BAI TAP NANG CAO HINH HOC 9

Bài 1: Cho ΔKFC vuông tại F (KF < FC), đường cao FH Vẽ (F) bán kính FH Từ K và C, kẻ hai tiếp tuyến KA, CB với (F) (A, B là các tiếp điểm không nằm CK) Gọi S là giao điểm của HB và FC a) Chứng minh: AK + CB = CK và ba điểm B, A, F thẳng hàng ̂ = CAF ̂ b) AC cắt đường tròn tâm F tại N (N ≠ A) Chứng minh: NSC c) Đường tròn tâm O đường kính CK cắt đường tròn tâm F tại T và V, AH cắt FK tại M Chứng minh: FH, TV, MS đồng quy Bài 2: Cho ΔABC nhọn (AB < AC) nội tiếp (O ; R) Các đường cao BD và CE cắt tại H Vẽ đường kính AI của (O) a) Chứng minh: Tứ giác AEHD nội tiếp đường tròn b) Chứng minh: AH AC = AE AI c) DE cắt (O) tại S (S thuộc cung nhỏ AC), SI cắt BC tại K Chứng minh: AK HS d) HS cắt BC tại L Chứng minh: đường tròn ngoại tiếp ΔLBD, AK, HS đồng quy Bài 3: Từ điểm A (O ; R), vẽ tiếp tuyến AB (B là tiếp điểm) Vẽ BH OA tại H a) Chứng minh: BH2 = OH AH b) BH cắt (O) tại C Chứng minh: AC là tiếp tuyến của (O) và tứ giác ABOC nội tiếp c) Trên BH lấy điểm M bất kỳ Đường thẳng qua M vng góc với OM cắt AC và AB lần lượt tại P và Q Chứng minh: ΔOPQ cân d) Lấy N thuộc CH cho PN // OA Chứng minh: CN = HM Bài 4: Từ điểm A ngoài (O ; R), vẽ tiếp tuyến AB AC (B, C là tiếp điểm), OA cắt BC tại H Đường thẳng qua B vuông góc với OC cắt OA tại E Gọi K là điểm đối xứng H qua B Đường thẳng qua B song song với AD cắt AK tại M Chứng minh : a) Tứ giác ABOC nội tiếp b) BD // OA và BD = 2OH c) H là trung điểm của AE ̂ d) BM là tia phân giác của KME Bài 5: Cho ΔABC nhọn nội tiếp (O ; R) (AB < AC) Các đường cao BD và CE cắt tại H Vẽ đường kính AF của (O) a) Chứng minh: Tứ giác BHCF là hình bình hành b) Chứng minh: Tứ giác AEHD nội tiếp c) Kẻ BN CF tại N và CM BF tại M Chứng minh ED = MN d) Gọi I là trung điểm của DE So sánh IB và IC ̂ = e) Vẽ dây cung CQ // AI Từ M kẻ đường thẳng song song với AI, cắt AC tại K Chứng minh MKN ̂ QAC Bài 6: Cho (O) đường kính AB Trên đường tròn lấy điểm C cho BC > AC Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại D Vẽ AH OD tại H Từ O kẻ đường thẳng song song với AH, cắt (O) tại K (C và K nằm ở mặt phẳng bờ AB khác nhau), DK cắt (O) tại M Đường thẳng qua M vuông góc với CH cắt AD tại E Gọi F là điểm đối xứng với E qua M Chứng minh : ̂ = 2BDA ̂ a) Tứ giác AHCD nội tiếp CHB b) Chứng minh: DM HM ΔDHF cân tại F Bài 7: Cho (O) đường kính AB Trên (O) lấy điểm C (BC > AC) Gọi D là điểm đối xứng với C qua A Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC và BD lần lượt tại P và Q Vẽ QM BP tại M, QM cắt AB tại N a) Chứng minh: Các tứ giác QAMB, PANM nội tiếp b) PN cắt (O) lần lượt tại H và K (H thuộc cung nhỏ AC) Chứng minh: AP2 = PH PK c) QH cắt (O) tại G Chứng minh đường thẳng BG, AK, QM đồng quy d) Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔBPQ Chứng minh điểm P, J, O thẳng hàng Bài 8: Cho (O) đường kính AB Trên đường tròn lấy điểm C cho BC > AC Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại D Kẻ OH AC tại H, OD cắt AC tại I, DH cắt AB tại K a) Chứng minh: AC = 2OH và AD2 = DC DB ̂ = ADH ̂ b) Chứng minh: BDO c) IK cắt OH tại M Chứng minh: IK // AD và M là trung điểm của IK d) Tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt tại G Chứng minh điểm A, M, G thẳng hàng Bài 9: Cho ΔABC nhọn (AB < AC) Vẽ (O) đường kính BC cắt AB và AC lần lượt tại F và E, BE cắt CF tại H, AH cắt BC tại D a) Chứng minh: AD b) Kẻ AM BC EF tại M Chứng minh: AB AM = AD AF c) Dựng hình bình hành HBKC Chứng minh điểm A, M, K thẳng hàng và H, O, K thẳng hàng d) HK cắt DM tại N, AH cắt EF tại L Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔHND Chứng minh IN // EF e) Giả sử AL = 9LH và MK = 2AM Chứng minh: ΔABC đều Bài 10: Cho (O) đường kính AB Trên (O) lấy điểm C cho AC > BC Các tiếp tuyến tại A và C của đường tròn O cắt tại D, BD cắt (O) tại E Vẽ dây cung EF // AD, CH AB tại H a) Chứng minh: AE = AF và BE = BF b) Chứng minh: ADCO là tứ giác nội tiếp c) Chứng minh: DC2 = DE DB d) Chứng minh: AF CH = AC EC e) Gọi I là giao điểm của DH và AE, CI cắt AD tại K Chứng minh KE là tiếp tuyến của (O) f) Từ E kẻ đường thẳng song song với AB cắt KB tại S, OS cắt AE tại Q Chứng minh điểm D, Q, F thẳng hàng Bài 11: Cho (O) đường kính AB Trên (O) lấy điểm C cho AC > BC Các tiếp tuyến tại A và C cắt tại D, BD cắt (O) tại E Từ O kẻ đường thẳng song song với AD, cắt BC tại M a) Chứng minh: Tứ giác ADOC nội tiếp b) Chứng minh: Tứ giác ADMO là hình chữ nhật c) Chứng minh: Tứ giác DMCO là hình thang cân d) Gọi N là giao điểm của AE và DM, AC cắt OD tại H Chứng minh HN // OC e) AC cắt DM tại S, BS cắt (O) tại I Chứng minh điểm N, C, I thẳng hàng Bài 12: Cho ΔABC nhọn nội tiếp (O ; R) (AB < AC) Vẽ đường kính AD Vẽ AH AC tại E BC tại H, BD cắt a) Chứng minh: EC EA = ED EB b) Chứng minh: AB AC = AH AD c) Từ E kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AH tại I Gọi K là trung điểm của BC Chứng minh BI là tiếp tuyến của (O) d) BI cắt OK tại L Vẽ BP AL tại P, KQ AC tại Q Chứng minh điểm H, P, Q thẳng hàng Bài 13: Cho ΔBCD nhọn nội tiếp (O ; R) (BC < BD) Tiếp tuyến tại B của (O) cắt CD tại A Các đường cao DM và CN cắt tại H a) Chứng minh: AB2 = AC AD b) Chứng minh: HN HC = HM HD c) Giả sử C là trung điểm của AD Tính tỉ số BM BN d) Gọi I là trung điểm của MN, BI cắt (O) tại K Chứng minh AK là tiếp tuyến của (O) Bài 14: Cho ΔABC nhọn nội tiếp (O ; R) (AB < AC) Các đường cao BE và CF cắt tại H a) Chứng minh: Tứ giác BFEC nội tiếp Xác định tâm I b) Chứng minh: AH = 2OI c) EF cắt (O) tại M và N (M thuộc cung nhỏ AB), MI cắt (O) tại K Chứng minh : ΔAMN cân d) Chứng minh: HF CF – HE BE = OE2 – OF2 e) Chứng minh: BC2 = 4MI KI Vẽ HT NK tại T Chứng minh AK HN tứ giác MKTE nội tiếp Bài 15: Từ điểm A nằm ngoài (O ; R), vẽ tiếp tuyến AB AC (B, C là tiếp điểm) cho OA > 2R, OA cắt BC tại H Vẽ đường kính CD, AD cắt (O) tại E a) Chứng minh: Tứ giác OBAC nội tiếp b) Chứng minh: BD // OA và BD OA = 2R2 c) Chứng minh: ΔBEH vuông d) Gọi F là giao điểm của BC và AD, AB cắt CD tại I, BE cắt OA tại M Chứng minh điểm I, F, M thẳng hàng e) Gọi S là giao điểm của CE và OA Từ S kẻ đường thẳng song song với BC, cắt (O) tại N (N thuộc cung nhỏ CE) Chứng minh MN là tiếp tuyến của (O) f) OA cắt (O) tại G (G thuộc cung nhỏ BC) Chứng minh: EG2 = ES EM – SG MG Bài 16: Từ điểm A nằm ngoài (O ; R), vẽ tiếp tuyến AB AC (B, C là tiếp điểm) Trên cung nhỏ BC lấy điểm M cho MB > MC Tiếp tuyến tại M của (O) cắt AB và AC lần lượt tại F và E Gọi H là giao điểm của EF và BC a) Chứng minh: Các tứ giác OBAC, OCEM, OBFM nội tiếp b) Chứng minh: HM2 = HC HB c) Chứng minh: Chu vi ΔAEF = 2AB d) Gọi I và T lần lượt là giao điểm của BC với OF và OE Chứng minh: đường thẳng OM, FT, EI đồng quy e) Chứng minh: AM OH f) Gọi S là trung điểm của OM Kẻ AQ HF tại Q, HS cắt AQ tại N Đường thẳng qua N vuông góc với AH, cắt EQ tại K Chứng minh K là trung điểm MQ Bài 17: Từ điểm A ngoài (O ; R) (OA > 2R), vẽ tiếp tuyến AB AC (B, C là tiếp điểm), OA cắt BC tại H Vẽ cát tuyến ADE đến (O) (AD < AE, D và C nằm ở mặt phẳng bờ OA khác nhau) a) Chứng minh: AB2 = AD AE và tứ giác OBAC nội tiếp Xác định tâm J ̂ = EHB ̂ b) Tứ giác EOHD nội tiếp ECD c) Vẽ EK BC tại K, DK cắt (O) tại M Vẽ đường kính EI Chứng minh điểm M, H, I thẳng hàng d) Vẽ dây cung MN song song với BC Từ C kẻ đường thẳng song song với AB, cắt BN tại G Chứng minh điểm A, I, N thẳng hàng e) Gọi S là giao điểm của AG và BI, CS cắt (O) tại T Chứng minh: BT JT Bài 18: Cho (O) đường kính AB Trên (O) lấy điểm C cho AC > BC Từ C vẽ CH HD AC tại D và HE BC tại E AB tại H Vẽ a) Chứng minh: Tứ giác CDHE là hình chữ nhật b) Chứng minh: Tứ giác ADEB nội tiếp c) Chứng minh: OC DE d) DE cắt (O) tại I (I thuộc cung nhỏ AC) Gọi K là trung điểm của HI Chứng minh: ΔDKE vuông Bài 19: Cho (O) đường kính AB Trên đường tròn lấy điểm C cho AC > BC Các tiếp tuyến tại A và C cắt tại D, CD cắt AB tại H Vẽ AK CH tại K a) Chứng minh: Tứ giác ADCO nội tiếp b) Chứng minh: DC2 = DK DH c) Chứng minh: OD BC = 2R2 d) Chứng minh: HD KC = HC AD e) Qua H kẻ đường thẳng song song với AD cắt BD và AC lần lượt tại M và N Chứng minh: HN = 2HM f) Đường thẳng qua M vuông góc với BN cắt AH tại I Chứng minh I là trung điểm của AH Bài 20: Cho ΔABC nhọn (AB < AC), các đường cao BE và CF cắt tại H (O), đường kính CH cắt BC tại K Các tiếp tuyến tại E và C của (O) cắt tại M a) Chứng minh: Tứ giác OEMC, BFEC nội tiếp b) Chứng minh: HF HC = HB HE c) Chứng minh: điểm A, H, K thẳng hàng và I, O, M thẳng hàng d) Chứng minh: điểm E, F, K, I, O cùng tḥc đường trịn e) Kẻ tiếp tuyến BT đến O (T là tiếp điểm, T thuộc cung nhỏ KC), FT cắt (O) tại G, EG cắt AB tại S Chứng minh tứ giác SBKT nội tiếp f) Chứng minh đường thẳng BM, FC, AT đồng quy Bài 21: Cho (O) đường kính AB Trên đường tròn lấy điểm C cho AC > AB Các tiếp tuyến tại A và C của (O) cắt tại E Từ O kẻ đường thẳng song song với AE cắt AC tại D, vẽ CH AB tại H a) Chứng minh: Tứ giác ODCB nội tiếp và tích AD AC không đổi b) Chứng minh: Tứ giác AOCE nội tiếp và CH2 = AH BH c) Gọi T là giao điểm của AI và OD Chứng minh: T, C, B thẳng hàng d) Đường trung trực của AH cắt (O) tại S (S thuộc cung nhỏ AC) Chứng minh: HS2 = EC HC e) Trên tia tiếp tuyến tại B của (O) lấy điếm K cho BK = 2CH (K và C nằm ở cùng mặt phẳng bờ AB) Chứng minh HI KD Bài 22: Cho (O) đường kính AB Trên (O) lấy điểm C cho BC > AC Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại D Từ D kẻ tiếp tuyến DE đến (O) với E là tiếp điểm Gọi H là giao điểm của AE và OD a) Chứng minh: AC2 = BC DC b) Chứng minh: Tứ giác AHCD nội tiếp ̂ c) Chứng minh: HE là tia phân giác của CHB d) Gọi S là giao điểm của OD và AC Từ S kẻ đường thẳng song song với AB cắt AD tại M Chứng minh điểm M, H, B thẳng hàng e) Đường thẳng qua S song song với AE cắt MH tại N Chứng minh N là trung điểm của MH đường thẳng MS, AE, BD đồng quy Bài 23: Cho (O) đường kính AB Trên đường tròn lấy điểm C cho BC > AC Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại D Vẽ đường kính CE Vẽ AM OD tại M Gọi N là trung điểm của BC a) Chứng minh: Tứ giác ADON nội tiếp b) Chứng minh: Tứ gíác ACBE là hình chữ nhật c) Chứng minh: DM DO = DC DB d) Gọi I là giao điểm của BM và NE Chứng minh: I là trung điểm của BM e) EN cắt (O) tại T Chứng minh: DT là tiếp tuyến của (O) f) Qua C kẻ đường thẳng song song với OD cắt AB tại G và cắt ET tại K Chứng minh N là trung điểm của KT Bài 24: Cho (O) đường kính AB Kẻ các tiếp tuyến Ax và By của (O), (Ax và By cùng nằm cùng mặt phẳng bờ AB) Trên đường tròn lấy điểm C cho BC > AC Tiếp tuyến tại C của (O) cắt Ax và By lần lượt tại M và N a) Chứng minh: Các tứ giác AOCM, BOCN nội tiếp b) Chứng minh: ΔMON vuông c) Chứng minh: AM BN = R2 d) Chứng minh: SAMNB = OM ON e) Gọi I là trung điểm của OB Trên tia đối tia BN lấy điểm H (N nằm giữa B và H) cho BN = 2HN Chứng minh: Tứ giác HCIHN nội tiếp f) HC cắt AM tại K Chứng minh: K là trung điểm của AM g) Gọi P là giao điểm của HI và ON, Q là giao điểm của OM và IK Chứng minh: IC PQ Bài 25: Cho ΔABC nhọn (AB < AC) Dựng đường tròn tâm O, đường kính AB cắt AC và AB lần lượt tại D và E, BD cắt CE tại H a) Chứng minh: Tứ giác AEHD nội tiếp Xác định tâm I b) Từ A kẻ tiếp tuyến AS đến O (S là tiếp điểm và S thuộc cung nhỏ DC) Chứng minh rằng AS2 = AD AC c) Chứng minh: EI là tiếp tuyến của (O) d) Tiếp tuyến tại B của (O) cắt DI tại K, AH cắt BC tại L Chứng minh: KC qua trung điểm của AL e) EI cắt BK tại N Chứng minh điểm N, H, S thẳng hàng Bài 26: Cho (O) đường kính AB Trên (O) lấy điểm C cho AC > BC Vẽ CH AB tại H Dựng (I) đường kính CH cắt AC, BC và (O) lần lượt tại D, E và K, CK cắt AB tại M a) Chứng minh: Tứ giác CDHE là hình chữ nhật b) Chứng minh: DE2 = DC AC = CE CB c) Chứng minh: MH AH = BH AM d) Chứng minh: điểm D, E, M thẳng hàng e) Kẻ tiếp tuyến MS đến (O) với S là tiếp điểm (C và S nằm ở mặt phẳng bờ AB khác nhau) Vẽ SJ OM tại J Chứng minh: MH HJ = OH MJ f) Gọi T là giao điểm của CH và OK, OI cắt CJ tại L Chứng minh: ΔCLT cân Bài 27: Từ điểm A ngoài (O ; R), vẽ tiếp tuyến AB AC (B, C là tiếp điểm), OA cắt BC tại H Vẽ đường kính BD của (O), AD cắt (O) tại E và cắt BC tại S, BE cắt OA tại I, SI cắt AB tại P a) Chứng minh: Tứ giác OBAC nội tiếp, xác định tâm J b) Chứng minh: Tứ giác BHEA nội tiếp và CDOA c) Chứng minh: CE qua trung điểm của AH ̂ d) Chứng minh: SP là tia phân giác của HPE e) Từ P kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại Q Chứng minh điểm H, E, Q thẳng hàng f) OA cắt (O) tại G (G thuộc cung nhỏ BC) Chứng minh IH AG2 = IA HG2 Bài 28: Từ điểm A ngoài (O ; R), vẽ tiếp tuyến AB AC (B, C là tiếp điểm) cho OA > 2R Vẽ CK AB tại K, OA cắt BC tại H a) Chứng minh: Tứ giác CHKA nội tiếp Xác định tâm I b) BI cắt (O) tại E và cắt OA tại M Chứng minh: Tứ giác CHEI nội tiếp c) Chứng minh: BC2 = 3BE BM d) Chứng minh: BC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ΔCEA e) Gọi D là giao điểm của CE và KH Chứng minh: ΔHAD cân f) Gọi T là giao điểm của HK và BI Từ O kẻ đường thẳng song song với BC cắt (O) tại G (G và C nằm ở cùng mặt phẳng bờ OA) Vẽ dây cung GSAC Trên OS lấy điểm J cho OJ = 2SJ Chứng minh điểm C, J, T thẳng hàng Bài 29: Từ điểm A ngoài (O ; R) (OA > 2R) Vẽ tiếp tuyến AB AC (B, C là tiếp điểm) Dựng hình thang cân AOCD, OA cắt BC tại H Vẽ CK AB tại K, CK cắt OA tại I a) Chứng minh: điểm O, B, A, D, C cùng thuộc đường trịn b) Chứng minh: Tứ giác CHKA nợi tiếp c) Chứng minh: IC IK = OH IA d) Gọi T là giao điểm của OA và DK Chứng minh: AT2 = TI TO e) Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt CK tại M, DK cắt OM tại N Chứng minh: Tứ giác OIKN nội tiếp f) Từ K kẻ đường thẳng song song với BM cắt BC tại Q Từ Q kẻ đường thẳng song song với OA, cắt AC tại P Chứng minh: ΔQKP cân Bài 30: Cho (O) đường kính AB Trên (O) lấy điểm C cho AC > BC Vẽ CH (O) tại K Trên HK lấy điểm M bất kỳ, BM cắt (O) tại N AB tại H, CH cắt a) Chứng minh: H là trung điểm của CK b) Chứng minh: Tứ giác AMNH nội tiếp c) Chứng minh: BM BN = BC2 d) Trên AC lấy điểm S cho SC > SA Gọi P và Q lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp của các ΔASH và ΔAMN và T là trung điểm của CS Chứng minh điểm P, Q, T thẳng hàng e) Gọi E là giao điểm của PQ và CK, BE cắt (O) tại J Chứng minh đường thẳng HS, AJ, PQ đồng quy Bài 31: Cho ΔBED nhọn nội tiếp (O ; R) (BD < BE) Tiếp tuyến tại B của (O) cắt DE tại A Từ A kẻ tiếp tuyến AC đến (O) (C là tiếp điểm) Các đường cao EN và BM của ΔBED Vẽ EH BC tại H a) Chứng minh: EHOA và tứ giác OBAC nội tiếp b) Chứng minh: OB MN và BM BE = BN BD c) Chứng minh: Các tứ giác EMND, EBNH nội tiếp d) Từ M kẻ đường thẳng song song với BC cắt DC tại K Chứng minh: CD EN = BD EK e) Chứng minh: H là trung điểm của NK Bài 32: Từ điểm A ngoài (O ; R), kẻ tiếp tuyến AB đến (O) (B là tiếp điểm) và cát tuyến ADE (AD < AE) cho B và C nằm ở cùng mặt phẳng bờ OA Vẽ đường kính BE của (O), EC cắt AB tại S, vẽ SK OA tại K a) Chứng minh: Tứ giác OBSK nội tiếp b) Chứng minh: AB2 = AC AD và tích EC ES không đổi c) Vẽ đường kính DF Chứng minh: AF là tiếp tuyến của (O) Bài 33: Cho đường tròn (O ; R) và điểm A ở ngoài đường tròn Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm) Gọi H là trung điểm BC a) Chứng minh A, H, O thẳng hàng b) Kẻ đường kính BD của (O), vẽ CK BD Chứng minh: AC CD = CK AO c) Tia AO cắt (O) theo thứ tự tại M, N Chứng minh: MH MN = AM HN Bài 34: Cho (O) đường kính AB Trên tia đối của tia BA lấy điểm M Đường trung trực của đoạn thẳng AM cắt AM tại I và cắt (O) tại C và D a) Chứng minh tứ giác ACMD là hình thoi b) CB cắt MD tại E, DB cắt MC tại F Gọi P, Q, R, S theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng BC, BD, MD, MC Chứng minh tứ giác PQRS là hình chữ nhật và các điểm E, F, P, Q, R, S cùng tḥc mợt đường trịn Bài 35: Cho đường trịn (O ; R) và điểm A nằm ngoài (O) Vẽ tiếp tuyến AB của (O) (B là tiếp điểm) Vẽ dây cung BC của (O) vuông góc với OA tại H a) Chứng minh: H là trung điểm BC và AC là tiếp tuyến của (O) b) Trên tia đối của tia BC lấy điểm Q Từ Q vẽ hai tiếp tuyến QD và QE của (O) (Q và E là hai tiếp điểm) Chứng minh ba điểm A, E, D thẳng hàng Bài 36: Cho ΔABC nhọn nội tiếp (O) (AB < AC) Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại D a) Chứng minh: AD2 = BD CD b) Các đường cao BM và CN của ΔABC Chứng minh: Tứ giác CMNB nội tiếp và ΔAMN ~ ABC c) Chứng minh: BD AN2 = CD AM2 d) Gọi E là điểm đối xứng với M qua A Chứng minh: EN OD e) Đường cao OQ của ΔODE cắt MN tại H, AD cắt OE tại I, AD cắt OQ tại T Chứng minh: IT HT = IA HQ Bài 37: Cho (O) đường kính AB Trên đường tròn lấy điểm C cho AC > BC Từ O kẻ đường thẳng song song với BC cắt tia tiếp tuyến tại A của (O) ở D, BD cắt (O) tại E và cắt AC tại F a) Chứng minh: FE FB = FA FC b) Chứng minh: DC là tiếp tuyến của (O) và tứ giác ADCO nội tiếp c) Từ D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AE tại I Chứng minh: điểm I, F, O thẳng hàng d) Kẻ tiếp tuyến IM đến (O) (M thuộc cung nhỏ AC), H là giao điểm của BM và DI Chứng minh: DM và AH cắt tại điểm thuộc (O) e) AM cắt DI tại T Chứng minh: điểm T, E, J thẳng hàng f) Vẽ dây cung MKAB Chứng minh: điểm H, E, K thẳng hàng b) Vẽ đường kính AK Chứng minh: điểm H, I, K thẳng hàng BK CE + BD KC = BC2 c) Qua D kẻ đường thắng song song với AH cắt BK tại M Đường thẳng qua B vuông góc với AI cắt DM tại N Chứng minh: N là trung điểm của DM ̂ d) Gọi P là trung điểm của BM, PN cắt AK tại S và cắt BC tại Q, AK cắt BC tại S Chứng minh: BFK ̂ = AQC Bài 46: Cho ΔABC nhọn nội tiếp (O) (AB < AC) Các đường cao AD, BE, CF cắt tại H Vẽ đường kính CG a) Chứng minh: Tứ giác ABDE nội tiếp Xác định tâm I b) Chứng minh: Tứ giác AFHE nội tiếp Xác định tâm M c) Chứng minh: điểm G, I, H thẳng hàng d) Đường thẳng qua D vng góc với ID cắt AB tại N Chứng minh: Tứ giác IMFD nội tiếp ̂ Chứng minh: GT ̂ = AOI e) Trên AB lấy điểm T cho NDT CN f) Chứng minh: AB AC BC = sin2A 4R SBFEC Bài 47: Từ điểm A ngoài (O ; R), vẽ tiếp tuyến AB AC (B, C tiếp điểm) Vẽ đường kính CD Dựng hình bình hành BOHK OA cắt BC tại H a) Chứng minh: Tứ giác OBAC nội tiếp, điểm B, D, K thẳng hàng và DK OA = 3R2 ̂ ̂ = 2OEC b) AD cắt (O) tại E, OE cắt DK tại M Chứng minh :Tứ giác DHEK nội tiếp và MKE c) Chứng minh: BE OK d) AB cắt OK tại I Tiếp tuyến tại D của (O) cắt BC tại P Trên AC lấy điểm Q cho chu vi ΔAIQ = 2AB Chứng minh điểm P, I, E, Q thẳng hàng Bài 48: Cho ΔABC nhọn nội tiếp (O) (AB < AC) Các đường cao BE và CF của ΔABC cắt tại H a) Chứng minh: Các tứ giác BFEC, AFHE nội tiếp b) Chứng minh: HB HE = HF HC c) Gọi M là giao điểm của EF và BC, EF cắt (P) tại P và Q (P thuộc cung nhỏ AB) Chứng minh: MF EQ = MQ PF d) Từ B kẻ đường thẳng song song với AH cắt AM tại N Đường trung trực của ME cắt NE tại T Từ T kẻ đường thẳng song song với OC cắt AB tại G Chứng minh: G là trung điểm của AB e) Chứng minh: NC qua trung điểm của AD f) Chứng minh: BN2 = MN AN g) Đường tròn tâm T bán kính TE cắt AC tại J Chứng minh: đường thẳng JG, AH, BC đồng quy Bài 49: Cho ΔABC nhọn nội tiếp (O) (AB < AC) Các đường cao AD, BE, CF cắt tại H ̂ và BD CD = HD AD a) Chứng minh: AD là tia phân giác của EDF b) Trên tia đối của tia BC lấy điểm N nằm ngoài (O) cho BC = 2BN Gọi M là điểm đối xứng E qua B, AM cắt (O) tại K, OM cắt CK tại G Chứng minh: Tứ giác BGOC nội tiếp c) Các tiếp tuyến tại B và tại C của (O) cắt tại Q Kẻ tiếp tuyến NP đến (O) Chứng minh điểm G, P, Q thẳng hàng Bài 50: Từ điểm A ngoài (O ; R), vẽ tiếp tuyến AB đến (O) (B là tiếp điểm) và cát tuyến ACD đến (O) (AD < AE, D và B nằm ở mặt phẳng bờ OA khác nhau) Vẽ BM AE tại M, BN CD tại N a) Chứng minh: Tứ giác BMDN nội tiếp b) Gọi K là giao điểm của OB và DE Từ K kẻ đường thẳng song song với BC cắt OA tại I Chứng ̂ = HBM ̂ minh: IBK c) Chứng minh: AD EK = AK MD d) Gọi T là giao điểm của AH và BM, HM cắt AC tại P, PT cắt BC tại S Chứng minh: AS và HE cắt tại điểm thuộc (O) e) Chứng minh: IC MN f) Gọi J là điểm đối xứng với H qua B, MN cắt OA tại Q và cắt BC tại L Chứng minh: đường tròn ngoại tiếp ΔIJQ qua trung điểm của HL Bài 51: Cho ΔABC nhọn nội tiếp (O), vẽ đường cao AD của ΔABC Vẽ tiếp tuyến xy của (O) Vẽ BM và CN vuông góc với xy (M, N thuộc xy) a) Chứng minh: Các tứ giác BDAM, CDHN nội tiếp b) DM cắt AB tại E, AC cắt DN tại F, EF cắt BM và CN lần lượt tại P và Q Chứng minh: BP CQ = NQ MP c) Gọi H là trực tâm của ΔABC Đường thẳng qua N vuông góc với DN và đường thắng qua M vuông góc với DM cắt tại K Chứng minh điểm D, A, K thẳng hàng và DH = AK d) Chứng minh: BM2 + CN2 + BD2 + CD2 ≤ 4R AD Bài 52: Từ điểm A ngoài (O ; R), vẽ tiếp tuyến AB đến (O) (B là tiếp điểm) và cát tuyến ACD đến (O) (AC < AD, B C nằm ở mặt phẳng bờ OA khác nhau) a) Chứng minh: AB2 = AC AD b) Vẽ CM BD tại M, CN AB tại N, OB cắt CD tại I và cắt (O) tại K Chứng minh: BI KI = DI CI c) Chứng minh: MN tiếp xúc với đường tròn đường kính CD d) Các tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt tại K Từ B kẻ đường thẳng song song với MC cắt AC tại H Chứng minh ΔBKH cân e) Đường thẳng qua D vuông góc với CD cắt MN tại T và cắt AB tại Q Chứng minh T là trung điểm của DQ Bài 53: Từ điểm A ngoài (O ; R) (OA = 2R), vẽ tiếp tuyến AB AC (B, C là tiếp điểm), OA cắt BC tại H, cắt (O) tại I (I thuộc cung nhỏ BC) a) Chứng minh ΔABC đều b) Chứng minh: I là tâm đường tròn nội tiếp của ΔABC c) Đường thẳng qua B song song với OA cắt CI tại M, HM cắt (O) tại N (N thuộc cung nhỏ BC) Chứng minh CN AN Bài 54: Cho ΔABC nhọn nội tiếp (O) (AB < AC) Các đường cao BE và CF cắt tại H a) Chứng minh: Tứ giác BFEC nội tiếp Xác định tâm I b) EF cắt BC tại M Chứng minh: MF ME = MB MC c) AH cắt BC tại K Chứng minh: MB KC = MK IC d) AM cắt (O) tại T Chứng minh điểm T, H, I thẳng hàng e) Đường tròn ngoại tiếp ΔMIT cắt (O) tại G, OA cắt BC tại Q Vẽ dây cung TS của (O) song song với BC Chứng minh: điểm S, Q, G thẳng hàng f) Chứng minh: AB2 = KB QB AC2 = KC QC Bài 55: Từ điểm A ngoài (O ; R), vẽ tiếp tuyến AB AC (B, C là tiếp điểm) a) Chứng minh: OA BC OA BC = 2R AB b) Chứng minh: MC MB = R2 - OM2 c) Qua M vẽ dây cung PQ vuông góc với OM (P thuộc cung nhỏ BC) Các tiếp tuyến tại P và Q cắt tại E Chứng minh: ΔOEA vuông tại E d) Chứng minh: ΔBPE ~ ΔQCE Bài 56: Cho (O) đường kính AB Trên tia đối của tia AB lấy điểm C bất kỳ (A nằm giữa B và C và AC < OA) Trên đường tròn lấy điểm N (AN > BN) Đường thẳng qua C vuông góc với BC cắt tia tiếp tuyến tại N của (O) tại M, NC cắt (O) tại H Đường thẳng qua N vuông góc với MO cắt AB tại I a) Chứng minh: Tứ giác HION nội tiếp b) Chứng minh: AI OC = AC OA c) Vẽ dây cung PQ của (O) qua I (P thuộc cung nhỏ AN ) Chứng minh: BC là tia phân giác của ̂ PCQ ̂ cắt AH tại K Chứng minh: KO là tia phân giác của AKN ̂ d) Tia phân giác của góc CON Bài 57: Cho ΔABC nhọn nội tiếp (O ; R) Các đường cao AD, BE, CF cắt tại H a) Chứng minh: các tứ giác AFHE, AFDC nội tiếp b) Gọi M là điểm đối xứng H qua BC Chứng minh M thuộc (O) c) Từ D kẻ đường thẳng với EF cắt FC tại I và cắt AC tại N, MN cắt BC tại K Chứng minh: Tứ giác KINC nội tiếp ̂ = AIF ̂ Chứng minh: AC BK = HI OB d) Gọi S là điểm đối xứng của F qua B Cho ASC Bài 58: Từ điểm A ngoài (O ; R) (OA > 2R), vẽ tiếp tuyến AB AC (B, C là tiếp điểm), OA cắt BC ̂ > BCO ̂ tại H Vẽ cát tuyến ADE đến (O) (AD < AE, D và C nẳm ở nửa mặt phẳng bờ OA BCE a) Chứng minh: AB2 = AD AE b) Chứng minh: Tứ giác EOHD nội tiếp c) Vẽ BM DE tại M, vẽ HN ̂ ̂ = EBC EC tại N Chứng minh: EMN d) Đường tròn ngoại tiếp ΔEMC cắt OC tại P Chứng minh: MN MP Bài 59: Từ điểm A ngoài (O ; R), vẽ tiếp tuyến AB AC (B, C tiếp điểm), OB cắt AC tại D Trên AB lấy điểm M (BM > AM) DM cắt BC tại N và cắt OA tại I, vẽ AK DM tại K, AK cắt BC tại F a) Chứng minh: I là trực tâm của ΔANF b) Chứng minh: Tứ giác DBKA nội tiếp Tìm điều kiện của ΔABC để C là tâm đường tròn ngoại tiếp của tứ giác này ̂ cắt AB tại S Chứng minh: Tứ giác FBSK OBFS nội tiếp c) Tia phân giác của BKD d) FI và FS cắt AN lần lượt tại T và J Đường thẳng qua N vuông góc với DK cắt AD tại Q Chứng minh: Tứ giác DTQJ nội tiếp e) Gọi S1 S2 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp của các ΔDNT DHI Chứng minh: S1S2 qua trung điểm của FD Bài 60: Cho ΔABC nhọn nội tiếp (O ; R) (AB < AC) Các đường cao BE và CF cắt tại H a) Chứng minh: Tứ giác BFEC nội tiếp b) Vẽ đường kính CS của (O) Chứng minh: Tứ giác ASBH là hình bình hành SH qua trung điểm của AB c) Dựng (A), bán kính AB cắt (O) tại M, cắt AC lần lượt tại P và Q (P nằm đường tròn (O)), ME cắt (O) tại K Chứng minh: HK qua trung điểm của AB d) Vẽ CI ̂ = CSP ̂ BM tại I Chứng minh: CQI Bài 61: Từ điểm A ngoài (O ; R), vẽ tiếp tuyến AB AC (B, C tiếp điểm) và cát tuyến ADE đến ̂ > 1500 (O) (AD < AE, D C nẳm ở hai nửa mặt phẳng bờ OA) cát tuyến này gần OA cho DOE a) Chứng minh: AB2 = AD AE b) Vẽ đường kính DM ME cắt AB và OB lần lượt tại P và Q Chứng minh: PE PQ = PB PA c) Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt PC tại I Trên BP lấy N cho IB = BN Kẻ BK PQ tại K Chứng minh: Tứ giác AQKN nội tiếp d) Trên tia đối tia OB lấy F (B nằm giữa O và F) cho OF = BP Đường thẳng qua D với OB cắt OA và AF lần lượt tại S và T Chứng minh: ST = IB Bài 62: Cho (O) đường kính AB Trên đường tròn lấy điểm C cho BC > AC Vẽ CH Vẽ HK BC tại K AB tại H ̂ = OCK ̂ a) Chứng minh: AC2= AH AB và CHK b) Tiếp tuyến tại C của (O) cắt KH tại M Chứng minh ΔCMB vuông c) MB cắt (O) tại N Chứng minh: đường thẳng HM, AN, OC đồng quy d) Vẽ đường kính CD Đường thẳng qua D song song với CH và đường thẳng qua B song song với AN cắt tại I Đường thẳng qua O song song với AN cắt AI tại P và cắt AD tại Q Chứng minh: P là trung điểm của OQ Bài 63: Cho (O) đường kính AB Trên đường tròn lấy điểm C cho BC > AC Vẽ CH Gọi I là trung điểm của BC a) Chứng minh: Tứ giác CHOI nội tiếp AB tại H b) Từ O kẻ đường thẳng song song với BC cắt tiếp tuyến tại A của (O) tại D Chứng minh: CD là tiếp tuyến của (O) c) BD cắt CH tại M Chứng minh M là trung điểm của CH d) AM cắt (O) tại N Chứng minh: Tứ giác AOIN nội tiếp e) Vẽ HK AN tại K Trên tia đối tia HK lấy điểm S (K nằm giữa S và H) cho KS = 2HK Chứng minh: C là trung điểm SN Bài 64: Cho ΔABC nhọn (O ; R) (AB < AC) Các đường cao BD và CE của ΔABC cắt tại H a) Chứng minh: Tứ giác BEDC nội tiếp ̂ b) DE cắt (O) tại M và N (M thuộc cung nhỏ AB) Chứng minh: AB là tia phân giác của MBN c) MH cắt (O) tại K Chứng minh: MH HK = 2BH BD d) Qua N kẻ đường thẳng song song với AK cắt MK tại I Đường thẳng qua N vuông góc với NK cắt ̂ ̂ = MIJ AK tại S Vẽ MT NI tại T, J là trung điểm của MT Chứng minh: TIS e) Vẽ SG MK tại G và P là trung điểm của BC Chứng minh: điểm N, G, P thẳng hàng Bài 65: Từ điểm A ngoài (O ; R), vẽ tiếp tuyến AB AC (B, C là tiếp điểm) và cát tuyến ADE đến (O) (AD < AE, D và C nằm ở mặt phẳng bờ OA khác nhau) Vẽ BK EC tại K, BK cắt (O) tại I Vẽ dây cung IL // BD, OA cắt BC tại H a) Chứng minh: EK KC = BK IK a) Chứng minh: BL = DI và BC BE = 2AB EK b) Chứng minh: EH BL c) Kẻ dây cung ES // BC, EH cắt (O) tại P Chứng minh điểm A, P, S thẳng hàng Bài 66: Cho (O) đường kính AB Trên đường tròn lấy điểm C cho AC > BC Vẽ dây cung CD AB tại H Gọi I là trung điểm của AC a) Chứng minh: HD HC = HA HB b) Trên AH lấy điểm M cho HM = HB Chứng minh: MC c) Tiếp tuyến tại C của (O) cắt MI tại N Vẽ NK KHDE nội tiếp IH AC tại K, AN cắt (O) tại E Chứng minh: Tứ giác d) EK cắt CD tại P Chứng minh: EH + EC > 3PK Bài 67: Cho ΔABC nhọn nội tiếp (O ; R) (AB < AC) Các đường cao AD và BE của ΔABC cắt tại H Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại M a) Chứng minh: Tứ giác AEDB nội tiếp và AM2 = MB MC b) Vẽ MN ̂ = NDM ̂ AB tại N, MN cắt AD tại I Chứng minh: IHB c) Đường thẳng qua M song song với BE cắt AI tại J, OB cắt IM tại T và cắt AD tại S Chứng minh tứ giác JMTS nội tiếp d) Chứng minh: AJ = HI Bài 68: Cho ΔABC nhọn nội tiếp (O ; R) (AB < AC) Các đường cao BD và CE của ΔABC cắt tại H, AH cắt DE tại I, DE cắt BC tại M, AM cắt (O) tại N a) Chứng minh: Các tứ giác BEDC, AEHD nội tiếp b) Chứng minh: BH DH = HE HC và AI HI = IE ID ̂ = AKM ̂ c) Chứng minh: AID d) Tứ giác MNEB nội tiếp e) OA cắt BC tại K, IK cắt NC tại P và cắt ND tại Q Chứng minh: là trực tâm của ΔANP Bài 69: Cho ΔABC nhọn (AC < BC) Vẽ (O) đường kính AB cắt AC và BC lần lượt tại E và D, AD cắt BE tại H, CH cắt AB tại F a) Chứng minh: H là trực tâm của ΔABC CF AB b) Chứng minh: các tứ giác CEHD, CEFB nội tiếp ̂ = ODF ̂ c) Chứng minh: OEF d) Gọi I là giao điểm của OE và AD Từ I kẻ đường thẳng song song với CF cắt EF tại K, AK cắt (O) tại J Chứng minh: ΔDFJ vuông e) DJ cắt AB tại M Từ M kẻ các tiếp tuyến MP và MQ đến (O) với P và Q là tiếp điểm Chứng minh đường thẳng IJ, PQ, BD đồng quy Bài 70: Từ điểm A ngoài (O ; R), vẽ tiếp tuyến AB AC (B, C là tiếp điểm), OA cắt BC tại H Vẽ cát tuyến ADE đến (O) cho AD < AE Gọi I là trung điểm của DE, OI cắt BC tại M ̂ a) Chứng minh: CI là tia phân giác của BIC b) Chứng minh: MD, ME là tiếp tuyến của (O) c) DE cắt BC tại S, OS cắt AM tại N Chứng minh: ΔIBN ~ ΔCHN d) CI cắt ME tại K, NE cắt AB tại S và BD cắt KN tại Q Chứng minh: Tứ giác NSBQ nội tiếp Bài 71: Từ điểm A ngoài (O ; R) (OA > 2R), vẽ tiếp tuyến AB AC (B, C là tiếp điểm), OA cắt BC tại H a) Chứng minh tứ giác OBAC nội tiếp và SOBAC = R AB b) Trên tia đối của tia AB lấy điểm D (B nằm giữa A và D) cho AH = DH Đường thẳng qua H vng góc với DH cắt AB và OB lần lượt tại M và N Chứng minh: H là trung điểm của MN và tứ giác BMCN là hình chữ nhật c) Gọi I là trung điểm của AC, BI cắt (O) tại E, CE cắt MN tại K Kẻ tiếp tuyến KF đến (O) cho F thuộc cung nhỏ BC Chứng minh tứ giác BHEM nội tiếp và KH = KF d) HF cắt (O) tại G, GC cắt HK tại Q Kẻ cát tuyến KJT đến (O) KJ < KT và J thuộc cung nhỏ BE Gọi S1 S2 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp của các ΔQTJ QCE Chứng minh S1S2 GK Bài 72: Cho (O) đường kính AB Trên đường tròn lấy điểm C cho BC > AC Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại D Từ D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại E, BE cắt (O) tại I a) Chứng minh: DC2 = AC EC b) Chứng minh: Tứ giác ADEI nội tiếp c) Kẻ tiếp tuyến EM đến (O) với M là tiếp điểm, M thuộc cung nhỏ BC Chứng minh: ΔDEM cân d) PQ cắt BI tại S Từ S kẻ tiếp tuyến SL đến (O) (L là tiếp điểm, L thuộc cung nhỏ BC) Chứng minh PL OS e) PL cắt AB tại T, ST cắt AD tại K Chứng minh: KI là tiếp tuyến của (O) Bài 73: Cho ΔABC nhọn nội tiếp (O ; R) (AB < AC) Các đường cao AD, BE, CF của ΔABC cắt tại H a) Chứng minh: Các tứ giác AFDC, BFHD nội tiếp b) AH cắt EF tại G Chứng minh: AD HG = DH AG c) AD cắt (O) tại M, EF cắt (O) tại K (K thuộc cung nhỏ AB) Chứng minh AK2 = AG AM d) Từ K kẻ đường thẳng song song với AM cắt BM tại L Gọi N là điểm đối xứng với A qua G Trên ̂ Chứng minh: KF = GJ ̂ = ANJ GE lấy điểm J cho KGL Bài 74: Cho (O) đường kính AB Trên đường tròn lấy điểm C cho BC > AC Vẽ CH CH cắt (O) tại K Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại D AB tại H, a) Chứng minh: HC = HK và AH BH = CH HK b) Từ D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại E, BE cắt (O) tại I Chứng minh tứ giác ADEI ̂ = 2EDI ̂ nội tiếp IOC c) Chứng minh: OK và DI cắt tại điểm thuộc (O) d) Các tiếp tuyến tại B và J của (O) cắt tại M, BJ cắt DM tại P và cắt IC tại Q Chứng minh: P là trực tâm của ΔOMQ e) Vẽ KL BC tại L Chứng minh biểu thức A = BC BI(KL - AI) + AC AI KL CK có giá trị không đổi Bài 75: Cho ΔABC nhọn (AB < AC) Vẽ (O) đường kính BC cắt AB và AC lần lượt tại E và F, BF cắt CE tại H, AH cắt BC tại D a) Chứng minh: H là trực tâm của ΔABC và AD BC b) Chứng minh: các tứ giác AEDC, AEHF nội tiếp Xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF c) Chứng minh: IE và IF là tiếp tuyến của (O) ̂ d) Đường tròn tâm I cắt DF tại M Chứng minh: AD là tia phân giác của EAM e) AD cắt (O) tại P và Q (P thuộc cung nhỏ EF) Chứng minh AP HD = DQ HP f) Vẽ ML QC tại L, ML cắt BC tại S Đường thẳng qua P song song với DL và đường thẳng qua M song song với AD cắt tại N Đường thẳng qua M vng góc với SN cắt BC tại T Chứng minh: Tứ giác TQSM nội tiếp Bài 76: Cho (O) đường kính AB Trên đường tròn lấy điểm C cho BC > AC Từ D kẻ tiếp tuyến DE đến (O) (E là tiếp điểm) a) Chứng minh: Tứ giác AOED nội tiếp ̂ b) Chứng minh: CE = BE cos2BAC ̂ = AOD ̂ Chứng minh: ΔIME cân c) AC cắt DE tại I Trên AE lấy điểm M cho ACM d) Từ E kẻ đường thẳng song song với AD cắt BD tại N, MN cắt AD tại K Chứng minh: KC là tiếp tuyến của (O) e) Gọi G là giao điểm của AE và BD, KC cắt DE tại S Tiếp tuyến tại B của (O) cắt AE tại P Trên BP lấy điểm Q cho PQ = 3BQ Chứng minh: DQ, KE, SG đồng quy Bài 77: Cho (O) đường kính AB Trên đường tròn lấy điểm C cho BC > AC Các tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt tại D Vẽ CH AB tại H a) Chứng minh tứ giác BOCD nội tiếp Xác định tâm I b) Chứng minh: Tứ giác ACOD nội tiếp và AC OD = 2R2 c) AD cắt CH tại K Chứng minh K là trung điểm của CH d) Gọi M là trung điểm của OB Chứng minh: BK DM e) Từ O kẻ đường thẳng song song với BD cắt BK tại P, CP cắt OD tại Q, BK cắt DM tại N Chứng minh: Tứ giác IPQN nội tiếp Bài 78: Cho (O) đường kính AB Trên đường tròn lấy điểm C cho BC > AC Vẽ CH AB tại H ̂ cos ABC ̂ a) Chứng minh CH = 2R sin ABC b) Đường thẳng qua O song song với BC cắt tia tiếp tuyến tại A của (O) tại I Chứng minh: IC là tiếp tuyến của (O) c) Gọi D là điểm đối xứng với A qua C, BD cắt (O) tại L Chứng minh: DL = 2AH d) IC cắt DH tại M Chứng minh M là trực tâm của ΔIBD e) Từ B kẻ các tiếp tuyến BP và BQ đến với đường tròn tâm J đường kính DI và đường tròn tâm G ngoại tiếp ΔIMD với P và Q là tiếp điểm Chứng minh: BQ2 = 2BP2 Bài 79: Cho (O) đường kính AB Trên đường tròn lấy điểm C cho BC > AC Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại D Từ D vẽ tiếp tuyến DE đến (O) với E là tiếp điểm Vẽ CH BA tại H a) Chứng minh: Tứ giác AOED nội tiếp và AC2 = BC DC b) Gọi P là trực tâm của ΔADE Chứng minh tứ giác APEO là hình thoi c) CH cắt AE tại I Chứng minh điểm P, O, I thẳng hàng d) BI cắt OC tại S Chứng minh: AS OH Bài 80: Cho (O) đường kính AB Trên đường tròn lấy điểm C cho BC > AC Các tiếp tuyến tại A và C của (O) cắt tại D, BD cắt AC tại M Vẽ MN AB tại N a) Chứng minh tứ giác MNCB nội tiếp b) Chứng minh: AN AB = AM AC c) Chứng minh tích OD BC không đổi d) Đường thẳng qua D vng góc với OM cắt MN tại I Chứng minh: M là trung điểm của IN và điểm I, C, B thẳng hàng e) Từ I kẻ tiếp tuyến IK đến đường tròn ngoại tiếp ΔAMB (K là tiếp điểm) Chứng minh: IN = IK Bài 81: Từ điểm A ngoài (O ; R), vẽ tiếp tuyến AB AC (B, C là tiếp điểm) và cát tuyến ADE đến (O) (AD < AE, D và B nằm ở cùng mặt phẳng bờ OA) Qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt BE tại M, CM cắt (O) tại N a) Chứng minh: Tứ giác ABOC nội tiếp b) Chứng minh: BD2 = BM BE c) Chứng minh: BM BE = MC MN d) Chứng minh: R2 = OM2 + BD2 - BM2 e) ND cắt AB tại I Chứng minh: B là trung điểm của AI Bài 82: Cho (O) đường kính AB Trên đường tròn lấy điểm C cho BC > AC Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại D Gọi K là trung điểm của BC a) Chứng minh: Tứ giác AOKD nội tiếp b Vẽ AM OD tại M, AM cắt BC tại N, OD cắt (O) tại I (I thuộc cung nhỏ AC), IN cắt (O) tại H Chứng minh: IN HN = NC NB d) Chứng minh: NC BD = DC BN và AD2 = DN DK e) Đường thẳng qua N song song với OC cắt tia tiếp tuyến tại C của (O) tại S Chứng minh: Tứ giác SNKH nội tiếp e) Chứng minh: SK HN SN SH + KN KH = HS HK + SN KN ̂ < 400 Các tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt tại D, AD Bài 83: Cho ΔABC nhọn (AB < AC) và A cắt (O) tại E Đường thẳng qua D vng góc với OA cắt BC tại I a) Chứng minH: Tứ giác OBCD nội tiếp b) Chứng minh: BD2 = BE BA c) Chứng minh: BE AC = AB EC d) Chứng minh trực tâm của ΔADI thuộc (O) e) AI cắt (O) tại S Trong trường hợp AC qua trung điểm của DI, chứng minh đường thẳng ES, BI, OA đồng quy Bài 84: Cho ΔABC nhọn (AB < AC) Vẽ (O) đường kính BC cắt AB và AC lần lượt tại F và E, BE cắt CF tại H, AH cắt BC tại D a) Chứng minh: Tứ giác AFHE nội tiếp Xác định tâm I b) Chứng minh: IE và IF là tiếp tuyến của (O) c) Vẽ AK EF tại K, EI cắt tia tiếp tuyến tại B của (O) tại M Chứng minh: Giá trị biểu thức AH BD EK không đổi ̂ = AHN ̂ Gọi J là giao d) Đường tròn ngoại tiếp ΔIKD cắt EF tại N Kẻ tia Mx cắt AD tại S cho AMS điểm các tiếp tuyến tại M và S của đường tròn ngoại tiếp ΔAMS Chứng minh điểm A, J, N thẳng hàng Bài 85: Từ điểm A ngoài (O ; R), vẽ tiếp tuyến AB (B tiếp điểm) và cát tuyến ACD đến (O) (AC < AD, C và B nằm ở mặt phẳng bờ OA khác nhau) Các tiếp tuyến tại C và D của (O) cắt tại M, OM cắt (O) tại N (N thuộc cung nhỏ CD), AN cắt (O) tại I ̂ a) Chứng minh tứ giác OCMD nội tiếp và CN là tia phân giác của DCM b) Chứng minh: BM OA c) DN cắt BM tại K Chứng minh điểm C, I, K thẳng hàng d) MI cắt (O) tại S Đường trung trực của AB cắt đường thẳng qua A song song với BM tại H Chứng minh: HS = HA Bài 86: Từ điểm A ngoài (O ; R) (OA > 2R), vẽ tiếp tuyến AB AC (B, C là tiếp điểm) Vẽ dây cung CMAB, AM cắt (O) tại N Tiếp tuyến tại N của (O) cắt AB tại E, OE cắt MN tại I Chứng minh : a) Các tứ giác BONE, OBAC nội tiếp b) N là trung điểm của AI c) NS2 2CH = MS2 CI ̂) d) AC2 - AN2 = 2EN EA (1 + cos AEN Bài 87: Cho ΔABC nhọn (AB < BC) nội tiếp (O) Các đường cao BE và CF của ΔABC cắt tại H a) Chứng minh: Tứ giác BFEC nội tiếp Xác định tâm I b) Vẽ đường kính AM của (O), HM cắt (O) tại S Chứng minh: điểm A, S, H, F, E cùng tḥc đường trịn c) Vẽ HT AI tại T Chứng minh: đường thẳng ST, AH, EF đờng quy d) Đường trịn đường kính BH cắt (O) tại L, BL cắt AC tại G Chứng minh: Nếu điểm S, J, C thẳng hàng thì điểm G, S, F cũng thẳng hàng ̂ tù MO và Bài 88: Cho (O) đường kính AB Bên ngoài đường tròn lấy điểm M bất kỳ cho BOM MB cắt (O) lần lượt tại C và D (C và D nẳm ở cùng mặt phẳng bờ AB) Đường thẳng qua M vng góc với AC cắt AD tại E, F là điểm đối xứng với C qua ME a) Chứng minh: CE là tiếp tuyến của (O) và tứ giác MFAB nội tiếp b) Tiếp tuyến tại B của (O) cắt ME tại H Dựng hình bình hành HFAJ Chứng minh: điểm E, O, J thẳng hàng c) BF cắt (O) tại Q, AE cắt (O) tại D Các tiếp tuyến tại A và D cắt tại S Chứng minh: điểm S, C, Q thẳng hàng Bài 89: Cho (O) đường kính AB Trên đường tròn lấy điểm C cho AC > BC Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại D Gọi H là điểm đối xứng với A qua C, K là trung điểm của OA a) Chứng minh: giá trị BD2 - DK2 không đổi b) Trên AC lấy điểm M cho AM = 2CM Chứng minh: MB qua trung điểm của OC c) DM cắt AB tại T Chứng minh: Tứ giác DKTH nội tiếp Bài 90: Cho ΔABC nhọn (AB < AC) Các đường cao AF, BD, CE của ΔABC cắt tại H, gọi I là trung điểm của DE, IH cắt đường tròn tâm O ngoại tiếp ΔBHC tại M ̂ a) Chứng minh: BD là tia phân giác của EDF b) Chứng minh: Tứ giác AIFM nội tiếp c) AF cắt MC tại Q Đường trịn tâm G nợi tiếp ΔMHC tiếp xúc với HC và MC lần lượt tại J và L Đường thẳng qua C song song với MH cắt JL tại S Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔAQC Chứng minh: Tứ giác OKSG nội tiếp ̂, B ̂ , Ĉ là các góc của ΔABC) d) Chứng minh: 2sinA sinB cosA = sin2B + sin2C – sin2A (A Bài 91: Cho ΔABC nhọn (AB < AC) Dựng (O) đường kính BC cắt AB và AC lần lượt tại M và N, BN cắt CM tại H, AH cắt MN tại I và cắt BC tại D Gọi K là điểm đối xứng với A qua I Chứng minh: IH2 = HD HK – IM IN b) BN cắt OA tại J Gọi S là trung điểm của OB, SJ cắt ON tại L Đường thẳng qua K song song với BC cắt AC tại Q Chứng minh: HL IQ Bài 92: Cho (O) đường kính AB Trên đường tròn lấy điểm I cho AI > BI Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BI tại E Gọi M là trung điểm của OA, EM cắt (O) tại N (N thuộc cung nhỏ CI), BN cắt AE tại C Vẽ CD BE tại D a) Chứng minh: IN qua trung điểm của AD b) Chứng minh: Vẽ IH AB tại H Trên IH lấy điểm K cho IK = 3HK Chứng minh: EM AK c) Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp của ΔBND và L là điểm đối xứng với C qua J Chứng minh: điểm A, K, L thẳng hàng ... đường cao BM và CN của ΔABC Chứng minh: Tứ giác CMNB nội tiếp và ΔAMN ~ ABC c) Chứng minh: BD AN2 = CD AM2 d) Gọi E là điểm đối xứng với M qua A Chứng minh: EN OD e) Đường cao OQ... và CK cắt tại điểm thuộc (O) d) Chứng minh: EL, BD, AK đồng quy Bài 39: Cho ΔABC nhọn nội tiếp (O), đường cao AD, BE, CF cắt tại H a) Chứng minh: Các tứ giác AFDC, DHEC nội tiếp... cắt AC tại J Chứng minh: đường thẳng JG, AH, BC đồng quy Bài 49: Cho ΔABC nhọn nội tiếp (O) (AB < AC) Các đường cao AD, BE, CF cắt tại H ̂ và BD CD = HD AD a) Chứng minh: AD là