Hiệu ứng trơn và tính chất fredholm đối với các phương trình đạo hàm riêng hyperbolic cấp một

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– HỒNG THỊ NHUNG HIỆU ỨNG TRƠN VÀ TÍNH CHẤT FREDHOLM ĐỐI VỚI CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG HYPERBOLIC CẤP MỘT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– HỒNG THỊ NHUNG HIỆU ỨNG TRƠN VÀ TÍNH CHẤT FREDHOLM ĐỐI VỚI CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG HYPERBOLIC CẤP MỘT Chuyên ngành: Giải Tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS TRỊNH THỊ DIỆP LINH THÁI NGUYÊN - 2019 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan trình bày tìm hiểu báo riêng hướng dẫn khoa học TS TRỊNH THỊ DIỆP LINH Các nội dung nghiên cứu, kết luận văn trung thực Tác giả Hồng Thị Nhung Xác nhận khoa chun mơn Xác nhận người hướng dẫn TS Trịnh Thị Diệp Linh i Lời cảm ơn Để hoàn thành đề tài luận văn kết thúc khóa học, với tình cảm chân thành, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên tạo điều kiện cho tơi có mơi trường học tập tốt suốt thời gian học tập, nghiên cứu trường Tôi xin gửi lời cảm ơn tới TS Trịnh Thị Diệp Linh giúp đỡ suốt trình nghiên cứu trực tiếp hướng dẫn tơi hồn thành luận văn tốt nghiệp Đồng thời, xin bày tỏ lòng cảm ơn tới thầy Khoa Toán, bạn bè giúp đỡ, tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập hồn thiện luận văn tốt nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 10 tháng 05 năm 2019 Tác giả Hoàng Thị Nhung ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Lời mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hiệu ứng trơn phương trình đạo hàm riêng hyperbolic cấp 1.2 Lý thuyết Fredholm 1.3 Điều kiện biên 1.3.1 Điều kiện biên tuần hoàn 1.3.2 Điều kiện biên tuyến tính dạng địa phương 10 1.3.3 Hiện tượng trơn cho toán biên ban đầu 12 Hiệu ứng trơn tính chất Fredholm phương trình đạo hàm riêng Hyperbolic cấp 15 2.1 Hiệu ứng trơn 15 2.1.1 Trường hợp điều kiện biên cổ điển 15 2.1.2 Trường hợp điều kiện biên tích phân mơ hình cấu trúc tập hợp 2.1.3 2.2 21 Trường hợp điều kiện biên phân tán toán tuần hoàn 24 Tính chất Fredholm với tốn tuần hồn 28 iii Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 iv Lời mở đầu Trái với phương trình vi phân thường phương trình đạo hàm riêng parabolic, tính chất Fredholm dáng điệu quy tốn hyperbolic biết Một số kết luận văn phần mở rộng nhấn mạnh vào tượng trơn, xây dựng tham số tính chất Fredholm Một bước quan trọng nghiên cứu phương trình vi phân phi tuyến (các phương trình vi phân thường phương trình đạo hàm riêng parabolic) thiết lập khả tuyến tính hóa Fredholm trường hợp hyperbolic Vì tính kỳ dị phương trình hyperbolic nửa tuyến tính, dọc theo đường cong đặc trưng, nghiệm nghiệm quy miền ngun biên Nó gọi quy xuất sai số tính trơn Vì phân tích tính chất Fredholm tốn hyperbolic đòi hỏi phải thiết lập tối ưu tính quy khơng gian nghiệm vế phải phương trình vi phân Các bước giải tính chất Fredholm thường dựa thực tế toán tử Fredholm độ xác nhiễu compact toán tử song ánh Trong trường hợp hyperbolic cách sử dụng tính compact, argument trở nên phức tạp tồn miền thiếu tính quy phương pháp tiếp cận báo nghiên cứu Dựa thực tế loạt toán tử biên, nghiệm cải thiện độ trơn cách tự động Sau k lần liên tục thay đổi cho trường hợp k Các kết chứng minh trình bày chương II Khi thấy số trường hợp, tượng trơn trình bày sớm tài liệu [3,4,10,11] Hiện tượng cho phép xây dựng tham số Trình bày cách tiếp cận chung để chứng minh tính chất Fredholm cho phương trình đạo hàm riêng cấp áp dụng vào tốn tuần hoàn Kết Fredholm bao gồm hệ thống hyperbolic không ngặt với hệ số gián đoạn, chúng trường hợp hyperbolic ngặt hệ số trơn Từ số quan điểm chung, hiệu ứng trơn tính chất Fredholm đóng vai trò quan trọng nghiên cứu rẽ nhánh Hopf đồng thời phương trình đạo hàm riêng hyperbolic phi tuyến [1] thông qua định lý hàm ẩn nghiên cứu Lyapunov – Schmidt [2,5] Luận văn trình bày lại báo [9] với phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo bao gồm chương Chương 1: Trình bày kiến thức chuẩn bị Chương 2: Nội dung luận văn trình bày hiệu ứng trơn tính chất Fredholm phương trình đạo hàm riêng hyperbolic cấp Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hiệu ứng trơn phương trình đạo hàm riêng hyperbolic cấp Đặt ΠT = {(x, t) : < x < 1, T < t < ∞} Ở ta nghiên cứu vấn đề: (∂t + a(x, t)∂x + b(x, t))u = f (x, t), (1.1) u(x, 0) = ϕ(x), (1.2) uj (0, t) = (Ru)j (t), ≤ j ≤ m, (1.3) uj (1, t) = (Ru)j (t), m < j ≤ n nửa giải Π0 toán (1.1), (1.3) dải Π−∞ Trong u = (u1 , , un ), f = (f1 , , fn ) ϕ = (ϕ1 , , ϕn ) vectơ hàm có giá trị thực, b = {bjk }nj,k=1 a = diag(a1 , , an ) ma trận chéo hàm có giá trị thực ≤ m ≤ n số nguyên cố định Hơn nữa, ánh xạ R: C(Π0 )n → C([0, ∞))n toán tử, tương tự với R Π−∞ Trong miền xét, giả sử aj > 0, ∀j ≤ m aj < 0, ∀j > m, (1.4) inf |aj | > 0, ∀j ≤ n (1.5) x,t với ≤ j = k ≤ n tồn pjk ∈ C ([0, 1] × R) cho bjk = pjk (ak − aj ), pjk = (1.6) Đặc biệt, điều kiện (1.4) mơ hình sóng laze động lực sóng di chuyển động học hóa học, hàm uj cho j ≤ m (tương ứng, m + ≤ j ≤ n) Điều kiện (1.5) hiểu tất tính chất (1.1) bị chặn khơng suy biến Cuối cùng, điều kiện (1.6) điều kiện Levy thường xuất để bù lại cường độ hyperbol không nghiêm ngặt, hệ số aj ak số j = k trùng điểm, ví dụ (x0 , t0 ) Chúng ta áp dụng giả thiết tính trơn sau liệu ban đầu: Giả sử a, b f C ∞ - trơn tất đối số chúng miền tương ứng, ϕ giả thiết hàm liên tục Từ (1.1), (1.3) dọc theo đường cong đặc trưng, cho j ≤ n, x ∈ [0, 1] t ∈ R, đặc trưng thứ j (1.1) qua điểm (x, t) định nghĩa nghiệm ξ ∈ [0, 1] → ωj (ξ; x, t) ∈ R giá trị ban đầu toán ∂ξ ωj (ξ; x, t) = , ωj (x; x, t) = t aj (ξ, ωj (ξ; x, t)) (1.7) Xác định ξ cj (ξ, x, t) = exp x cj (ξ, x, t) bjj (η, ωj (η; x, t))dη, dj (ξ, x, t) = aj aj (ξ, ωj (ξ; x, t)) Do (1.5) đường cong đặc trưng τ = ωj (ξ; x, t) đạt đến biên ΠT hai điểm với tọa độ riêng biệt Cho xj (x, t) biểu thị hồnh độ điểm có tung độ nhỏ Các phép tính đơn giản cho thấy C - ánh xạ u : [0, 1] × [0, ∞) → Rn nghiệm từ (1.1) - (1.3) thỏa mãn hệ trúc tập hợp liên tục để mô tả mở rộng tập hợp Cho u(x, t) trù mật tập hợp x thời điểm t Trong đó, động lực học u biểu diễn phương trình sau (∂t + ∂x + µ)u = 0, (x, t) ∈ Π0 ; (2.20) u(x, 0) = ϕ(x), x ∈ [0, 1];  (2.21)  γ(x)u(x, t)dx , t ∈ R u(0, t) = h  (2.22) µ > thu hẹp tập hợp, hàm h γ mô tả mở rộng tập hợp Không tính tổng qt áp dụng h γ C ∞ - hàm trơn Tích phân (2.22) tích phân phần, u phụ thuộc khơng biến số phép lấy tích phân x, mà biến tự t Do vế phải (2.22) không trơn Tuy nhiên điều kiện (2.22) quy để thêm điều kiện vào nghiệm trơn Định lý 2.1.2 ([9]) Cho h γ C ∞ -hàm trơn ϕ hàm liên tục Khi nghiệm liên tục toán (2.20) - (2.22) trơn Chứng minh Trước tiên cần trình bày tính chất trơn với t đủ lớn Do đó, sử dụng ký hiệu  (Ru)(t) =h   γ(x)u(x, t)dx ω(ξ; x, t) =t + ξ − x c(ξ, x, t) = c˜(ξ, x, t) =eµ(ξ−x) ˜ (Bu)(x, t) = (Bu)(x, t) =e−µx u(0, t − x), hai phương trình sau xây dựng với t đủ lớn Phép lấy tích phân dọc theo đường cong đặc trưng bao gồm nghiệm liên tục phương trình (2.20)-(2.22) thoả mãn phương trình tốn tử u = BRu 22 u = Bu thế, u = BRBu (2.23) t > T1 , T1 chọn lớn toán tử BRB dịch chuyển từ biên ban đầu (vế phải (2.23) không phụ thuộc vào ϕ) Từ   (BRBu)(t) =e−µx h  γ(ξ)e−µξ u(0, t − x − ξ)dξ   t−x =e−µx h   γ(t − x − τ )eµ(x−t+τ ) u(0, τ )dτ  t−x−1 Khi nhận Ct1 - tính trơn BRBu u ΠT1 C - tính trơn u ΠT1 từ (2.20) sử dụng giả thiết Tiếp tục chứng minh tương tự Định lý 2.1.1 bước thứ hai xét phương trình tốn tử sau v = ∂t u, nhận sau phép lấy vi phân (2.20) (2.22) t phép lấy tích phân dọc theo đường cong đặc trưng v|ΠT = B∂t RBv, (2.24)  (∂t Rv)(t) = h   γ(x)u(x, t)dx γ(x)v(x, t)dx, T2 > T1 cố định để thoả mãn tính chất vế phải (2.24) không phụ thuộc vào u v Π0 \ΠT1 nên   v|ΠT =e−µx h  γ(ξ)e−µξ v(0, t − x − ξ)dξ γ(ξ)u(ξ, t − x)dξ  01 =e−µx h   t−x γ(ξ)u(ξ, t − x)dξ   t−x−1 23  γ(t − x − τ )eµ(x−t+τ ) v(0, τ )dτ  Để kết luận v ∈ Ct1 (ΠT2 )n , lưu ý u tích phân vế phải thỏa mãn Ct1 - quy, tích phân thứ hai thỏa mãn tính chất trơn Nói chung, cho Tr với r ≥ 2, lựa chọn Tr+1 > Tr lập luận cho w = ∂tr u có phương trình w|ΠT r+1 = B∂tr RBw, (2.25)  (∂tr Rw)(t) =h   γ(x)u(x, t)dx γ(x)w(x, t)dx  0 r−1 + df racd r−1  dt 0 r−2 + d h  dtr−2 γ(x)∂t u(x, t)dx γ(x)u(x, t)dx h     γ(x)u(x, t)dx  γ(x)∂t u(x, t)dx Thế vào (2.25) thay đổi biến số dấu tích phân w tương tự hai bước đầu tiên, nhận tính chất trơn cho w Định lý chứng minh 2.1.3 Trường hợp điều kiện biên phân tán tốn tuần hồn Bây chuyển sang điều kiện biên có tán xạ tự nhiên thích hợp tính chất trơn Lớp điều kiện biên tán xạ cho phương trình đạo hàm riêng hypebolic Để cho ý tưởng hiệu ứng trơn trường hợp này, xét tốn (1.1) có điều kiện sau uj (0, t) =hj (z(t)), ≤ j ≤ m, uj (1, t) =hj (z(t)), m < j ≤ n, với z(t) = (u1 (1, t), , um (1, t), um+1 (0, t), , un (0, t)) 24 (2.26) Đưa vào miền Π−∞ giải toán (1.1), (2.26) với điều kiện biên tuần hoàn u(x, t + 2π) = u(x, t) (2.27) Trong phần này, sử dụng ký hiệu chuẩn cho không gian hàm liên tục, hàm thỏa mãn thêm tính bổ xung 2π - tính tuần hồn t Viết hj (z) = ∇z hj (z), h (z) = {∂k hj (z)}nj,k=1 Định lý 2.1.3 ([9]) Giả sử aj , bj k, fj hj hàm trơn tất đối số chúng điều kiện (1.4) - (1.6) thỏa mãn Hơn nữa, hàm aj , bjk , fj 2π -tuần hoàn t Nếu  xj    bjj ∂t aj − l (η, ωj (η; x, t))dη exp   aj aj x n |∂k hj (z)| < (2.28) k=1 với j, k ≤ n, x ∈ [0, 1], t ∈ R, z ∈ Rn l = 0, 1, , r nghiệm liên tục thỏa mãn toán (1.1), (2.26), (2.27) thuộc C r (Π−∞ ) Chứng minh Nghiệm liên tục thỏa mãn toán (1.1), (2.26), (2.27) Π−∞ thỏa mãn (2.6) với S = R thỏa mãn phương trình u = Bu + Du + F f (2.29) điều kiện biên khơng xác định Thay (2.29) vào (2.6), nhận u = BRu + (DB + D2 )u + (I + D)F f (2.30) Trước tiên trình bày hướng I − BR ∈ L(Ct1 (Π−∞ )n ) theo (2.13) định nghĩa B đưa (1.9), ta có (BRu)j (x, t) = cj (xj , x, t)hj (z(ωj (xj ; x, t))) = cj (xj , x, t)hj (0)  xj    bjj hj (αz(ωj (xj ; x, t)))dα · z(ωj (xj ; x, t)) (η, ωj (η; x, t))dη + exp   aj x 25 ∂t [(BRu)j (x, t)] = ∂t cj (xj , x, t)hj (z(ωj (xj ; x, t)))  xj  bjj ∂t aj − + hj (z(ωj (xj ; x, t))) · z (ωj (xj ; x, t)) exp  aj aj (η, ωj (η; x, t))dη  x biểu thị tích vơ hướng Rn từ (2.27), tính song ánh I − BR ∈ L(Ct1 (Π−∞ )n ) xuất phát từ điều kiện (2.28) với r = 0, từ chứng minh C k quy cho nghiệm phương trình đạo hàm riêng hyperbolic cấp Do kết luận toán tử DB D2 (2.30) trơn, tính trơn chứng minh Định lý 2.1.1 Tương tự đối số thực DB Thật vậy, theo định nghĩa tốn tử D B, có n xj (DBul )j (x, t) = dj (ξ, x, t)bjk (ξ, ωj (ξ; x, t))ck (xk , ξ, ωj (ξ; x, t)) k=1 x k=j × ulk (xk , ωk (xk ; ξ, ωj (ξ; x, t)))dξ (2.31) dãy ul cố định để thỏa mãn (2.9) với Π0 thay bời Π−∞ Để trình bày ∂t [DBul ] hội tụ Π−∞ , thực phép biến đổi tích phân (2.31) trường hợp D2 , nghĩa ta lấy vi phân (2.31) theo t, sử dụng (1.6) lấy tích phân phần Bằng phương pháp ta nhận tính trơn cho DB Quay lại công thức (2.30) với (I + D)F f C ∞ - trơn, viết lại (2.30) dạng u = (I − BR)−1 [(DB + D2 )u + (I + D)F f ], 26   Ct1 - quy u Sau đó, C - quy u hệ trực tiếp hệ (1.1) Tiếp tục tương tự chứng minh Định lý 2.1.1, đến với công thức v = ∂t u, ˜ z )−1 [(D ˜B ˜ +D ˜ )v + (I + D) ˜ F˜ G(f, ∂t f, u)], v = (I − BR Rz y = h (z)y Tính chất v ∈ Ct1 (Π−∞ )n theo tính song ánh I − BRz ∈ L(Ct1 (Π−∞ )n ), theo điều kiện (2.28) với r = 1, Ct1 - ˜ +D ˜ (I + D) ˜ F˜ G(f, ∂t f, u) Vì Ct2 (Π−∞ )n Khi kéo quy DB theo (1.1) u ∈ C (Π−∞ ) Để hoàn thành chứng minh, tiếp tục sử dụng phương pháp quy nạp theo cấp tính quy u Giả sử u ∈ C r (Π−∞ )n với r ≥ chứng minh u ∈ C r+1 (Π−∞ )n Tiếp theo công thức w = ∂tr u thực sau ˜ z )−1 [(D ˜B ˜ +D ˜ )w w =(I − BR ˜ F˜ G(f, ˜ ∂t f, , ∂tr f, u, ∂t u, , ∂tr−1 u) +(I + D) ˜ tr−1 Rz z + B∂ ˜ tr−2 (Rz z )], +B∂ ˜ D, ˜ F˜ đổi từ c˜j (ξ, x, t) với ∂tr−1 Rz = {∂tr−1 (∂k hj (z))}nj,k=1 B, ξ bjj ∂t aj − r (η, ωj (η; x, t))dη Do aj aj x giả sử tính quy số liệu giả thiết phép quy nạp, cuối (2.15) - (2.17) thành c˜j (ξ, x, t) = exp ba số hạng dấu ngoặc vuông Ct1 - hàm Sử dụng đối số trơn ˜B ˜ +D ˜ tính chất quy (I − BR ˜ z )−1 , ta có chúng cho D điều phải chứng minh 27 2.2 Tính chất Fredholm với tốn tuần hồn Một cách tiếp cận để thiết lập tính chất Fredholm cho tốn tử hyper- bolic cấp 1, điều thực cách xây dựng tính quy hóa tương đương dạng tham số Việc xây dựng dựa hiệu ứng trơn nghiên cứu mục 2.1 Trước tiên xét hệ hyperbolic chiều (∂t + a(x)∂x + b(x))u = f (x, t), x ∈ (0, 1), (2.32) thỏa mãn điều kiện tuần hoàn (2.27) điều chỉnh điều kiện biên n rjk uk (0, t), ≤ j ≤ m, uj (0, t) = uj (1, t) k=m+1 m = rjk uk (1, t), m k=1 (2.33) < j ≤ n Ở rjk rjk số thực giả sử fj : [0, 1] × R → R 2π -tuần hồn t Kết phần nói hệ (2.32), (2.27), (2.33) giải vế phải trực giao với tất nghiệm tương ứng hệ −∂t u − ∂x (a(x)u) + bT (x)u = 0, x ∈ (0, 1), thỏa mãn điều kiện tuần hoàn (2.27) liên hợp điều kiện biên m rkj ak (0)uk (0, t), m < j ≤ n, aj (0)uj (0, t) = − k=1 n (2.34) rkj ak (1)uk (1, t), ≤ j ≤ m aj (1)uj (1, t) = − k=m+1 Kết trình bày sau Thứ xây dựng không gian hàm phù hợp cho nghiệm Sau đó, tách tốn tử toán tồn điểm kỳ dị Cuối cùng, 28 dựa phép tách tính chất trơn, xây dựng tham số sau thiết lập tính giải Fredholm phương pháp Khi lựa chọn không gian hàm, ý tốn (2.32), (2.27), (2.33) mơ tả mơ hình sóng lan truyền động lực học laze Từ quan điểm vật lý, người ta cho phép gián đoạn hệ số vế phải (2.32) Điều làm cho khơng gian nghiệm khơng nên nhỏ Mặt khác, chúng không nên lớn, phép nhúng đại số hàm với phép nhân theo điểm phần tử Tính chất cuối quan trọng cho khả ứng dụng kết vào toán phi tuyến tính, giống mơ tả tượng động lực phân nhánh Hopf đồng hố tuần hồn Cuối cùng, mối quan hệ có tính chất Fredholm cần có tính tối ưu khơng gian hàm tương ứng Mô tả không gian V γ nghiệm W γ vế phải (2.32) đáp ứng tất tính chất Cho γ ≥ 0, giả sử W γ không gian vectơ hàm khả tích hồn tồn địa phương f : [0, 1] × R → Rn cho f (x, t) = f (x, t + 2π) với x ∈ (0, 1) t ∈ R f Wγ f (x, t)e−ist dt (1 + s2 )γ = s∈Z 2π dx < ∞ (2.35) Ở sau chuẩn Hermit C n Chuẩn hiểu W γ không gian Banach với chuẩn (2.35) Hơn nữa, cho γ ≥ a ∈ L∞ ((0, 1); Mn ), Mn biểu thị không gian ma trận với hệ số thực cấp n × n, tồn inf |aj | > với j ≤ n, làm việc với không gian hàm U γ = {u ∈ W γ : ∂x u ∈ W , ∂t u + a∂x u ∈ W γ } với chuẩn u Uγ = u Wγ + ∂t u + a∂x u 29 Wγ Lưu ý không gian U γ phụ thuộc vào a lớn không gian tất u ∈ W γ cho ∂t u ∈ W γ , ∂x u ∈ W γ (mà không phụ thuộc vào a) Đối với u ∈ U γ có vết u(0, ·), u(1, ·)L2loc (R; Rn ) đó, có ý nghĩa xem xét khơng gian đóng U γ V γ ={u ∈ U γ : (2.33) thỏa mãn} V˜ γ ={u ∈ U γ : (2.34) thỏa mãn} Tiếp theo tách toán tử toán thành hai phần bậc riêng để tách phần, ký hiệu bên A, song ánh đồng thời điểm kỳ dị Nếu phân tích tối ưu, sau quy trình quy hóa, phần lại trơn đáp ứng tính compact Đặt b0 = diag(b11 , b22 , , bnn ) b1 = b − b0 có nghĩa đường chéo phần tử đường chéo ma trận hệ số b, tương ứng xác định toán tử A ∈ L(V γ ; W γ ), A˜ ∈ L(V˜ γ ; W γ ), B, B˜ ∈ L(W γ ) Au =∂t u + a∂x u + b0 u, ˜ = − ∂t u − ∂x (au) + b0 u, Au Bu =b1 u, ˜ =(b1 )T u Bu Lưu ý toán tử A, B, B˜ xác định với aj , bjk ∈ L∞ (0, 1), A˜ định nghĩa bổ sung giả thiết tính quy hệ số aj ví dụ cho aj ∈ C 0,1 ([0, 1]) Chú ý phương trình tốn tử Au + Bu = f tóm tắt miêu tả tốn Dirichlet tuần hồn (2.32), (2.27), (2.33) Cuối cùng, với s ∈ Z, giới thiệu ma trận phức (n − m) × (n − m) n m eis(αj (1)−αl (1))+βj (1)−βl (1) rjl rlk Rs = l=1 , j,k=m+1 30 x αj (x) = dy, βj (x) = aj (y) x bjj (y) dy aj (y) Khẳng định định lý sau, thứ nhất, cặp liên kết không gian (V γ , W γ ) cho tính quy tối ưu điều hòa khơng gian nghiệm vế phải, thứ hai, A thỏa mãn tính chất song ánh Tính chất thứ hai cần thiết cho A toán tử tối ưu có di chuyển điểm kỳ dị hệ kết Fredholm Định lý 2.2.1 ([8]) Đối với c > tồn C > cho mệnh đề sau Nếu aj , bjj ∈ L∞ (0, 1) tồn inf |aj | ≥ c với j = 1, , n, (2.36) n m bjj ∞ j=1 n m |rjk | + + j=1 k=m+1 n 1 |rjk |≤ , c j=m+1 k=1 (2.37) |det(I − Rs )| ≥ c, ∀s ∈ Z, (2.38) với γ ≥ tốn tử A phép đẳng cấu từ V γ lên W γ A−1 L(V γ ;W γ ) ≤ C Giả sử f, u L2 = 2π 2π f (x, t), u(x, t) dxdt 0 tích vơ hướng khơng gian Hilbert L2 ((0, 1) × (0, 2π); Rn ·, · tích vơ hướng Euclid Rn Như BV (0, 1) khơng gian Banach tất hàm h : (0, 1) → R với biến bị chặn, nghĩa với h ∈ L∞ (0, 1) cho tồn C > với h(x)ϕ (x)dx ≤ C ϕ 31 L∞ (0,1) , ∀ϕ ∈ C0∞ (0, 1) (2.39) Chuẩn h BV (0, 1) tổng chuẩn L∞ (0, 1) C số nhỏ (2.39) Định lý 2.2.2 ([8]) Giả sử điều kiện (2.37) (2.38) thỏa mãn với số c > Giả sử với i = k tồn pjk ∈ BV (0, 1) cho ak (x)bjk (x)a = pjk (x)(aj (x) − ak (x)) với a.a.x ∈ [0, 1] Khi khẳng định sau (i) Toán tử A + B toán tử Fredholm với số từ V γ thành W γ với γ ≥ 1, ker(A + B) = {u ∈ V γ : (A + B)u = 0} không phụ thuộc vào γ ˜ (ii) Nếu a ∈ C 0,1 ([0, 1]; Mn ) ker(A + B)∗ = ker(A˜ + B) {(A + B)u : u ∈ V γ } = f ∈ W γ : f, u L2 ˜ = 0, ∀u ∈ ker(A˜ + B) ˜ = {u ∈ V˜ γ : (A˜ + B)u ˜ = 0} khơng phụ thuộc vào γ ker(A˜ + B) Định lý 2.2.2 (ii) khẳng định toán tử liên hợp định nghĩa khơng gian hàm cổ điển Nói cách khác, có tính quy tốt so với sử dụng định nghĩa hình thức toán tử liên hợp Ở thấy hiệu ứng làm trơn cho nghiệm (của toán hypebolic liên hợp) hàm ban đầu Cuối cùng, để chứng minh Định lý 2.2.2 (i) đề cập trên, xây dựng tham số đến toán tử toán Bằng Định lý 2.2.1, tính chất Fredholm tốn tử A + B ∈ L(V γ ; W γ ) tương đương với tính chất Fredholm tốn tử I + BA−1 ∈ L(W γ ) Ngoài ra, dùng tiêu chuẩn Fredholm sau Bổ đề 2.2.3 ([6]) Gọi I đồng thức không gian Banach W Giả sử D ∈ L(W ) D2 compac Khi I + D Fredholm Đặt D = BA−1 ∈ L(W γ ), chứng minh D2 ∈ L(W γ ) compac Nghĩa D2 có tính chất trơn Thực ra, D2 giống toán tử D2 , sử dụng chứng minh Định lý 2.1.1 32 Vì I − D2 = (I − D)(I + D) = (I + D)(I − D), nên toán tử I − D tham số I + D Điều kéo theo, toán tử A + B thừa nhận tính quy hóa tương đương dạng tham số vế phải A−1 (I −BA−1 ) 33 Kết luận Trong trình thực luận văn tơi trình bày số vấn đề sau: - Trình bày cách hệ thống, kiến thức chuẩn bị về: Các điều kiện biên, điều kiện biên tích phân mơ hình cấu trúc tập hợp, hiệu ứng trơn tính chất Fredholm với tốn tuần hồn - Luận văn trình bày hiệu ứng trơn, điều kiện biên, tốn tuần hồn tính chất Fredholm phương trình đạo hàm riêng hyperbolic cấp 34 Tài liệu tham khảo [1] R.Aris(1975) The mathematical theory of diffusion and reaction in permeable catalysts Vol I: The theory of the steady state Oxford: Clarendon Press 444 p [2] S.N Chow, J.K Hale(1982) Methods of Bifurcation Theory, Grundlehren der Math Wissenschaften 251, Springer - Verlag, New York - Berlin [3] N.A Eltysheva(1988) On qualitative properties of solutions of some hyperbolic system on the plane, Matematicheskij Sbornil 134, N 2, pp 186 – 209 [4] T.Hillen, K P Hadeler(2005) Hyperbolic systems and transport equations in mathematical biology, in Analysis and Numerics for Conservation Laws, G Warnecke, Springer, Berlin, 257- 279 [5] H Kielhofer(2004) Bifurcation Theory An Introduction with Aplications to PDEs, Appl.Math.Sciences 156, Springer - Verlag, New York – Berlin [6] I Kmit, L Recke(2007) Fredholm Alternative for periodic-Dirichlet problems for linear hyperbolic systems, J Math Anal and Appl 335, No 1, 355–370 35 [7] I Kmit(2011) Smoothing solutions to initial-boundary problems for first-order hyperbolic systems, Applicable Analysis 90, N 11, p 1609 – 1634 [8] I Kmit, L Recke(2012) Fredholmness and smooth dependence for linear time-periodic hyperbolic problems, Journal of Differential Equations 252, No 2, 1962–1986 [9] I.Kmit(2013) Smoothing effect and Fredholm property for first-order hyperbolic PDEs, Pseudo-Differential operator, generalized Funtions and asymptotics, Springer Switzerland, pp 219-238 [10] M.M Lavrent’ev Jr, N A Lyul’ko(1997) Increasing smoothness of solutions to some hyperbolic problems, Siberian Math, J 38, N 1, pp 92 – 105 [11] N.A Lyulko( 2010) The increasing smoothness proprerties of solutions to some hyperbolic problems in two independent variables, Siberian Electronic Mathematical Reports 7, 413 – 424 36 ... dung luận văn trình bày hiệu ứng trơn tính chất Fredholm phương trình đạo hàm riêng hyperbolic cấp Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hiệu ứng trơn phương trình đạo hàm riêng hyperbolic cấp Đặt ΠT =... biên tuyến tính dạng địa phương 10 1.3.3 Hiện tượng trơn cho toán biên ban đầu 12 Hiệu ứng trơn tính chất Fredholm phương trình đạo hàm riêng Hyperbolic cấp 15 2.1 Hiệu ứng trơn ... TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– HỒNG THỊ NHUNG HIỆU ỨNG TRƠN VÀ TÍNH CHẤT FREDHOLM ĐỐI VỚI CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG HYPERBOLIC CẤP MỘT Chuyên ngành: Giải Tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN