Đề thi thử HSG môn Toán 9 năm 2018-2019 có đáp án - Trường THCS Hồ Tông Thốc là tài liệu dành cho các bạn học sinh đang chuẩn bị thi thử HSG sắp tới. Ôn tập với đề thi giúp các em phát triển tư duy, năng khiếu môn học. Chúc các em đạt được điểm cao trong kì thi này nhé.
PHỊNG GD&ĐT N THÀNH TRƯỜNG THCS HỒ TƠNG THỐC ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Năm học 20182019 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1(5.0 điểm): a) Tìm số tự nhiên n sao cho: n + 24 và n – 65 là hai số chính phương b) Tìm 3 số ngun tố mà tích của chúng bằng 5 lần tổng của chúng. c) Tìm nghiệm ngun của phương trình: x(y + 1) + 2y(x 2) = 0 Câu 2(5.0 điểm): a) Giải phương trình: 3x + x + 10 = 14 x − b) Giải phương trình: 3x 5 + 7 3x = 5x 20x + 22 c) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn : x2 + y2 = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : E = x + y + y+ x Câu 3(4.0 điểm): a) Cho abc = 1. Chứng minh rằng: b) Cho a, b, c > 0 : Chứng minh a b c + + = 1 ab + a + 1 bc + b + 1 ac + c + 1 a+b+c a2 b2 c2 + + b+c c+a a+b Câu 4: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I, K lần lượt là hình chiếu của điểm D trên cạnh AB, AC. Gọi O là giao điểm của EF và AD Chứng minh rằng: a) AE.AC = AF.AB và AI.AB = AK. AC b) Chứng minh: AD.CosBAC = AH.SinABC. SinACB Câu 5(2 điểm) ): Cho tam giác nhọn ABC. Tìm điểm M trong của tam giác sao cho: MA.BC + MB. AC + MC.AB đạt giá trị bé nhất ĐÁP ÁN TỐN 9 Câu Ý Đáp án Điể m Ta có: A n 24 k2 n 65 h2 k − 24 = h2 + 65 k h k h 89 1.89 k h 89 k 45 k h h 44 0.5 0.5 0.5 Vậy: n = 452 – 24 = 2001 Tìm 3 số ngun tố mà tích của chúng bằng 5 lần tổng của chúng Gọi a, b, c là 3 số ngun tố cần tìm Ta có: abc = 5(a+b+c) abc M5 mà 5 ngun tố, nên trong 3 số a, b, c có một số bằng 5 Khơng mất tính tổng qt, giả sử a= 5, ta có: 5bc = 5(5+b+c) bc = + b + c bc − b − c + = b(c − 1) − (c − 1) = (c − 1)(b − 1) = B b,c là các số ngun dương có vai trò như nhau nên ta có các hệ: b −1 = b=2 i) c −1 = c=7 b −1 = b=3 ii) trường hợp này loại vì 4 là hợp số c −1 = c=4 Vậy 3 số ngun tố cần tìm là: 2; 5; 7 C Ta có: x(y + 1) + 2y(x 2) = 0 xy + x + 2yx 4y = 0 x(y + 1 + 2y) = 4y x(y+1) = y + Nếu y = −1 thì = −4 (khơng thoả mãn) + Nếu y −1 thì: 4y x = (1) (y + 1) Vì y và y + 1 là 2 số ngun tố cùng nhau ( HS có thể chứng minh hoặc khơng chứng minh) nên từ (1) để nghiệm x Z thì 4M(y + 1) Suy ra: (y + 1) = hoặc (y + 1) = 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 +) Với (y + 1) = y=0 y = −2 +) Với (y + 1) = y =1 y = −3 0.5 y=0 x=0 y = −2 x = − y =1 x =1 y = −3 x = −3 Vậy ta có 4 cặp nghiệm: ( 0;0), (8;2), (1;1), (3;3) 3x 5 + 7 3x = 5x 20x + 22 (**) x Điều kiện: 3 Áp dụng bất dẳng thức Bunhiacopski ta có: A ( 3x 5 + 7 3x ) (12 + 12 )(3x 5 + 7 3x) = 4 3x 5 + 7 3x = x=2 x=2 5x 20x + 22 = Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2 2 0.5 x = (TMĐK) 1 x y + +2 + x y y x 1 Áp dụng BĐT: + với a > 0; b > 0. a b a+b 1 1 + Ta có + 2 2 x y x +y x y a b với a > 0; b > 0. Áp dụng BĐT: + b a x y x y 2 + Ta có + y x y x Ta có E = ( x + y ) + B 0.5 0.5 3x 5 + 7 3x 2 Mặt khác ta có: 5x 20 x+ 22 = ( x 2 ) + 2 Do đó: (**) 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức E = 9 . Dấu “=” xảy ra khi x = y = A Với abc = 1 a= Thay vào ta có: bc 0.5 0.5 0.5 a b c + + ab + a + 1 bc + b + 1 ac + c + 1 b c bc = + + 1 bc + b + 1 b + + 1 c + c + 1 bc bc bc b bc = + + b +1 + bc bc + b + 1 1 + bc + b + b + bc = =1 b +1 + bc b+c a2 + a ( CôSi) b+c a+c a+b b2 c2 Tương tự : + b , + c 4 c+a a+b B VT + ( a + b + c ) ( a + b + c ) 2 a+b+c a b2 c2 Vậy + + b+c c+a a+b Ta có: 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 N A E F O H M K P I B C D Ta có ∆ABE vng tại E và ∆ACF vng tại F ( vì BE và CF là hai đường A cao của ∆ABC) ﾷ Cos BAC = AE AF = AB AC AE.AC = AF.AB(1) ∆ADC vng tại D có DK là đường cao AD2 = AK.AC Lại có ∆ADB vng tại D có DI là đường cao AD2 = AI.AB Suy ra: AI.AB = AK. AC (2) B Ta có ∆ADB vng tại D SinABC = AD AB Sin ACB = 0.5 0.5 0.5 Lại có ∆CBE vng tại E và ∆AHE vng tại E mà AHE = C( cùng bù DHE) BE AE = BC AH 0.5 0.5 vậy CosBAC SinABC.SinACB AE AD AE : AB AB AH AE AB AH AB AD AE AH AD 0.5 AD. Cos BAC= AH.SinABC.SinACB (đpcm) A M E B C D F Vẽ BE, CF vng góc với AM, tia AM cắt BC tại D Ta có:MA.BC = MA.(BD+DC)= MA.BD + MA.DC MA.BE + MA.CF Do đó : MA.BC Tương tự : : 2SABM + 2SACM 0.5 0.5 MB.AC 2SBCM + 2SABM MC.AB 2SACM + 2SBCM Cộng vế theo vế các BĐT trên ta có 0.5 MA.BC + MB.AC + MC.AB 4(SABM+ SACM+ SBCM) = 4SABC (kđổi) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi MA BC; MB AC; MC AB Hay M là trực tâm của tam giác ABC (Lưu ý: HS sinh có cách giải đúng khác cũng cho điểm tối đa) 0.5 ...ĐÁP ÁN TỐN 9 Câu Ý Đáp án Điể m Ta có: A n 24 k2 n 65 h2 k − 24 = h2 + 65 k h k h 89 1. 89 k h 89 k 45 k h h 44 0.5 0.5 0.5 ... ∆ADC vng tại D có DK là đường cao AD2 = AK.AC Lại có ∆ADB vng tại D có DI là đường cao AD2 = AI.AB Suy ra: AI.AB = AK. AC (2) B Ta có ∆ADB vng tại D SinABC = AD AB Sin ACB = 0.5 0.5 0.5 Lại có ∆CBE vng tại E và ∆AHE vng tại E... a b a+b 1 1 + Ta có + 2 2 x y x +y x y a b với a > 0; b > 0. Áp dụng BĐT: + b a x y x y 2 + Ta có + y x y x Ta có E = ( x + y ) + B 0.5 0.5 3x 5 + 7 3x 2 Mặt khác ta có: 5x 20 x+ 22