SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2016 -2017 MƠN TỐN LỚP Thi ngày 08 tháng 12 năm 2016 (Thời gian làm 120 phút, không kể thời gian giao đề) - (Đề thi gồm 01 trang) Bài (4,0 điểm) 1) Rút gọn biểu thức: A = 2) Cho A 3 3 3 3 x x x x x x 1 x x 1 2 a) Nêu điều kiện xác định rút gọn biểu thức A b) Đặt B = A + x – Tìm giá trị nhỏ biểu thức B Bài (4,0 điểm) Giải phương trình 1) Giải phương trình : x x x x x3 2) Giải phương trình: x2 5x 12 x2 3x x Bài (3,0 điểm) 1) Chứng minh với k số ngun 2016k + khơng phải lập phương số nguyên 2) Tìm nghiệm nguyên phương trình x2 25 y( y 6) Bài (7,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Gọi C điểm nằm nửa đường tròn (O) (C khác A, C khác B) Gọi H hình chiếu vng góc C AB, D điểm đối xứng với A qua C, I trung điểm CH, J trung điểm DH a) Chứng minh CIJ CBH b) Chứng minh CJH đồng dạng với HIB c) Gọi E giao điểm HD BI Chứng minh HE.HD = HC2 d) Xác định vị trí điểm C nửa đường tròn (O) để AH + CH đạt giá trị lớn Bài (2,0 điểm) Cho a, b, c Chứng minh a b c bc ca ab -HẾT -Họ tên thí sinh:…………… …… …… Họ, tên chữ ký GT1:…………………… Số báo danh:……………….…… ……… Họ, tên chữ ký GT2:…………………… GD-ĐT Quảng Ngãi Bài HƯỚNG DẪN CHẤM THI KỲ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 - 2017 Môn thi : Toán Nội dung Câu 3 Rút gọn biểu thức: A = Câu (1,75đ) 3 A= A= 3 2( 3) ( 1) 2 3 3 3 2(3 5) ( 1) = Điểm 3 3 2( 3) 2 62 2(3 5) 0,75 2 62 2( 3) 2(3 5) 3 3 0,5 0,5 A= 2 x2 x x2 x x x 1 x x 1 a) ĐKXĐ: x A Bài (4 đ) 0,25 0,5 x x3 1 x x3 1 x2 x x2 x A x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 Câu (2,25) x x x x 1 x x 1 x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x 1 x 0,5 x x x x x 2 x b) B = A + x – 1= 2 x x x x x 1 2 0,5 Dấu “=” xảy x 1 x ( TM ĐKXĐ) Vậy GTNN biểu thức B=-2 x=1 0,25 0,25 1) Giải phương trình : x x x x x3 ĐKXĐ : x 0,25 x x 1 x x 1 Bài (4 đ) Câu (2đ) x3 x3 x 1 x 1 x 1 x 1 2 x3 x 1 x 1 1 x3 x 1 x 1 1 (*) Nếu x phương trình (*) x3 x3 x 1 x 1 1 x 1 x 1 x 2 0,5 0,25 0,25 0,25 16( x 1) x2 x x2 10 x 25 ( x 5)2 x (TM) Nếu x phương trình (*) 0,25 Vậy phương trình có nghiệm x=1 x=5 2) Giải phương trình: x2 5x 12 x2 3x x 0,25 Đặt u x2 5x 12, v x2 3x ( u 0, v 0) 0,25 u x2 5x 12, v x 3x u v x 10 2( x 5) 0,25 0,25 0,25 x3 x3 x 1 x 1 2 x x ( TM) 2 Từ (1) 2(u v) (u v2 ) (u v)(u v 2) (2) Vì u 0, v , từ (2) suy ra: u v Vì x2 5x 12 x2 3x (3) Câu (2đ) Bình phương vế thu gọn ta phương trình 2 x 3x x 0,25 x 3 x 3 x 2 2 x 3x x 7 x x (7 x 7) (6 x 6) x 3 ( x 1)(7 x 1) 0,5 x 3 x 1, x tm x 1, x Vậy phương trình có hai nghiệm x = -1, x= Câu (1,5đ) Bài (3 đ) 1) Chứng minh với k số ngun 2016k + khơng phải lập phương số nguyên Giả sử 2016k + = a3 với k a số nguyên Suy ra: 2016k = a3 - Ta chứng minh a3 – không chia hết cho Thật vậy: Ta biểu diễn a = 7m + r, với r 0;1; 1;2; 2;3; 3 Trong tất trường hợp ta có a3 – khơng chia hết cho Mà 2016k chia hết cho 7, nên a3 – 2016k ĐPCM 2) Tìm nghiệm nguyên phương trình: Câu (1,5đ) 0,25 0,5 0,25 0,5 0,25 x2 25 y( y 6) Từ x2 25 y( y 6) Ta có : (y+3+x)(y+3-x) = - 16 0,25 Để ý phương trình chứa ẩn số x với số mũ , ta hạn chế giải với x số tự nhiên Khi đó: y+3+x y+3-x Ta có ( y+3+x)+(y+3-x) = 2(y+3) số chẵn Suy số ( y+3+x ) (y+3-x) tính chẵn lẻ Ta lại có tích chúng số chẵn , số ( y+3+x ) (y+3-x) số chẵn Ta có cách phân tích - 16 tích số chẵn sau đây: -16 = (-2) = (-4) = (-8) thừa số đầu giá trị (y+3+x) Khi y+3+x= , y+3-x = -2 ta cã x= , y= Khi y+3+x= , y+3-x = -4 ta cã x= , y= -3 Khi y+3+x= , y+3-x = -8 ta cã x= , y= -6 Vì ph-ơng trình cho cã c¸c nghiƯm : ( x,y) 5,0 ; 5, 6 ; 4, 3 0,5 0,25 0,5 D Bài (7 đ) C E I A Câu a (1,5 đ) J H B O + Vì ABC nội tiếp đường tròn đường kính AB nên AC BC Suy BC CD (1) 0,5 + Lập luận để IJ // CD (2) + Từ (1) (2) suy IJ BC + Suy CIJ CBH (cùng phụ với HCB ) (3) 0,5 0,5 +) Trong vng CBH ta có: tan CBH Câu b (2 đ) 0,5 CH (4) BH + Lập luận chứng minh CJ // AB + Mà CH AB (gt) + Suy CJ CH +) Trong tam giác vng CIJ ta có tan CIJ + Từ (3), (4), (5) CH CJ HB HI 0,5 CJ CI CJ CI HI HI (5) 0,5 + Xét CJH HIB có HCJ BHI 900 + Nên CJH đồng dạng với CH CJ (cmt) HB HI 0,5 HIB 0,5 + Lập luận để chứng minh HEI 90 + Chứng minh HEI đồng dạng với HCJ Câu c (1,5 đ) 0,5 HE HI + Suy HC HJ + Suy HE.HJ = HI.HC 0,5 + Mà HJ HD; HI HC + Suy HE.HD = HC2 C M 450 A Câu d (2 đ) H O K B N + Lấy điểm M nửa đường tròn (O) cho BOM 450 + Tiếp tuyến nửa đường tròn (O) M cắt AB N Ta có M N cố định + Kẻ MK AB K + Chứng minh MON vuông cân M KM = KN Suy ANC 450 Xét C M Ta có C M nên H K Do AH + CH = AK + KM = AK + KN = AN (không đổi) 0,5 + Xét C khác M Tia NC nằm hai tia NA NM Do ANC ANM 450 + HNC có NHC 900 nên HNC HCN 900 Mà HNC 450 nên HCN 450 Suy HNC HCN Suy HC < HN 0,5 0,5 0,5 + Do AH + CH < AH + HN = AN + Vậy Khi C nửa đường tròn (O) cho BOC 450 AH + CH đạt giá trị lớn Chứng minh a b c bc ca ab Áp dụng BĐT Cauchy ta có a b c a b c Bài (2 đ) 0,5 a 2a bc abc Chứng minh tương tự ta b 2b c 2c ; ca abc ab abc 2a b c a b c 2 Suy bc ca ab abc a b c Dấu xảy b c a a b c (Trái với giả thiết) c a b Vậy dấu = không xảy suy đpcm 0,5 0,5 0,5 ...GD-ĐT Quảng Ngãi Bài HƯỚNG DẪN CHẤM THI KỲ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 - 2017 Môn thi : Toán Nội dung Câu 3 Rút gọn biểu thức: A = Câu (1,75đ) 3 A= A= 3 2( 3) ( 1) 2 3 3