Giáo trình độ đo tích phân lưu hành nội bộ

B ộ GIẢO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGÂN HÀNG PHÁT TRIỂN CHÂU Á MOET ADB Dự ÁN PHÁT TRIỂN GIÁO VIÊN THPT & TCCN - TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRÀN VÀN ÂN - KIÈU PHƯƠNG CHI GIÁO TRÌNH Độ ĐO-TÍCH PHÂN ệ (Lưu hành nội bộ) H À N Ọ l-2 M Ụ C LỤC M đầu Lý th u y ế t đ ộ đ o Đ ại số c ác t ậ p h ự p c o n H ứ n g d ẫ n t ự h ọ c 1.1 Đ i số , - đ i s ố 10 1.2 íT-đại số B o r e l 12 12 D ộ đ o t r ẽ n đ i số c ác t ậ p h ợ p c o n 13 H ớiig d n t ự l i ọ c 13 2.1 K h i u iệ n i v í d ụ 14 2.2 T íiili c h ấ t c ủ a đ ộ đ o 16 18 B i tậ p B ài tậ p T h c tr i ể n đ ộ đ o 19 H n g d ẫ n t ự h ọ c 19 3.1 D ộ đ o n g o ài v độ đ o n g o i sin h m ộ t đ ộ đ o 20 3.2 T ầ p đ o đ ợ c th e o C a r a t h é o d o r y 22 3.3 T h c tr i ể n đ ộ đ o 25 27 Dộ đ o L e b e sg u e tr ẽ n R * 29 lỉư iig d ẫ n t ự h ọ c 29 4.1 D ộ đ o L c b e sg u e tr ẽ n R 29 4.2 D ộ đ o L e b e sg u e tr ô n 37 B ài tậ p B ài tậ p Ỉ8 Mì H àm đo d ợ c H ướng d ẫ n tự h ọ c w 5.1 K h niệm h m đo đ ợ c -U 5.2 T ín h c h ấ t c ủ a hàiii đ o đ ợ c 43 5.3 C ấu trú c c ủ a hàin đ ự c 48 5.4 Hội tụ th e o độ đ o 51 5.5 H đ ịn h lý c ấ u trú c h àm đo đ ợ c 54 55 B ài tậ p T íc h p h â n L e b c sg u e T ích p h â n R iem anu n hữ iig h n chế c ủ a n ó r>8 H ướng d ẫ n tự h ọ c 58 1.1 T íc h pliâii R ieinaiin trẽ n g ian đóng, bị ch ặn tro n g R ” 59 1.2 T íc h p h â n R iem an n tr ẽ n tậ p bị c h ặn tro n g liC 1.3 M ộ t số h ạii chế c ủ a tíc h p h âii R ie m a n n G7 T ích p h â u c ủ a hàm (lơii g iản đưực không â i n (iS H ướng d ẫii tự h ọ c (58 Đ ịn h n g h ĩa V?1 ví d u 68 2.2 T ín h c h ấ t tích p h â n h àm đờn g iản đo dược khỗng â m 70 73 T ích p h ả n c ủ a h m đo khõng â m 74 H ưđng d ẳii t ự h ọ c 74 3.1 Đ ịnli n g h ĩa ví d ụ 74 3.2 T ín h c h ấ t c ủ a lích ph&n h m đo khơng â a i) 77 80 T ích p h a n c ủ a h ầ m đo đ ợ c 80 H ướng d ẫ n t ự h ọ c 80 4.1 Đ ịiìh n g h ĩa VI d ụ 81 4.2 T íiìh c h ấ t c ủ a tích p h â n h àm đo đ ợ c 82 B ài tậ p B ài tậ p 58 Bài tậ p 91 Q u a n hệ g iữ a d o hàm tích p h â n tro n g R 92 H ưđng d ảií t ự h ọ c 92 5.1 Hìun có biến p h â n bị c h ậ n 92 5.2 T n ii lại Iiguyổii hàm 94 Mối q u a n hệ giừ a t íd ỉ pliâii R ieinaiiii v ticli p h â n L e b e s g u e 97 H ướng đ ẫ n t ự h ọ c 98 6.1 M ối q u a ii hệ giữ a tích p liãỉi R iem an ii tíc h p h ã n Lebesgue trơ n gian đón g bị chặn A c R ” 6.2 B ài tậ p trổ ii |a + o o ) 99 101 103 H ướng d ẳ ii t ự h ọ c 103 1.1 M ộ t số kién th ứ c b ổ trợ 104 1.2 P h â n h o ạch đơn v ị 107 110 U ịnli lý biểu diẽii K ie s z Ill HưOiig u ẫ íi t ự h ụ c 111 2.1 Đ ịn h lý biểu diSn R ie s z Ill 2.2 T ín lí c h ỉn h q u y c ủ a đ ọ đo B o r t ỉ l 119 122 Độ đ o H a a r 122 H ướng d ẫ n t ự h ọ c 123 3.1 BỔ trợ nhóm t p õ 123 3.2 Độ đo H a a r 127 135 Bfti tậ p 103 K h õ n g giait c o m p ắc đ ịa phươtỉg v ph&ii h o ạch đơn v ị B ài tậ p 98 M ối q u a n họ giữ a tích p h a n R io raan n v tích p h â n Lobcsguc Đ ộ đ o B o rc ld n g tr ổ n k h õ n g g ia n tõ p ổ c o m p ắ c đ ịa p h đ n g Bài tệ p K h ô n g g ia n 13G H àin lồi b ấ t đ ả n g th ứ c bổ | riO Hưđrig d ẫ n t ự h ọ c 1.1 H n i l i 1.2 B ấ t đ ả iig th ứ c b ổ t r Ợ I3N 1-ỉl K hông giaii Z.'’( / i ) 1-11 Bài tậ p H ướng d ẫii t ự h ọ c 2.1 K h ô n g giari l ‘í l 2.2 X ấp x ỉ h m liên t ụ c 146 148 B ài tậ p H ưứng d ẫ n Ôn tậ p 150 H n g d ẳ n g iả i b i t ậ p 151 T i liệ u t h a m k h ả o 168 C h ỉ số 1C9 MỞ Đ Ầ U H ọc p h ầ ii D ộ đ o - T í c h phÃii hục p h ầ n b ắ t b u ộ c tro n g chương trìn h k h u n g đào tạ o trìn h độ đ i h ọ c n g n h Sư p h m toAĩi h ọ c V iệc triể n k h a i đ o tạ o đ i học th e o liộ t.liống tín ch ì đ ã tạ o đ iề u kiện cho sinh v iê n p h t h u y k liả n a n g tự học, t ự n g h iên cứii đ ó th i lư ợ ng h ọ c t ậ p trê n lớp g iâ n i b đ t k h n h iề u T u y n h iên giáo trìiili v iế t trư c đ â y chủ yếu p h ụ c v ụ cho đ o tạ o th e o h ìiứ i th ứ c lúơu chế, c h a đ ặ t Iiặng m ục tiê u hư n g đ ẫ n sin h v iên t ự h ọ c t ự n g h iên c ứ u đ ể chiếm lĩn h tri th ứ c , liỡn n ữ a m ộ t sé giáo trìn h nội d u n g k iến th ứ c đ ợ c v iế t n ặ n g tín h liàn lâm c h a có p h ầ n hư n g d ẫ n t ự h ọ c v n h iề u v í d ụ c ụ th ể m in h lioạ, hướug d ẫ u giải b ài t ậ p c h a đư ợ c n h iều N hiều tà i liệu cùn trìỉỉh b y kìiái Iiiệ in độ du tíc h p h â ii r ấ t tổ n g q u t, cétch tr ìn h bày h iộ n đ i n h ằ m m ụ c tiê u p h ụ c v ụ cho trìn h bày s a u c ủ a G iả i tíc h h m h iện đ i Đ ối tư ợ n g p h ụ c v ụ rộ n g v ầ hướ ng tới d n h cho sin h viỗn c ác lớp cử n h ă iỉ tè i n&ng ch n g tr ìn h ti@n tiế n , học viSn cao học nghiỗri c ứ u sin h D o đó, m ộ t p h ậ n k h ô n g n h ỏ s in h v iên r ấ t khó sử d ụ n g tà i liệu tr ê n cho việc t ự học Vì việc b iẽ n so n g iáo tr ìn h D ộ đ o -T íc li p h â n đễ p h ụ c v ụ cho công tá c đ o tạ o th e o h ìn h th ứ c h ọ c ch ế tín ch ĩ r ấ t cần th iế t T ro n g ch n g tr ìn h k h u n g đ o tạ o Ih e o h ệ th ố n g tín chì c ủ a n h iề u trư n g có đ o ta o eiáo viẽn to ji liọc p h ầ ii Do đ o - Tíoh phÃn crt lượng tín chì, vđi nội d u n g chù yếu k h i niộm v tín h c h ố t c ù a đ ọ đ o v tíc h p h â n K hi b iên so ạn giáo trin h n&y c h ú u g tố i d ă cố g ấ n g tiế p cậii c ác g iáo tr ìn h h iệ n có đ ộ đ o , tích ph&iỉ, nội đ u u g h iệ n đ i, c ậ p n h ậ t đ ộ đ o v tíc h p h â n vđi m ụ c tiẽ u n h ằ m p h ụ c v ụ việc đào tạ o th e o hệ th ố n g tín Đối tư ợ iig h n g tđ i c ù a g iáo tr ìn h gồm sin h viẽiỉ nãin th ứ b a k h o a T b ii c ác trư n g đ i b ọ c sư p h m N goài , cu ố n sách n y cố tliế làm giỂio tr ìn h sácli th a m k h ảo cho siiih v iên k h o a T o án trư n g đại học k h o a học t ự nliiỗn, học viOu s a u đ ại h ọ c v nghiGn u s in h chuyCn Qgàiih G ỉài tích H ạii ch é c ù a giáci tr ìn h cố th ề th ấ y c b a đ a vào đ ự c n h iè u nộ i d u iig v chuyên s â u , g iú p sin h viên tìn i h iể u c ác k iến th ứ c v k é t q ủ a c ộ p n h ậ t p h ụ c vụ cho nghiSn c ứ u S&U h n tro n g lĩn h vự c Vỉ đ iề u k iệ n s6 tra n g n ẽ n m ộ t số chứtig m in h c ủ a lu ộ t số k ế t q ủ a chúiig tố i p ìiải lược b ỏ v d iứ i cho đ ộ c g iả x em Iihửng b ài tậ p Đ ể tiế p th u tố t giáo trìiili địi hỏi người h ọ c p h ả i đư ợ c t r a n g bị tố t cốc kiến th ứ c giải tích cổ đ iể n , đ ại số tu y ế n tín li, đ ại Bố đ i cư ng, cốc k i í n th ứ c tơ p đ ại cươiig- N gồi việc n m v ữ n g kiéii th ứ c trẽ n , địi liỏi lìgười h ọ f p h ả i c t d u y su y luộii trừ ii tư ợ ng v n ắm vững p h n g p h p tiê n đề Với ý giáo trin h b ố cục gồm chưongC hương tr ìn h bày lý tlm y ế t độ đo, m ộ t lỉội d u n g q u a n trọ u g , đ n g th i sỏ đ é xây d ự n g tícli p h â n L ebesgue C h n g D ã có a h iề u g iá o triiilt tà i liệu th a m k h ảo trìn li bày v-ấii đ ề này, tro n g tà i liệu ch ú n g tơ i tr ìn h b y dộ đo trê n đ ại số, h ìn h th n h k h niệm độ đo Ltíbesgue n hờ q u tr ìn h th c tr i ẻ n độ đo, trìn h bày khái n iệm hàin đo x é t tín li c liấ t c ù a C hương triiib bày lý thuyết tích phâii Lebesgue tlieo lược đồ: tích phân hàni đơn giản, đo khơng â n i, tíc h pliÃii hãiji đo đư ợ c k h ô n g âm , tíc h p h â ii h m đ o đư ợ c b ấ t kỳ th e o phư ng p h p k in h điển m tá c g iả n h R udiri, H oàiig T uy N g u y ễn Đanli N guyễn H o iig ,- đ ã trìn h bày tro n g cu ố n sác h c ủ a họ C hư ơag tr ìn h b y kién th ứ c sd đ ộ đo B orel c h ín h q u y tr ẽ n k h ô n g g ia n tõ p o coinpẳc d ịa phưong C hương trìn li bày vấỉi đề q u an trọng củ a kliôiig giaỉi Nội du iỉg Chưdng Chương c h ứ a đự n g lihữiig k iến b ảii cầii th iế t vè lý th u y ế t đ ộ đo v tíc h p h â n nhKm cu n g cấp cho sinỉi viên nfim th ứ ba Nội (lung Chương v chứft đ ự n g n hữ ng kiến th ứ c n â n g cao vè lý th u y ế t đ ộ đ o tíc h p h â ii đ ể s in h v iên k h giỏi học viẽn s a u đ ị học th a iii k h ảo Iihàin tiế p oậiỉ với lĩn h vực k h c c ủ a g iài tíc h đ ại C ác nội duitg trỗti đ ợ c cliủ yỗu trìiiỉỉ bày d ự a trê n tà i iiệu Ị 1UJ c ủ a R udin C ác vấn dề trìn h bày tro n g tà i liệu có th ẻ k h ó sin h v iên có tr i n h độ tru n g b ìn h tr â xuống C ác tá c g iả đ ã cố gắiig trìn h bày chi tiế t v từ n g bước, từ dễ đếii khó nội d u n g trê u a h ầiii tạ o đ iều k iện cho sin h v iên v học viSn s a u rđại học tliuậỉỉ lợi tro n g q u trìn h học t ậ p tlieo h ệ th ố n g till cliì C ác tá c g iả x in c h â n t h n h c ả m n B an đ iề u h n h D ự n P h t t r i ể n G iáo viiên T r u n g Học p h ổ th ô n g v T ru n g c â p c h u y ê n n g h iệ p , G S T S K H N g u y ễ n M n h H ù n g T S L ê Đ ìn h Đ ịn h , P G S T S K h u ấ t V àn N in h , P G S T S P h m K h c B a n , P G S T S T Q u a n g H ả i, P G S T S Đ in h H u y H o n g đ ã đọc k ỷ b ả n th ả o v cứio n h iề u ý k iế n q u ý b u đ ể giáo tr i n h h o n c h ỉn h h n M ặc d ù c h ú n g tô i (đã d n h n h iề u th i g ia n v sức lực cho g iá o tr ìn h n y , s o n g s ự th iế u s ó t ỉ k h ô n g tlhể t r n h khỏi C ác tá c g iả r ấ t m ong n h ậ n s ự góp ý c ủ a b n đọc v đ n g nghiệpi C c tá c g iả TRẰN VAN ẢN, KIỀU PHƯONG CHI D ộ đo-T ích phãn CHƯƠNG LÝ T H U Y Ế T Đ Ộ ĐO Nliư t a đ ã b iế t k h i n iệm tíc h p h â ri x c đ ịn ỉi, tíc h p h â n tr ẽ n m iền đ ó n g bị ch ận có liên hệ c h ặ t chỗ với k h i Iiiệm độ d i đ o n th ả n g , d iệ n tíc h c ù a m iền đ ó n g bị chận Vì đ ể m rộ n g khái niệni tíc h p h â n người t a th ấ y rằ n g c ầ n p h ả i raỏ rộng, "ch;iih xốc h o " cốc k h i n iệm n h “độ dèd’’ đ iệ n tíc h ”, D iề u n y d ả ii tớ i v iệc hình tlià iih k h i n iệ m đ ộ đo Lý th u y ế t đ ộ đo g ắ n liền với tẽ n tu ổ i c ủ a n h to n hục E B orel, H L eb esg u e, c C a ia tlỉé o d o ry C hương n y d n h cho việc trìn h bày lý th u y ế t đ ộ đ o tr ê n đ i số, phươ ng p h p th ác triể n đ ộ đ o lẽn m ộ t -đ ị số b àỉig c c h sử d ụ n g đ ộ đ o n g o ài th e o C a th é o d o ry v khái n iệm h m đ o P h ầ n cuối c ủ a chư ơng đ ợ c d n h cho việc tìm h iề u c ấ u trú c c ủ a h m đ o đư ợ c đ ể làm sỏ c h o việc đ ịn h Iig lỉĩa tíc b p h â n L eb esg u e ''h íiig sau T ro n g cliương n y nói đ é n họ t ậ p t a hiỏu m ộ t họ Iihữiig tậ p c ù a m ộ t t ậ p h ợ p X n o đ ó cho trư c Dể tié p th u nội d u n g c ủ a Chương, sin h v iẽn c ầ n có k iến th ứ c cd b ả n lý th u v ế t tậ p h ợ p T p ô đ i cương TVước m ỗ i nội d u n g c ụ th ể đ ề u c h đ n g d ẫ n tự học d iig c&u hỏi H ệ th ố n g c ă u hỏi n y cũ n g có th ể đ ợ c 8ử d ụ n g đ ể m ố i sin h vi ỉ tự kiểm t r a iiau h ụ c nội d u iig D ại số tậ p hợp Hướng d ẫ n t ự học T rình b y k h i n iệm đại số v nSu v í d ụ m in h hoạ '!Vìnli bày đ iề u kiện tư n g đươ ug vđi đ ịn li n g h ĩa đ ại số '!Vình b y k h i n iệm - đ i s6 n ẽ u v í d ụ m in h hoạ TRẢN VÀN ẢN KIÈU PHƯONG CHI 10 Dở tÌo -T ir h phán Trìiili bày đ iề u kiện tư d n g đươ ng với địnỉi n g h ĩa cT-đạĩ số õ T rìuli t)ày inéi q u a n iiỌ giữ a cáe kliái niệm ’.ỉại số v i7 -đ ại số - G iao c ù a m ộ t họ đ ại số {ơ-đại số) có đ ại số (ơ -đ i số) hay k h ố n g ? 7- Trìiili bày kliái niệm đ i số (ơ -đ i số) ^ { C ) sinli h ọ c Trìiilỉ bày k h i uiệm -đ i số Borel tập Borel G iải b ài tậ p cuối inục 1.1 Đ ại số, ơ-đại số 1 D ị n h n g h ĩ a C ho tậ p hỢp X v họ A khốc rỗ n g tậ p c ù a X 1) Họ Á gọi m ộ t đại số trẽ n X tlio ả n iã a c ác đ iều k iện s a u ( o} € ^ V í d ụ G iả sử (À', Á ) khõiig g ia n du (Iưực /4 ^ v / liàin h àn g , ngliĩa / ( r ) = c với m ọi X € -'1- K lú / đo Th ật với m ọi (1 € R t a có N ếu a ^ c th ì {x /1 : f { x ) > a ) = ộ ^ A N éu a < c th ì {x € ; / ( x ) > a} = A e Vậy / h in đ o được5 D ị n h lý Giả sứ / : A ' — » R rnỌt h m đo K h i khẫng định sau tương đương ì f đo được; Với m ọ i e R íđp { r € ^ : / ( ) ^ a} e A: Với m ọ i a € R iập [ t £ A : f { x ) < fi} € Ả: Với m ọ i a € R tập {a- e : f { x ) < a} € A Chứng m inh L u ỹ rằ n g {x € : f { x ) < a} = /1 \ {a; G / t :f { x ) Ị ( x ) < a} = /1 \ {i- e : f { i ) > q} v >1 m ộ t ơ*đại số nơn t a có (1) (2) (4) T a chì cần chứiig Iiiiiili (1) (!) ^ a} , { r e (2) « (2) V ì Ịa, + 0 ] — pỊ ( ° - • n=l {o.' e -4 ; / ( x ) - ỷ a ) = / " '{ Ị a ,+ c o Ị } = / " ' ( p ( a ns?l = “ - + » ^ 1) = n=l ^ n = \ > a - + o o |) G (3) : TRẦN VAN ÂN, KIỀU PHƯƠNG CIỈỈ N ếu ^ kv th ì với b ấ t a e R ta D ộ d o -T ic h phăĩì 44 có (1 {j- € A : / ( x ) < - } {x e : / ( i ) > a -} Iiéu Q > C léu a < nẽn { j € : f t/ { z ) < a] ^ A Vậy cxỊ đo clược trê ii A ii) T r n g hỢ p | / Ị “ - Lấy b ấ t kỳ G R N ếu a < tlii | i ' € A : [ / [ “ ( i ) < a ) é ^ A nốu Q > th i ị x € A : | / r ( x ) < a } = ị x e ,4 : | / | ( i ) < d" } = ^ {i : f ( x ) < íi - } n { i e -l : f { r ) > } e >1, Vậy 1/1“ trê n A (2) G iả sử tt € R - Lưu ý rà n g với X € /1 f { i ) , g { x ) G R nẽii t a có f i x ) + g(x) < a < ^ f { x ) < a - g{x) 3/1 N , r„ Q : f { x ) < r„ < a - g{x) Vì th ế từ g iả th iế t f g đ o A -đ ại số t a có e : f Ì T) + g { x ) < a ) = [ J ( { x e A : f ( x) < r „ }n {x Ễ A : gi x) < a - r „ } ) e A n —i Vậy / + (J (Jo đưực T suy r a / - g đo dược tr^ iỉ A \-k f g —- [ { / + - ( / — 5)^1 cĩược ‘rên C uối cù n g , n é u ợ h ữ u lỉạii, đo đ ợ c trô n /1, n hờ lậ p lu ậ n trô n t a c6 h m đo Lại VI với b ấ t kỳ a e R t a có N ếu a < 0, th ì {x e -4 ; ■ < r ( i ') N ếu n > 0, th ỉ { z /4 : p ^ ( i) } = € A < rt} = { t /1 : > - } € >4 Do n ế u đo a p ^ tr ẽ n A th ì — đ o đư ợ c T dó n ế u f vh g đ o đ ợ c, g ^ trẽ n A - = / p - j đo đư ợ c trê n A TRẰN VĂN ÂN, KIỀU PHƯƠNG CHI 45 Dỡ đ o -T ích phăn 2 N h ậ n x é t Ní^u c r iiàin ĩ g kliôiig h ữ u h n n g lả a có n h ữ n g r e A' inà f { x ) = ± 0 , q{x) = ± 0 tliì tạ i X e X in kliỗiig th ự c liiộii CÃC phép to án f ± Q _ t a đ ậ t ( / ± ) ( í ) = u R .K hi cliứiig t a có k ết luậĩi tương t ự n h tro n g D ịn h lý 5.2.1 Nhớ lại rằ n g với d ả y { /„ } „ hàỉii x ác địnli trô n A v Iiliận g iá trị tro n g R ỉ € t a đ ịn h n g h ĩa s u p / „ ( r ) = s u p { /„ (i-)} ,in f/„ { a r) = n rj " lim in f/„ (3 -) = ft—oc ỊỊm / „ ( i ) = s u p ( i n f / „ ( x ) ) , n— ock lim s u p /„ (a ;) = lim / „ ( i ) = i n f ( s u p / „ ( i ) ) n—00 n—»co k Trước h ế t t a ch ỉ r a v í d ụ chứiig tỗ h in liên tụ c k h õ n g k h ép k ín với pliép lấy giới hạii V í d ụ Với m ỗi « - ,2 đ ặ t / „ ( t ) = _í € [ ,1| v đ t n ế u ' € [0 ,1 ), \ Iléu ĩ = Khi / „ liơn tụ c trô n [0 lỊ, f n ~ * ỉ trẽ n ịo, 1] n h n g / k h ô n g liẽn tụ c trỗ ti [0.1] K ết q u ả sau đ â y ch ứ n g tò rằn g h m đ o "ư u v iệt”hơii so với h àm liẽn tụ c tín h c h ấ t k h ép kỉn vớicác p h ép to n su p v in f c ủ a h m đ o được, t su y khép k ín với cảc p h é p tữ áii giới ìiạii trỡ u , giới hạii dưới, giới hạii in in m ax CÙA hữii h n liàii) Đ ị n h lý G iả s ứ /1 e ^ {/n}n ỉà m ộ t d ã y h m đo (không nhắt thiêt hữu h ọ n ) A £ A K h i đổ h m số in f / n s u p / „ , H m s u p i nf f n đo n A Chứng m inh Với m ọi o € R t a có e ,4 : s u p /„ ( a :) > a} = M { i e A : / „ ( i ) > q} e A n=i Vậy s u p / „ đo Suy r a i n f / „ = - u p ( - / „ ) đ o H ơn n ữ a t định n _ « n nghĩa h iu liin f n M liin /n ( i ') t a suy cliúỉig cung cấc h m đ o đưực Q 46 D ộ d o -T íc h phàn TRẰN VÀN ẢN KIỀU P ỉ i r N C CÍIÍ 5 H ộ q u ả Giá 51? e Ả K hi đrí Aỉén / i f'tif /ìỜTii dưựr tư-n A Ihì r.ứr liùĩn u i A x { f i / „} I’à /„ } đo (ỉược li'ê.n A N ế n { /„} « ià m ộ t dày h m đo dược trệĩì -1 t'à lỏn tạỉ lim / „{ x ) iĩĩ)7iọ R vởi m ọ i X e A thi hầm lini f„ dược n— *oc Chửng m inh Á p d ụ n g trự c tiế p Dịiih !ý 5-2.1 vứi lư u ý ràiig lim /„(a-) = lim /„ ( x ) = Ịịm / „ ( z ) , n^oo n—»00 n— *00 □ T iế p th e o t a đ ề c ậ p déii tín h “c h ấ t h ầ u k h ắp nơi" liên q u a ii với có độ đo khổng D Ị n h n g h ĩ a G iả s / l € in ộ t không g ian độ J o , Ả m ộ t -d ại số T ín h c h ấ t p { x ) p h ụ th u ộ c vào I gọi tlio m ảii hầu khắp nơi trêu n ế u tồ n tạ i tậ p B ^ A cho n B = P { x ) tliỏ a m ãn với m ọi X ^ A \ B Lúc t a k i h iệ u P { x ) h k n A h a y ụ - h k n A Đ ị n h n g h ĩ a N ếu hàm / bị c h ậ n h.k.n.-4 th ì / gọi bị chận cèl yéu trổ n A N ếu Ị g b n g n h a u li.k.n.>4 th ì f g gọi tương đuơng trơ n A \ k kí hiPu lầ / ~ g N h ậ n x é t N ốu c6 dỗm đ ợ c tín h c h ấ t th o ả m ã n h k n /l th ì tín h c h ấ t n y cùiig th u m n dồng th i li.k.n N ếu ịi in ộ t độ đu đ ù th ì khái u ĩệm h.k n cố Iigliĩa ià tậ p diềin khOng ỉtioả n iãii tín h c h ấ t m ộ t tậ p đ o có độ đo khõng Q u a ii h ệ m ộ t q u a ii liộ tư n g đương trẽ n họ t ấ t c ác h m x ác đ ịn h trẽn A C ác v í d ụ s a u Iiiinỉi lio cho m ộ t số k h Iiiệia h ầ u k h ắp nd i ỏ trẽ n TRẦN VAN ẢX, K I Ề r P H r O N C n u Ví dụ I } llâ in s ố / ( j ' ) = í liên tụ c li.k ii.R I [ i' D ộ đo- Tích phâĩì 47 n ố i i J- IIPII1 e Q X ặ Q ih íO n g t r ê n R V í d u ỉlà iii số / ( j ‘) - { ^ ^ n ó u J- € Q h àm bị chftii c ố t yếu trê n R M ệnh đ ề s a u sở (lẻ đồng Iiliất liai h m tư ng đươ ng tro n g lớp hỉim đo ủitọc độ đo đ ã cho độ đ ù Nói cách khác, kỉii th a y đối giĂ tr ị c ủ a h m số tạ i m ộ t số g iá tr ị cho tậ p g iá trị Iiày có đ ộ th ì tín h đo k h ô n g th a y đổi D ay điểm khác b iệt giữ a liàm đo đ ợ c với h m liên tụ c D o đó, n ế u / chi xác địiili h.k.ii./4 tỉù t a vản c6 th ể Iiói tới tín h đ o c ù a / trõ n A 1 M ộ n h đ ề ỉ ả sử (.V A /í) /à m ộ t khơng gian độ với ụ m ộ t độ đo dủ, A ^ A f , g A — » R K h i f tương đương với g A I'ò / đo g đo Chứng m in h Kí hiệu E \ - { r e : f { x ) 4- ,ợ(^)} v £ = { z € /4 : Ị { x ) — ,7 (2;)} Vì /i độ đo đ ù , / (; tư o n g đưong trẽ n As nôn E \ Ả n E i = v E j = /1 \ ^ € ^ - Với m ụi u e R t a lại có e E j : c/(x-) > a} = {o: € £'2 : / ( x ) > a } = i i j fl { i e /1 : / ( x ) > a } € *4 M ạt khốc Vỉ ịi đ ù liên {x € £ : g{ x ) > a} € u £ : ( ) > q} = { i € r a {x e ^ : g{x) > a} = { x e ^2 '■5(^0 > a} c Suy : ff(i) > a } u {x Ễ hay g đ o trOn A □ T ro n g M ệnh d ề 5.2.11 g iả th iế t /I m ộ t độ đ o đ ủ q u a n trọ n g , ví đ ụ s a u chứng tị diồu 2 V í d ụ X é t A -đ ại số tro n g B ài tẠp 1.4 với X = R v / i : ^ — ►R xác đ ịn h bỏi f i A = vủì m ọi A ^ A K hi đ ổ n m ộ t độ đ o trẽ n A X é t h m I e (1 ), Iiếu G ( - 0 , lj u ị2 ,+ o o ) /(1 ) = X K lù / tư u g đư u g với hàin g ( i ) = trGn [0,2] T uy n lũ ê n , / ( i ) k iiông đ o th e o ịi trẽ n TRẰN VAN n , k i ề u P I i r O N ( J CHI P ộ d u -T íc h phân 48 T uy Iilúên t Iiay s a u vấii đ ề lý tliuvết đượi’ chúng tơ i trìn h hàv đ ề u clio m ột IIỈỎ rộiig tiê u clm ản n o đỏ, cự x«'’t đ(j Liíbesgue, nẽn hạií chế trê n th ể độ kiiõiig đ n g kể 5.3 C ấu trú c c ủ a hàm đo đưỢc M ục d n h cho viỌc nghiên cứii cấu trú c cù a liãrii đ o dirợc D ãy Cỡ sò cho việc xây d ự n g tích p h â n L ebesgue tro iig chưưỉig sau G iả sử { X A ) m ộ t không g ia n độ clo A m ộ t -đ i số, fi độ đ o đù ơ-lỉừu h n vò A ^ A Đ ị n h n g h ĩ a Hàiii số s ; -4 — * R eliì lấy liữu hạiỉ g iá trị aị € R , j = n 7? e N ’ Iiốu rtj ^ tlù /i({.r € A : = rtj}) < 00 gọi m ộ t h n i đơn giản hay hàiĩỉ bộc thang trõ n A V í đ ụ 1) G ià sử A c R ‘‘ gian có cạn h h ữ u h n vh f : A - * K cho f ( x ) = c vđi m ọi z Ễ A Kỉii đ ó / m ộ t liàm đ ơn giảii 2) N ếu /i(,4) < 00 th ì liàm đ ậc trư iig c ủ a tậ p A ià m ộ t h m đ ơn giàn T ỉiay vẻ sau n ế u k h n g nói k h c th ì kí h iệu liêu q u aii đ ế n h ầ in đ n giảii liiểu th e o M ệnli đ« 5.3-3 sau 3 M ệ n h đ ề C ác kháng định s a u tương đương: s h m đơn g iả n A Tồn tạ i O i , _ a„ € R đ õ i m ộ t khác nhau, -4, đôi m ộ t rời nh a u n m ọ i i = I , , n thồ m ă ĩì A ^ \J Aị néu Oi ệ- 0, ịi [Ai ) < 00 1-1 với n với mọ i (x ) = ^ • = X € A (1-8 ) D ạng (1.8) đư ợ c gọi dạng c h ín h tắc hàm đơn giản s Chứng m inh (1) ^ (2) Vđi m ọi i = /ỉ, đ ặ t Ạ- = {i: € /1 : (x ) = o h àm đ o dược Với m ỗi n > t a chia đoạiỉ [0,n] th n h n2" đ o n b n g n h a u , m ỗi đ o n có độ d ài — D ậ t = { i-e X : ^ < f{x) < ^ } i = l , , n ' ’; T i = , , Klii đ ó E, n lầ tậ p đo được, với luọi t A'ới m ọi n TRẰN VAN ÃN KIỀU PIÍƯONG CHI D ộ d o -T íc h phân 50 Với inỗi 71 > t a xác địuli h àm / „ : X —* R u h sau r í - 2" Iiếu X ẽ £ tì2' ĩr.{r)=ị n Tì K hi f„ h m đo dưực k h ô n g àin với m ọi n > Tiiy Iilúơii, nói c h u n g /„ h ầ n i đơn giảii có th ể xảy r a ịi{Ei,„) = 00 với í n o dó B fty g i t a s ẽ c h ứ iig t ỏ rÀ n g / „ ( r ) y f(r)- T rư đc hốt th o o cách xây dự n g trê n t a su y r a { /n } d â y tă n g G ỉa sử tạ i Xo € -V t a có /( x „ ) + 0 K hi dó th e o cách xây d ự n g t a có / n ( i o ) với m ọi H > Vỉ th ế , f n{xo) - * + 0 klii n —* 00 N ếu tạ i i-„ t a có f { x „ ) = k < + 0 K lú vđi n đ ù lớn n > /; t a có < / ( i 'o ) - /n (i'o ) < ^ —* 0, k!ù n —* 0 n gliĩa t a ln có f„ { x ) —» f { x ) VI độ đ o ^ đ ộ đo -h ữ u h n , n ẽ n tồ n tạ i dăy tă n g {X „} cho A'n X l^ { X n ) < + c » với m ọi 7Í > D ặ t s „ ( i') = \y { x ) f „( x) K hi đ ó t a có s„ liàiii đ ơn giảii 5„(a:) y f(x) C uối cù n g , g iả sử / bị chận trê n A, n g h ĩa tồ n t ại íỉ > cho f { x ) < i3 với m ọi T ^ A K hi su p |/( a :) - s „ ( 2:)| < — , ^ x€A vđi m ọi n > /ỉ với m ọi X £ A V ậy 5„ hội t ụ đồu vồ / trC n y4 v s„ < n với raọi n = l , □ V í d ụ C h o í [ x ) — X trẽ n ịo 1] D ù a g p liư o ag p h p tro n g in?iih đ è trô n t a xảy dựiig đư ợ c đ ă y {5 ,,},, tlỉò a m ồii < 5i < < „ $ / v s „ (x ) — ►/ ( x ) n —♦ 00 vđi niọi X G /4- T h ậ t t a đ t 1 Iiếu 3: = 1,0 n ế u a: = 1, n ế u I e A 2.1 = [0 ị ) i(x ) = < u é u X € /4i.i = | , - ) Í (x) = < n ế u - i '€ = [ j ,-), *•* ‘4 13 X / „ = |j , j ) n ế u X € ì4 j ,4 - , ) TRẦ N VẢN ÂN, KIỀU PHƯƠNG CHI Néu Ị „ J U Ị , Ị - g m Dộ đo- Tích phán 52 f„ - i i g Chang m inh (1) Với niụi e > Vi3i niỗi n = , , t a có { l € /1 : \ f { x ) - p ( ì : ) | ^ e } C c í x G : | / „ ( i ) - / ( i ) | ặ í } u { l e : |/„ U '} - g ị x ) \ > ị ) (M U ) Lưu ý rà n g f — g đ â y hiểu tlieo N liậií x é t 5.2.2 T h ậ t g ià s X kliôiig th u ộ c v é p h ải c ủ a (1.10) T rư ờng hợp / „ ( i ) = f { x ) = g (x ) = ± 00 K hi X khơng th u ộ c vế trá i c ủ a 1.10 T rưồiig hợp Ị/(a ;) - /„ ( z } | < ^ v \g{x) - f„ {x )\ < su y r a | / ( z ) - g { r)| < £ h a y X k h ô n g t l m ộ c v o v é t r i (1 ) T iế p th e o , t (1.10) g iả th iế t / „ f,f„ ợ t a su y r a € : f { x ) - í?(x-)| > €■}) = Vì th ó t d ấ iig th ứ c {a- € A : | / ( r ) - ( i ) | > } - i j { i e A : | / ( i ) n»l t a suy r a /i({ 2- e A : f { x ) ^ ( )}) = ^ -} e A : 1/ ( ) - g ( i ) | > }) hay ỉ ^9(2) D t £? = {a; € ^ : f { x ) Ỷ p (^ )} = { x ^ A : 1/ ( ) - ff{x)| > 0} Vì / ~ v dù nên B = { x ^ A : J{x) v f i B = K hi vởi m ọi n = , , với m ọi e > t a có { i /1 : \ f n { x ) - g { x ) \ ^ e ) c { x ^ A \ B : |/„ ( x ) - / ( a : ) | ^ e } U B c C {i£A \U {x)-f{x)\^e}U B Do < ịi{ { x € A : \ f „{x) - p ( i ) | ^ ể}) $ / i ( { i A : \ f „{x) - f { x ) \ 5* f} ) — ►0, □ Mối q u a n hệ g iữ a hội tụ th e o đ ộ đo hội t ụ h ầ u k h ấ p noi th ể h iện qua Đ ịu h lý 5.4.4 D ịiih lý 5.4.7 vồ c ác V í d ụ 5.4.5 V í d ụ 5.4.6 sau T R Ằ N VẢN ÂN, KIỀU PHƯƠNG CHI D ộ đo -T ích phân 53 4 D ị n h lý Gtả aữ ịi ỉứ độ đo đú, {/n}n d ã y hàm s A rò f „ — * f h k n A K h í đỏ ì f đo irên A N ếu ịiA < + 0 f„ / Irên A Chứng minh (1) D ậ t B = ị x £ A : / n ( i ) ■/* / { x ) } th ì B đo ị i B = u Vì ịi đ ù IIƠII / đ o đư ợ c trẽ ii B Ngoài với m ọi X \ í ì , f „ { x ) — ►/ ( i ) n —» 00 nên th e o Hệ q u 5.2.5 ta su y r a / đo đư ợ c trỏ n A \ B Vậy / đ o dược trê n (.4 \ B ) u = 4, (2) Với f > tù y ý ĩ = , , t a đ t Ai = ị i € A : \ f { x ) - / j ( x ) | > £} Lưu ý ràn g , nóu tạ i th ì fn i'x ) - h X € >4 với m ọi = , m tồ n tạ i i > n cho |/ i ( i ') ~ / ( '') i ^ ^ TI / ( x ) v d o đ ó X € B Vậy 00 00 oo oo n = n —1 i^n n ^ ^ > S}C B neslixR Do Iiếu đ ậ t c „ = u Ai \ ầ C - n C'n c & A c c B vh ụ c = u M ật kliác, T=*n n=l C „ c Cn với m ọi n = , , ịiC \ < /1.4 < + 0 Iiẽn lim /iC „ = u C = Vi n-«oc tiA„ ^ ịiCn với m ọi n = , nẽn lim ịiA n = 0, n g h ĩa 1?1 Ịn / □ G iâ th iế t ịiA < + c « troiiR đ ịn h lý trơ n q u a ii trọiiíĩ V í d ụ 5.4.5 s a u cliứiiK tỏ đièu này, đ n g th d ì chứiig tơ hội tụ liầ u kliảp uơi kliỡiig kéo th e o hội tụ theo độ đo 5 V í d ụ , Sự hội t ụ h â u k h áp nơi c ủ a dãy h m đo trê n A vúl ị iA — + 00 ktỉôiig kéo tlie o s ự hội tụ th e o độ đo T h ậ t tiộy, g iả sử E = (0 + o o ) c R vOi độ đo Lt’besgue VOi m ỗi k = , đ ặ t Khi đổ / * ( i ) — * với m ọi X n ế u < 2‘ < fc, X > k € ( , +oo) T ijy nhiOn vỗi m ọi k = ,2 _th ì fi[{x € A : f k { x ) > - } ) = + 00 ù k h n g hội t ụ th e o đ ộ đ o h :n / = V í d ụ 5.4.6 s a u d iứ iig tỏ in ộ t đ ă y !iội t ụ th e o độ đo c6 th ễ k h ô n g liội t ụ hầu kh áp nơi T R Ầ N VÁN ÂN, KIỀU PHƯONG CHI P ộ đ0‘ Tỉch phârì 51 v k vói n > t a d ạt n é u J' 1, néu X € /4„ I uếu X A n = ■ 2" r 2" 2" - 2" 2" 2"' 2' 2" X € X = - ^ !)• K hi dãy {s„}n th ỏ a niãii < Si ^ n —* 00 với m ọi - ^ s „ ^ / v „(x ) — ►/ ( z ) e /Ị 5.4 H ội tụ th e o độ đo C h ú n g t a đ ã m q u eii với m ộ t số loại hội tụ c ù a d y liàm : hộ i tụ đ iểm , hội tụ đ èu , hội t ụ h ầ u k h ắ p nơi TVong m ục này, chúng t a sỗ x é t m ộ t kiểu hội tụ c ủ a d ả y h m xác đ ịn h trẽ n m ột k hôn g g ia n độ đo hội t ụ th e o đ ộ đo G iả sử ( X Ả ị ỉ ) m ộ t khôiig giaii độ đo A m ộ l -đ i số v A e Đ ị n h n g h ĩ a G iả sử /n i / ; — * R với 7Ỉ =s , CỂÌC lỉàin đo trẽ n T a Iiói rằ iig d ã y { /„ } „ hội tụ theo độ đo ịi đ é n h u i / trẽ n A , k í h iệu / „ /, Iiéu với niọi í > u t a có (1-9) V í đ ụ C h o c ác h m / „ : R — ►R , n = , , t h o ả m â u / n ( i ) = c với r € R K hi đ ó / „ c trẽ n R Th ậl vậy, t a có ^ ( { i € : |/„ ( x ) - f ( x ) \ ^ e } ) — ị i ộ = với m ọi n = ,2 Do lim ^({a: € A : |/„ ( x ) - f { x ] \ ^ e } ) — n-*00 N ếu k hông p h â n b iệ t hàm tư ng đ n g th e o độ đo /i th ì giới h n củ a m ộ t dãy hàm hỌi t ụ th e o ịt lầ d u y n h ấ t, Đ iều n y th ể h iện tro n g D ịn h lý 5.4.3 sau Đ ị n h lý Gi ả s f i ỉà độ đo đủ f g f n đo A với m ọ i n = 1.2 K h i N ế u f „ / t>à / „ g trẻn A f g A TRẰ N VẢN ÂN, KIỀU PHƯƠNG CHI Dộ d o -T ív h phãĩí 54 V í d ụ D ãy hội tụ th e o (ìộ đ o Iiliưiig kliỏJi(ỉ họi tụ h ầ u k liắp nơi T h ă t vậy, lấy - [0, lj, với m ỗi n - ,2 _và vổi niỗi I “ t a đ ạt tạ i m ọi điểm lại t - ỉ ỏ đ â y A„i = Ị -, - ] S ắp xép lại liàiii vđi n = 2, - vầ é = t a n n dãy =■ / u ^ = /ỉi-v ?3 = fĩĩ ~' Pi = / “^ = f3 ,‘Pe = /33 D t / ( i ) = vđi G A : /„ „ ,( 2-)f ( x ) ) ) = m ọi X G [0,1) K hi vói m ọi 7[ = , t a có Suy r a hội t ụ th e o độ đo / T u y n h iên , với m ỗi X e tro iig d ă y cổ vô số h m số n h ậ n g iá trị tạ i a: v c ũ n g có vơ số liàm số u h ặ n g iá trị tạ i điểm này, n g h ĩa { ự „ ( i) } „ k hông c6 giới hạn T uy n h iên t a k ết q u ả sau Đ ị n h lý Giả í ứ { /„ } „ m ộ t d ã y h m đo đĩiỢc trỂn A vò f„ A K h i tồn dày Chứng Vìinh Vì f„ cùa { f n } n cho / ỉn?n — ►/ h k n A f n —• 00 trO a A n ê n vOi m ỗi k = , , tồ n tạ i n ( k ) e N cho vdi m ọi n 'ỳ Ti* t a có / í ( { i e ,4 : |/n { x ) - Ị { x ) \ ỳ - } ) < — , T h iế t lập d ả y {/„* }fc Iiliư sau: Tii = n ( l ) , n = m a x { n i 4- , « ( ) ) , , Í I * = m a x { ỉ t _ , + 1 ^ ^ = ^ '2 D ặ t Di = K hi ^ ( { i e : |/n * ( r ) - / ( x ) | ^ u {i' e A : |/n*(x-) - /( x ) | ^ *=i ^ f n^ { x) - f { x ) \ ^ } ) < Ễ « *= Klii fiB í ịiBi < s = n 1=1 Vì lÌỊii 2* I n ( f c ) ) , Ễ ;ĩĩ = tí /^({^' ^ : = 0, — 00 * N ếu a: € /1 \ B th ì a: ế B đ ố tồ n tạ i ỉ(j e N cho X ệ Bịg Vì th ế vởi m ọi Ả: > to t a có | / „ J i ) - Ị { x ) \ < 5.5 Vậy — ►/ li.k n □ H đ ịn h lý cấu trú c h àm đo đưỢc TVong p h ầ n cuối c ủ a m ục c h ú n g tô i giới th iệ u h a i đ ịn h lý x ấ p x ỉ h àm đo bdi h in " k h tố t" th e o m ộ t lỉghĩa Iifto 55 Dộ đ o -T ich phăĩi TRẰ N VẨN ẢN, KIỀU PHƯONC CHI C h ứ n g m in li c ù a c ả liai iliiili lý b n đọc c6 th ể tlía in khải) tro n g cốc tà i liệu H] [9 , T rước [lết cliúiig tô i inuốii giới tliiỢu địnli lý E g o rro p , Iiói rằ n g hội t ụ c ủ a niột dny h?im đo được, hữu h n h ẳ u k h p nơi trô n m ộ t tậ p có đ ộ đ o hữu hạiỉ có th ế trO th ã iili liội tvỉ lĩều sau klii ljỏ di m ột tậ p cú độ đu Iiliỏ tù y ý 5 D Ị n h lý (E g o ro p ) Ciá sứ tập đo với n { A ) < 0 { /„} m ộ t dãy h m đo áUộc h ữ u hạn h k n A h ộ i iụ h k n A K h i với m ọ i e > tồ n tăp đu D c A cho /i(/4 \ B ) < € t»à dày { /„} hội tụ B T rong trư n g hợp đối vứi độ đo Lcbesgutí tậ p đo Lebesgue, đ ịn h lý Lasin chi r a rà n g c ác h m số đo có th ể tr ỏ th n h h m líẽn tụ c sau b ị m ộ t tậ p n o đ ố có đ ộ đo n h ỏ tù y ý5 Đ ị n h lý (L u siu ) Giả sử A tập đo R* với /i(.4 ) < 0 K h i đó, hàm số f : A —* ĩ i đo I’à c k i với m ọ i £ > tồ n tộp đóng F c A cho ịi{A \ F ) < £ f ỉiẽn tục F Bài tập T ro n g t ấ t c b i tậ p sau Jfty k h i nói tlén khõiig giaii (lo ( X ^ ) hay khSng giaii đ ộ đo th ì A luồn lũ ểu m ộ t -đ i số B i G iả sử (X , A ) m ộ t không g ia n đo đưỢc, /1 G ^ v / : i4 — ►R m ộ t híưn số C h ứ n g m itih rằ n g m ện h đ ề Rau tư d n g đường / đo trê n A Vđi m ọi r € Q , tậ p {x £ A : f{x) Vđi m ọi r € Q , tậ p { i e /4 ; f { x ) ^ r} € v4 Vđi m ọi r Q , tạ p {x € /1 : f{x) < r} € ^ Với m ọi r € Q tậ p {r € A : f{x) $ r} e B i G iả s { X , A ) m ộ t không g ia n đo đ ợ c, > r} g A v h f g \ X — » R ià h in đo C h ứ iig m in h rá n g tậ p s a u đ o được, n g h ỉa th u ộ c A { t € /4 : Ị { x ) < ợ ( i) } , TRÂN VAN A n k i ề p h n g ( ’III Dộ đo- Tích phãn 56 { l € /1 : / ( t ) = ổ U ') } - B i Néu Ììhiu Ị : — > R du dưực tliì vứi ìỉxọi íi € R tạ p hựp { r € A : / { j ) = a} tậ p đo B i G iả sử ràng / , /fc ® hàm clo dượe trôn € A Chứiig m inh rèaig {iT € : f„{x) — • f ( x ) n —* oo} € -4 B i 5.5* C ho uiột không giaii độ đo, /1 e \ k { f n}n m ột dăy hàm đo trôn A G iả sữ rằiig fn — ►/ li.k.u klú ĨI —• 00 Chứng minh ràng: Tồu tạ i hàiu (J đu đưực trOiỉ A vk g f T^p {x e i4 : f n{x) f { x ) } đo c6 độ đo h h ì$ khơngB i G iả sử ịiA < + c» {/t,}n ỉà CÂC hàm đo (lưực hội tụ li.k n il hàm đu đưực / r > cha trước Với niỏi Ắ: = 1, 2, tn dẠt Ak - u {x € : n=ik |/„ (x ) - / ( x ) | > e} Chứỉig mini) rẳng fẦẢK —» í) i* —* 00 B i C ho { X A ) lồ m ột kliôug gian đo .4 e -4 / : — ►R Cliứiig ininli ràug ỉiiệỉỉh đề sau tương đưoỉig / A^ứo f ~ ^ { D) € A với tậ p Borel D R Với r € Q tập {x € : / ( t ) > r ) £ A B i C ho { X A ị ì ) ìh m ột kiỉỡiig giau độ đo với /i độ (lo đủ / : A — » R /í € ,4, E c cho £ € -4 /i( £ ) = Cliứiig minh hỉtin \£ (i* )-/(í') hàin đo Đ ặt biệt, luọi lỉàin khác không trOn m ột tập hợp có độ đo hàỉii đo B i C ho { X A ị i ) ìk inột khũiig gian clộ (ỉo A € A G iả sử / m ột hhiìì đư h ữ iih ạu liẰ u khắp Iiơi trOn A Với n - , t a đ ặ t = {x € /4 : |/ ( x ) | < n} Chứng m iiih ràng Ajị € Ả với m ọi Tỉ = ỉ, Um ^iAti ^ n—00 ... h c triể n độ đo 3 Đ ị n h lý (T h c triể n độ đo) Giả sử n lò m ộ t độ đo đại số A , ụ." độ đo sinh bới độ đo ụ uà ịi'' độ đo sinh bới độ đo ị i '' K h i ta có ụ '' rnột m rộng độ đo fỉ -đ i... TRIỂN CHÂU Á MOET ADB Dự ÁN PHÁT TRIỂN GIÁO VIÊN THPT & TCCN - TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRÀN VÀN ÂN - KIÈU PHƯƠNG CHI GIÁO TRÌNH Độ ĐO- TÍCH PHÂN ệ (Lưu hành nội bộ) H À N Ọ l-2 M Ụ C LỤC M đầu Lý th... 20 _Độ d v -T íc h ph â n TRẰ N VÀN ẢN KIẺU PHƯƠNC; CHI 3.1 Độ đo độ đo sinh m ộ t độ đo 1 Đ ị n h n g h ĩ a H àm lặ p u : V { X ) —* R xác d ịn h trẽ n P { X ) gọi m ộ t độ đo trê n X