Mai Đình Công THCS Nhơn Phúc CHỦ ĐỀ TỰCHỌN LỚP 9 MÔN: TOÁN TÊN CHỦ ĐỀ: CĂN BẬC HAI LOẠI CHỦ ĐỀ: NÂNG CAO THỜI LƯNG: 8 TIẾT I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ VÀ VÍ DỤ MINH HOẠ. ( 3 tiết) 1. Căn bậc hai. Căn bậc hai của một số a không âm là một số x sao cho x 2 = a. Khi đó ta kí hiệu: x = a Ví dụ 1: - 9 = 3, vì 3 2 = 9; 25 4 5 2 . 5 2 5 2 25 4 == vì ; … Số a > 0 có hai căn bậc hai là 0 a- à <> va 0 . Ta nói a là căn bậc hai số học của số không âm a. Ví dụ 2: Trong các số sau thì số nào là căn bậc hai số học của 9: 2222 3;)3(;3;)3( −−−− . Giải Căn bậc hai số học của 9 là: 22 3;)3( − Số a < 0 không có căn bậc hai. Số a = 0 có căn bậc hai duy nhất là 0. Nếu babthìa ≤≤≤ 0 , dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b. Đảo lại, nếu bathìba ≤≤≤ 0 . Ví dụ 3: So sánh 7 và 47 Giải Ta có 47 7 vậy >>= do,47497 2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức AA = 2 . Dưới một dấu căn có thể chứa số, hoặc có thể chứa cả những dấu căn khác, cùng với các phép toán số học, ta nói đó là một căn thức. Ví dụ 2 2 x ba + . Khi đó ta nói 2 2 x ba + là biểu thức dưới dấu căn Ta luôn có AA = 2 , điều này đúng với mọi số thực A, cũng đúng với mọi biểu thức A, miễn là biểu thức đó có nghóa. Như vậy : 0 A nếuA và0 A nếu 2 <−=≥= AAA 2 . Ví dụ 4: 13)31(31)31( 2 −=−−=−=− Ví dụ 5: Tìm x để căn thức sau có nghóa: a) ;43 +− x b) x +− 2 1 ; c) 22 xa + Giải a) Ta phải có: -3x + 4 ≥ 0 hay x ≤ 3 4 b) Căn thức x +− 2 1 có nghóa khi 2020 2 1 >⇔>+−⇔> +− xx x . c) Căn thức 22 xa + luôn có nghóa vì biểu thức dưới dấu căn luôn không âm. Ví dụ 6: Giải phương trình 3)12( 2 =+− x Môït HS tiến hành giải như sau: Ta có: 312)12( 2 =+−=+− xx suy ra x = -1. Lời giải trên đã sót đi một nghiệm, lời giải đúng như sau: - 1 - Mai Đình Công THCS Nhơn Phúc Ta có: >− ≤+− =+−=+− 2 1 x khix khixx xx 12 2 1 12 12)12( 2 Với x 2 1 ≤ , ta có -2x + 1 = 3, suy ra x = -1 Với x > 2 1 , ta có 2x – 1 = 3, suy ra x = 2. 3. Các tính chất. Tính chất1: Nếu a ≥ 0 và b ≥ 0 thì baba = . Chứng minh: Đặt M = baNba .;. = , ta có: M 2 = abbbaababa == ).)(.( N 2 = bababa = Nên suy ra M 2 = N 2 . Mà M và N là các số không âm nên ta có M = N, suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ 7: Tính: 2 81;25,0.100.36;27.3;50.20 aaa Giải .101010.10050.2050.20 === .98127.327.3 2 aaaaaa === .9.8181 .305,0.10.625,0.100.3625,0.100.36 22 aaa == === Tính chất 2: b a b a = ; a ≥ 0, b > 0. Chứng minh: Tương tự như trên. Ví du 8ï: 9 4 81 16 81 16 ; 25 11 225 121 225 121 ; 3 5 9 25 9 25 22 a aa ====== . Chú ý: a) Nói chung ta không có: .; babababa −=−+=+ Ví dụ: 5329,1394 =+=+=+ 4 ưngnh 1349.7916 =−=−=− 16 ưngnh . b) Trong tính chất hai nói trên, có thể giả sử a ≤ 0 và b < 0. Lúc đó ta viết: b a b a − − = . Tính chất 3: ( Đưa thừa số ra ngoài dấu căn ) BABA 2 = ( B ≥ 0) Ví dụ 9: 28)(2828 22224 abbaba == . Tính chất 4: ( Đưa thừa số vào trong dấu căn). A BAB 2 = (A ≥ 0, B ≥ 0 ) A BAB 2 −= ( A < 0, B ≥ 0) Ví dụ 10: - 0,05 2672288.5.05,028800.)05,0(28800 2 −=−=−=−= Tính chất 5: ( Trục căn thức ở mẫu) B AB B AB = 2 (A ≥ 0, B > 0) - 2 - Mai Đình Công THCS Nhơn Phúc BA BA BA B BA B A − = ± = 1 ( B > 0) Chú ý: )( BABA +− được gọi là lương liên hiệp của )( BABA −+ , vì ta có BABABA −=± ))(( Tổng quát: X được gọi là lượng liên hiệp của biểu thức Y có chứa căn thức, nếu XY không còn dấu căn. Thông thường, việc nhân chia tử và mẫu của một phân thức cho lượng liên hiệp khiến cho biểu thức gọn gàng hơn. Chính vì vậy, kinh nghiệm cho thấy rằng, khi gặp bài toán đòi hỏi phải đơn giản hoặc tính một biểu thức chứa căn thức ở mẫu, việc đầu tiên, ta nghó đến các lượng liên hiệp. Ví dụ 11: Trục căn thức ở mẫu của A = . 632 1 −+ Giải 23 )162)(632( 162 632 )6()32( 632 )632)(632( 632 . 632 1 22 +++ = − ++ = −+ ++ = −+−+ ++ = −+ = A Chú ý: Trong thực hành tính toán, đôi khi ta cần rút gọn một biểu thức chứa căn thức phức tạp, hoặc cần phải chứng minh một đẳng thức bằng những biến đổi. Khi đó ta cần biết khôn kheó vận dụng tổnghợp 5 tính chất trên để biến đổi. Điều này có được bằng kinh nghiệm và kỷ năng tính toán, khi ta quen dần các bài tóan từ đơn giản đến phức tạp hơn. Ví dụ 12: Tính M = 10a 2 - 4 a10 + 4 với a = 2 5 5 2 + Giải M = ( a10 -2) 2 . Thay giá trò của a vào biểu thứcnày. M = 25)2254(2 2 50 5 20 2 2 5 5 2 10 2 2 2 =−+= −+= − + Ví dụ 13: Cho bểu thức 10 55 55 55 55 − + − + − + = B . Rút gọn rồi chứng minh B < 0. Giải Ta có: 103 20 )103(20 20 102060 525 10).525(510525510525 )55)(55( 10).55)(55()55()55( 10 55 55 55 55 22 −= − = − = − −−−++++ = +− +−−−++ =− + − + − + = B Vì 3 < 10 nên 3 - 10 < 0. Vậy B < 0 Ví dụ 14: Tính 53 1 . 33 15 23 3 13 2 + − + − + − = A . Giải Trục căn thức ở mẫu của mỗi phân thức ta có: - 3 - Mai Đình Công THCS Nhơn Phúc 2 1 35 1 ).53( 2 1 35 1 . 2 35 2 15 63313 35 1 . 6 )33(15 1 )23(3 2 )13(2 53 1 . )33)(33( )33(15 )23)(23( )23(3 )13)(13( )13(2 = + += + ++−−+= + + + − + + + = + +− + + −+ + + +− + = A 4. Căn bậc ba. Căn bậc ba của một số a là một số x sao cho x 3 = a, ký hiệu x = . 3 a Ta thừa nhận kết quả: Mọi số thực đều có một căn bậc ba tương ứng. Ví dụ: 327;327 33 −=−= Ta công nhận các tính chất sau: 4.1 Nếu a < b thì 33 ba < . 4.2 Với mọi a, b ta có: 333 baba = . 4.3 Với mọi a, b và b ≠ 0, ta có: 3 3 3 b a b a = . Ví dụ 15: Chứng minh: ).)(( ).)(( 33 3 2 33 33 3 2 33 bbaababa bbaababa +−+=+ ++−=− Hướng dẫn: Sử dụng các hằng đẳng thức A 3 – B 3 = (A –B)( A 2 + AB +B 2 ) A 3 + B 3 = (A + B)( A 2 – AB + B 2 ) Và tính chất 2, ở đây A = 3 a và B = 3 b . Ví dụ 16: Theo chú ý ở trên, X được gọi là lượng liên hiệp của biểu thức Y có chứa căn thức, nếu XY không còn dấu căn. Từ đó, theo ví dụ trên, lượng liên nhiệp của 33 ax − là ( ) 3 2 3 3 2 aaxx ++ . Ví dụ 17: Trục căn thức ở mẫu cho biểu thức 1 2 3 2 + + x x với x ≠ -1 Giải Ta có: 1 2 3 2 + + x x = 1 )1)(2( 3 3 22 + +−+ x xxx . 5. Kiến thức mở rộng. 5.1 Căn bậc n. A được gọi là căn bậc n của B nếu A n = B. Một số A 0 ≥ có hai căn bậc 2n, kí hiệu n A 2 và - n A 2 . Một số A bất kỳ có một căn bậc hai bậc 2n + 1, ký hiệu 12 + n A . Như vậy, đối với số thực, căn bậc hai lẻ luôn tồn tại, trường hợp căn bậc ba đã học chính là đặt biệt của một căn bậc lẻ. Còn đối với căn bậc chẵn ( còn căn bậc hai là trường hợp đặt biệt) chỉ tồn tại cho số không âm. Đối với số A 0 ≥ , ta cũng gọi n A 2 là căn bậc 2n số học của A. 5.2 Tính chất căn thức: Trong các công thức sau đây, ta qui ước rằng biểu thức dưới dấu căn làm cho căn thức có nghóa. AA B A B A BABA n n n n n n nn === )(;; ( các tính chất này đúng cho mọi số nguyên n 2 ≥ miễn A, B thích hợp để căn thức có nghóa), - 4 - Mai Đình Công THCS Nhơn Phúc AA m m = ( m chẵn). Qui tắc khai căn một căn thức: nk k n AA = . Qui tắc nâng một căn thức lên một lũy thừa: ( n kk n AA = ) (Hai công thức trên đúng cho mọi n 2 ≥ và k 1 ≥ ). Ví dụ 18: 20 5 4 xx = ; 3 44 3 )( aa = Ví dụ 19: Tính giá trò của biểu thức: 824 22 824 22 22 ++ + − +− − = xx x xx x C Khi x =3 Giải Ta có: 22 )22( 22 )22( 22 + + − − − = x x x x C Với x =3 > 2 2 , các căn thức bậc hai đều có nghóa và các mẫu thức đều khác 0. Do đó: 22 1 22 1 + − − = xx C Thay x = 3 ta được: 2 )12)(12( )12()12( 12 1 12 1 )12( 1 )12( 1 223 1 223 1 22 = −+ −−+ = + − − = + − − = + − − = C Ví dụ 20: Với a < b < 0, rút gọn biểu thức: .)(. 1 24 baa ba A − − = Giải Với a < b < 0, ta có: [ ] 2 22 2424 )(.)( 1 )(. 1 aba ba a ba ba a baa ba baa ba A −=−− − =− − =− − =− − = Ví dụ 21: Chứng minh rằng: 5724057240 +−− là số nguyên. Giải Ta có: 57240 < ( vì 3200 < 3249) nên: A= 5724057240 +−− = 5724024057 +−− 100)24057)(24057(22405724057 2 =+−−++−= A Vậy A = 10 hay A = -10. Nhưng kết quả là A = -10. Vì 57 - 40 240572 +< . II. BÀI TẬP ( 5 tiết) Bài 1: Tính: 36,0.25.4 ; 2 49a ; 16 9 ; 5 80 ; )0( 3 75 > a a a ; 121 4 2 a Bài 2: Tìm hai số a, b sao cho: babababa −=−+=+ ; Bài 3: Cho biết trước 4225, 3249, 15876 là bình phương của một số tự nhiên ( Những số như thế được gọi là số chính phương ). Em hãy tính thật nhanh các số 15876;3249;4225 mà không dùng máy tính. Bài 4: Tính: 2 )12( 1 .1 25 1 25 1 + + + − − = A . Bài 5: Tính: 10271027 −−+ Bài 6: Tính: A = )321)(321( −+++ ; ba b b ba B + − = : Bài 7: Chứng minh với a > 0, a ≠ 1, ta có: 1 1 1 1 1 2 = − − + − − a a a a aa - 5 - Mai Đình Công THCS Nhơn Phúc Bài 8: Cho biểu thức − + + − = 2223 . 1 yxxy y yxx x yx N Với x > 0; y 0 ≥ và x ≠ y. Rút gọn biểu thức N. Bài 9: Thực hiện phép tính: + − + + + + 32 1 :1 12 22 3 323 Bài 10: Tính giá trò của biểu thức sau với x = 8: )168.( 16 44 2 2 2 +− − ++ = xx x xx A Bài 11: Cho biểu thức − − − − + − − + + = 1 3 22 : 9 33 33 2 x x x x x x x x P . Với x 0 ≥ và x ≠ 9. a) Rút gọn P. b) Tính x để P < 3 1 c) Tìm giá trò bé nhất của P. Bài 12: So sánh: 5 3 6 và 6 3 5 . Bài 13: Trục căn thức ở mẫu: a) 3 3 3 1311 2734 + − b) 33 65 14 − Bài 14: Nếu (-2 +x 2 ) 5 = 1 thì x bằng bao nhiêu? Bài 15: Cho biểu thức: + − −+ + = 1 1 3 :1 1 3 2 x x x Q với -1 < x < 1 a) Rút gọn Q. b) Tính giá trò của Q khi x = 4 2 -5. Bài 16: Cho biểu thức: P = x x x x xx xx − − + + + − −+ −+ 1 2 2 1 2 393 , với x 0 ≥ và x 1 ≠ a) Rút gọn P. b) Tìm gía trò nguyên của x sao cho P có giá trò nguyên. Bài 17: Cho biểu thức: 3 1 2 1 :)1( 22 2 22 − ++ +−+−= x x x xxxA , với x 0 ≠ . a) Rút gọn A. b) Tìm x để A có giá trò nhỏ nhất. Tính giá trò đó. Bài 18: Cho: − − + ++ + − + = 2 1 : 1 1 11 2 x xxx x xx x A a) Rút gọn biểu thức A. b) Chứng minh rằng A > 0 với mọi điều kiện của x để A có nghóa. Bài 19: Cho biểu thức: 3 32 1 23 32 1115 + + − − − + −+ − = x x x x xx x Q a) Rút gọn Q. b) Tìm gía trò của x để Q = 0,5. c) Tìm x để Q nhận giá trò lớn nhất. Tìm gía trò lớn nhất đó. Bài 20: Chứng minh rằng: a) 1 21 1 2 12 2 − = + − − − ++ + a a a a a aa a , với a > 0, a 1 ≠ . - 6 - Mai Đình Công THCS Nhơn Phúc b) 1 3242 32 3242 32 = −− − + ++ + c) x x xx x xx −= − − − + + + 1 1 1 1 1 , với x > 0, x 0 ≠ . d) 17 2 3111 2 2 2 2 2 2 ≥+++++ z z y y x x , Với x, y, x > 0 và x + y + z ≤ 2 3 Bài 21: Rút gọn biểu thức: a) .5122935 −−−= A b) 26 4813532 − +−+ = B III. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP. ( Xem trong tài liệu ) - 7 - . Nhơn Phúc 2 1 35 1 ).5 3( 2 1 35 1 . 2 35 2 15 63313 35 1 . 6 )3 3(1 5 1 )2 3(3 2 )1 3(2 53 1 . )33 )(3 3( )3 3(1 5 )23 )(2 3( )2 3(3 )13 )(1 3( )1 3(2 = + += + . chứng minh B < 0. Giải Ta có: 103 20 )10 3(2 0 20 102060 525 10).52 5(5 10525510525 )55 )(5 5( 10).55 )(5 5() 5 5() 5 5( 10 55 55 55 55 22 −= − = − = − −−−++++ =