Đang tải... (xem toàn văn)
Trong nghiên cứu này, phương pháp làm trơn biến dạng kết hợp trên cạnh (ES) và trên nút (NS) phần tử được phát triển cho phần tử vỏ phẳng tam giác 3 nút MITC3. Phần tử vỏ phẳng MITC3 có biến dạng cắt ngoài mặt phẳng được xấp xỉ lại nên không xảy ra hiện tượng khóa cắt khi phân tích các kết cấu vỏ mỏng.
Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng, NUCE 2021 15 (2V): 34–48 PHÂN TÍCH TĨNH KẾT CẤU VỎ BẰNG PHẦN TỬ VỎ PHẲNG CÓ BIẾN DẠNG TRƠN KẾT HỢP ES+NS-MITC3 Đỗ Anh Vũa , Châu Đình Thànhb,∗ a Phịng Quản lý Kiến trúc quy hoạch Hạ tầng kỹ thuật, Sở Xây Dựng Đồng Tháp, số 60 đường 30/4, Phường 1, thành phố Cao Lãnh, tỉnh Đồng Tháp, Việt Nam b Khoa Xây dựng, Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP Hồ Chí Minh, số 01 Võ Văn Ngân, Phường Linh Chiểu, TP Thủ Đức, TP Hồ Chí Minh, Việt Nam Nhận ngày 22/02/2021, Sửa xong 05/04/2021, Chấp nhận đăng 15/04/2021 Tóm tắt Trong nghiên cứu này, phương pháp làm trơn biến dạng kết hợp cạnh (ES) nút (NS) phần tử phát triển cho phần tử vỏ phẳng tam giác nút MITC3 Phần tử vỏ phẳng MITC3 có biến dạng cắt ngồi mặt phẳng xấp xỉ lại nên không xảy tượng khóa cắt phân tích kết cấu vỏ mỏng Các biến dạng số miền phần tử vỏ phẳng MITC3 làm trơn cách trung bình miền phần tử chung cạnh chung nút Phần tử vỏ phẳng đề xuất ES+NS-MITC3 điều chỉnh đóng góp phương pháp làm trơn biến dạng cạnh có khuynh hướng làm tăng độ cứng phương pháp làm trơn biến dạng nút có tính chất làm giảm độ cứng thông qua hệ số tỉ lệ β ∈ [0, 1] Hiệu phần tử vỏ phẳng ES+NS-MITC3 đánh giá thơng qua phân tích tĩnh số kết cấu vỏ đồng điển hình Kết so sánh độ võng kết cấu vỏ điển hình tính tốn phần tử ES+NS-MITC3 số phần tử vỏ phẳng tam giác nút tương tự cho thấy độ xác hội tụ phần tử đề xuất cải thiện Từ khố: phần tử vỏ phẳng; khóa cắt; kỹ thuật MITC3; phương pháp làm trơn biến dạng; phương pháp làm trơn biến dạng kết hợp STATIC ANALYSES OF SHELL STRUCTURES USING FLAT SHELL FINITE ELEMENTS HAVING COMBINED SMOOTHED STRAINS ES+NS-MITC3 Abstract In this study, the combination of the edge-based smoothed strain (ES) and the node-based smoothed strain (NS) methods is developed for the 3-node triangular flat shell finite element MITC3 Using the MITC3 technique to interpolate the transverse shear strains independently, the flat shell finite element MITC3 overcomes the shear locking phenomenon when used to analyze thin shell structures The constant strains on each flat shell finite element MITC3 are smoothed by averaging on domains of elements having common edges and nodes The proposed flat shell finite element ES+NS-MITC3 modifies the contribution of the edge-based smoothed strain approach, which usually behaves over stiffness, and the node-based smoothed strain approach normally causing overly soft behaviors by using the scale factor β ∈ [0, 1] The effectiveness of the ES+NS-MITC3 element is evaluated by static analyses of several benchmark homogenous shell structures Comparison between numerical deflections computed by the ES+NS-MITC3 element and those provided by other similar 3-node triangular flat shell finite elements shows that the accuracy and convergence of the proposed element are improved Keywords: flat shell finite element; shear locking; MITC3 technique; smoothed strain methods; combined smoothed strain methods https://doi.org/10.31814/stce.nuce2021-15(2V)-04 © 2021 Trường Đại học Xây dựng (NUCE) ∗ Tác giả đại diện Địa e-mail: chdthanh@hcmute.edu.vn (Thành, C Đ.) 34 Vũ, Đ A., Thành, C Đ / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng Giới thiệu Việc phân tích kết cấu vỏ có tầm quan trọng ngành khoa học kỹ thuật như: xây dựng, khí, hàng khơng, hàng hải, tơ, Kết cấu vỏ mỏng, nhẹ có ưu điểm chịu tải trọng tốt, khả vượt nhịp lớn có tính thẩm mỹ cao Lý thuyết vỏ đồng chia làm loại: lý thuyết vỏ cổ điển Kirchhoff –Love (CPT) lý thuyết vỏ biến dạng cắt bậc Reissner-Mindlin (FSDT) [1] Trong đó, lý thuyết vỏ cổ điển bỏ qua biến dạng cắt mặt phẳng áp dụng cho loại vỏ mỏng Đối với vỏ dày, biến dạng cắt mặt phẳng khác không nên lý thuyết vỏ biến dạng cắt bậc sử dụng Do kết cấu vỏ thường có hình dạng, điều kiện biên chịu tải trọng phức tạp nên phương pháp số, phổ biến phương pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH), áp dụng Khi phân tích PP PTHH [2] kết cấu vỏ thường rời rạc loại phần tử: phần tử vỏ khối chiều, phần tử vỏ chiều suy biến phần tử vỏ phẳng Trong loại phần tử phần tử vỏ phẳng, kết hợp phần tử ứng xử theo lý thuyết biến dạng cắt bậc phần tử ứng suất phẳng, thường sử dụng rộng rãi dễ thiết lập cơng thức PTHH dựa vào xấp xỉ chuyển vị tuyến tính dạng C Tuy nhiên, phân tích kết cấu vỏ mỏng, phần tử vỏ phẳng dạng C túy khơng loại bỏ biến dạng cắt ngồi mặt phẳng dẫn đến tượng khóa cắt làm cho kết tính tốn khơng xác Do đó, để phân tích kết cấu vỏ dày mỏng cơng thức PTHH vỏ phẳng dạng C phải khử tượng khóa cắt kỹ thuật xấp xỉ lại biến dạng cắt mặt phẳng kỹ thuật dạng Mindlin (Mindlin type – MIN) [3], chênh lệch biến dạng cắt rời rạc (Discrete Shear Gap – DSG) [4], thành phần ten-xơ nội suy hỗn hợp (Mixed Interpolation of Tensorial Components – MITC) [5] Đối với phần tử vỏ phẳng tam giác nút, với ưu điểm dễ dàng việc chia lưới PTHH kết cấu vỏ có hình dạng phức tạp, kỹ thuật khử khóa cắt MIN3 [3] DSG3 [4] có ma trận độ cứng phụ thuộc vào thứ tự đánh số nút phần tử Trong đó, Lee Bathe [6] phát triển kỹ thuật khử khóa cắt MITC3 cho phần tử vỏ chiều suy biến dạng tam giác nút có đặc điểm trội ma trận độ cứng độc lập với thứ tự đánh số nút phần tử Cơng thức biến dạng cắt ngồi mặt phẳng theo kỹ thuật MITC3 Chau-Dinh cs [7] thiết lập dạng tường minh phụ thuộc vào tọa độ nút phần tử Trong nổ lực cải thiện khả tính tốn PP PTHH thơng thường, Liu Nguyen – Thoi [8] phát triển PP PTHH trơn biến dạng cách trung bình biến dạng bên phần tử (cellbased smoothing – CS) phần tử chung cạnh (edge-based smoothing – ES) phần tử chung nút (node-based smoothing – NS) PP PTHH trơn phát triển cho phần tử vỏ phẳng tam giác nút cách kết hợp phương pháp làm trơn biến dạng phần tử (CS) cạnh (ES) nút (NS) với kỹ thuật khử khóa cắt DSG3 MITC3 Kết quả, phần tử vỏ phẳng tam giác nút CS-DSG3, ES-DSG3 NS-DSG3 xây dựng để phân tích tĩnh kết cấu vỏ đồng nghiên cứu [9–11] Tương tự, phần tử vỏ phẳng ES-MITC3 NS-MITC3 đề xuất để phân tích tĩnh kết cấu vỏ đồng [12, 13] Pham cs [14, 15] nghiên cứu ứng xử tĩnh kết cấu vỏ làm vật liệu composite nhiều lớp vật liệu phân lớp chức phần tử ES-MITC3 Các kết phân tích ứng xử kết cấu PP PTHH trơn cho thấy so với PP PTHH thông thường, phương pháp làm trơn biến dạng cạnh thường làm tăng độ cứng phần tử Ngược lại, phương pháp làm trơn biến dạng nút lại có khuynh hướng mềm hóa độ cứng phần tử Vì vậy, với mong muốn cải thiện độ hội tụ cách tận dụng đặc điểm phương pháp làm trơn biến dạng cạnh nút, phương pháp làm trơn biến dạng kết hợp miền làm trơn cạnh nút hay gọi PP β-PTHH (β-FEM) nghiên cứu Nhờ hệ số β ∈ [0, 1] tỉ lệ tham gia vào độ cứng phần tử phương pháp làm trơn biến dạng cạnh nút hiệu chỉnh PP β-PTHH phát triển 35 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 Vũ, Đ A., Thành, C Đ / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng cho phần tử sử dụng kỹ thuật khử khóa cắt DSG3 [16] MITC3 [17] Nguyen-Hoang cs áp dụng phương pháp làm trơn biến dạng kết hợp cho phần tử vỏ phẳng DGS3 để phân tích tĩnh dao động tự kết cấu vỏ đồng theo lý thuyết biến dạng cắt bậc [18] Kết nghiên cứu cho thấy phần tử sử dụng phương pháp làm trơn biến dạng kết hợp có kết nằm kết phần tử sử dụng phương pháp làm trơn biến dạng cạnh nút Dựa kết nghiên cứu phần tử tấm, vỏ có biến dạng làm trơn, từ phần tử giác nút [17] báo phát triển công thức PTHH vỏ phẳng tam giác Tạptấm chhítam Khoa học C ES+NS-MITC3 Công nghệ Xây X dựng, NU UCE 2018 p-ISSN N 2615-9058; ; e-ISSN 273 34-9489 nút ES+NS-MITC3 để phân tích tĩnh số kết cấu vỏ đồng điển hình Phần tử đề xuất sử dụng phương pháp làm trơn biến dạng cạnh kết hợp làm trơn biến dạng nút kỹ thuật khử khóa cắt MITC3 So với phần tử ES+NS-MITC3 [17], biến dạng phần tử đề xuất phải kết ả phân tíchh chuyển vị v tĩnh mộtt số kết cấấu vỏ đồng g điểnn hình Cuố ối cùng, chiếu hệ trục tọa độ thiết lập cho phần tử chung cạnh chung nút trước Tạp chhí ược Khoa học Cơng C kết Xây X ph dựng, NU UCE 2018 p-ISSN N 2615-9058;; e-ISSN 273 34-9489 mộtlàm số kết k nghệ hần trơnluận cácđư phần tổng tử kết cấu vỏ không đồng phẳng Trong phần tiếp theo, bước thiết lập công thức PTHH vỏ phẳng ES+NS-MITC3 trình bày chi tiết Ở phần 3, độ hội tụ Cơng g thức PT THH vỏđược ph hẳng ES+N NS-MITC3 phân tích chuyển vị tĩnh số kết cấu vỏ xác phần tử đề xuất đánhvị thơng kết 111của kết ả phân tíchh chuyển vgiá tĩnh mộttqua số kết cấấu vỏ đồng g điểnn hình Cuố ối cùng, đồng điển hình Cuối cùng, số kết luận tổng kết phần 112 sốPT kết luậnvỏ đư ược tổng MITC kết k phhần 4.hệ 2.1 Cô ông thức THH ph hẳng C3 ệ tọa độ cục Công 113 thức PT THH hẳng ES+N Xét kết cấugPTHH vỏ đồng n vỏ ph rrời NS-MITC3 rạc bằn ng 3các phần n tử tam ggiác nút Theo lý 2.X Công thức vỏ phẳng ES+NS-MITC3 114biến2.1 Côôngcắt thức PT THH vỏ chuyển ph hẳng MITC hệ hệệ tọa c bộ oxxyz với mặ thuyết bậc nh hất, n vịC3trong tọađộđộcụcục ặt phẳng dạng 2.1 Công thức PTHH vỏ phẳng MITC3 hệ tọa độ cục t trung phầnnhất đđượcrrời xác oxy trùn ịnh 115ng với mặt X Xét kết cấubình vỏhđồng n tử rạcđbằn ng[1]: phần n tử tam ggiác nút Theo lý Xét kết cấu vỏ đồng rời rạc phần tử tam giác nút Theo lý thuyết biến dạng 116 thuyết biến dạng cắt bậc nh hất, chuyểnn vị hệ tọa độ cục oxxyz với mặặt phẳng cắtu bậc tọađộ phần unhất, chuyển ; v vịv 0trong z xhệ ; w w0cục 0xyz với mặt phẳng 0xy trùng với mặt trung bình (1) z yng 117 oxy với mặtt trung bình h phần tử đđược xác định [1]: trùn tử xác định [1]: =zux0; −wnzθ v = v0 + zθ x ; phươ w ơng = w0 x, y, z ; u0, v0, w0 (1) (1) zlượt v 0uchuyển yvị w; thẳng trong118 đđó, u , v ,u w u 0lần theo y ; v u, v, w lầnu ,lượt tr chuyển vịlàthẳng x, y, phươ z;làu0các , v0 , x, w0y,làzxo vị thẳng mặt chuyển n vịđótrong thẳng ung bình vvà theo nx,vịphương lầần lượt góc trung đđó,của chuyển ơng ;oay u0,chuyển vcủa làặt 119 theo v, w ythẳng 0, w0m mặt trung bình θ x , θy góc xoay mặt trung bình quanh trục x y với chiều dương mặt trdương chuyển ung bình x, như lượt là1 120 bìnhqui quuanh trụcnxvịvàthẳng y vớicủachiều g quivvàước ny lầầnHình 1các góc xooay mặt trung ước Hình 121 bình quuanh trục x y với chiều dươngg qui ước n Hình 1 Hình 11 Phần tử vỏ v phẳng tam giác nnút Hình Tọa độ cácc điểm buộ ộc Tọa độ điểm buộc hệ tọa độ tự Hình 1.thành Phầnp tử vỏ chuyể phẳngểntam giác 3chiều cácng qui ước theo c nút3 dươn đ tự độ nhiên n crstđiểm theo kỹ kbuộ thuật hệ tọa Tọa Hình 11 Phần tửphần v phẳng vỏ tvịam giác nnút Hình độ ộc Hình nhiên rst theo kỹ thuật khử khóa cắt MITC3 [6] thành phần chuyển vị theo chiều dương qui ước trong h hệ tọa độ cụ ục oxyz z kh khóa cắt t MITC3 [ 6] thành pphần chuyể c 0xyz dươnng qui ước hệ tọa độ đ tự nhiênn rst theo kỹ k thuật hệển tọavị độtheo cục bộchiều trongTừừhệ h chuyển tọa độvịcụ ục oxyz khóa cắt t MITC3 biến dạng công thứcz (1), biến dạng g kh mặ ặt phẳng d [6]cắt 122 vị ởphẳng cơng thức (1), hbiến vàg:biến dạng cắt ngồi mặt phẳng ε s ệ tọadạng độ cụ 123Từ chuyển ngồi m mặt ục mặt phầnphẳng tử có εdạng ε s Từ chuyển vị công thức (1), biến dạng g mặặt phẳng biến dạng d cắt hệ tọa độ cục phầnTtử có dạng: T (2) u , x độ ε m tửz εcó ngồi124 m mặt phẳng dạng g: ε εs x y xxy hệtọa v, y cụ u ,ục y v , x phần b T T ε = ε x εyT γ xy = u,x v,y u,y + v,x =T εm + zεb (2) T T với 125 (3) ε u v u + v ε ; m 0, x 0, y , y 0, x b y , x x , y y , y x , x (2) ε x y xxy u , x v, y u , y v, x ε m z ε b 36 T T 126 (4) ε T u w v w T với ε m u 0, x v0, sy u0 , yxz+ vyz0,x ; ε, z b ,x , z y , x ,y x , y y , y x , x (3) 127 Trrong bááo này, dấu u phẩy dướới “,” dùng cho ký hiệu đạạo hàm T T (4) ε u w v w Vũ, Đ A., Thành, C Đ / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng với εm = u0,x v0,y u0,y + v0,x T ε s = γ xz γyz T εb = −θy,x θ x,y − θy,y + θ x,x ; = u,z + w,x v,z + w,y T (3) T (4) Trong báo này, dấu phẩy ı, dùng cho ký hiệu đạo hàm Các thành phần chuyển vị cục u0 , v0 , w0 , θ x , θy mặt trung bình phần tử xấp xỉ sau [19]: u0 = (5) NI uI I=1 T T đó, u0 = u0 v0 w0 θ x θy ; uI = u0I v0I w0I θ xI θyI chuyển vị cục nút I có chiều dương qui ước Hình 1; NI hàm dạng tuyến tính dạng C xác định hệ tọa độ tự nhiên rst: N1 = − r − s; N2 = r; N3 = s (6) Từ xấp xỉ chuyển vị cục mặt trung bình cơng thức (5), biến dạng màng εm , biến dạng uốn εb biến dạng cắt mặt phẳng ε s công thức (3) (4) xác định: εm = εb = BmI uI ; I=1 (7) BbI uI I=1 εs = (8) B sI uI I=1 với BmI , BbI , B sI ma trận quan hệ biến dạng chuyển vị nút phần tử có dạng 0 0 0 0 −NI,x NI,x BmI = NI,y 0 ; BbI = 0 NI,y 0 NI,x −NI,y NI,y NI,x 0 B sI = (9) 0 NI,x −NI 0 NI,y NI (10) Gọi (x1 , y1 ) , (x2 , y2 ) (x3 , y3 ) tọa độ nút 1, 2, phần tử hệ tọa độ cục 0xyz Hình định nghĩa a = (x2 − x1 ) , b = (y2 − y1 ) , c = (y3 − y1 ) , d = (x3 − x1 ) , Ae diện tích phần tử Đạo hàm hàm dạng NI theo biến x, y biểu diễn dạng tường minh phụ thuộc tọa độ nút phần tử sau: N1,x = b−c ; 2Ae N1,y = d−a ; 2Ae N2,x = c ; 2Ae N2,y = −d ; 2Ae N3,x = −b ; 2Ae N3,y = a 2Ae (11) Biến dạng cắt mặt phẳng ε s tính trực tiếp từ xấp xỉ chuyển vị công thức (8) không tiến phân tích kết cấu vỏ có chiều dày mỏng dần Kết phần tử vỏ phẳng tam giác nút bị tượng khóa cắt sử dụng để phân tích kết cấu vỏ mỏng Để khắc phục tượng khóa cắt Lee Bathe [6] phát triển kỹ thuật khử “khóa cắt” MITC3 cách xấp xỉ lại biến dạng cắt mặt phẳng hàm thông qua điểm buộc hệ tọa độ tự nhiên sau: ε˜ rt = ε(1) rt + cs; ε˜ st = ε(2) st − cr (1) (3) (3) với c = ε(2) st − εrt − ε st + εrt 37 (12) Vũ, Đ A., Thành, C Đ / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng (2) (3) (3) đó, ε(1) rt , ε st , εrt , ε st giá trị biến dạng cắt ngồi mặt phẳng tính theo công thức (8) điểm buộc (1), (2), (3) có tọa độ Hình e˜ rt = e(1) rt + cs; e˜ st = e(2) st − cr (13) (1) (3) (3) c = e(2) st − ert − e st + ert Dùng công thức biến đổi biến dạng từ hệ tọa độ tự nhiên rst sang hệ tọa độ cục xyz sử dụng điểm Gauss để tính tốn, biến dạng cắt mặt phẳng xấp xỉ theo kỹ thuật MITC3 biểu diễn lại theo chuyển vị nút phần tử sau: ε MITC3 s = B MITC3 uI sI (14) I=1 2Ae = 2Ae = 2Ae B MITC3 = s1 B MITC3 s2 B MITC3 s3 (b − c) (b + c)/6 0 b−c Ae + (d − a) (b + c)/6 0 d − a −Ae − (b − c) (a + d)/6 − (d − a) (a + d)/6 0 c −bc/2 + c (b + c)/6 ac/2 − d (b + c)/6 0 −d bd/2 − c (a + d)/6 −ad/2 + d (a + d)/6 0 −b bc/2 − b (b + c)/6 −bd/2 + a (b + c)/6 0 a −ac/2 + b (a + d)/6 ad/2 − a (a + d)/6 (15) Thế công thức (7) (14) vào phương trình cơng ảo, ma trận độ cứng phần tử vỏ phẳng MITC3 hệ trục tọa độ cục xác định: T T e T e MITC3 Ke,loc D s B MITC3 Ae sJ I J = BmI Dm BmJ A + BbI Db BbJ A + B sI (16) ν Eh ν Dm = − ν2 0 ; D = b − v 12 kh E Ds = 2 (1 + ν) h + αhe Eh3 − v2 v v 0 0 1−v ; (17) 0 với E, ν mô-đun đàn hồi hệ số Poisson vật liệu, h chiều dày vỏ, k = 5/6, he chiều dài lớn cạnh phần tử α = 0, hệ số ổn định [20] 2.2 Công thức PTHH vỏ phẳng MITC3 hệ tọa độ toàn cục Gọi U I = [U I VI WI θXI θY I θZI ]T chuyển vị nút I hệ tọa độ toàn cục 0XYZ Quan hệ chuyển vị nút uI hệ trục tọa độ cục 0xyz chuyển vị nút UI hệ trục tọa độ toàn cục 0XYZ cho bởi: uI = TUI (18) T = n xX n xY nyX nyY nzX nzY 0 0 0 n xZ 0 nyX 0 nzZ 0 n xX n xY nyX nyY nzX nzY 38 0 n xZ nyZ nzZ (19) Vũ, Đ A., Thành, C Đ / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng với (n xX , n xY , n xZ ) , nyX , nyY , nyZ , (nzX , nzY , nzZ ) cosin phương trục x, y, z hệ trục tọa độ toàn cục 0XYZ Thế (18) vào (7) (14), quan hệ biến dạng chuyển vị nút phần tử hệ trục tọa độ toàn cục xác định: εm = BmI TUI ; I=1 εb = BbI TUI ; ε MITC3 = s I=1 B MITC3 TUI sI (20) I=1 Kết quả, ma trận độ cứng phần tử vỏ phẳng MITC3 hệ trục tọa độ tồn cục có dạng: KeIJ = TT Ke,loc IJ T (21) Công thức (16) cho thấy thành phần ma trận độ cứng phần tử vỏ phẳng MITC3 hệ tọa độ cục liên quan bậc tự θzI Vì vậy, ma trận độ cứng kết cấu, thành phần liên quan đến bậc tự θzI nút kết nối phần tử đồng phẳng 0, tức ma trận độ cứng kết cấu bị suy biến Để khắc phục tượng này, vị trí liên quan bậc tự θzI , giá trị 10−3 lần giá trị lớn thành phần đường chéo ma trận độ cứng phần tử thêm vào [20] 2.3 Công thức PTHH vỏ phẳng ES+NS-MITC3 Các ma trận quan hệ biến dạng chuyển vị nút phần tử vỏ phẳng MITC3 cho Tạp(15) chhí Khoa học Cơng C số nghệ Xmiền dựng,phần NU UCEtử2018 p-ISSN N 2615-9058; e-ISSN 34-9489 công thức (9) trênXây phụ thuộc vào ;tọa độ 273 nút phần tử Kết quả, trường biến dạng phần tử vỏ phẳng MITC3 không liên tục Để giảm chênh lệch biến dạng k này, biến phần tử thấy, đượcphhương làm trơn dạng phầntrên tử chung ΩđkES 202dạng nghhiên cứu chho phápptrên làmmiền trơn biến miềnn cạnh chung nút ES xác định k k ΩNS Các kết nghiên cứu cho thấy, phương pháp làm trơn biến dạng miềnc ΩEScóxác định 203 đoạạn thẳng nối n nút cạnnh với trọn ng tâm củaa phần ttử chung cạnh đoạn thẳng nối nút cạnh với trọng tâm tử chung cạnh khuynh 204 khuynh h hướng lààm tăng độ ộ cứng Nggược lại, phương p phầnph háp làmk trơơn biếncódạạng hướng làm tăng độ205 cứng.miền Ngược lại, phương pháp làm trơn biến dạng miền ΩNS trọng giới hạn đoạn thẳng g điểm cácc cạnh với tâm kNS giới hạạn đoạn thẳngg nối trung nối trung điểm cạnh với trọng tâm phần tử chung nút làm mềm độ cứng Vì vậy, 206 phần tử chung núút làm mềm m độ ứng Vì y, ng ghiên cứu nnày biếến dạng nghiên cứu biến dạng làm trơn miền kết hợp gồm phần bao quanh nút để tạo thành 207 lààm trơnktrêên miền kế ết hợp gồm m phần bao quanh nútt để tạo thàành miền làm trơn ˆ miền làm trơn nút Ω NS phần lại chung cạnh phần tử miền làm trơn cạnh ˆ k 208 nú út p phần lại l chung ccạnh phần tử miền lààm trơn cạnh k NS ¯ [18] Hình Ω ES 209 8] Hình kES [18 Nút N phầần tử, Trọ ọng tâm củ phần tử Hình Miền làm trơn biến dạng kết hợp cạnh (ES) nút (NS) kết cấu vỏ H Hình Miề ền làm trơn nbằng biến dạnggphần kết hợp t phẳng cạnhtam (E ES)giác nút (NS) kết rời rạc tử vỏtrên nnút cấu vỏ v rờ ời rạc phần tử t vỏ phẳng g tam giác nút 210 Đ Để điều chỉnh tỉ lệ giữ ữa miền làm trơn, hệ số hiệu u chỉnh 0,1 đư ược định 211 k ˆ k nghĩa nnhằm xác định đ tỉ lệ chiều dài trrên cạnh ph hần tử tham m gia vào m miền NS v ES 212 Nghĩa llà, tương t ứng với miền llàm trơn trrên cạnh bằằng trrở thành miền m làm 213 trơn trêên nút hoànn toàn; tương ứng với miền m làm trơ ơn cạnnh hoàn to oàn Khi 39 Vũ, Đ A., Thành, C Đ / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Để điều chỉnh tỉ lệ miền làm trơn, hệ số hiệu chỉnh β ∈ [0, 1] định nghĩa nhằm xác ˆ k Ω ¯ k Nghĩa là, β = tương ứng với định tỉ lệ chiều dài cạnh phần tử tham gia vào miền Ω NS ES miền làm trơn cạnh trở thành miền làm trơn nút hoàn toàn; β = tương ứng với ˆ k có diện tích miền làm trơn cạnh hồn tồn Khi đó, miền Ω NS Aˆ kNS = (1 − β2 )AkNS ¯ k có diện tích: miền Ω ES với AkNS (22) A¯ kES = β2 AkES (23) ΩkNS AkES ΩkES diện tích miền làm trơn túy nút cạnh k ¯ Do miền làm trơn ΩES cạnh k gồm phần tử vỏ phẳng không đồng phẳng nên biến dạng định nghĩa hệ trục tọa độ cục oxyz phần tử biến đổi thành biến dạng hệ trục tọa độ cục o˜ x˜y˜ z˜ chung phần tử trước áp dụng phương pháp làm trơn Hệ trục tọa độ cục o˜ x˜y˜ z˜ định nghĩa trục o˜ x˜ trùng với cạnh chung, trục o˜ ˜ z có véc-tơ phương tổng véc-tơ pháp tuyến phần tử chung cạnh trục o˜ ˜ y tạo với trục o˜ x˜, o˜ ˜ z thành tam diện ˆ k thuận Tương tự, hệ trục tọa độ cục o x y z chung cho phần tử miền làm trơn Ω NS nút k thiết lập có trục o x theo phương cạnh phần tử đầu tiên, trục o z có véc-tơ phương ¯ k trục o y tạo với trục o x trục o z tổng véc-tơ pháp tuyến phần tử miền Ω NS thành tam diện thuận Các biến dạng phần tử vỏ phẳng MITC3 hệ tọa độ cục oxyz chuyển sang hệ tọa độ toàn cục 0XYZ cuối chuyển sang hệ trục tọa độ cục o˜ x˜y˜ z˜, o x y z miền làm trơn ¯k ,Ω ˆ k sau [10, 19]: Ω ES NS ˜ m1 Rm2 εm ; ε˜ m = R ˜ b1 Rb2 εb ; ε˜ b = R ˜ s1 R s2 ε MITC3 ε˜ MITC3 =R s s εm = Rm1 Rm2 εm ; εb = Rb1 Rb2 εb ; εs MITC3 (24) = R s1 R s2 ε MITC3 s (25) đó, ma trận chuyển hệ tọa độ xác định ˜ m1 = R ˜ b1 R Rm1 = n2x˜ X n2y˜ X 2n x˜ X ny˜ X n2x˜Y n2y˜Y 2n x˜Y ny˜Y n2x˜Z n2y˜Z 2n x˜Z ny˜Z n x˜ X n x˜Y ny˜ X ny˜Y n x˜ X ny˜Y + ny˜ X n x˜Y n x˜Y n x˜Z ny˜Y ny˜Z n x˜Z ny˜Y + ny˜Z n x˜Y n x˜ X n x˜Z ny˜ X ny˜Z n x˜ X ny˜Z + ny˜ X n x˜Z n x˜ X nz˜Z + nz˜X n x˜Z ny˜ X nz˜Z + nz˜X ny˜Z ˜ s1 = 2n x˜ X nz˜X 2n x˜Y nz˜Y 2n x˜Z nz˜Z n x˜ X nz˜Y + nz˜X n x˜Y n x˜Z nz˜Y + nz˜Z n x˜Y R 2ny˜ X nz˜X 2ny˜Y nz˜Y 2ny˜Z nz˜Z ny˜ X nz˜Y + nz˜X ny˜Y ny˜Z nz˜Y + nz˜Z ny˜Y n2 n2 n2 n x X n xY n xY n xZ xX xY xZ 2 n n n nyXnyY nyYnyZ = Rb1 = yX yY yZ 2n x X n y X 2n xY n y Y 2n xZ n y Z n x X n y Y + n y X n xY n xZ n y Y + n y Z n xY (26) (27) n x X n xZ nyXnyZ n x X n y Z + n y X n xZ (28) 2n n xX z X R s1 = 2n y X n z X 2n xY n z Y 2n y Y n z Y 2n xZ n z Z 2n y Z n z Z Rm2 = Rb2 n x X n z Y + n z X n xY nyXnz Y + nz XnyY n2xX n xY n2xZ = 2n xX n xY 2n xY n xZ 2n xX n xZ n2yX n2yY n2yZ 2nyX nyY 2nyY nyZ 2nyX nyZ 40 n xZ n z Y + n z Z n xY nyZnzY + nzZnyY n xX nyX n xY nyY n xZ nyZ n xX nyY + n xY nyX n xY nyZ + n xZ nyY n xX nyZ + n xZ nyX n x X n z Z + n z X n xZ nyXnz Z + nz XnyZ (29) (30) Vũ, Đ A., Thành, C Đ / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng R s2 n xX nzX nyX nzX n n nyY nzY xY zY n xZ nzZ nyZ nzZ = n xX nzY + n xY nzX nyX nzY + nyY nzX n xZ nzY + n xY nzZ nyZ nzY + nyY nzZ n xX nzZ + n xZ nzX nyX nzZ + nyZ nzX (31) với (n x˜ X , n x˜Y , n x˜Z ) , ny˜ X , ny˜Y , ny˜Z , (nz˜X , nz˜Y , nz˜Z ) , n x X , n x Y , n x Z , n y X , n y Y , n y Z , n z X , n z Y , n z Z cosin phương trục x˜, y˜ , z˜, x, y, z hệ trục tọa độ toàn cục 0XYZ Theo PP PTHH trơn [8], biến dạng phần tử vỏ phẳng MITC3 làm trơn miền ¯ k Ω ˆ k sau: Ω ES NS ε¯ km = εˆ km = ¯ AkES ε˜ m dΩ; ε¯ kb = ¯k Ω ES Aˆ k εm dΩ; εˆ kb = NS ˆ k ΩNS ¯ AkES ε˜ b dΩ; ε¯ ks = ¯k Ω ES Aˆ k εb dΩ; εˆ ks = NS ˆ k ΩNS ¯ AkES ε˜ MITC3 dΩ s (32) ¯k Ω ES Aˆ k MITC3 εs dΩ (33) NS ˆ k ΩNS Thế biến dạng cho công thức (7), (14), (24) (25) vào biến dạng trơn công thức (32) (33), ta k NES Ae β2 e=1 ε¯ km = β AkES ε¯ kb = k AES εˆ km k NES e=1 = − β2 AkNS εˆ kb = AkNS k NES ¯ k Ω ˆk Ω ES NS k NNS e=1 Ae k NNS Ae 3 ˜ m1 Re Be ue = R m2 mI I AkES I=1 ˜ b1 Re Be ue ; R b2 bI I I=1 k NNS 1−β e=1 Ae 3 Rm1 Rem2 BemI ueI I=1 Rb1 Reb2 BebI ueI ; I=1 ε¯ ks = k AES εˆ ks = AkNS k NNS e=1 k NES e=1 k NES e=1 Ae Ae = k ANS Ae 3 ˜ m1 Re Be ue ; R m2 mI I I=1 (34) ˜ s1 Re B MITC3,e ue R I s2 sI I=1 k NNS e=1 Ae 3 Rm1 Rem2 BemI ueI ; I=1 (35) R s1 Res2 B MITC3,e ueI sI I=1 số phần tử chung cạnh chung nút miền làm trơn biến dạng Từ quan hệ cho công thức (34) (35), ma trận độ cứng phần tử vỏ phẳng MITC3 có biến dạng làm trơn miền kết hợp cạnh (ES) nút (NS), tức độ cứng phần tử vỏ phẳng ES+NS-MITC3, hệ tọa độ tồn cục 0XYZ có dạng: ,loc ,loc +NS KIES = TT KES + KNS T J IJ IJ (36) ,loc ¯ TmI Dm B¯ mJ + B¯ T Db B¯ bJ + B¯ MITC3 T D s B ¯ MITC3 β2 Ak KIES = B ES sI sJ bI J (37) ,loc ˆ MITC3 ˆ TmI Dm B ˆ mJ + B ˆ T Db B ˆ bJ + B ˆ MITC3 T D s B KNS = B sI sJ bI IJ 41 − β2 AkNS (38) 262 với B mI 263 k AES k N EES Ae R m1 R em B emI ; B bI k AES e 1 k N ES Vũ, Đ A., Thành, C Đ / Tạp1chí MITC B sI với ¯ mI B = k A 264ES k NES e=1 B¯ MITC3 = k sI AES e 1 Ae R b1 R be B bIeb ; Khoaehọc k ESS e 1 A k N ES nghệ Xây dựng A Công R s1R es B sIMITC 3, e Nk Ae ˜ ES Ae ˜ 1e N e A e e e N A ¯e e e e Rˆ m1 R B ; BbI R m=1 R mk2 B emI ; Bˆ3bI Rb1 Rkb2 B bI ; R b1 R b B bI ; B mI m2A k mI A A ES e=1 e 1 e 1 k N NS NS k NES e=1 NS k N NS A e MITC 3, e BˆA R MITC3,e R s1R s B sI ˜ s1ReAB k s2 NSSsIe 1 3 e MITC sI k NS e (39) k 265 Các ví dụ số NNS e A Ae 1 e e e e ˆ mI = ˆ bI = B R R B ; B ; m1 m2 mI 266 Để đánh giáá hiệu phần nRb1tửRb2 vỏBbIph hẳng đề xu uất, pphần n AkNS e=1 Đ AảkNScủa e=1 267 chuyển n vị phhần tử ES+ +NS-MITC C3 so sánh với v (40) phần tửử ES-M k NNS e A ES+NS-D DSG3 [18] lời giảii tham khảảo phânn tích t 268= NS-MIITC3 ˆ MITC3 B R s1[13], Res2 B MITC3,e sI sI k A kếte=1 cấuu vỏ điển hìình Dựa trrên kết quảả so sánh chuyển vị cho phầần tử đề 269 NS k NNS 270 Các ví dụ số 271 thay đổổi từ đến với lời giải g tham kkhảo, hệ số hiệu chỉnh h tỉ lệ tham m gia củ trơn trêên cạnh vàà nút c phần ttử vỏ phẳn ng ES+NS MITC3 đưược chọ cho tất phẳng ví đề d xuất, phần kết chuyển vị phần dụ 272của phần Để đánh giá hiệu tử vỏ tử ES+NS-MITC3 tử ES-MITC3 [12], NS-MITC3 [13], ES+NS-DSG3 [18] hyperboli oid chịu tảii trọng n thân 3.1 với Vỏỏ phần c parabolo 273so sánh lời giải tham khảo phân tích tĩnh số kết cấu vỏ điển hình Dựa kết so sánh chuyển Kết ỏ1 với dạng hyperbolic h tham khảo,paraboloi id chỉnh [21] tỉclệ ó tham phươngg trình 274khi β thay K vị cho phần tử đề xuất đổi từcấu đếnvỏ lời giải hệ số hiệu nút 2của phần tử vỏ phẳng ES+NS-MITC3 chọn β = 0,9 gia miền làm trơn cạnh Z X Y , X 0,5;0,5 5 m Y 0,5;0,,5 m, liên n kết đầu ng 275 cho tất ví dụ ợng thhân q = 80 000 N/m3 theo phươnng Z n 276 đầu tự do, chịu trọng lượ 3.1 Vỏ hyperbolic paraboloid chịucótảicchiều trọngdày hthân = 0,001 m, đđặc trưng vật v liệu E 1011 N N/m , 277 Vỏ Kết cấu vỏ dạng hyperbolic paraboloid [21] có phương trình hình học Z = X − Y , X ∈ [−0,5; 0,5] m Y ∈ [−0,5; 0,5] m, liên kết đầu ngàm đầu tự do, chịu trọng lượng thân q = 8000 N/m3 theo phương Z Hình Vỏ có chiều dày h = 0,001 m, đặc trưng vật liệu E = × 1011 N/m2 , ν = 0,3 Vỏ mơ hình lưới NX × NY × với NX = NY = 8, 12, 16, 20 24 số phần tử Hình Hình học c và4.điều kiện biên hype erbolic paraaboloid cạnh theo phương X phương Y Với các4 Hình Hìnhk học điềucủ kiệnvỏ biên vỏ hyperbolic paraboloid lưới phần tử NX = NY = 16, 20 24, chuyển vị thẳng điểm C vỏ hyperbolic paraboloid cho 11 phần tử vỏ phẳng ES+NS-MITC3 với giá trị hệ số tỉ lệ β thay đổi từ đến thể Hình So với kết tham khảo 0,0064 m [21], Hình cho thấy với hệ số tỉ lệ β từ 0,7 đến 0,9 phần tử đề xuất cho kết tốt cho loại lưới khảo sát NX = NY = 16, 20 24 Khảo sát tương tự với hệ số tỉ lệ β từ 0,7 đến 0,9 cho ví dụ khác nghiên cứu cho thấy với hệ số tỉ lệ β = 0,9 phần tử vỏ phẳng ES+NS-MITC3 cho kết gần với lời giải tham khảo Vì vậy, hệ số tỉ lệ β = 0,9 chọn để tính tốn chuyển vị phần tử đề xuất cho ví dụ số báo Kết chuyển vị theo phương Z điểm C (X = 0,5 m; Y = m) tính phần tử ES+NSMITC3, phần tử khác lời giải tham khảo [21] trình bày Bảng 42 284 lưới khhảo sát N X NY = 16 6, 20 244 Khảo sáát tương tự với hệ số tỉ lệ từ 0,7 đến 285 0,9 choo ví dụụ khác nghiên ccứu ch ho thấy với hệ số tỉ lệệ = 0,9 phần tử 286 287 vỏ phẳnng ES+NS S-MITC3 ch ho kết gần với v lời giải g tham kkhảo Vì vậy, hệ số tỉỉ lệ = 0,9 ch họn để tínhh tốn chuy yển vị g phần tử đđề xuất cho o ví 288 dụ số trrong Vũ, bááo.Đ A., Thành, C Đ / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Hình Chuyển vị thẳng (m m) điểm m C vỏ ỏ hyperbolic parabolooid xáác định Hình Chuyển vị thẳng (m) điểm C vỏ hyperbolic paraboloid xác định lưới các24 lưới NXtử= vỏ NYphẳng = 8, 1ES+NS-MITC3 6, 24 phần n tử vỏvàphẳn NX = NY = 8, 16, phần hệng số ES+NS tỉ lệ β S-MITC3 thay đổi từ đến vàà hệ số tỉ lệệ thay đổi đ từ đến n1 297 289 Kết qtử vỏ chuyển n vịMITC3 thẳng (m) tạilàm điểểm C lic parabol ỏ hyperbol Bảảng Bảng cho thấy1.phần phẳng trơn trênvnút (NS-MITC3) chooid kết chuyển vị lớn làm trơn cạnh (ES-MITC3) Phần tử MITC3 làm trơn kết hợp (ES+NS-MITC3) có Kết Lưới phần n tử % chuyển vị nằm giá trị tính phần tử ES-MITC3 NS-MITC3, gần vớisaikết phần tử Loại phần tử tham Tạp ch hí Khoa học C Công nghệ Xây X dựng, NU UCE 2018 p-ISSN N 2615-9058; ; e-ISSN 273 34-9489 Tạp chhíTạp Khoa học C Công nghệ Xây X dựng, NU UCE 2018 p-ISSN N 2615-9058; ; e-ISSN 273 34-9489 ES-MITC3 hệ số hiệu chỉnh β = 0,9 Khi lưới phần tử mịn dần phần tử ES+NS-MITC3 16162 20202 2615-9058; 24242 chhí Khoa học Công C 882 nghệ Xây X 12122 dựng, NU UCE 2018 p-ISSN N ; e-ISSN số 27334-9489 cho kết khảo hội tụ đến lời giải tham khảo với độ xác phần tử loại sử dụng kỹ thuật khử khóa S-DSG3 0,0075 0,007 0,0068 0,0068 0,00677 4,69 cắt DSG3ES+NS (ES+NS-DSG3) K Kết chu uyển vị phương the g Zđiể C X Ym 0tín m bằng tín nh K Kết chu uyểnchu vị the eo phương g eo Z phương điểểm Cểm X điể ểm 0,5 m; Y 0,5 0Ymm; nh 290 290 K Kết uyển vị the eo g Z C X 0,5 m; 0tín nh ES-MIITC3 0,0064 0,0063 0,0063 0,0063 0,0063 1,56 Bảng Kết chuyển vị thẳng (m) điểm C vỏ hyperbolic paraboloid0,0064 phần tử ES+NS-M cáác phần tử lờ ờitham giải tham m khảo 21] bày trrình bày phần291 tử ES+NS-M MITC3, cáácMITC3, phần tử khác lờ ờikhác giải m khảo [221] tr[2 rình 291 phần tử ITC3 ES+NS-M MITC3, phần tử khác lờ ờitham giải m khảo [2 NS-MI 0,0083cáác 0,0074 0,0071 0,0069 0,0068 821] 6,25 trrình bày Bảng trong292 B Bảng 292 trongtrong B BảngB 1 Lưới0,0064 phần tử 0,0063 Kết ES+NS S-MITC3 0,0066 0,0064 0,00633 1,56% Loại phần tử 293 B thấy phần n tử vỏ phẳ ẳng MITC3 làm m trơn n nút (NS-M MITC3) ảng cho B thấy phần n tử vỏ phẳ ẳng MITC3 làm m trơn n nút (NS-M MITC3) ảng cho sốMITC3) tham khảo 293 Bảng cho thấy phần n tử vỏ phẳ ẳng MITC3 320×20×2 làm m trơn trênn nút sai (NS-M 8×8×2 12×12×2 16×16×2 24×24×2 cho kết 294 t chuy yển vị lớn h làm tr rơn cạ ạnh (ES-M MITC3) Ph hần tử MIT TC3 cho kết t chuy yển vị lớn h làm tr rơn cạ ạnh (ES-M MITC3) Ph hần tử MIT TC3 làm cho kếtt chuy 294 yển vị lớn0,007 h làm tr0,0068 rơn ạnh0,0068 (ES-M MITC3) Phhần tử 4,69 MIT TC3 làm làm 12 cạ ES+NS-DSG3 0,0075 0,0067 295 trơn kế ết (ES hợp (ES S+NS-MIT TC3) có nằm n trịgiá giá gbởi trị tínhhphần phần trơn kếtrơn ết hợp S+NS-MIT TC3) có chhuyển vị nằm nchhuyển giá ggiữa tính h0,0063 tửbởi ES295 kếết(ES hợp S+NS-MIT TC3) có chhuyển vị nằm n vị ggiữa trị tính hphần tử ES-tử ESES-MITC3 0,0064 0,0063 0,0063 0,0063 1,56 0,0064 MITC3 NS-M MITC3, gần g với kết t phần p tử ES-MITC3 o hệ số hiệ ệu chỉnh 296 MITC3 NS-M MITC3, gần g với t p tử -MITC3 o hệdo số hiệệu chỉnh MITC3 NS-M MITC3, gần g kếtvới kếtcủa t quảphần phần p EStử ES MITC3 o hệ số hiệệu chỉnh 296 NS-MITC3 0,0083 0,0074 0,0071 0,0069 0,0068 6,25 ,9.lướ = Khi 0,,9.phần Khi lướ ới phần mịn mphần dần th tửITC3 ES+NS-MI E ITC3 ITC3 cho kkết ội tụ đến ES+NS-MITC3 =297 0,,9 ới mịn m dần thhìdần tử ES+NS-MI Ehì phần cho 0,0063 kkết hộ ội1,56 tụhộ đến =Khi 0, lướ ới tử phần tử mịn m tử thhì phần tử ES+NS-MI E 0,0063 choquả kkết ội tụ hộ đến 297 0,0066 0,0064 0,0064 298 299 lờii khảo giảioi tham ođộvới độhhơn ch hính xáctử phần ửsửloại i sử dụng kkỹkhóa thuật kh khóa 298 lời giải i tham với độ ch hính xác phần ửhhơn itử dụng kkỹ thuật kh lời giải tham khảo o khảo với ch hính xác hhơn phần tử loại i sửloại dụng kkỹ thuật kh khóa 298 cắt DSG G3 (ES+N S-DSG3) 299 cắt DSG G3 (ES+N S-DSG3) G3 (ES+NS-DSG3) 299 cắt DSG 290 291 292 293 294 295 296 (a) trLưới rái(a) Lưới (a)trái trrái trrái (a)Lưới Lưới (b)loại Lưới l 1(c) Lưưới (c)(c) Lư ưới loại2 (b) L Lưới lL phải lo ạiLưới 2lophải (b)(b)phải L Lưới phải loại lphải (c) Lư ưới phải ại 2loại Lưới phải1loại 1loại phải 66.hyper Vỏ rbolic hyper rbolic para aboloid đượ mô hình h 8bằng ử82 phần với sơ đồ đ đánh Hình 66 VỏHình hyper paraaboloid đượợc mơ hình hợc 82 vớitử sơ tử đồ đ3ử sơ đánh Hình 66 Vỏrbolic paraaboloid đượợc mơ hình h 8bằng phần 828tử phần ử3 với đồ đ3 đánh Hình Vỏ hyperbolic paraboloid mơ hình 8×8×2 phần tử nnútsố phần tử ửnhau khác u:nhau (a)i u: Lưới trái, Lưới L (b)lo phải oại (c) 1, L Lưới phải oại số nnút số phần tử ửnnút khác u: (a) Lưới trái, Lưới L i(b) phải oại (c) 1, L Lưới phải oại 2lo phần tử khác (a)i(b) Lưới trái, Lưới L 1,lo phải lo oại (c)lo L Lưới phải2 lo oại 300 với sơ đồ đánh số nút phần tử khác 300 Bảng 22 Kết cquả t(m)vịttại ttại điểm Cvỏcủa vỏcủa hyp perbolic paaraboloid mơ m hình Bảng300 22 KếtBảng c22.quả chuyển vị thẳng t chuyển điểm C hyp araboloid mơ maraboloid hình Kếtchuyển c vị thẳng thẳng t(m) (m) ttại điểm Cperbolic vỏ pa hyp perbolic pa mơ m hình 301 301 301 bằngg88 lưới với đồ đánh h số nút phầ ần tử khác bằngg lưới 2 với2 ssơ đồ đánh h ssơ số nút phầ ần tử khác g 88 lưới 88 2các vớissơ đồ đánh h số nút phầ ần tử khác 43 đồSơ đáánh nútsố phần p nút tử Sơ đồSơ đáánh số nútsố phần pánh tử đồ đá phần p tử Loại phầần phầ tử ần tử Loại phầ ần tử Loại (a) (a) (a) (b) (b) (b) (c) (c) (c) ES+NS-D SG3 SG3 00,007600,0076 ES+NS-D SG3 0,00750,0075 ES+NS-D 0,0075 0,00720,00720,0072 00,0076 Vũ, Đ A., Thành, C Đ / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng Bảng Kết chuyển vị thẳng (m) điểm C vỏ hyperbolic paraboloid mô hình lưới 8×8×2 với sơ đồ đánh số nút phần tử khác Sơ đồ đánh số nút phần tử Loại phần tử ES+NS-DSG3 ES+NS-MITC3 (a) (b) (c) 0,0075 0,0066 0,0072 0,0066 0,0076 0,0066 Để kiểm tra khả tính tốn phần tử ES+NS-MITC3 khơng phụ thuộc vào thứ tự đánh số nút, kết cấu vỏ hyperbolic paraboloid đánh số nút theo sơ đồ khác với lưới 8×8×2 phần tử Hình Giá trị chuyển vị điểm C tính phần tử ES+NS-MITC3 trường hợp đánh số nút phần tử khác so sánh với phần tử ES+NS-DSG3 Bảng Bảng cho thấy kết tính tốn phần tử vỏ phẳng ES+NS-MITC3 khơng phụ thuộc vào thứ tự đánh số nút phần tử Ngược lại, phần tử vỏ phẳng ES+NS-DSG3 cho kết tính tốn phụ thuộc vào cách đánh số phần tử kỹ thuật khử khóa cắt DSG3 khơng có tính đẳng khơng gian 3.2 Vỏ trụ chịu tải trọng tập trung Tạp chhí Khoa học Cơng C nghệ Xây X dựng, NU UCE 2018 p-ISSN N 2615-9058;; e-ISSN 273 34-9489 Vỏ trụ cóTạp bán = 300 dài Xây L = dựng, 600 mNU dày h = m ởp-ISSN Hình 7(a) chịu ;tải trọng273 tập trung P chhíkính KhoaRhọc C m,nghệ Công X UCE 2018 N 2615-9058; e-ISSN 34-9489 313 = kN Vỏ chịu liên kết màng ngăn cứng đầu (U = W = 0) Vật liệu làm vỏ có E = × 106 kN/m2 ν = 0,3 [22] Vật313 liệuu làm vỏ cóó E 106 kN/m 0,3 [22] [22] Vật liệuu làm vỏ cóó E 106 kN/m 0,3 (a) điều Hình họọc, điều kiệệntảảibiên tảải trọng (a) Hình họọc, ện biên trọng (a) Hình học, điềukiệ kiện biên tải trọng b) Lưới 88 82tử tử tam b) Lưới 88 82 phần ửphần tamgiác (b (b) (b Lưới 8×8×2 phần tử tam nút mơ g giác ggiácphỏng 1/8 vỏ trụ c trung: chịu tải tập Hình btải trọng tảicủa trọng Hình 77 VỏHình trụ chịu c77 Vỏtảitrụtập (a)trung: Hình (a) học, điềuhọc, kiệnđiều biên b kiện biên vỏ trụ, vỏ trụ, Hình Vỏ trụ chịu tải tập trung (b) 2 2tam phầngiác tử tam nút mô1/8 ph hỏng 1/8 vỏỏ trụ Lưới 88 giác (b) Lưới 88 phần tử nút mơ3 ph hỏng vỏỏ trụ Do tính chất đối xứng, 1/8 vỏ rời rạc lưới 8×8×2, 12×12×2, 16×16×2, 20×20×2 24×24×2, tương đương 128, 288, 512, 800 1152 phần tử Hình 7(b) minh họa trường hợp lưới 8×8×2 phần tử Chuyển vị theo phương vị trí đặt lực tập trung vỏ trụ phân tích phần tử vỏ phẳng ES+NS-MITC3 sử dụng lưới có số phần tử tăng dần thể Hình Kết chuyển vị Hình cho thấy phần tử đề xuất ES+NS-MITC3 hội tụ đến lời giải tham khảo 1,8248×10−5 m [22] lưới phần tử mịn dần có độ xác tốt phần tử ES+NS-DSG3 Trong ví dụ này, phần tử đề xuất có đường hội tụ chuyển vị nằm so với kết cho phần tử ES-MITC3 nằm phần tử NS-MITC3 nằm 44 (a) Hình họọc, điều kiệện biên tảải trọng b) Lưới 8882 phần tử tam (b ggiác Hình 77 Vỏ trụ chịu c tải tập trung: (a) Hình học, điều kiện biên b tải trọng vỏ trụ, Vũ, Đ A., Thành, C Đ / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng (b) Lưới 88 2 phần tử tam giác nút mô ph hỏng 1/8 vỏỏ trụ Hình 88 Chuyển v trí vị tạiđặt vịlực trí tập trung củaa xác vỏ định trụ đượ ợc phần xác tử định bằngES+NS-MITC3 phầần tử vỏ đặttrung lực tậpp vỏ Hình Chuyển vị vị trụ vỏhphẳng Tạp ch hí Khoa học C Cơng nghệ Xây X dựng, NU UCE 2018 p-ISSN N 2615-9058; ; e-ISSN phần tử tham khảo ứng với số phần tử tăng dần phhẳng ES+N NS-MITC3 phầần tử tham khảo ứng với số phầần tử tăng273 dần d34-9489 C chấ Công nghệ Xây X xứng dựng, UCE1/8 2018v p-ISSN Nời2615-9058; ; ge-ISSN 273 34-9489 314 Tạp chhí Khoa D Dohọc tính ất đối g,NU vỏ rờ rạc lưới 882, 12 2122, 3.3 Vỏ panel cầu chịu tải trọng tập trung 322 giữ ữa với kết k2 cho o242, phần nng tử đương ES-MIITC3 nằm phhần tử NS315 nằm 1616 2,so2020 24 tươn 128, 288, 1152 phần p-MITC3 tử 512, 800 Vỏ panel cầu liên kết tựa đơn cạnh chịu tải trọng tập trung P = 454 N Hình 9(a) Các ên 323 322 giữ ữatrê so vớiminh k kết phần n tử lưới ES-MI ITC3 nằm phhần -MITC3 316nằmnằm Hình 7(b) h chootrường họa hợp 8882 phầần tử Chuy yểntửvịNStheo o phương v vị thơng số hình học vật liệu vỏ panel sau: chiều dài L = 0,4 m, bán kính phương R = 2,4 trêên 323 317nằm trí 10 tử 2vỏ đặt llực trun củatải vỏtrrọng trụ t đàn phâ ân tích bằn×g10 phần E ES+NS-MI ITC3 sử 324 m, 3.3 Vỏỏ dày panel ung chịu tậphồi tru ung chiều htập =cầu 2,54 mm, mô-đun E= 703,7 N/m vvàphẳng hệ số Poisson ν = 0,3 [23] dụng lư ưới số tải p trrọng phần tửtập tăăng dần đư ược thể hiệện Hình H Kếtt chuy yển vị 324 3183.3 Vỏ ỏ panel cầuucóchịu truung 319 Hình cho thấy y phần tử đề xuất E ES+NS-MIITC3 hội tụ đến lờời giải tham m khảo 320 321 1,8248 10-5 m [222] lưới phần tử mịn dần có độ xácc tốt phần p tử ES+NS S-DSG3 Trong T ví dụ ụ này, phầnn tử đề xuấất có đường hội tụ củủa chuyển vị 14 ((a)(a)Hình ọc, biênvà vàtảitảitrọng i trọng Hìnhhọ học,điều điều kiện kiệnn biên ưới (b) 882 phần taamtửgiác (b) Lư Lưới 8×8×2tửphần tam giác nút mơ ((a) Hình họọc, điều kiện n biên tảii nh trọng 1/4 vỏ2panel cầutử ta ưới phần am giác Hình Vỏ paneel cầu chịu tải tập trunng: (a) Hìn học, điều u kiện(b) biênnLư tải882 trọn ng nel cầu chịịupane tải el tậpcầu trrung, (b)tải Lư ưới ta am học, giác 3điều nnútu mơ ỏngn1/4 vỏ pan Hình Vỏ chịu tập882 trunng:phần (a) tử Hìn nh kiệnphỏ biên tải trọn ng Hình Vỏ panel cầu chịu tải tập trung vvỏ panel cầ ầu 882 phần tử ta (b) Lư ưới am giác nnút mô phỏ ỏng 1/4 vỏ pannel cầu chịịu tải tập trrung, Vì panel tính chất đơn kết cấu, 1/4 cầu mơ tính V Vỏ cầầuđối liênxứng kết tựa cạnh cvỏpanel tải panel trọn ng tập trun nghình P = để 454 N tốn chuyển vị thẳng vvỏchịu cầầu vị trí Các đặt lực tập số trung xácliệu tốc tụl đề xuất khảo sát cách Hình 9(a) thhơng hìn nhĐộ học vvật củ ủađộ vỏhội panel nhưphần sau: tử cchiều dài L = 0,4 325 V Vỏ panel cầầu liên kết tựa đơn cạnh chịu c tải trọn ng tập trunng P = 454 N 327 m, bán n kính phương p R = 2,4 m m, chiều dày d h = 2,54 mm, mô-đun đàn đ hồi 45 củ 326 Hình 9(a).10Các th hơng số hìn nh học vvật liệu vỏ panell sau: cchiều dài L = 0,4 E 703,7 10 N N/m hệệ số Poissoon 0,3 [23] 328 325 326 327 329 328 p R = 2,4-5 m m, chiều dày d h = 2,54 mm, mô-đun đàn đ hồi m, bánn kính phương Bảng Kếtt chuyểển vị thẳngg (10 m) điểm đặt lực vỏ panel cầu Kếtt Lưới ph hần tử E 703,7 1010 N N/m hệệ số Poissoon 0,3 [23] Vũ, Đ A., Thành, C Đ / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng tính chuyển vị sai số tương đối chuyển vị so với giá trị tham khảo 1,0×10−5 m [23] vỏ cầu panel rời rạc lưới mịn dần từ 8×8×2, 12×12×2, 16×16×2, 20×20×2 đến 24×24×2 phần tử Hình 9(b) minh họa lưới 8×8×2 phần tử tam giác nút Kết chuyển vị thẳng điểm đặt lực cho phần tử ES+NS-MITC3 phần tử khác ứng với lưới khác trình bày Bảng Bảng Kết chuyển vị thẳng (×10−5 m) điểm đặt lực vỏ panel cầu Lưới phần tử Loại phần tử 336 337 8×8×2 12×12×2 16×16×2 ES+NS-DSG3 1,0194 1,0292 1,0273 Tạp chhí Khoa học 0,9328 C Công nghệ Xây X 0,9696 dựng, NU UCE0,9834 2018 ES-MITC3 NS-MITC3 1,3335 1,2045 1,1382 ES+NS-MITC3 0,9559 0,9873 0,9967 20×20×2 24×24×2 1,0235 1,0199 Kết tham khảo p-ISSN N 2615-9058; ; e-ISSN 273 34-9489 0,9895 0,9926 1,1002 0,9999 1,0765 1,0010 1,0 phần tử ES+NS-M MITC3 vàà phần tử khác ứng ứ với cácc lưới khácc đượ ợc trình bày tronng Bảng Hình 10 chínnhxác xácvàvà ốc ttụ chuyển chuy vị v lực trí tập đặttrung lựcc tập g vỏ Hình1 10 Độ Độ tốctố độ độ hội hội tụ vịyển vịvịtrítạiđặt trung vỏ cầu panel ccầu panelcho c cho bằn ng phần tử ES+NS-M MITC3 c tử phần tửử tham khảo phần tử ES+NS-MITC3 và phần tham khảo 338 H Hình 10 biểuu diễn quaan hệ ssai số tươn ng đối chuyển vị thẳng điểm đ đặt Hình 10 biểu diễn quan hệ sai số tương đối chuyển vị thẳng điểm đặt lực tập trung 339và chiều lực tập chiều c tử dài cạhệ ạnhtọa phần tử trongđược hệệ tọa log garit xxác định b dài trung cạnh phần độ tlogarit xácđộ định bằngđược phần tử ES-NS-MITC3, 340ES-MITC3, NS-MITC3 ES-NS-M MITC3, ES S-MITC3, N NS-MITC3 ES+N NS-DSG3 Nhờ ng pháp phần tử ES+NS-DSG3 Nhờ phương pháp làm trơn biến N dạngphươn kết hợp cạnh hợp tử ES+NS-MITC3 có tốctrườn độ hội tụ vànày, độ, 341và nút, làmtrong trơ ơntrường biến dạn ng này, kết phần hợp p cạnhh nút, trrong g hợp phần xác tử ES+NSEtốt phần sử dụng cạnh trênphần nút ES-MITC3 NS-MITC3 342tử chỉMITC3 cóphương tốc độpháp hội tụlàm vàtrơn độ đ xxác tốt hỉ sử dụng phương ph háp làmCùng tử ch kếttrên hợpnút tử đề xuất sử NS-MIT dụng kỹ thuậtCùng khử khóa cắt ph MITC3 343phương trơnpháp trêên làm cạnhtrơn t nhưphần ES-M MITC3 hoặặc TC3 phương háp làmcó độ xác tốc độ hội tụ vượt trội phần tử ES+NS-DSG3 ng phần tử đề xuất sử dụng kỹ thuật t khử khóa k cắt M MITC3 có độ đ 344 trơn kếết hợp nhưn ội phần tử E ES+NS-DS SG3 345 xác tốc độ hội tụ vượt trộ 346 Kết luận 347 348 349 350 Trrong bááo này, phầần tử vỏ phhẳng tam giác g nút ES+NS-MI E ITC3 đư ược phát 46 triển đểể phân tíchh tĩnh kết cấu vỏ đồồng Công C thức PTHH củaa phần tử đề xuất thhiết lập dự ựa lý th huyết biến dạng cắt bậc b củ Reissneer-Mindlin hàm xấp xỉ cchuyển vị tuyến t tính dạng C K Kỹ thuật kh khóa cắt MITC3 vvới ưu điểm m không Vũ, Đ A., Thành, C Đ / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Kết luận Trong báo này, phần tử vỏ phẳng tam giác nút ES+NS-MITC3 phát triển để phân tích tĩnh kết cấu vỏ đồng Cơng thức PTHH phần tử đề xuất thiết lập dựa lý thuyết biến dạng cắt bậc Reissner-Mindlin hàm xấp xỉ chuyển vị tuyến tính dạng C Kỹ thuật khử khóa cắt MITC3 với ưu điểm không phụ thuộc vào thứ tự đánh số nút phần tử sử dụng để xấp xỉ lại biến dạng cắt mặt phẳng Các biến dạng phần tử ES+NS-MITC3 làm trơn miền kết hợp phần tử chung cạnh chung nút Kết phân tích chuyển vị vài kết cấu vỏ cong theo phương chịu tải tập trung phân bố điển hình cho thấy phần tử làm trơn cạnh (ES) tiếp cận lời giải tham khảo từ lên, ngược lại phần tử làm trơn nút (NS) tiếp cận lời giải tham khảo từ xuống Bằng cách kết hợp phương pháp làm trơn biến dạng cạnh nút thông qua hệ số tỉ lệ β ∈ [0, 1], phần tử ES+NS-MITC3 cho kết nằm kết phần tử ES-MITC3 NS-MITC3 Vì vậy, phần tử ES+NS-MITC3 có độ xác hội tụ cao phần tử ES-MITC3 NS-MITC3 ví dụ khảo sát Ngồi ra, nhờ kỹ thuật khử khóa cắt MITC3, phần tử ES+NS-MITC3 cho kết tốt phần tử ES+NS-DSG3 Phần tử đề xuất ứng dụng để tính tốn dao động ổn định phát triển để phân tích kết cấu vỏ khơng đồng Phần tử ES+NS-MITC3 có độ cứng hiệu chỉnh thông qua hệ số tỉ lệ β ∈ [0, 1] nên dự báo cải thiện độ xác phân tích dao động ổn định kết cấu vỏ đồng không đồng so với phần tử ES-MITC3 NS-MITC3 Tài liệu tham khảo [1] Timoshenko, S P., Woinowsky-Krieger, S (1959) Theory of plates and shells McGraw-hill [2] Zienkiewicz, O C., Taylor, R L (1989) The finite element method: basic concepts and linear applications Mc Growhill, London [3] Tessler, A., Hughes, T J R (1985) A three-node mindlin plate element with improved transverse shear Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 50(1):71–101 [4] Bischoff, M., Bletzinger, K.-U (2001) Stabilized DSG plate and shell elements Trends in Computational Structural Mechanics, 253–263 [5] Dvorkin, E N., Bathe, K.-J (1984) A continuum mechanics based four-node shell element for general non-linear analysis Engineering Computations, 1(1):77–88 [6] Lee, P.-S., Bathe, K.-J (2004) Development of MITC isotropic triangular shell finite elements Computers & Structures, 82(11-12):945–962 [7] Chau-Dinh, T., Nguyen-Duy, Q., Nguyen-Xuan, H (2017) Improvement on MITC3 plate finite element using edge-based strain smoothing enhancement for plate analysis Acta Mechanica, 228(6):2141–2163 [8] Liu, G.-R., Nguyen-Thoi, T (2010) Smoothed finite element methods CRC Press [9] Nguyen-Thoi, T., Phung-Van, P., Thai-Hoang, C., Nguyen-Xuan, H (2013) A cell-based smoothed discrete shear gap method (CS-DSG3) using triangular elements for static and free vibration analyses of shell structures International Journal of Mechanical Sciences, 74:32–45 [10] Cui, X., Liu, G.-R., Li, G.-Y., Zhang, G., Zheng, G (2009) Analysis of plates and shells using an edgebased smoothed finite element method Computational Mechanics, 45(2-3):141–156 [11] Chai, Y., Li, W., Liu, G., Gong, Z., Li, T (2017) A superconvergent alpha finite element method (SαFEM) for static and free vibration analysis of shell structures Computers & Structures, 179:27–47 [12] Quach-Van, N (2017) Phân tích kết cấu vỏ phần tử MITC3 làm trơn cạnh (ES-MITC3) Luận văn thạc sĩ, Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM [13] Do-Anh, V (2020) Phân tích kết cấu vỏ phần tử trơn NS-MITC3 Luận văn thạc sĩ, Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM 47 Vũ, Đ A., Thành, C Đ / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng [14] Pham, Q.-H., Tran, T.-V., Pham, T.-D., Phan, D.-H (2018) An Edge-Based Smoothed MITC3 (ESMITC3) Shell Finite Element in Laminated Composite Shell Structures Analysis International Journal of Computational Methods, 15(07):1850060 [15] Pham, Q.-H., Pham, T.-D., Trinh, Q V., Phan, D.-H (2019) Geometrically nonlinear analysis of functionally graded shells using an edge-based smoothed MITC3 (ES-MITC3) finite elements Engineering with Computers, 36(3):1069–1082 [16] Wu, F., Zeng, W., Yao, L Y., Hu, M., Chen, Y J., Li, M S (2019) Smoothing Technique Based Beta FEM (βFEM) for Static and Free Vibration Analyses of Reissner–Mindlin Plates International Journal of Computational Methods, 17(02):1845006 [17] Thanh, C D., Con, H T., Binh, L P (2019) Static analysis of Reissner-Mindlin plates using ES+NSMITC3 elements Journal of Science and Technology in Civil Engineering (STCE) - NUCE, 13(3):45–57 [18] Nguyen-Hoang, S., Phung-Van, P., Natarajan, S., Kim, H.-G (2015) A combined scheme of edge-based and node-based smoothed finite element methods for Reissner–Mindlin flat shells Engineering with Computers, 32(2):267–284 [19] Bathe, K.-J (1996) Finite Element Procedures Prentice Hall International, Inc [20] Lyly, M., Stenberg, R., Vihinen, T (1993) A stable bilinear element for the Reissner-Mindlin plate model Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 110(3-4):343–357 [21] Bathe, K.-J., Iosilevich, A., Chapelle, D (2000) An evaluation of the MITC shell elements Computers & Structures, 75(1):1–30 [22] Fluge, W (1960) Stress in shells Berlin: Springer [23] Mousa, A I., El Naggar, M H (2007) Shallow spherical shell rectangular finite element for analysis of cross shaped shell roof Electronic Journal of Structural Engineering, 7:41–51 48 ... số, phổ biến phương pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH), áp dụng Khi phân tích PP PTHH [2] kết cấu vỏ thường rời rạc loại phần tử: phần tử vỏ khối chiều, phần tử vỏ chiều suy biến phần tử vỏ phẳng Trong... đánh số nút phần tử sử dụng để xấp xỉ lại biến dạng cắt mặt phẳng Các biến dạng phần tử ES+NS-MITC3 làm trơn miền kết hợp phần tử chung cạnh chung nút Kết phân tích chuyển vị vài kết cấu vỏ cong... thuyết biến dạng cắt bậc [18] Kết nghiên cứu cho thấy phần tử sử dụng phương pháp làm trơn biến dạng kết hợp có kết nằm kết phần tử sử dụng phương pháp làm trơn biến dạng cạnh nút Dựa kết nghiên