cạnh chịu tải phân bố Hình 13 Mơ-men tròn 44cạnh chịu tảitải phân c ctại tròn ngàm cạnh chịu phân bố ứng với ứng vớitâm lưới phần tửngàm có số phần tử 6, 24, 54, 96 bố Hình 13 Mơ-men M tâm tải phân bốđều đềuứng ứngvới với Hình 13 Mơ-men MM c tâm tròn ngàm cạnh chịu tải phân bố ứng với lưới phần tử có số phần tửtửbằng 6,6,24, 54, 9696 phầntử bằng6, 24,54, 54, lưới phần 54,96 96 lưới phần tửtử cócó sốsốphần 24, Kết luận Kết luận Kết luận 4 Kết luận Nghiên cứu trình bày cơng thức phần tử ES-MITC3+ có biến dạng uốn làm trơn cạnh (ES) xấp xỉ biến dạng cắt kỹ thuật khử khóa cắt MITC3+ Phần tử ES-MITC3+ có sử 13 dụng nút để tăng bậc xấp xỉ góc xoay Nhờ kỹ thuật làm trơn, tích phân công thức ma 13 13 trận độ cứng uốn phần tử đề xuất chuyển từ tích phân mặt phần tử sang tích phân 149 Thành, C Đ., cs / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng đường biên miền làm trơn nên có khả tăng độ xác tính tốn phần tử khơng Phần tử ES-MITC3+ có khả biểu diễn xác trường chuyển vị, biến dạng, ứng suất nội lực toán patch test Phần tử đề xuất ES-MITC3+ sử dụng để phân tích số tốn hình vng, hình thoi hình tròn chịu tải trọng phân bố Tương tự phần tử tam giác nút có làm trơn loại ES-DSG3, ES-MITC3, kết cho phần tử ES-MITC3+ hội tụ đến lời giải giải tích Do có sử dụng nút xấp xỉ góc xoay nên ví dụ khảo sát phần tử ES-MITC3+ cho kết tính tốn mơ-men tốt phần tử MITC3, ES-MITC3, ES-DSG3 Lời cảm ơn Nghiên cứu tài trợ Quỹ Phát triển Khoa học Công nghệ Quốc gia (NAFOSTED) đề tài mã số 107.02-2017.304 Tài liệu tham khảo [1] Timoshenko, S P., Woinowsky-Krieger, S (1959) Theory of plates and shells McGraw-Hill [2] Hải, L T., Tú, T M., Huỳnh, L X (2018) Phân tích dao động riêng vật liệu rỗng theo lỳ thuyết biến dạng cắt bậc Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng (KHCNXD)-ĐHXD, 12(7):9–19 [3] Tú, T M., Quốc, T H., Thẩm, V V (2018) Phân tích tĩnh composite có lớp áp điện theo lỳ thuyết biến dạng cắt bậc cao Reddy phương pháp giải tích Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng (KHCNXD)-ĐHXD, 12(4):40–50 [4] Tessler, A., Hughes, T J R (1985) A three-node Mindlin plate element with improved transverse shear Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 50(1):71–101 [5] Bletzinger, K.-U., Bischoff, M., Ramm, E (2000) A unified approach for shear-locking-free triangular and rectangular shell finite elements Computers & Structures, 75(3):321–334 [6] Lee, P.-S., Bathe, K.-J (2004) Development of MITC isotropic triangular shell finite elements Computers & Structures, 82(11-12):945–962 [7] Lee, Y., Lee, P.-S., Bathe, K.-J (2014) The MITC3+ shell element and its performance Computers & Structures, 138:12–23 [8] Liu, G.-R., Nguyen-Thoi, T (2010) Smoothed finite element methods CRC Press [9] Nguyen-Xuan, H., Liu, G R., Thai-Hoang, C., Nguyen-Thoi, T (2010) An edge-based smoothed finite element method (ES-FEM) with stabilized discrete shear gap technique for analysis of Reissner–Mindlin plates Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 199(9-12):471–489 [10] Nguyen-Xuan, H., Rabczuk, T., Nguyen-Thanh, N., Nguyen-Thoi, T., Bordas, S (2010) A node-based smoothed finite element method with stabilized discrete shear gap technique for analysis of Reissner– Mindlin plates Computational Mechanics, 46(5):679–701 [11] Chau-Dinh, T., Nguyen-Duy, Q., Nguyen-Xuan, H (2017) Improvement on MITC3 plate finite element using edge-based strain smoothing enhancement for plate analysis Acta Mechanica, 228(6):2141–2163 [12] Chau Dinh, T., Nguyen Van, D (2016) Phân tích tĩnh dao động riêng composite nhiều lớp phần tử MITC3 có biến dạng trung bình miền nút phần tử (NS-MITC3) Tuyển tập cơng trình Hội nghị khoa học tồn quốc Vật liệu Kết cấu Composite: Cơ học, Công nghệ Ứng dụng, Nha Trang, 613–620 [13] Bathe, K J (1996) Finite element procedures Prentice Hall International, Inc [14] Lyly, M., Stenberg, R., Vihinen, T (1993) A stable bilinear element for the Reissner-Mindlin plate model Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 110(3-4):343–357 [15] Taylor, R L., Auricchio, F (1993) Linked interpolation for Reissner-Mindlin plate elements: Part II—A simple triangle International Journal for Numerical Methods in Engineering, 36(18):3057–3066 [16] Razzaque, A (1973) Program for triangular bending elements with derivative smoothing International Journal for Numerical Methods in Engineering, 6(3):333–343 150 ... phần phần độđộ võng mô-men cho mô-men tâm tốt mịn tử) , c ctại cho phần tử ES -MITC3+ tốt kết phần tử tam giác nút ES-DSG3 cho phần tử ES -MITC3+ tốt kết phần tử tam giác nút ES-DSG3 t phần ES -MITC3+. .. cắt MITC3+ [7] Khác với phần tử ES-DSG3 ES-MITC3, biến dạng uốn phần tử đề xuất không số miền phần tử nên tích phân miền làm trơn biến dạng uốn chuyển thành tích phân đường biên miền làm trơn. .. biến dạng phần tử có chung cạnh chung nút, hay gọi phương pháp PTHH trơn, đề xuất [8] Kỹ thuật làm trơn cạnh (ES) làm trơn nút (NS) áp dụng cho phần tử DSG3 MITC3 để phân tích Reissner- Mindlin