Tài liệu Đề thi học kì 1 môn Toán 9 năm 2018-2019 có đáp án được biên soạn bởi Phòng GD&ĐT Huyện Phúc Thọ giúp các em so sánh kết quả và tự đánh giá được năng lực bản thân, từ đó đề ra phương pháp học tập hiệu quả giúp các em tự tin đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới. Chúc các em thi tốt!
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I UBND HUYỆN PHÚC THỌ NĂM HỌC 2018 − 2019 PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 90 phút Câu (2,0 điểm) x +3 x Cho biểu thức M = với x > 0, x ≠ + N = − x + x x − a) Tính giá trị biểu thức N x = b) Rút gọn biểu thức B = M : N c) Chứng minh B > Câu (2,0 điểm) Giải phương trình a) 4x + 4x + = b) 4x + 20 + x + − 9x + 45 = Câu (2,0 điểm) Cho đường thẳng y = (k + 1)x + k (d ) a) Tìm giá trị k để đường thẳng (d ) qua điểm A(1;2) b) Tìm giá trị k để đường thẳng (d ) song song với đường thẳng y = 2x + c) Tìm điểm cố định mà (d ) ln qua với k Câu (3,5 điểm) Cho AC đường kính đường tròn tâm (O;R) Trên tiếp tuyến A (O;R) , lấy điểm I cho IA lớn R Từ I vẽ tiếp tuyến thứ hai với (O;R) với tiếp điểm B Qua O kẻ đường thẳng vng góc với AC cắt đường thẳng BC H a) Chứng minh BC / /OI b) Chứng minh tứ giác AOHI hình chữ nhật c) Tia OB cắt IH K Chứng minh tam giác IOK cân d) Khi AI = 2R , tính diện tích tam giác ABC Câu (0,5 điểm) Cho a,b,c ba số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = (1 + a )(1 + b)1 + c) (1 − a )(1 − b)1 − c) HƯỚNG DẪN GIẢI Câu (2,0 điểm) x +3 x với x > 0, x ≠ + Cho biểu thức M = N = − x x +3 x −3 a) Tính giá trị biểu thức N x = b) Rút gọn biểu thức B = M : N c) Chứng minh B > Lời giải a) Thay x = (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức N , ta được: N= −3 = 2 = = −2 − −1 x +3 x b) B = M : N = : + x +3 x −3 x −9 B = B= B= B= ( x +3 ( x +3 x −3 x +3+ x −3 x +3 x ( )( ( )( x +1 x +3 x +1 x +3 )( x −3 )( ) + ) ( x −3 x −3 x −3 ) x +3 x : ) x x : x −3 x −3 x −3 = )( ( ) x+ x x +3 )( x −3 ) ⋅ x −3 x x +1 c) Xét B − = − = x +3 3 B− ( ( ) + −1.( x + 3) x + 3) 3( x + 3) x +1 x +3− x −3 x = = 3 x +3 x +3 ( Mà x > nên Do đó: B − Vậy B > ) ( ) x > ⇒ x > x = >0 3 x +3 ( ) ( ) x +3 >0 Câu (2,0 điểm) Giải phương trình a) 4x + 4x + = b) 4x + 20 + x + − 9x + 45 = Lời giải a) Điều kiện xác định: x ∈ ℝ 4x + 4x + = ⇔ (2x + 1)2 = ⇔ 2x + = x= 2x + = 2x = (thỏa điều kiện xác định) ⇔ ⇔ ⇔ x = −7 2x + = −6 2x = −7 −7 Vậy tập nghiệm phương trình là: S = ; 2 b) Điều kiện xác định 4x + 20 ≥ x + ≥ ⇔ x ≥ −5 9x + 45 ≥ 4x + 20 + x + − 9x + 45 = ⇔ 4(x + 5) + x + − 9(x + 5) = ⇔ x + + x + − ⋅3 x + = ⇔ x +5 + x +5 − x +5 =4 ⇔ x +5 =4 ⇔ x +5 =2 ⇔x +5=4 x = −1 (thỏa điều kiện x ≥ −5 ) Vậy tập nghiệm phương trình S = {−1} Câu (2,0 điểm) Cho đường thẳng y = (k + 1)x + k (d ) a) Tìm giá trị k để đường thẳng (d ) qua điểm A(1;2) b) Tìm giá trị k để đường thẳng (d ) song song với đường thẳng y = 2x + c) Tìm điểm cố định mà (d ) qua với k Lời giải a) Vì đường thẳng (d ) qua điểm A(1;2) nên thay x = 1;y = vào phương trình: y = (k + 1)x + k , ta được: = (k + 1).1 + k ⇔ = k +1+k ⇔ 2k = ⇔k = b) Đường thẳng (d ) song song với đường thẳng y = 2x + k + = ⇔k =1 k ≠ Vậy k = đường thẳng (d ) song song với đường thẳng y = 2x + c) Gọi M (x ;y0 ) điểm cố định mà (d ) qua Thay x = x ;y = y vào phương trình y = (k + 1)x + k , ta được: y = (k + 1)x + k ⇔ kx + x + k = y ⇔ kx + x + k − y = ⇔ k (x + 1) + x − y = (1) x = −1 x = −1 x + = ⇔ ⇔ Để (1) với k ⇔ − = = x y x y 0 y = −1 Vậy (d ) qua điểm cố định M (−1; −1) với k Câu (3,5 điểm) Cho AC đường kính đường tròn tâm (O;R) Trên tiếp tuyến A (O;R) , lấy điểm I cho IA lớn R Từ I vẽ tiếp tuyến thứ hai với (O;R) với tiếp điểm B Qua O kẻ đường thẳng vng góc với AC cắt đường thẳng BC H a) Chứng minh BC / /OI b) Chứng minh tứ giác AOHI hình chữ nhật c) Tia OB cắt IH K Chứng minh tam giác IOK cân d) Khi AI = 2R , tính diện tích tam giác ABC Lời giải a) Chứng minh BC / /OI I K H B E A C O Xét (O;R) có AI BI tiếp tuyến cắt I nên IA = IB Ta lại có: OA = OB = R Do đó: OI đường trung trực đoạn thẳng AB ⇒ OI ⊥ AB Vì ∆ABC nội tiếp đường tròn đường kính AC nên ABC = 900 ⇒ AB ⊥ BC OI ⊥ AB ⇒ BC / /OI BC ⊥ AB b) Chứng minh tứ giác AOHI hình chữ nhật Xét tứ giác AOHI có: IAO = 900 (vì AI tiếp tuyến (O;R) A ) (1) AOH = 900 (vì OH ⊥ AC ) (2) Xét ∆AIO ∆OHC có: IAO = HOC = 900 OA = OC = R IOA = HCO (Hai góc đồng vị, BD / /OI ) Do đó: ∆AIO = ∆OHC (g c.g ) ⇒ IO = HC (Hai cạnh tương ứng) Mà IO / /HC ⇒ Tứ giác IOCH hình bình hành ⇒ IH / /OC hay IH / /AC (vì O trung điểm AC ) IH / /AC ⇒ IH ⊥ OH ⇒ OHI = 90 (3) OH ⊥ AC Từ (1), (2) (3) suy tứ giác AOHI hình chữ nhật c) Tia OB cắt IH K Chứng minh tam giác IOK cân I K H B E A C O Vì tứ giác AOHI hình chữ nhật nên AIH = 900 Ta có: OIK = 900 − AIO Ta lại có: AOI = 900 − AIO (vì ∆OAI vuông A ) ⇒ AOI = OIK Mà IOK = AOI (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) Suy ra: OIK = OIK Vậy ∆IOK cân K d) Khi AI = 2R , tính diện tích tam giác ABC I K H B E A C O Gọi E giao điểm OI AB Theo câu a) ta có: OI đường trung trực đoạn thẳng AB ⇒ AB ⊥ OI E AE = EB Xét ∆IAO vng A , có AE ⊥ OI Theo hệ thức lượng tam giác vng, ta có: 1 = + AE IA2 OA2 1 1 = + = + = AE (2R)2 R 4R R 4R 4R ⇒ AE = ⇒ AE = 2R ⇒ AB = 4R (Vì E trung điểm đoạn thẳng AB ) Áp dụng định lí Pitago vào ∆ABC vng B AC = AB + BC ⇒ BC = AC − AB 2 4R 16R 4R 2 2 BC = (2R) − = = 4R − 5 5 ⇒ BC = 2R Diện tích tam giác ABC là: S ABC 1 4R 2R 4R = ⋅ AB ⋅ BC = ⋅ ⋅ = 2 5 Câu (0,5 điểm) Cho a,b,c ba số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = (1 + a )(1 + b)1 + c) (1 − a )(1 − b)1 − c) Lời giải Vì a,b,c > a + b + c = nên ta có: −a = b +c > 0; −b = a +c > 0; −c = a +b > Ta có: + a = + (1 − b − c ) = (1 − b) + (1 − c ) ≥ (1 − b)(1 − c ) (BĐT Cauchy) Tương tự: + b ≥ (1 − a )(1 − c ) (BĐT Cauchy) + c ≥ (1 − a )(1 − b) (BĐT Cauchy) (1 + a )(1 + b)(1 + c ) ≥ (1 − a )2 (1 − b)2 (1 − c )2 = 8(1 − a )(1 − b)(1 − c) ⇒ (1 + a )(1 + b)1 + c) ≥8 (1 − a )(1 − b)1 − c) Dấu “=” xảy − a = − b = − c ⇔ a = b = c Mà a + b + c = ⇒ a = b = c = Vậy giá trị nhỏ A a = b = c = ... ≥ (1 − a ) (1 − c ) (BĐT Cauchy) + c ≥ (1 − a ) (1 − b) (BĐT Cauchy) (1 + a ) (1 + b) (1 + c ) ≥ (1 − a )2 (1 − b)2 (1 − c )2 = 8 (1 − a ) (1 − b) (1 − c) ⇒ (1 + a ) (1 + b )1 + c) ≥8 (1 − a ) (1 − b )1. .. = (1 + a ) (1 + b )1 + c) (1 − a ) (1 − b )1 − c) Lời giải Vì a,b,c > a + b + c = nên ta có: −a = b +c > 0; −b = a +c > 0; −c = a +b > Ta có: + a = + (1 − b − c ) = (1 − b) + (1 − c ) ≥ (1 − b) (1. .. = (k + 1) x + k , ta được: y = (k + 1) x + k ⇔ kx + x + k = y ⇔ kx + x + k − y = ⇔ k (x + 1) + x − y = (1) x = 1 x = 1 x + = ⇔ ⇔ Để (1) với k ⇔ − = = x y x y 0 y = 1 Vậy (d