Chương 2 lũy thừa

TỰ HỌC ĐIỂM MƠN TỐN Fanpage: Tài liệu KYS Group: Kyser ôn thi THPT CHƯƠNG II: LŨY THỪA – MŨ VÀ LOGARIT BÀI LŨY THỪA I – LÝ THUYẾT KIẾN THỨC CƠ BẢN a Định nghĩa lũy thừa - Cho số thực b số nguyên dương n ( n ≥ 2) Số a gọi bậc n số b a n = b - Chú ý: ° Với n lẻ b ∈  : Có bậc n b , kí hiệu n b b < : Không tồn bậc n b ° b = : Có bậc n b số Với n chẵn: b > : Có hai bậc n a hai số đối nhau, có giá trị dương ký hiệu n b , có giá trị âm kí hiệu − n b Số mũ α Cơ số a Lũy thừa a α α = n ∈ * a∈ aα = a n= a ⋅ a  a ( n thừa số a ) α =0 a≠0 α a= a= −n, (n ∈ * ) α= a≠0 α −n a= a= an m m α= , ( m ∈ , n ∈  * ) n α lim rn ,( rn ∈ , n ∈ * ) = α n a= a= a>0 n am , ( n a = b ⇔ a = bn ) a>0 aα = lim a rn b Một số tính chất lũy thừa - Giả thuyết biểu thức xét có nghĩa: α β α +β a ⋅a = a ; −α aα = aα − β ; aβ α β (a ) = a α β ; α α α (ab)= a ⋅ b ; α aα a = ;   bα b α a b  =    ⋅ b a - Nếu a > aα > a β ⇔ α > β ; Nếu < a < aα > a β ⇔ α < β - Với < a < b , ta có: a m < b m ⇔ m > ; a m > b m ⇔ m < - Chú ý: ° Các tính chất trường hợp số mũ nguyên không nguyên ° Khi xét lũy thừa với số mũ số mũ nguyên âm số a phải khác ° Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên số a phải dương Tài liệu KYS Tài liệu liệu ôn thi chất lượng 123 c Một số tính chất bậc n - Với a, b ∈ ; n ∈ * , ta có: ° 2n a n =,∀ a a;° ° 2n ab= ° 2n a = b n +1 a n +1 = a,∀a ⋅ a n b , ∀ab ≥ ; ° 2n = ab n +1 a  2n a +1 , ∀ab ≥ 0, b ≠ ; ° n= 2n b b  a ⋅ n +1 b ,∀a, b n +1 n +1 n +1 a ,∀a, ∀b ≠ b -Với a, b ∈ , ta có: = am ° n ° n m ° n (n a) a= Nếu nm m , ∀a > , n nguyên dương, m nguyên a , ∀a ≥ , n , m nguyên dương p q = n m n p a= m a q , ∀a > 0, m, n nguyên dương, p, q nguyên Đặc biệt: a = m⋅n a m ( Yêu cầu: Vận dụng thành thạo định nghĩa, tính chất lũy thừa.) II – DẠNG TOÁN Da ̣ng 1: Biến đổi biểu thức liên quan Vı́ du ̣ điể n hın ̀ h Ví dụ 1: Kết luận số thực a (2a + 1) −3 > (2a + 1) −1  − 0, y > Biểu thức rút gọn K là? C x + B 2x D x − Lời giải   Rút gọn  x − y  = x − y   ( ) −1 −2 −1  y    y− x   y y x  +  =  − 1  =  Rút gọn 1 −  =    x x x x  y − x             x  Vậy K = = x− y  x Chọn A  y − x    ( ) Da ̣ng 3: Dạng khác Ví dụ 5: Một người gửi số tiền M triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 0,7% / tháng Biết người khơng rút tiền khỏi ngân hàng sau tháng, số tiền lãi nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi lãi kép) Sau ba năm, người muốn lãnh số tiền triệu đồng, khoảng thời gian không rút tiền lãi suất khơng đổi, người cần gửi số tiền M là: A triệu 600 ngàn đồng B triệu 800 ngàn đồng C triệu 700 ngàn đồng D triệu 900 ngàn đồng Lời giải Ta có= Tn M (1 + r ) n Áp dụng công thức với Tn = , r = 0,007, n = 36 , số tiền người cần gửi vào ngân hàng năm (36 tháng)= là: M Tn = ≈ 3,889636925 triệu n (1 + r ) (1,007 )36 đồng Tài liệu KYS Tài liệu liệu ôn thi chất lượng 125 VÍ DỤ TỔNG HỢP x x2 f (1,3) bằng: x Ví dụ Cho f ( x ) = A 0,13 B 1,3 C 0, 013 D 13 Hướng dẫn giải x x x x 1,3 Chọn B x ⇒ f (1,3) = = = x x6 x 1,3 > nên ta có: = Vì = f ( x) Ví dụ Cho f ( x ) = x x 12 x Khi f (2, 7) A 0, 027 B 0, 27 C 2, D 27 Hướng dẫn giải x 2, > nên ta có: Vì= = f ( x) Ví dụ Đơn giản biểu thức 3 12 2, Chọn C x= x x x= x x x ⇒ f ( 2, ) = 12 81a 4b , ta được: A −9a b B 9a b C 9a 2b D 3a b C x ( x − 1) D x x + Hướng dẫn giải b) ( 9a= 81a= b Ví dụ Đơn giản biểu thức A x ( x + 1) 9= a 2b 9a b Chọn B x8 ( x + 1) , ta được: B − x ( x + 1) Hướng dẫn giải x8 ( x + 1) = 4 x ( x + 1) = x ( x + 1) = x x + Chọn D Ví dụ Đơn giản biểu thức A − x ( x + 1) x ( x + 1) , ta được: B x ( x + 1) C x ( x + 1) 3 D x ( x + 1) Hướng dẫn giải x3 ( x + 1) = ( x ( x + 1) ) 3 = x ( x + 1) Chọn B Ví dụ Tìm điều kiện a để khẳng định A ∀a ∈  (3 − a ) =− a khẳng định đúng? B a ≤ C a > D a ≥ Hướng dẫn giải Ta có 126  a − neu a ≥  Chọn D (3 − a ) = a − ⇔  −a + neu a <  Chương Lũy thừa – mũ - logarit Tự học điểm Ví dụ Cho n ∈ N ; n ≥ khẳng định sau đúng? n n B a = n a , ∀a > A a = a , ∀a ≠ n 1 D a n = n a , ∀a ∈  C a n = n a , ∀a ≥ Hướng dẫn giải Đáp án B Đáp án A, C, D sai điều kiện a Ví dụ Khẳng định sau khẳng định sai? ab = a b ∀a, b A B 2n a n ≥ ∀a , n nguyên dương ( n ≥ ) C 2n a n = a ∀a , n nguyên dương ( n ≥ ) D a = a ∀a ≥ Hướng dẫn giải Chọn đáp án A a ≥ Vì đẳng thức xáy  b ≥ Ví dụ Cho a > 0, b < , khẳng định sau khẳng định sai? A a 4b = ab B a 3b3 = ab C a 2b = ab D a 2b = ab Hướng dẫn giải Do a > 0, b < nên Ví dụ 10 Nếu a > a b a 4b = (ab) = ab = −ab Đáp án A đáp án xác > b A a > 1;0 < b < B a > 1; b < C < a < 1; b < D a < 1;0 < b < Hướng dẫn giải Do Vì 1 1 > nên a > a ⇒ a > < nên b >b ⇒ < b < đáp án A đáp án xác Tài liệu KYS Tài liệu liệu ơn thi chất lượng 127 BÀI HÀM SỐ LŨY THỪA I – LÝ THUYẾT Định nghĩa: Hàm số y = xα , với α ∈ , gọi hàm số lũy thừa Tập xác định: Tập xác định hàm số y = xα là:  D =  α số nguyên dương  D =  \ {0} với α nguyên âm  D = (0; +∞) với α không nguyên Đạo hàm: Hàm= số y xα , (α ∈ ) có đạo hàm với x > ( xα )′ = α xα −1 Tính chất hàm số lũy thừa khoảng (0; +∞) (khảo sát hàm lũy thừa) = y xα , α > = y xα , α < A Tập khảo sát: (0; +∞) A Tập khảo sát: (0; +∞) B Sự biến thiên: B Sự biến thiên: = y′ α xα −1 > 0, ∀x > = y′ α xα −1 < 0, ∀x >  Giới hạn đặc biệt:  Giới hạn đặc biệt: lim+ xα = 0, lim xα = +∞ lim+ xα = +∞, lim xα = x →0 x →+∞ Tiệm cận: Không có x →0 x →+∞ Tiệm cận: Trục Ox tiệm cận ngang Trục Oy tiệm cận đứng C Bảng biến thiên: 128 C Bảng biến thiên: Chương Lũy thừa – mũ - logarit Tự học điểm D Đồ thị: Đồ thị hàm số lũy thừa y = xα qua điểm I (1;1) Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số tồn tập xác định Chẳng hạn: = y x= , y x −= , y xπ II – DẠNG TOÁN DẠNG 1: TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM LŨY THỪA, HÀM VÔ TỶ a) Phương pháp giải Xét hàm số y =  f (x ) α Khi α nguyên dương: hàm số xác định f (x ) xác định Khi α nguyên âm: hàm số xác định f (x ) ≠ Khi α không nguyên: hàm số xác định f (x ) > * Vı́ du ̣ điể n hın ̀ h y Vı́ du ̣ 1: Tập xác định D hàm số = A D = ( −4;1) (6x − x − ) B D = [1;7 ] C D = [1;7 ] D D = R Lời giải Hàm số xác định x − x − xác định ⇔ x ∈  Chọn D y Vı́ du ̣ 2: Tập xác định D hàm số = (x − 1) −8 A D = R C D = B D = R ( −∞; −1] ∪ [1; +∞ ) D D = {±1} ( −1;1) Lời giải Hàm số xác định x − ≠ ⇔ x ≠ ±1 Chọn B y Vı́ du ̣ 3: Tập xác định D hàm số = A D = R ( x + 1) B D = R {−1} C D = ( −∞; −1) D D = ( −1; +∞ ) Lời giải Hàm số xác định x + > ⇔ x > −1 Chọn D Tài liệu KYS Tài liệu liệu ôn thi chất lượng 129 Vı́ du ̣ 4: Tập xác định D hàm số y= A D = R ( B D = R x − + 2018 ) − C D= [1; +∞ ) {1} D D = ( 0; +∞ ) D D = ( 0; +∞ ) Lời giải Hàm số xác định x − ≥ ⇔ x ≥ Chọn C  2x −  Vı́ du ̣ 5: Tập xác định D hàm số y =    x − 3x +  A D = R B D = R 3  C = D  ; +∞  2  {1; 2} Lời giải Hàm số xác định x ≠ 2x − xác định x x ⇔ − + ≠ ⇔  x − 3x + x ≠ Chọn B  x−4 Vı́ du ̣ 6: Tìm tập xác định hàm số y =    x +1  e −1 A.= D  \ { − 1} B D = (−∞; −1) ∪ [4; +∞) C D = (−1; 4) D D = (−∞; −1) ∪ (4; +∞) Lời giải Hàm số xác định x−4 > ⇔ x ∈ (−∞; −1) ∪ (4; +∞) x +1 DẠNG 2: ĐẠO HÀM, MAX-MIN CỦA HÀM SỐ LUỸ THỪA 2.1 Đạo hàm hàm số luỹ thừa Da ̣ng 1: Tính đạo hàm hàm số lũy thừa a) Phương pháp giải - Dựa vào công thức đạo hàm ( x ) = α x α ' ( u ) = α u α ' α −1 α −1 u ' Và cơng thức tính đạo hàm học Vı́ du ̣ 1: Tính đạo hàm hàm số y = x B y ' = x9 ln A y ' = x8 C y ' = x9 ln x D y ' = x8 Lời giải Áp dụng công thức ( xα ) = α xα −1 Chọn D ' Vı́ du ̣ 2: Đạo hàm hàm số y = x −4 130 Chương Lũy thừa – mũ - logarit Tự học điểm B −4 x −5 A −4 x −3 C −3x5 D x −3 − C − x ( − x ) D − Lời giải Áp dụng công thức ( xα ) = α xα −1 Chọn B ' Vı́ du ̣ 3: Đạo hàm hàm số y= (3 − x ) A − − B − x ( − x ) − x (3 − x2 ) − − x2 ) ( Lời giải Áp dụng công thức ( uα ) = α uα −1.u ' ' −7 −7 −7 −4 −4 2 3 (3 − x ) (3 − x ) '= (3 − x ) (−2 x)= y '= x(3 − x ) 3 Chọn A Da ̣ng 2: Tính đạo hàm hàm số điểm a) Phương pháp giải + Tính đạo hàm hàm số x ∈ D + Thay x = x0 vào f ' ( x) Vı́ du ̣ 1: Đạo hàm hàm số y= ( x − 1) điểm x = A C B D Lời giải Áp dụng công thức ( uα ) = α uα −1.u ' ' y=' −2 −2 −2 1 ( x − 1) ( x − 1)=' ( x − 1) ×= ( x − 1) 3 −2 1 y ''(2) = (2 − 1) = 3 Chọn A π Vı́ du ̣ 2: Cho hàm số y = x có đồ thị ( C ) Lấy M ∈ ( C ) có hồnh độ x0 = Hệ số góc tiếp tuyến ( C ) M A π B C π π D − Lời giải Hệ số góc tiếp tuyến ( C ) M y '(1) Áp dụng công thức ( xα ) = α xα −1 ' Tài liệu KYS Tài liệu liệu ôn thi chất lượng 131 y '= π π −1 x ⇒ y '(1) = π π −1 = π Chọn C Vı́ du ̣ 3: Đạo hàm hàm số y= (5 − x) A − 3 điểm x = B C D Lời giải Áp dụng công thức ( uα ) = α uα −1.u ' ' y ' =3(5 − x) −1 (5 − x)' = − 3.(5 − x) ⇒ y '(4) = − 3.(5 − 4) −1 −1 Chọn A = − Da ̣ng 3: Tính đạo hàm cấp cao hàm số lũy thừa a) Phương pháp giải: + Dựa vào định nghĩa đạo hàm cấp cao f ( n ) ( x) = ( f ( n −1) ( x) ) ' Vı́ du ̣ 1: Cho hàm số y= (4 − x )3 Tính y ''(1) kết A -252 B 252 C D -54 Lời giải Áp dụng công thức ( uα ) = α uα −1.u ' ' −6 x(4 − x ) y' = 3.(4 − x ) (4 − x ) ' = v )' u ' v + uv ' Dùng công thức (u.= y '' = −6(4 − x ) − x.2(4 − x )(−2 x) = 6(4 − x )(10 x − 24) ⇒ y ''(1) = 6(4 − 12 )(10.12 − 24) = −252 Chọn A Vı́ du ̣ 2: Cho hàm số y= ( x + 2) −2 Hệ thức y y '' không phụ thuộc vào x B y ''− y = A y ''+ y = 0 C y ''− y = D ( y '') − y = Lời giải Áp dụng công thức ( uα ) = α uα −1.u ' ' y' = −2( x + 2) −3 ⇒ y '' = 6( x + 2) −4 Thay vào phương án, có phương án B 132 Chương Lũy thừa – mũ - logarit Tự học điểm Bảng biến thiên: m có nghiệm x ∈ [1; 8] phương trình: Để phương trình log 22 x − log x + = t − 2t + = m có nghiệm t ∈ [ 0; 3] Do đồ thị hàm số y = f ( t ) phải cắt đường thẳng y = m Từ bảng biến thiên ta thấy ≤ m ≤ thỏa mãn u cầu tốn Chọn A có nghiệm Ví dụ Tìm tất giá trị thực m để phương trình log ( − x − 3x − m + 10) = thực phân biệt trái dấu A m < C m < B m > D m > Hướng dẫn giải  − x − 3x − m + 10 > log ( − x − 3x − m + 10) = ⇔   − x − 3x − m + = Phương trình có hai nghiệm thực phân biệt trái dấu ⇔ m − < ⇔ m < Ví dụ Cho phương trình sau: m.log 21 ( x − 4) − 2( m + 1) log ( x − 4) + m + m + = 2 Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt thỏa mãn < x1 < x2 < A m ∈ ( 0; +∞ ) B m ∈ ( 0; +∞ ) \ {1} C m ∈ ( 0; +∞ ) \ {2} D m ∈ ( 0; +∞ ) \ {-1} Hướng dẫn giải Đặt t = log ( x − 4) , phương trình có dạng: 2 m.t - 2(m + 1).t + m3 + m + = (1) Dựa vào điều kiện < x1 < x2 < , ⇔ < x1 − < x2 − < 2, với lim ( log y ) = −∞ y →0 ⇔ −∞ < log ( x1 − ) < log ( x2 − ) < log 2 ⇔ +∞ > log ( x1 − ) > log ( x2 − ) > log = −1 2 Suy -1 < t1 < t2(*) Để phương trình có nghiệm m ≠ 0, ∆ ' > 186 Chương Lũy thừa – mũ - logarit Tự học điểm ta có ∆ ' =(m - 1)2 phương trình (1) có hai nghiệm t1 = m2 − m + t2= m + m Khi (*)  m ≠ 0; m ≠  m ≠ 0; m ≠   m − m + m + ⇔ > −1 ⇔  − > −1 m m    m + > −1  m + > −1 m ≠ 0; m ≠ m ≠ 0; m ≠   m +2  ⇔ > ⇔  m > ⇔ < m ≠1  m   m > −2  m > −2 Vậy < m ≠ thỏa mãn yêu cầu toán Chọn B Tài liệu KYS Tài liệu liệu ôn thi chất lượng 187 BÀ I 6: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ I – LÝ THÚT Bất phương trình mũ có dạng a x > b (hoặc a x ≥ b , a x < b , a x ≤ b ) với a > 0, a ≠ Ta xét bất phương trình có dạng a x > b • Nếu b ≤ , tập nghiệm bất phương trình  , a x > b, ∀x ∈  • Nếu b > bất phương trình tương đương với a x > a loga b Với a > , nghiệm bất phương trình x > loga b Với < a < , nghiệm bất phương trình x < loga b Ta minh họa đồ thị sau: • Với a > , ta có đồ thị sau • Với < a < , ta có đồ thị sau Lưu ý: a f ( x ) < a g ( x ) Dạng 1:  ⇔ f ( x) > g ( x) 0 < a < f ( x) g x Dạng 3: a - 188 f ( x) > b ( *) 0 < a ≠ Nếu  (*) ln b ≤ Chương Lũy thừa – mũ - logarit Tự học điểm - b > Nếu  (*) ⇔ f ( x ) < log a b 0 < a < - b > Nếu  (*) ⇔ f ( x ) > l og a b 1 < a Dạng 4: a f ( x) < b (**) - 0 < a ≠ Nếu  (**) vơ nghiệm b ≤ - b > Nếu  (**) ⇔ f ( x ) > log a b 0 < a < - b > Nếu  (**) ⇔ f ( x ) < l og a b 1 < a II – DẠNG TOÁN Da ̣ng 1: Bất phương trình mũ a) Phương pháp giải x 1 Vı́ du ̣ 1: Tìm tập nghiệm bất phương trình   ≥ 2 A ( −∞ , −1 B −1, +∞ ) C ( −∞ , −1) D ( −1, +∞ ) Hướng dẫn giải x 1 ♦   ≥ ⇔ − x ≥ ⇔ −x ≥ ⇔ x ≤ −1 Chọn A 2 1− 3x 2 Vı́ du ̣ 2: Tìm tập nghiệm S bất phương trình   5 1  B S   ;  3   A S  ;1  ≥ 25  1 C S  ;    D S  1;   Hướng dẫn giải 1− 3x 2 ♦  5 5 25 ≥ ⇔  2 1 Vı́ du ̣ 3: Bất phương trình:   2 A −2 3x −1 x −2 x > 5 ≥   ⇔ 3x − ≥ ⇔ x ≥ Đáp án D 2 có tập nghiệm S = ( a; b ) Khi giá trị a – b là: B −4 C D Hướng dẫn giải 1 ♦  2 x −2 x > ⇔ x − 2x < ⇔ x − 2x − < ⇔ −1 < x < Đáp án B Tài liệu KYS Tài liệu liệu ôn thi chất lượng 189 BÀ I 6-2: BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT I – LÝ THUYẾT 1.Đinh ̣ nghıã • Bấ t phương trıǹ h lôgarit là bấ t phương trıǹ h có chứa ẩ n số biể u thức dưới dấ u lôgarit 2.Bấ t phương trın ̀ h lôgarit bản: cho a, b > 0, a ≠ • Bấ t phương trı̀nh lơgarit bản có da ̣ng: log a f ( x) > b; log a f ( x) ≥ b; log a f ( x) < b; log a f ( x) ≤ b 3.Phương pháp giải phương trın ̀ h và bấ t phương trın ̀ h lơgarit • Đưa về cùng số  g ( x) >  Nế u a > thı̀ log a f ( x) > log a g ( x) ⇔   f ( x) > g ( x)  f ( x) >  Nế u < a < thı̀ log a f ( x) > log a g ( x) ⇔   f ( x) < g ( x) • Đă ̣t ẩ n phu ̣ • Mũ hóa • Phương pháp đồ thị II – DẠNG TOÁN DẠNG BẤT PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN log a f ( x ) > b, log a f ( x ) < b, log a f ( x ) ≥ b, log a f ( x ) ≤ b Vı́ du ̣ 1: Tìm tập nghiệm bất phương trình log ( x − 1) > A S = ( −∞; ) S B = ( 2; +∞ ) 7  C.= S  ; +∞  5  1  D S =  −∞;  5  Hướng dẫn giải 5 x − > ⇔ x > Chọn B log ( x − 1) > ⇔  5 x − > Vı́ du ̣ 2: Tìm tập nghiệm bất phương trình log ( x + 1) > −2 A S= (1; +∞ )   B S =  − ;1   C S = ( −∞;1)   D S =  − ;1   Hướng dẫn giải 3 x + > log ( x + 1) > −2 ⇔  ⇔ − < x < Chọn D 3 x + < Vı́ du ̣ 3: Cho hàm số f (= x ) log ( x + ) − Tìm tất giá trụ thực x để f ( x ) ≥ A x ≥ 190 B x ≥ −2 C x ≥ e−4 D x ≤ Chương Lũy thừa – mũ - logarit Tự học điểm Hướng dẫn giải  x ≥ −2 ⇔ x ≥ Chọn A f ( x ) ≥ ⇔ log ( x + ) − ≥ ⇔  x ≥ Ví dụ 4: Nghiệm bất phương trình log (3 x + 2) > là: A x > C x > − B x < D x < −1 Hướng dẫn giải Chọn A log (3 x + 2) > ⇔ 3x + > ⇔ x > Ví dụ 5: Giải bất phương trình log ( x – x + ) ≤ A −7 ≤ x ≤ −1 B −3 ≤ x < −1 < x ≤ C −3 ≤ x ≤ D − 15 ≤ x ≤ + 15 Hướng dẫn giải Tập xác định: D =  log ( x – x + ) ≤ ⇔ x − x − 11 ≤ ⇔ − 15 ≤ x ≤ + 15 Chọn D Ví dụ 6: Giải bất phương trình log ( x − x + ) ≥ −1 B x ∈ [ 0; ) A x ∈ ( −∞;1) C x ∈ [ 0;1) ∪ ( 2;3] D x ∈ [ 0; ) ∪ ( 3;7 ] Hướng dẫn giải x > Điều kiện: x − x + > ⇔  x < Ta có log ( x − x + ) ≥ −1 ⇔ log ( x − x + ) ≥ log 2 2 ⇔ x − 3x + ≤ ⇔ x − 3x ≤ ⇔ ≤ x ≤ 2 Kết hợp với điều kiện ta được: x ∈ [ 0;1) ∪ ( 2;3] Chọn C Ví dụ 7: Bất phương trình log ( x − x + 1) < có tập nghiệm là: 3  B S =  −1;  2   3 A S =  0;   2 C S = ( −∞;0 ) ∪   ; +∞  2  D S = ( −∞;1) ∪   ; +∞  2  Hướng dẫn giải x < Chọn C log ( x − x + 1) < ⇔ x − x + > ⇔  x >  2 Ví dụ 8: Giải bất phương trình log ( x − 1) > A x > B < x < 3 Tài liệu KYS Tài liệu liệu ôn thi chất lượng C x < D x > 10 191 Hướng dẫn giải 3 x − > ⇔ x > Chọn A log ( x − 1) > ⇔  3 x − > Ví dụ 9: Tìm tập nghiệm bất phương trình log 0,2 ( x − 3) + ≥ A ( 3, 28] B [ 28, +∞ ) C ( 3, +∞ ) D ( −∞; 28 ) Hướng dẫn giải x > log 0,2 ( x − 3) + ≥ ⇔  ⇔ x ≥ 28 Chọn B −2  x − ≥ 0.2 DẠNG BIẾN ĐỔI BẤT PHƯƠNG TRÌNH VỀ DẠNG CÙNG CƠ SỐ log a f ( x ) > log a g ( x ) , log a f ( x ) < log a g ( x ) log a f ( x ) ≥ log a g ( x ) , log a f ( x ) ≤ log a g ( x ) Vı́ du ̣ 1: Tìm tập nghiệm bất phương trình log 0,5 ( x + 11) < log 0,5 ( x + x + ) A S = ( −∞; −3) ∪ (1; +∞ ) B S = C S = ( −2;1) D S = ( −3;1) ( −∞; −2 ) ∪ (1; +∞ ) Hướng dẫn giải 4 x + 11 >  log 0,5 ( x + 11) < log 0,5 ( x + x + ) ⇔  x + x + > ⇔ −2 < x < Chọn C 4 x + 11 > x + x +  Vı́ du ̣ 2: Tìm tập nghiệm bất phương trình log ( x + 1) > log ( − x )  1−   1+  A S =  −1;  ∪  ;      B S =  1− 1+  C S =  ;      1−   1+ D S =  −∞; ; +∞   ∪      ( −1; ) Hướng dẫn giải −1 < x < log ( x + 1) > log ( − x ) ⇔ log ( − x ) + log ( x + 1) < ⇔  ( − x )( x + 1) < ⇔ −1 < x < 1− 1+ hay < x < Chọn A 2 Vı́ du ̣ 3: Tìm tập nghiệm bất phương trình log ( x − x + ) + log ( − x ) ≥ 192  − 3; +  A S =   B [1; +∞ ) 1  C = S  ;1 ∪ ( 5; +∞ ) 2  1  D S =  ;1 2  Chương Lũy thừa – mũ - logarit Tự học điểm Hướng dẫn giải   x2 − 6x + > x <   ⇔  ( − x )2 log ( x − x + ) + log ( − x ) ≥ ⇔ 2 − x > ≥    x2 − 6x + log ( − x ) ≥  x − x + x < 1  ⇔ 1 ⇔ ≤ x < Chọn D  < x < hay x > Vı́ du ̣ 4: Tìm tập nghiệm bất phương trình log ( x + 1) ≤ log ( x − 1) A S = ( −∞;1] (1; +∞ ) B S= 1  D  ;1 2  C ( −1;1) Hướng dẫn giải   1 x > x > log ( x + 1) ≤ log ( x − 1) ⇔  ⇔ 2 Chọn D x + ≥ 2x −1 x ≤ 2   g ( x ) log ( − x ) Tìm tập nghiệm bất phương trình Vı́ du ̣ 5: Cho hàm số f ( x ) = log x = f ( x + 1) < g ( x + ) 1  A S =  −∞;  2  1  B S =  −1;  2  C S = ( 0; ) D S = ( −∞; ) Hướng dẫn giải x +1 >  f ( x + 1) < g ( x + ) ⇔ log ( x + 1) < log ( − x ) ⇔ 2 − x > ⇔ −1 < x < Chọn B  x +1 < − x Vı́ du ̣ 6: Tâ ̣p nghiê ̣m của bấ t phương trıǹ h log 0,8 ( x + x ) < log 0,8 ( −2 x + ) là: A (1; ) B ( −∞; −4 ) ∪ (1; ) C ( −∞; −4 ) ∪ (1; +∞ ) D ( −4;1) Hướng dẫn giải  x2 + x >  x < −1 hay x >  x < −4   Chọn B ⇔ x < ⇔ log 0,8 ( x + x ) < log 0,8 ( −2 x + ) ⇔ −2 x + >  x + x > −2 x +  x < −4 hay x > 1 < x <   Vı́ du ̣ 7: Tìm nghiệm nguyên nhỏ bất phương trình log (1 − x ) ≤ log (1 − x ) A x = B x = C x = 1− D x = 1+ Hướng dẫn giải Tài liệu KYS Tài liệu liệu ôn thi chất lượng 193 1 − x > −1 < x <   ⇔  1− log (1 − x ) ≤ log (1 − x ) ⇔ 1 − x > 1+ ,0 ≤ x ≤  x ≤ 2  log  − x ) (1 − x )  ≤  ( −1 < x ≤ 1− hay ≤ x ≤ Chọn A Vı́ du ̣ 8: Nghiệm nguyên nhỏ bất phương trình log 0,2 x − log ( x − ) < log 0,2 là: A x = B x = D x = C x = Hướng dẫn giải Điều kiện: x >  x < −1 log 0,2 x − log ( x − ) < log 0,2 ⇔ log 0,2  x ( x − )  < log 0,2 ⇔ x − x − > ⇔  x > So điều kiện suy x > Chọn D Vı́ du ̣ 9: Số nghiệm nguyên bất phương trình log x (125 x ) log 25 x > A B + log 52 x là: C D Hướng dẫn giải ( *) Điều kiện: < x ≠ Ta có: log x (125 x).log 25 x > 3 + log 52 x ⇔ ( log x 53 + log x x ) log 52 x > + log 52 x 2 3 1  ⇔ ( 3log x + 1)  log x  > + log 52 x ⇔ + log x > + log 52 x ⇔ log 52 x − log x < 2 2  1 ⇔ < log x < ⇔ < x < ⇔ < x < (thỏa mãn điều kiện) Vậy số nghiệm nguyên bất phương trình Vı́ du ̣ 10: Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình log (5 − 1).log (2.5 − 2) > m − có nghiệm x ≥ ? x x A m ≥ C m ≤ B m > D m < Hướng dẫn giải BPT ⇔ log (5 x − 1).log (2.5 x − 2) > m − ⇔ log (5 x − 1) 1 + log (5 x − 1)  > m − Đặt t log ( x − 1) x ≥ ⇒ t ∈ [ 2; +∞ ) = BPT ⇔ t (1 + t ) > m − ⇔ t + t > m − ⇔ f (t ) ≥ m − Với f (t = ) t2 + t f , (t ) = 2t + > với t ∈ [ 2; +∞ ) nên hàm đồng biến t ∈ [ 2; +∞ ) Nên Minf= (t ) f= (2) Do để để bất phương trình log (5 x − 1).log (2.5 x − 2) > m − có nghiệm x ≥ thì: 194 Chương Lũy thừa – mũ - logarit Tự học điểm m − ≤ Minf (t ) ⇔ m ≤ DẠNG ĐẶT ẨN PHỤ Vı́ du ̣ 1: Bất phương trình log x + 3log x + ≤ có tập nghiệm S = [ a; b ] Giá trị a b A 16 B 12 C D Hướng dẫn giải log x + 3log x + ≤ ⇔ −2 ≤ log x ≤ −1 ⇔ ≤ x ≤ Chọn C 2 2   2x2  2x2  + log x − Vı́ du ̣ 2: Tìm tập nghiệm bất phương trình log 23  x −  <      A x = 1  B S =  ;  2  1  C S =  ;1 2  1  D S =  ;5  3  Hướng dẫn giải  2x2  >0 0< x< x − 2    2x  2x    ⇔ < x < Chọn C ⇔ log 23  x −  + log  x −   ⇔ ⇔ < x ≤ hay x ≥ Chọn B  x ≤ hay x ≥ Vı́ du ̣ 4: Tìm tập nghiệm S bất phương trình log 22 x − 5log x + ≥ A S = ( −∞; 2] ∪ [16; +∞ ) B S = [ 2;16] C = S ( 0; 2] ∪ [16; +∞ ) D S = ( −∞; −2 ) ∪ ( 3; +∞ ) Hướng dẫn giải x > 0 < x ≤  Chọn C log 22 x − 5log x + ≥ ⇔  log x ≤ ⇔  ≥ 16 x    log x ≥  Vı́ du ̣ 5: Tìm tập nghiệm S bất phương trình log 21 x + 3log x + ≤ Tài liệu KYS Tài liệu liệu ôn thi chất lượng 195 A S =[ −2; −1] C S = [3;9] B S = ∅ D = S [9; +∞ ) Hướng dẫn giải x >  log x + 3log x + ≤ ⇔ −2 ≤ log ≤ −1 ⇔ ≤ x ≤ Chọn C  3 Vı́ du ̣ 6: Cho hàm số f= ( x ) 3ln x − g ( x ) = ln x Gọi S tập tất giá trị nguyên x thỏa điều kiện x < 10 f ( x ) < g ( x ) Tính số phần tử S ứng với C S = B A 10 D S = Hướng dẫn giải Điều kiện x > x < e ln x < f ( x ) < g ( x ) ⇒ 3ln x − < ln x ⇔ ln x − 3ln x + > ⇔  ⇔ ln x > x > e Vậy < x < e hay x > e Kết hợp với điều kiện x < 10, ta nghiệm x Chọn B Vı́ du ̣ 7: Cho hàm số f ( x ) = log x g ( x ) = − Tìm tất giá trị thực x để log x − f ( x) > g ( x) x > A  2 < x < 0 < x < B  4 < x < C < x < D < x < Hướng dẫn giải 1 < log x < log 22 x − 3log x + 2 f ( x ) > g ( x ) ⇔ log x > − ⇔ >0⇔ log x − log x − log x > 2 < x < Chọn A ⇔ x > Vı́ du ̣ 8: Tìm nghiệm bất phương trình log x ≥ log x A = S  1 = B S  0;  ∪ [1; +∞ )  5 [5; +∞ ) 1  = S  ;1 ∪ [5; +∞ ) D 5  1  C S =  ;5 \ {1} 5  Hướng dẫn giải  1  log x − ≥ ⇔  −1 ≤ log x < ⇔  ≤ x <  ≤ x <  log x >  Chọn D ⇔ 5 log x ≥ log x ⇔  log x  ≥ x    x ≥ 1 ≠ x > Vı́ du ̣ 9: Bất phương trình lg x − m lg x + m + ≤ có nghiệm x > giá trị m là: A ( −∞; −3) ∪ [ 6; +∞ ) B ( −∞; −3) C [ 6; +∞ ) D (3;6] Hướng dẫn giải 196 Chương Lũy thừa – mũ - logarit Tự học điểm Điều kiện: x > Đặt t = lg x , với x > 1= → lg x > Khi phương trình cho trở thành t − mt + m + ≤ ⇔ t + ≤ m(t − 1) (*) t2 + TH1: Với t − > ⇔ t > , Khi (*) m ≥ f (t ) = (I) t −1 Xét hàm số với t > , có f '(t) = t − 2t − (t − 1) t.1   ⇔t=3 ;f '(t) = ⇔  − − = t 2t   Suy max f= (t) f= (3) Khi để (I) có nghiệm m ≥ max f (t) = (1;+∞ ) (1;+∞ ) t2 + TH2: Với t − < ⇔ t < , (*) ⇔ m ≤ f (t) = (II) t −1 Xét hàm số f (t) = t − 2t − t2 + < 0; ∀t ∈ (0;1) với t ∈ (0;1) , = có f '(t) t −1 (t − 1) Suy max f (t) = f (0) = −3 Khi để (I) có nghiệm m < max f (t) = −3 (1;+∞ ) (1;+∞ ) Vậy m ∈ ( −∞; −3) ∪ [ 6; +∞ ) giá trị cần tìm tốn Chọn A DẠNG LOGARIT HĨA loga f ( x ) > g( x ) Phương pháp: ⇔ f ( x ) > a g ( x ) (a > 1) < (0 < a < 1) VD1: Giải bất phương trình: log (5 − x ) < − x B < x < log A < x < C x < log D x < Hướng dẫn giải 5 − x > log (5 − x ) < − x ⇔  ⇔0< x log 10 Hướng dẫn giải x 10 5 − > log (5 − x ) < − x ⇔  ⇔ x < log x x−2 5 − > 2 VD3: Số nghiệm nguyên bất phương trình: log x ( log (9 x − 72) ) ≤ A B C D Hướng dẫn giải Tài liệu KYS Tài liệu liệu ôn thi chất lượng 197 9 x − 72 >  x  x > log 73 0 < x ≠ 9 > 73 x log x log (9 − 72) ≤ ⇔  ⇔ ⇔   x x x ≤ log (9 − 72) > log (9 − 72) ≤ x log (9 x − 72) ≤ x  ( ) DẠNG GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ   VD1: Tìm m để x   0,  thỏa mãn BPT log x  x  m  log x  x  m  B < m < A ≤ m < C ≤ m D m < Hướng dẫn giải  x − x + m > Điều kiện:  ⇔ x2 − 2x + m ≥  x − x + m ≥ Đặt = t ( ) log x − x + m , t ≥ BPT có dạng: t + 4t − ≤ ⇔ −5 ≤ t ≤ Vì t ≥ nên ta ≤ t ≤ ⇒ ≤ log ( x − x + m ) ≤  x − x + m ≥  x − x > − m Vậy BPT ⇔ ( I ) :  ⇔  x − x + m ≤  x − x ≤ − m BPT có nghiệm với x   0,  hệ (I) có nghiệm với x   0,  Khi BPT hệ (I) có nghiệm với x   0,  Xét hàm số f  x  x  x ta có bảng biến thiên 1 − m ≤ −1 2 ≤ m Từ bảng biến thiên ta suy  ⇔ ⇔ ≤ m < Chọn A 4 − m > 4 > m VD2: Xác định m để bất phương trình A m ≤ log 22 x log 22 ≥ m (1) có nghiệm với ∀ m > C m < B m ≤ D m < Hướng dẫn giải Đặt t = log 22 x , điều kiện t > Khi (1) có dạng: y = t t −1 ≥ m (2) Vậy (1) nghiệm với ∀ m > ⇔ (2) nghiệm với ∀ t >1 198 Chương Lũy thừa – mũ - logarit Tự học điểm t  Xét hàm số: y = t −1 Tập xác định D = (1, + ∞ ) t−2 Đạo hàm: y’ = (t − 1)3 y’ = ⇔ t - = ⇔ t = Bảng biến thiên: t +∞ y’ - + +∞ y Vậy bpt nghiệm với ∀ t >1 ⇔ m ≤ Chọn A DẠNG SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ - Đưa BPT cho hai vế, vế hàm số đồng biến (hoặc không đổi) vế hàm số nghịch biến (hoặc khơng đổi) - Tìm nghiệm BPT - Dựa vào tính chất hàm số đơn điệu để suy nghiệm BPT   VD1: Giải bất phương trình: log5  x  log x B < x < A < x < C x < l D x < Hướng dẫn giải Điều kiện: x  Đặt t  log5 x  x  4t   BPT trở thành log5  2t  t   2t  5t   t     5t    t Hàm số f t   t    nghịch biến  f 1    Bất phương trình trở thành f t   f 1  t   log x    x  Vậy BPT có nghiệm  x  VD2: Số nghiệm nguyên dương bất phương trình: log A x  x 12  x   x  x 12 (1) 7 x B C D Hướng dẫn giải Tài liệu KYS Tài liệu liệu ôn thi chất lượng 199  x − x − 12 ≥ 4 < x <  Điều kiện:  x − x − 12 (*) ⇔ >0  x < −3  7−x  Biến đổi bất phương trình dạng: log x  x 12 + x − x − 12 ≤ log ( − x ) + − x (2) Xét hàm số y = f  x   log3  x  x Hàm số y = f(x) hàm số đồng biến (0, + ∞ ) tổng hai hàm số đồng biến y = log3x y = x Khi (2) biến đổi sau f( x − x − 12 ) ≤ f(7- x) (*) ⇔ x  x 12   x  x  x 12  7  x  61 4  x  61 ⇔x ≤ ⇔ 13  13  x  3 Dựa vào điều kiện ta thấy khơng có nghiệm ngun dương nào, chọn A 200 Chương Lũy thừa – mũ - logarit Tự học điểm ... log 12 90 =2 ;log 12 = log ( 3.4 ) = log + log = a +2 log 12 log 45 log 90 = log ( 2. 45 ) = log 2 + log 45 = 1+ = + a.log ( 9.5 ) log ab + 2a + =+ 2a + a log =+ 2a + ab ⇒ log 12 90 = Chọn D a +2 Tài... công thức (u.= y '' = −6(4 − x ) − x .2( 4 − x )( 2 x) = 6(4 − x )(10 x − 24 ) ⇒ y ''(1) = 6(4 − 12 )(10. 12 − 24 ) = 25 2 Chọn A Vı́ du ̣ 2: Cho hàm số y= ( x + 2) 2 Hệ thức y y '' không phụ thuộc... ( x ) = x x 12 x Khi f (2, 7) A 0, 027 B 0, 27 C 2, D 27 Hướng dẫn giải x 2, > nên ta có: Vì= = f ( x) Ví dụ Đơn giản biểu thức 3 12 2, Chọn C x= x x x= x x x ⇒ f ( 2, ) = 12 81a 4b , ta