1 TÍNH đơn điệu của hàm số

1 GV THÁI THỊ MỸ LÝ 0336639046 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I) ĐỊNH NGHĨA: Gọi K kí hiệu khoảng, đoạn, hay nửa khoảng Cho hàm số y = f(x) xác định K Khi đó: + f(x) gọi đồng biến K nếu: ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) + f(x) gọi nghịch biến K nếu: ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) + f(x) gọi không đổi (hàm hằng) K nếu: ∀x1 , x ∈ K : f ( x ) = c không đổi II) ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm (a,b) ⇔ f ′ ( x ) > ∀x ∈ ( a, b ) + f(x) gọi đồng biến (a,b) ⇔ f ′ ( x ) < ∀x ∈ ( a, b ) + f(x) gọi nghịch biến (a,b) ⇔ f ′ ( x ) = ∀x ∈ ( a, b ) + f(x) gọi không đổi (a,b)  CHÚ Ý: ① Định lý trường hợp xét tính đơn điệu đoạn, khoảng hay khoảng phải xét thêm f(x) liên tục đoạn, khoảng Cụ thể: [ a, b ] ⇔ f ′ ( x ) > 0∀x ∈ ( a, b ) [ a, b ] • f(x) đồng biến f(x) liên tục x ∈ ( a, b ) ② Dấu “=” xảy số hữu hạn điểm Cụ thể: GV THÁI THỊ MỸ LÝ 0336639046 ⇔ f ′ ( x ) ≥ 0∀x ∈ ( a, b ) • f(x) gọi đồng biến (a,b) f ′( x) = điểm (a,b) số hữu hạn ⇔ f ′ ( x ) ≤ ∀x ∈ ( a, b ) • f(x) gọi nghịch biến (a,b) f ′( x) = số hữu hạn điểm (a,b) BÀI TẬP DẠNG 1: Xét tính đơn điệu hàm số Phương pháp: - Tìm TXĐ f ′( x) f ′ ( x) = f ′( x) - Tính Tìm điểm mà khơng xác định - Lập BBT ( nhớ đưa miền xác định hàm số vào BBT) - Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến *NHẮC LẠI: Cách tính nhanh đạo hàm ad − bc ax + b → y′ = y= ( cx + d) cx + d 1) a1 b1 a x + b x + c1 y= a2 x + b2 x + c2 → y′ = a2 b2 x2 + (ax 2 a1 c1 a2 c2 x+ + b2 x + c2 ) b1 c1 b2 c2 2) Ví dụ: Xét tính đơn điệu hàm số sau: y = x3 − x + x a) b) y = x3 − x + x − 3 GV THÁI THỊ MỸ LÝ 0336639046 y= c) x +1 x −1 CHÚ Ý: Kết luận SAI Kết luận ĐÚNG y = x2 − d) GV THÁI THỊ MỸ LÝ 0336639046 y= e) x − 3x + 3x − TRẮC NGHIỆM: −x + y= x +1 Câu 1: Cho hàm số Khẳng định đúng? ¡ \ { −1} A Hàm số nghịch biến tập ( 1; ) B Hàm số nghịch biến ( −2; ) C Hàm số nghịch biến x ≠ −1 D Hàm số nghịch biến với y= Câu 2: Hàm số đây? ( 1; + ∞ ) A ( −∞ ;0 ) C x2 − x +1 x −1 đồng biến khoảng ( 0; ) B ( −∞ ;1) D Câu 3: Trong hàm số sau, hàm số nghịch biến ( −1;1) khoảng A ? −1 y= x y= C x2 y= B x y = x − 3x + D GV THÁI THỊ MỸ LÝ 0336639046 Câu 4: Hàm số sau đồng biến −1 y= x A ¡ ? y = tan x B y = x + x2 + C y = x3 + D Câu 5: Bảng biến thiên hàm số nào? y= A y= C 2x +1 x −1 y= x −1 y= 2x − x + x −1 B 2x − x −1 D y = x − x2 + Câu 6: Cho hàm số Kết luận đúng? ¡ Hàm số đồng biến Hàm số có khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến Hàm số có khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến Hàm số có khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến Câu 7: Bảng biến thiên hàm số nào? A B C D GV THÁI THỊ MỸ LÝ 0336639046 y = x3 − 6x2 + 9x − A y = x3 − x2 + x B y = x3 + 6x2 + 9x + C y = −x + x2 − x + D Câu 8: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên sau Mệnh đề sau đúng? ∞ ∞ −1 x + y’ + y + - ∞ + ∞ - ∞- x - - ∞ ( −∞;3) A Hàm số đồng biến khoảng ( 4; −∞ ) B Hàm số nghịch biến khoảng C Hàm số đồng biến khoảng nghịch biến khoảng D Hàm số đồng biến ¡ ( a ;b;c) Câu 9: Tìm y = ax + bx + cx + d để hàm số đồng ( −∞ ; − 1) ( 1; + ∞ ) biến hai khoảng , nghịch biến GV THÁI THỊ MỸ LÝ 0336639046 ( −1;1) khoảng A ( 0;1) có đồ thị qua điểm ( a ; b ; c ) = ( 1;1;1) ( a ; b ; c ) = ( 0; − 1;1) A C B ( a ; b ; c ) = ( −1; − 3;1) ( a ; b ; c ) = ( 0; − 3;1) D DẠNG 2: Hàm số tăng (giảm) tập xác định Phương pháp: y= ax + b ad − bc ⇒ y′ = cx + d ( cx + d ) ①Hàm số y’ không phụ thuộc vào x Ví dụ hàm biến: ⇔ y ′ > ∀x ∈ + Hàm số tăng khoảng xác định TXĐ ⇔ y′ < ∀x ∈ + Hàm số giảm khoảng xác định TXĐ y = ax + b + c ( a ≠ ) ②Khi dấu y’ dấu tam thức bậc hai ∆ ≤ ⇔ ⇔ y′ ≥ ∀x ∈ D a > + Hàm số tăng ∆ ≤ ⇔ ⇔ y′ ≤ ∀x ∈ D a < + Hàm số ln giảm CHÚ Ý: Khơng có dấu “=” CHÚ Ý: Nếu a có chứa tham số phải xét a = trước ③Khi dấu y dấu biểu thức khác Cách 1:( Dùng y’ có GTLN GTNN D) ⇔ y′ ≥ ∀x ∈ D ⇔ y′ ≥ + Hàm số tăng ⇔ y′ ≤ ∀x ∈ D ⇔ max y′ ≥ + Hàm số giảm Cách 2: Cơ lập m ’ Ví dụ: Tìm m để: mx + y= x+m a) nghịch biến khoảng xác định GV THÁI THỊ MỸ LÝ 0336639046 y = x + mx + x + 3 ¡ b) đồng biến y= c) mx − x + 2m − x−2 nghịch biến khoảng xác định GV THÁI THỊ MỸ LÝ 0336639046 d) y = sin2x – mx đồng biến tập xác định TRẮC NGHIỆM: mx − 4m+ y= x+ m Câu 1: Tìm m để hàm số đồng biến khoảng xác định −5 < m < A m < −5 hay m > B m ≤ −5 hay m ≥ C −5 < m < D mx + 4m y= x+ m Câu 2: Cho hàm số Có giá trị nguyên m để hàm số nghịch biến khoảng xác định? A B C Vô số D Câu 3: Tập hợp tham số m để hàm số y = x − ( m + 1) x + 3x + đồng biến [ a ; b] dạng a +b Tính ? ¡ đoạn có 10 GV THÁI THỊ MỸ LÝ 0336639046 a +b = A a + b = −2 B a +b = C a + b = −6 D Câu 4: Tìm m để hàm số y= ( m − 1) x + ( m − 1) x + ( − m ) x − A B C D đồng biến 1≤ m < 1< m ≤ 1≤ m ≤ Câu 5: Tìm m để hàm số A m = B m≤0 đồng biến m≥0 Câu 6: Hàm số  a = b = 0; c >  b − 3ac ≤ A C D ¡ ? D Với m y = ax + bx + cx + d B ? 1< m < y = x + mx C ¡ đồng biến khi: a = b = c =   a > 0; b − 3ac <  a = b = 0; c >   a > 0; b − 3ac ≤  a = b = 0; c >   a > 0; b − 3ac ≥ y= ¡ m x − x + ( m + 3) x + m Câu 7: Hàm số m ¡ giá trị nhỏ đồng biến 17 GV THÁI THỊ MỸ LÝ 0336639046 y= x−1 x− m Câu 1: Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng ( −∞ ;3) m ≥1 m≥3 A B m >1 m>3 C D y = x + x + ( m + 1) x + 4m Câu 2: Cho hàm số Có bao − 15;0 ( ) nhiêu giá trị nguyên m khoảng để hàm số ( −1;1) nghịch biến ? 10 A B 15 C D Câu 3: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số ( −1;1) y = x − 3mx + nghịch biến m ≥1 m≤0 A B m >1 m∈¡ C D y = x + x + mx + m Câu 4: Cho hàm số Tìm m để hàm số nghịch biến đoạn có độ dài m= A m= B m= C m= D 18 GV THÁI THỊ MỸ LÝ 0336639046 y = x − 2( m + 1) x + m Câu 5: Tìm m để hàm số ( 1; + ∞ ) m ≥1 A m >1 C đồng biến B m≤0 m∈¡ D x + m(m − 1) x − m3 − y= x −1 đồng Câu 6: Tìm m để hàm số ( −∞ ;1) biến m∈¡ m≤0 A B m∉∅ C D Đáp án khác mx + 4m y= x+m Câu 7: Cho hàm số Gọi S tập hợp giá trị ( −1;3) nguyên m để hàm số nghịch biến Số phần tử S A B C D cos x − y= cos x − m m Câu 8: Tìm để hàm số nghịch biến  π  0; ÷  2 khoảng m>2 A m ≤ 1 ≤ m <  B m2 A m ≤ 1 ≤ m <  B −1 ≤ m < C m≤0 D Câu 10: Tìm m y= tan x − tan x − m đồng biến y = cos3 x − cos x + m cos x + để hàm số ( 0; π ) nghịch biến khoảng m≥ 27 A m ≤ 1 ≤ m <  B −1 ≤ m < 27 C m≤0 D y = x − 2mx + 3m − Câu 11: Tìm m để hàm số nghịch ( −∞ ; − ) biến m ≥1 m ≤ −5 A B m < −5 ∨ m > −5 < m < C D y = x − 2mx m để hàm số nghịch biến Câu 12: Tìm ( −∞ ; ) ( 0; + ∞ ) đồng biến 20 GV THÁI THỊ MỸ LÝ 0336639046 A C m =1 m≠0 B D m>0 m≤0 DẠNG 4: Ứng dụng tính đơn điệụ hàm số F ( x, m) > ∀x ∈ ( a, b) ① Ứng dụng 1: Tìm m để Phương pháp: F ( x, m) > ⇔ m< f ( x) ( h c m>f ( x) ) - Biến đổi (Cô lập m) - Lập BBT hàm số f(x) (a, b) - Dựa vào BBT tìm m 21 GV THÁI THỊ MỸ LÝ 0336639046 f ( x) > g( x) ∀x∈ ( a, b) ② Ứng dụng 2: Chứng minh bất đẳng thức Phương pháp: f ( x) > g( x) ⇔ y = f ( x) − g( x) > ∀x ∈ ( a,b)  Cách 1: -Đưa y = f ( x) − g( x) - Lập BBT hàm số (a, b) Từ suy đpcm f ( x) > g( x) ⇔ h( α ) > h( β )  Cỏch 2: - a h( x) Đ B ( a, b)  h( x) NB trªn ( a, b) ữ ữ < α > β     - Đặt h(x), chứng minh h( α ) > h( β ) Suy ③ Ứng dụng 3: Giải phương trình, bất phương trình Phương pháp:  Cách 1: - Chuyển phương trình v dng f(x) = f ( x) đơn ®iƯu trªn D   f ( x0 ) = ví i x0 ∈ D - Sử dụng định lí ⇒ f ( x) = cã nghiƯm nhÊt x=x0  Cách 2: - Chuyển phương trình dạng f(u) = f(v) D = Du ∪ Dv - Xét y = f(t) tập xác định  f ( t) đơn điệu D u= v  f ( u) = f ( v) ví i u,v∈ D - Sử dụng định lí 2x2 − 4x + m− ≥ ∀x ∈ ( −1,2) Khi khơng lập m??? Ví dụ 1: Tìm m để Ví dụ 2: Chứng minh rằng: 22 GV THÁI THỊ MỸ LÝ 0336639046 x4 − 6x2 + 8x + 28 > 0, ∀x ∈ ( −3;0) a) b) a) π ysin y − xsin x > x − y ví i 0 cs) Câu 5: ct) Câu 6: Dạng x + 1= 2x − 3 x3 + b = a3 ax − b cu) cv) Câu 7: Dạng 8x − 36x + 53x − 25 = 3x − cw) Câu 8: cx) Câu 9: ax3 + bx2 + cx + d = n3 ex + f x3 − 5x − = 6x + x3 − 3x2 + 2x − < 2x + cy) 4x3 + x − ( x + 1) 2x − = cz) Câu 10: ax3 + bx2 + cx + d = (e1x + f1) ex + f Dạng da) Dạng ax2 + bx + c = ex + d db) Câu 11: dc) Câu 12: dd) Câu 13: de) Câu 14: df) Câu 15: dg) Câu 16: dh) Câu 17: di) Câu 18: dj) Câu 19: dk) Câu 20: x2 + 2x − 12 = 20 x − 9x2 + 8x − 32 = 16 8− 2x2  y3 + y = x3 − 3x2 + 4x −   x − + 2x = y +  x3 + 2x = ( y + 1) y+   x + y =  x3 − y3 = 3x − 3y   x + y =  x5 + xy4 = y10 + y6   4x + + y + =  x3 − 3x2 + = y3 + 3y2  3 x − = y2 + 8y  x3 − y3 − = 3x − 3y2  2  x + 1− x − 2y − y + =  x3 − y3 + 6y2 − 12x − 16 =  2  x − x − 4y − y − 3y + 10− x = ( ) 3xy( x + y) + y3 + y = x 7x2 +   x y + 1= ( )  x + x x2 − 3x + = y+ + y + +   3 x − 1− x2 − 6x + = y + + dl) Câu 21: dm) dn) do) dp) dq) dr) ds) dt) du) dv) dw) dx) dy) dz) ea) eb) ec) ed) ee) ef) eg) eh) ei) ej) ek) el) em) en) eo) ep) eq) er) es) et) eu) ev) ew) ex) ey) ez) fa) fb) fc) fd) fe) ff) fg) fh) fi) fj) fk) fl) fm) fn) fo) fp) fq) fr) fs) ft) fu) fv) fw) fx) fy) fz) ga) gb) gc) gd) ge) ... +1 Câu 1: Cho hàm số Khẳng định đúng? ¡ { 1} A Hàm số nghịch biến tập ( 1; ) B Hàm số nghịch biến ( −2; ) C Hàm số nghịch biến x ≠ 1 D Hàm số nghịch biến với y= Câu 2: Hàm số đây? ( 1; ... để hàm số y = s inx − mx Câu 10 : Tìm để hàm số m ≥ 1 B ¡ m B D Đáp số khác 1 m A đồng biến nghịch biến ¡ m ≤ 1 1 ≤ m ≤ m 1 Câu 11 : Tìm ¡ biến m y = ( 2m + 1) s inx + ( − m ) x để hàm số. .. khoảng để hàm số ( 1; 1) nghịch biến ? 10 A B 15 C D Câu 3: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số ( 1; 1) y = x − 3mx + nghịch biến m 1 m≤0 A B m >1 m∈¡ C D y = x + x + mx + m Câu 4: Cho hàm số Tìm