Phương trình, bất phương trình mũ logarit

THẦY CAO PHI – 0977214258 fb: facebook.com/ThayPhiToan CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO HÀM SỐ LŨY THỪA – MŨ - LOGARIT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ Câu (Đề thi THPT Quốc Gia minh họa lần – 2017) Tìm tập hợp giá trị tham số m để    C  2;4   phương trình 6x   m 2x  m  có nghiệm thuộc khoảng 0;1 B 2;4  A 3;4  Chọn C    Ta có 6x   m 2x  m     Xét hàm số f x    f' x   6x  3.2x m 2x  6x  3.2x xác định 2x  12x ln  6x ln  3.2x ln  2x      D 3;4 , có  0, x    nên hàm số f x đồng biến   Vậy phương trình (1) có nghiệm thuộc khoảng  0;1 m  2;4  Suy  x   f  f x  f   f x  Câu (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017) Tìm tất giá trị m để phương trình 4x  2x 1  m  có hai nghiệm thực phân biệt    A m  ;1 B m  0;      C m  0;1 D m  0;1 Hướng dẫn Chọn D   Phương trình 4x  2x 1  m   2x  2.2x  m  Đặt t  2x  Phương trình trở thành t  2t  m  (1) Để phương trình có nghiệm phân biệt phương trình có nghiệm phân biệt dương a     '   m    S   b    m  0;1  a  c P   m  a    Câu (THPT Nguyễn Khuyến-TPHCM) Bất phương trình 2.5x 2  5.2x 2  133 10x có tập nghiệm S  a;b  b  2a A Hướng dẫn Chọn B B 10 C 12 D 16 Ta có 2.5x 2  5.2x 2  133 10x  50.5x  20.2x  133 10x chia hai vế bất phương trình cho 5x ta được: x x  2 2 20.2x 133 10x 50  x   50  20    133   (1) x  5 5 5   x  2  Đặt t    5   t  0 , phương trình (1) trở thành 20t Offline: Tầng 2, số 161 Xuân Đỉnh – Hà Nội  133t  50   25 t  Online: Toliha.vn 1|Page THẦY CAO PHI – 0977214258 fb: facebook.com/ThayPhiToan x 2 2  2 25          5 5 Vậy b  2a  10 x 2   5 Khi ta có 4  4  x  nên a  4,b  Câu (THPT Nguyễn Khuyến) Cho a số nguyên dương lớn thỏa mãn    log3  a  a  log2 a Tìm phần nguyên log2 2017a A 14 Hướng dẫn giải Chọn đáp án B  B 22  C 16   D 19  Đặt t  a , t  , từ giả thiết ta có log3  t  t  log2 t     f t  log3  t  t  log2 t      ln  ln t  ln  ln t  ln 3t  2t f' t    ln t  t  ln t ln 2.ln t  t  t  Vì đề xét a nguyên dương nên ta xét t         Xét g t  ln2  ln t  ln2  ln t  ln  8 4 Ta có g ' t  ln t  ln t  t  ln t  ln  9 9   0 g' t  t  ln ln    Lập bảng biến thiên suy hàm số g t giảm khoảng 1;     Suy hàm số f t  giảm khoảng 1;   Nên t  nghiêm phương trình f t   Suy g t  g  ln2  ln   f ' t  Nên số nguyên a lớn thỏa mãn giả thiết toán a  4095   Phần nguyên log2 2017a 22 Câu (THPT Nguyễn Khuyến – TPHCM) Biết x    loga 23x  23  log a  19  A T   ;  2  Hướng dẫn Chọn D  x  2x  15  * Tập nghiệm T  17  B T   1;     loga 23x  23  log a x  15 nghiệm bất phương trình  bất phương trình *    D T  2;19 C T  2;8     2x  15  loga 23x  23  loga x  2x  15   Nếu a  ta có  23x  23  x  2x  15 loga 23x  23  loga x  2x  15     x  19 x  2x  15        Offline: Tầng 2, số 161 Xuân Đỉnh – Hà Nội Online: Toliha.vn 2|Page THẦY CAO PHI – 0977214258 Nếu  a  ta có fb: facebook.com/ThayPhiToan  23x  23  x  2x  15 loga 23x  23  loga x  2x  15    23x  23      Mà x   1  x   x  19  15 nghiệm phương trình       Câu (Sưu tầm) Tìm m để phương trình m  log21 x   m  log 2  4m   có x 2 5  nghiệm  ;  2  A 3  m  D 3  m  C m   B m  Hướng dẫn Chọn A 5  Đặt t  log x  Do x   ;4   t   1;1 2              m  t  m  t  4m    m  t  m  t  m    m t  t   t  5t  m  t  5t  g m f t t2  t     Xét f t   f' t  t  5t  với t   1;1 t2  t   4t t   t 1  0, t  1;1  Hàm số đồng biến đoạn  1;1      Để phương trình có nghiệm t  1;1 f 1  g m  f  3  m  2 Câu (Lạng Giang số 1) Số giá trị nguyên dương để bất phương trình 3cos x  2sin x  m.3sin nghiệm A B C D Hướng dẫn Chọn A  x có  Đặt t  sin2 x,  t  Khi bất phương trình trở thành 1t   m.3  t t t 3  t 2   m 3 t 2 Xét hàm số f t  t    ,  t  3  t   t 1 2 f ' t    ln    ln   Hàm số nghịch biến 9 3   Vậy để bất phương trình có nghiệm m  f  Suy giá trị nguyên dương cần tìm m  Offline: Tầng 2, số 161 Xuân Đỉnh – Hà Nội Online: Toliha.vn 3|Page THẦY CAO PHI – 0977214258 fb: facebook.com/ThayPhiToan Câu (THPT Lý Tự trọng – TPHCM) Có giá trị thực tham số m để phương trình 2 m.3x 3x 2  34x  363x  m có nghiệm thực phân biệt A B C Hướng dẫn Chọn C D x  3x 2  u 3 Đặt  4x  u.v  363x Khi phương trình trở thành v   3x 3x 2  u  mu  v  uv  m  m u   v u    u  m  v      x 3 m v  m         x  x  3x      x  2 4  x  log3 m x   log m  Để phương trình có nghiệm phân biệt x   log3 m có nghiệm khác 1,2 TH1: x    log3 m  m  27 TH2: x  22    log3 m  m  TH3: x    log3 m  m  81  Câu (THPT Chuyên Phan Bội Châu) Tìm m để phương trình   x2  m 3  x2  2x 1 có hai nghiệm phân biệt B  m  16 A m  16 1 C   m  16    m  D  m   16 Hướng dẫn Chọn D x2 x2 7 3  7 3   m   Phương trình       2     x2 7 3   Đặt t          1   0;1 Khi phương trình  2t  t  2m   2m  t  2t  g t Ta có g ' t   4t   t  Bảng biến thiên Offline: Tầng 2, số 161 Xuân Đỉnh – Hà Nội Online: Toliha.vn 4|Page THẦY CAO PHI – 0977214258 fb: facebook.com/ThayPhiToan Để phương trình có hai nghiệm phân biệt (1) có nghiệm t  0;1    2m       1  2m   m  16    m   x Câu 10 (THPT Chuyên ĐHSP) Số nghiệm thực phân biệt phương trình A B C Hướng dẫn Chọn D Điều kiện x  Nếu x   x  x  x 2 D  1 x  , dấu “=” xảy x    4x x x Dấu “=” xảy x  , suy Nếu x   x  Và  4x 4x x  x  24  4, x  x 1 1 1x   1  4x  , dấu “=” xảy x   4x 4x 2 x  x x 1      1  x  , dấu “=” xảy x  x x x Suy 4x x  x  24  1, x  Vậy phương trình cho vơ nghiệm   Câu 11 (Chuyên ĐH Vinh) Số nghiệm phương trình log3 x  2x  log5 x  2x  A Hướng dẫn Chọn B B C D ĐK: x  0, x  Đặt t  x  2x  x  2x   t    log3 t  log5 t     Đặt log3 t  log5 t   u u   log3 t  u t     u log5 t   u t       5u  3u  u u  2   u  5u   3u   u   u 1 u           5   1 2  Xét (1): 5u  3u  Ta thấy u  nghiệm phương trình (dùng pp hàm số dùng BĐT để CM nghiệm nhất) Với u   t  1  x  2x   , phương trình vơ nghiệm u u 3 1 Xét (2):       5 5 Offline: Tầng 2, số 161 Xuân Đỉnh – Hà Nội Online: Toliha.vn 5|Page THẦY CAO PHI – 0977214258 fb: facebook.com/ThayPhiToan Tương tự ta có u  nghiệm phương trình Với u   t   x  2x   , phương trình có nghiệm phân biệt thỏa mãn x  0, x  Câu 12 (THPT Chuyên Thái Bình) Tìm tất giá trị m để phương trình sau có hai nghiệm thực     phân biệt: log3  x  log x  m   m 0 Hướng dẫn Chọn C A   log3  x  B  m  21 C  m  21 D   m 2   x  1;1 1  x    log x  m        x2  x  m  log  x  log3 x  m               Yêu cầu toán  f x  x  x  m   có hai nghiệm phân biệt thuộc 1;1 Cách Dùng tam thức bậc Cách Dùng pp hàm số   Xét hàm số f x  x  x   f ' x  2x    x   Ta có bảng biến thiên  1 21 Có f      , f  3, f 1  5  2    Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình có nghiệm phân biệt khoảng   1;1 21 21  m  5  m 5 4 Câu 13 Tập hợp tất giá trị m để phương trình     x m x 1 log2 x  2x   log2 x  m  có ba nghiệm phân biệt 1 3 A  ; 1;  2 2 Hướng dẫn Chọn D x 1 Ta có  3 B  ;1;   2   log2 x  2x    x m 1 3 C  ;1;   2 2  log2 x  m    1  D  ;1;  2    2 x m x 1 2 log2  x   2  log2 x  m  (2)      Xét hàm số f t  2t log2 t  , t    Vì f ' t  0, t   hàm số đồng biến 0;  Offline: Tầng 2, số 161 Xuân Đỉnh – Hà Nội  Online: Toliha.vn 6|Page THẦY CAO PHI – 0977214258 fb: facebook.com/ThayPhiToan 2 Khi  f  x    f x  m  x   x  m            x  4x   2m   x  2m  Phương trình có ba nghiệm phân biệt xảy trường hợp sau + Phương trình (3) có nghiệm kép khác hai nghiệm phân biệt phương trình (4) , Thay vào (4) thỏa mãn + Phương trình (4) có nghiệm kép khác hai nghiệm phân biệt (3) m  , thay vào (3) thỏa mãn + Phương trình (4) có hai nghiệm phân biệt (3) có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm hai phương trình trùng m  4  x   2x  , với  m  Thay vào phương trình (3) tìm m  2 1  Kết luận m   ;1;  2  Câu 14 (THPT Quảng Xương 1) Các giá trị m để bất phương trình  3m  1 12  2  m  x  A 2;  x  3x  có nghiệm x   1 D  2;   3   1 C  ;   3    B ; 2 Hướng dẫn Chọn B Đặt 2x  t Do x   t        Khi ta có 3m  t   m t   0, t   3t  t m  t  2t  m  t  2t  ,  t  1;  3t  t   7t  6t  t  2t  Xét hàm số f t  1;   f ' t   0, t  1;  3t  t 3t  t          Do m  lim f t  2 thỏa mãn yêu cầu toán t 1    Câu 15 (Chuyên Quang Trung L3) Tìm m để bất phương trình  log5 x   log5 mx  4x  m thỏa mãn với x A 1  m  Hướng dẫn Chọn C B 1  m  C  m   D  m   mx  4x  m  Bất phương trình thỏa mãn với x   x   mx  4x  m    Offline: Tầng 2, số 161 Xuân Đỉnh – Hà Nội  Online: Toliha.vn 7|Page THẦY CAO PHI – 0977214258 m   mx  4x  m  16  4m    5m    m x  4x   m   16   m      fb: facebook.com/ThayPhiToan m    m  2  m     2m 3 m   m  0   m   Câu 16 (Chuyên Bắc Giang) Biết phương trình x      log2 4 x 2      x 2  có hai nghiệm  x1, x x1  x Tính 2x1  x A Hướng dẫn Chọn D Điều kiện x  C 5 B           x  2 x  2  x   hay x    x   Lấy loogarit số hai vế ta log x   log x    log 4 x     Phương trình thành x   D 1 log2  log2 x 2 log2 x 2  x  log2 x 2 2     log x   1  log x    log2 x     log2 x   2      x   x   5 x  Vậy 2x1  x    1 2 Suy x  Câu 17 (THPT Chuyên KHTN L4) Tìm tập hợp giá trị m cho phương trình 4x 2x 1   m.2x 2x 2   3m   có bốn nghiệm phân biệt  A ;1   B ;1  2;   C 2;    D 2;   Hướng dẫn Chọn D   x 1 Đặt t  2  , t  Phương trình có dạng t  2mt  3m   (*) Phương trình cho có nghiệm phân biệt (*) có hai nghiệm phân biệt lớn  m  3m     x  m  m  m    1,2   m  3m     m  m   m    m  3m    m 2 m   m  3m   m  2m       Câu 18 Tìm tất giá trị m để bất phương trình log2 5x  log2 2.5x   m có nghiệm x 1 A m  Hướng dẫn Chọn C   B m    C m     D m   log2 5x  log2 2.5x   m  log2 5x  1  log2 5x    m   Offline: Tầng 2, số 161 Xuân Đỉnh – Hà Nội Online: Toliha.vn 8|Page THẦY CAO PHI – 0977214258 fb: facebook.com/ThayPhiToan   Đặt t  log6 x  x  x   t      t  t  m  f t  t  t  m, t   Có f ' t  2t   0, t  nên hàm số đồng biến 2;    Để phương trình ln có nghiệm m  M inf t  Câu 19 Tìm tất giá trị tham số m để phương trình   log22 x  log x   m log4 x  có nghiệm thuộc 32;   A m  1;   Hướng dẫn Chọn A  B m  1;   C m   1;  ĐK: x  Khi phương trình tương đương   D m   3;1   log22  log2 x   m log2 x   Đặt t  log2 x với x  32  log2 x  log2 32  hay t   Phương trình có dạng t  2x   m t   * Khi tốn trở thành: “Tìm m để phương trình (*) có nghiệm t  ”  t  3t  1  m t  3  Với t  *   t 1 m t    m  Ta có t 3   t 1 m t   t 1 t 3 t 1 4 Với t     1 1 3 t 3 t 3 t 3 53 hay  t 1 t 1  31  t 3 t 3 Suy  m  Vậy phương trình có nghiệm với  m  Câu 20 Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình     log2 7x   log2 mx  4x  m x   A m  2;5 Hướng dẫn Chọn A  B m  2;5 C m  2;5  D m   2;5  Bất phương trình tương đương 7x   mx  4x  m  0, x         m x  4x   m   mx  4x  m    Với m  (2) không thỏa mãn với x Với m  (3) không thỏa mãn với x , x  Offline: Tầng 2, số 161 Xuân Đỉnh – Hà Nội Online: Toliha.vn 9|Page THẦY CAO PHI – 0977214258 7  m   2'    m  (1) luông x     m  '   m     fb: facebook.com/ThayPhiToan m  m  m m  7 5 0 2m 5 2     Câu 21 Tìm tất giá trị m để bất phương trình  log5 x   log5 mx  4x  m có nghiệm với x A m  2;3   B m  2;3 Hướng dẫn Chọn A  C m  2;3  D m   2;3   Bất phương trình tương đương x   mx  4x  m  0, x         m x  4x   m   * , x  mx  x  m    Với m  m  (*) không thỏa mãn với x  5  m   2'    m  Với m  0, m  : *   2m 3 m  '   m        Câu 22 Tìm tất giá trị m cho khoảng 2;3 thuộc tập nghiệm bất phương trình     log5 x   log5 x  4x  m  A m  12;13 B m  12;13 C m  13;12 D m  13; 12 Hướng dẫn Chọn A  2 x  4x  m  x   m  x  4x  f x   x  4x  m  m  4x  4x   g x            f x  12 x  m  Max x  Hệ thỏa mãn x  2;3    12  m  13 m  Max f x  13 x   x     Câu 23 Phương trình 2x 3  3x A 3x1  2x  log3  5x  có hai nghiệm x 1, x x1  x Hãy chọn phát biểu B 2x1  3x  log3 C 2x1  3x  log3 54 Hướng dẫn Chọn A Logarit hóa hai vế phương trình (theo số 2) ta        D 3x1  2x  log3 54   x  log2  x  5x  log2  x  1  x  log2     x   x  x     1  x  log2  x   log3 x  log3 18 log2 2x 3  log2 3x   5x   Câu 24 Phương trình 333x  333x  34x  34x  103 có tổng nghiệm Offline: Tầng 2, số 161 Xuân Đỉnh – Hà Nội Online: Toliha.vn 10 | P a g e THẦY CAO PHI – 0977214258 A B Hướng dẫn Chọn A fb: facebook.com/ThayPhiToan C D    1 333x  333x  34 x  34 x  103  27  33x  3x   81  3x  x   103     , t 2 3x Khi phương trình trở thành  Đặt t  3x     27 t  3t  81t  103  t  Với t  10 2 10 10  3x  x  3  Đặt y  3x , y   y  10 Khi y    3y  10y     y  y  Với y   x  1  x  1 Với y    Câu 25 Phương trình 32x  2x 3x   4.3x   có tất nghiệm không âm? A Hướng dẫn Chọn A B   C   D  32x  2x 3x   4.3x    3x  3x  2x    3x  2x   Phương trình có nghiệm x  (sử dụng phương pháp hàm số) Câu 26 Gọi x 1, x hai nghiệm phương trình 2x nghiệm A Hướng dẫn Chọn A 2x 4   22x 2  2x 3  Khi tổng hai  x 1 2 2 C 2 D   22x 2  2x 3   8.2x 1  22x 1  4.22x 1  4.2x 1   Đặt t  2x 4 B 2 x 1 2 2 1 2 2 2 t  2 , phương trình tương đương với 8t  t  4t  4t   t  6t    t   10 (vì t  ) Từ suy  x  log  10 2 2x 1   10    x   log  10  2 Vậy tổng hai nghiệm Offline: Tầng 2, số 161 Xuân Đỉnh – Hà Nội Online: Toliha.vn 11 | P a g e THẦY CAO PHI – 0977214258 fb: facebook.com/ThayPhiToan Câu 27 Với giá trị m phương trình m  16x  2m  4x  6m   có hai nghiệm     trái dấu A 4  m  1 C 1  m  B m   D 1  m   Hướng dẫn Chọn A Đặt t  4x  Phương trình cho trở thành       Yêu cầu toán   * có hai nghiệm t , t thỏa mãn  t f t  m  t  2m  t  6m   * m       m 1 f    m  6m             t2 m  1    m  3m  12   4  m  1  m  6m           Câu 28 Với giá trị m phương trình 4x  m.2x 1  2m  có hai nghiệm x 1, x thỏa mãn x1  x  B m  A m  Hướng dẫn Chọn A   Ta có 4x  m.2x 1  2m   2x C m  D m   2m.2x  2m    Phương trình cho trở thành phương trình bậc hai ẩn 2x có  '  m  2m  m  2m m  Phương trình có nghiệm  m  2m   m m     m   x x x x Áp dụng định lí Viet ta có 1.2  2m    2m Do x1  x    2m  m  Offline: Tầng 2, số 161 Xuân Đỉnh – Hà Nội Online: Toliha.vn 12 | P a g e ...  x  2m  Phương trình có ba nghiệm phân biệt xảy trường hợp sau + Phương trình (3) có nghiệm kép khác hai nghiệm phân biệt phương trình (4) , Thay vào (4) thỏa mãn + Phương trình (4) có nghiệm... tự ta có u  nghiệm phương trình Với u   t   x  2x   , phương trình có nghiệm phân biệt thỏa mãn x  0, x  Câu 12 (THPT Chuyên Thái Bình) Tìm tất giá trị m để phương trình sau có hai nghiệm... * Tập nghiệm T  17  B T   1;     loga 23x  23  log a x  15 nghiệm bất phương trình  bất phương trình *    D T  2;19 C T  2;8     2x  15  loga 23x  23  loga x  2x