Toán cao cấp tập III (a3)

NGUYỄN VAN KHUÊ (Chù biền) PHẠM NGỌC THAO - LẺ MẬU HÀI - NQUYỄN đ ỉn h sa n g TOÁN CAO CẤP TẬP III (Ag) N H À XUẤT B Ả N G IÁ O D Ụ C -1997 51-517 (076) 214/591- 97 G D -97 M ả số: D T T B C hương XV PHƯƠ NG TRÌN H \n PH Â N (THƯỜNG) iO M Ở Đ Ẩ U 0«1 C c k h ả i n i ê m c b ả n (i) P hư ơng tr in h vi ph&n (thưòng) phương tr ìn h có t h a m g i a : m ộ t biến độc lậ p X, ẩ n h m y(x), v c c đạo h m (hay vi p h â n ) củ a tâi cấp "n” đó, dạng: F (x ,y y , = (0.1) F m ột h m đă cho củ a đối sô' X, y y \ , miển Cấp đạo h m cao n h ấ t "n" (0.1) dược gọi cấp phương tr ìn h N ếu th a m gia với n h ữ n g liãy th a m bậc cao n h ấ t k th ì ‘*k" dược gọi bậc phưcíng trìn h (ii) N g h iệ m H àm cp(x)» X e (a,b), k h ả vi tới cấp n đưỢc gọi nghiệm phương tr ìn h (0, 1) th a y (0, 1) y = ọ(x), = (p'"^(x) th ì xác đ ịn h trồ th n h n h ấ t thức t r ê n (a, b); F (x, đểu th ẽ m vào vốn m ộ t cách liên tục Hòi tro n g bao n ăm vỔTì s ẽ đ ẹ t tói 0 0 $ H ướng d ẫ n N ế u X = x(t) vốn đ t tõi ố th i điểm l n ăm t h ì X n g h i ệ m c ủ a h i t o n Côsi — = 1000+ — X dt 10 x ( ) = 1000 T ì m n g h i ệ m x ( t ) c ủ a b i t o n n y g i ả i p h n g t r ì n h x(T) = 100.000, t a thòi gian T phải tìm T = 10 InlO n ảm b) Giải p h d n g t r ì n h vi p h â n (Bernoulli) , y * Đ.S: y = 10 sinx (C 08 X ^ s i n x , _ « y + - ^ ( c o s x - l)y* = + Ce” ")-*'® C hứng m in h r ằ n g họ h m dạng y = [f(x) +cf,(x)]" đểu n f h iệ m củ a p h d n g t r ì n h (Bernoulli) dạng: ệ - + A(x)y + B(x)y’’ = dx Lòi giải: Dề t h ấ y r ằ n g z = f(x) + cfj(x) = y " ' n g h iệ m phương tr ì n h z '- - í ^ z f.(x) - f(x) + f ( x ) ^ = f,(x) Tù y n g h iệ m c ủ a phương tr ìn h cho vổi: A(x) = - m ^ : ỉ ^ , f|(x) B(x) = m — - H - : fi 11* Giải phưởng t r ì n h vi phân (Ricatti) p = -^— • m y' = + (y x 2) a ( x ) H n g dần: Rỗ r n g (x) - X m ột n ghiệm riêng Dể th ấ y r ằ n g n ế u z = y • X z nghiệm m ột p h d n g t r i n h Bernouỉỉi 12 G iả i p h d n g tr ìn h (C ỉairaut): y = xy’ + ly' y'+ l H n g dẫn: N ghiệm tổng q u t họ đường th ă n g ; IC y = Cx + C -1 N g h iệ m b ấ t thuòng, bao h in h c ủ a họ đưòng cong t h a m 8Ô' (C): X= (C-l)2 13 c c ( C - l )2 ^ C - Cho phương t r ì n h a(X) f(x, y) + b(X) g(x, y) + cịX) = tro n g X t h a m 80 C h ú n g m in h r ầ n g , b ằ n g p h é p đổi biến X = f(x, y), Y = g(x, y), ta họ đ òng t h ẳ n g (trê n m ặ t p h ản g X.Y): a(X)X + b(X)Y + c(X) = n g h iệ m tổ n g q u t củ a p h ng tr ìn h Cỉairant» giải phương t r ì n h H n g dần: T a c6 a(X)dX + b(X)dY = 0, vx 14 G iải phương tr ìn h vi phân: X + y = y iil H n g dẫn: Đó phưdng t r i n h Lagrange N g h iệ m tổng q u t cho ỏ t h a m biến u là: c + X = X(u C) = ( u - l) u+ y = Y(u C) = - c + (u-1) 8) d y - ỵ ^ l H ^ d x = X dy = (sau n h â n với x) Đ.S: 2) e * + e ’’ (x'' + l) = C 4) x ‘ + - y' = c 6) y = xtg(x + C) 7) ex + xlny + ylnx - cosy = c 8) x y + C 08X = c 17 C h ứ n g tỏ r ằ n g h m cho dưái d ẳ y lả th a s ố tích phân ph n g tr ìn h vi p h â n tư d ng úng giải chủng: ) (x + y ) d x - x d y = ; /x^ ) y d x - x d y = 0; Đ S a) y2 , b) ^ l ) y = C x^-x; c) — ■ d ) „ ^ — xy x ^ + y2 , 2) y = Cx 18 Giải phương tr ìn h vi p h ấ n aau đây: ) y - + y' = 4) xy" = y" = 2) 5) 2y* - (y’)2 + = y" + xy' = 3) y" - y = 6) y" + (Ii*y = x* Đ S : )y l ) y = C ,e‘ + C2 : = c, e ’ dx + c , 4) y = c,x‘ + C 2X + Cj, d ù n g phép t h ế y = q 3) y = CjSh (x + C 2) 19 Giải phương t r ì n h sau: í 1) d^x 2) y- +6y' + 5y = + 2ì! ^ = dx 4) y" + 6y' + 9y = 3) y" + y' + y = 5) y" - 2y' + 4y = Đ s 2) y = C iC ' + C^e -&x l ) y = c , + € 26-*' 3)y= e >/3 Vs CiC - ^ x + Cọ sin-— X * ^ 4) y = (C, + C^x) e-2‘; 5) y = e ‘ (CiCos X+ C j C o s ^ x) 20 Giải phư dn g t r ì n h sau: l ) y " + y' = x ) y " + y = 8inx ) y - + 2y' + y = e ‘ 5) y- + y = * cosx ) y " - y = e‘ X € Đ*s ) y = c , + C^e * + - e * 2 ) y = C |C S X + C j S Ì n x - X c o s x )y = (C ,+ Q x )e -'+ 4) y = C j e “ + C jX + - X e* 5) y =A C 08X + B 8Ìnx X sinx + co«x In(cosx) 21 Vói phương trình: y* + 2ay' + b = f(i) m ột n ghiệm riên g ẹ cỏ th ể tìm dưói d n g s a u đây, h ằ n g sơ' t h a m gia cẳ n xác đinh, t u ỹ th e o d n g củ a hàm f (phương p háp h ệ ố b ấ t định): f(x) = e” r k h ông n g h iệ m phương t r ì n h đ ặ c tr n g r nghiệm đơn r nghiệm kép sinkx coskx ki k h ô n g ỉà n g h iệ m phương t r ì n h đ.t a^x + bx u k h ô ng lầ n g h iệ m phương tr ìn h đ.t n g h iệ m đơn n g h iê m kép • • TCC• n N e h iộ m r iê n g ọ = Ae" Axe™ Ax^e" Acoskx + Bsinkx Ax'’ + Bx + c Ax^ + Bx* + Cx Ax* + Bx* + Cx* 57 Giải phương tr ì n h s a u b ằ n g phương p h p h ệ 8Ô' b ấ t định: 1) y" 3y - lOy - -3 2) y" + y = 4) y** - y' - 6y = e’* - C X co83 x 5) y" + 5y' 3) y** ^ y s e* + 15x^ 6) y" - 3y = €^‘ - 12x H ng d ẫ n : N éu f = f, + f + th ì tìm (p = t r o n g dó (Ị>J có d n g tUđng t h íc h với fi (i= l ) 1) y = c,e®* + C + 2) y = C ịC O S x + C ị S Ì n x 3) y = 10 - C i e * + C a e ' * - X* - — cos3x + - xe* ứ áQ 4) y = CiÊ^* + Cje-*‘ - — + — cosx 60 5) y = Cj + Cje'®* + X* + 50 , sinx - — X 25 6) y * c , + Cje3* - x^ + -X + -xe^* ' ^ 22 3 Giải p h o n g t r ì n h sau b ằ n g phư d ng p h p h ệ s ố b ấ t đ ịn h với n g h iệ m riẽ n g cho tư n g ứng: 1) y" - 5y‘ 2) y" - 3) xe®*; < p (x ) = A x ^ e * * + B x e ^ ‘ = C08 X + s i n x ; •1 a) A ^2 0 liên tục và: ^3 ỉầ n h ữ n g s ố (thực) fx 0 X 0 Xj 'a d) A = b -b a 0' 0 kj ^^1 b) A = ^0 ^2 0' ^3' X, —X, BÀI TẬP BỔ SUNG ■ 1.C h ú n g m in h rằng: n ếu t r ì n h tu y ế n tí n h