bất phương trình mũ + logarit

Các phương pháp giải bất phương trình mũ và lôgarit – P1 Các phương pháp giải bất phương trình mũ và lôgarit Phần 1 Thầy giáo: Lưu Xuân Tình Cộng tác viên truongtructuyen.vn Các phương pháp giải bất phương trình mũ và lôgarit – P1 Nội dung I. Phương pháp biến đổi chuyển về cùng một cơ số sau đó lôgarit hoá hoặc mũ hoá II. Phương pháp biến đổi và đặt ẩn phụ III. Phương pháp đoán nghiệm và chứng minh tính đúng đắn của nghiệm đó Các phương pháp giải bất phương trình mũ và lôgarit – P1 Để giải bất phương trình mũ và lôgarit học sinh cần phải biết vận dụng thành thạo các phép biến đổi về hàm số mũ và hàm số lôgarit; nắm vững các tính chất đồng biến, nghịch biến của các hàm số đó. Ngoài ra còn phải biết cách biến đổi tương đương các dạng bất phương trình cơ bản, bất phương trình chứa căn thức… Các phương pháp giải bất phương trình mũ và lôgarit – P1 Tóm tắt lý thuyết 1. Xét bất phương trình mũ dạng a f(x) > b (a > 0) ta có kết luận: a) Nếu b ≤ 0 thì nghiệm của bất phương trình là ∀x ∈ D, với D là tập xác định của f(x). b) Nếu b > 0 thì bất phương trình tương đương với bất phương trình: - f(x) > log a b nếu a > 1 - f(x) < log a b nếu 0 < a < 1 2. Xét bất phương trình mũ dạng a f(x) < b (a > 0) ta có kết luận: a) Nếu b ≤ 0 thì bất phương trình vô nghiệm. b) Nếu b > 0 thì bất phương trình tương đương với bất phương trình - f(x) > log a b nếu 0 < a < 1 1. f(x) < log a b nếu a > 1 Các phương pháp giải bất phương trình mũ và lôgarit – P1 Tóm tắt lý thuyết (tt) 3. Xét bất phương trình lôgarit dạng: log a f(x) > log a g(x) (a > 0, a ≠ 1), khi đó a) Nếu a > 1 thì bất phương trình tương đương với hệ b) Nếu 0 < a < 1 thì bất phương trình tương đương với hệ Sau đây là các phương pháp giải bất phương trình mũ và lôgarit. g(x) 0 f(x) g(x) >   >  f(x) 0 f(x) g(x) >   <  Các phương pháp giải bất phương trình mũ và lôgarit – P1 I. Phương pháp biến đổi chuyển về cùng một cơ số sau đó lôgarit hoá hoặc mũ hoá Ví dụ 1: Giải các bất phương trình mũ sau: 2 x 1 x 3 x 4 x 2 x x 1 x 2 x x 1 x 2 x 3 x x 1 x 2 x x 1 a) 7.3 5 3 5 b) 2 .3 .5 12 c) 5 5 5 5 7 7 7 d) 2 3 + + + + − − + + + + + − + ≤ + > + + + > + + > Các phương pháp giải bất phương trình mũ và lôgarit – P1 I. Phương pháp biến đổi chuyển về cùng một cơ số sau đó lôgarit hoá hoặc mũ hoá (tt) Ví dụ 1 (tt) Bài giải a) Chia hai vế của bất phương trình cho 5 x > 0 ta được: b) Bất phương trình được viết về dạng: (2.3.5) x > 900 ⇔ 30 x > 900 ⇔ x > 2 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (2 ; + ∞) ( ] x x x x 3 3 3 5 5 5 21. 125 81. 25 x 1 5 5 5 3 3 3 V y t p nghi m c a b t ph ng trình l S ; 1 −         + ≤ + ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≤ −  ÷  ÷  ÷  ÷         = −∞ − Ë Ë Ö ñ Ê ¬ µ Các phương pháp giải bất phương trình mũ và lôgarit – P1 I. Phương pháp biến đổi chuyển về cùng một cơ số sau đó lôgarit hoá hoặc mũ hoá (tt) Ví dụ 1 (tt) c) Bất phương trình được biến đổi thành: ( ) ( ) x 2 3 x 2 x 4 7 3 5 7 5 5 1 5 5 5 7 1 7 7 7 5 1 7 1 156 156 . x log 5 5 1 7 1 57 57 156 V y t p nghi m c a b t ph ng trình l S ; log 57 + + + > + + − −   ⇔ < = ⇔ <  ÷ − −     = −∞  ÷   Ë Ë Ö ñ Ê ¬ µ Các phương pháp giải bất phương trình mũ và lôgarit – P1 I. Phương pháp biến đổi chuyển về cùng một cơ số sau đó lôgarit hoá hoặc mũ hoá (tt) Ví dụ 1 (tt) d) Lôgarit cơ số 2 cả hai vế của bất phương trình ta được: x 2 > (x – 1)log 2 3 ⇔ x 2 – xlog 2 3 + log 2 3 > 0 (*) Bất phương trình (*) có ∆ = (log 2 3) 2 – 4log 2 3 = log 2 3(log 2 3 – 4) < 0 (Vì log 2 3 > 0 và log 2 3 – 4 < 0) nên BPT (*) đúng với mọi giá trị của x. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ∀x ∈ R. Các phương pháp giải bất phương trình mũ và lôgarit – P1 I. Phương pháp biến đổi chuyển về cùng một cơ số sau đó lôgarit hoá hoặc mũ hoá (tt) Ví dụ 2: Giải các bất phương trình lôgarit sau: ( ) ( ) ( ) 2 5 1 4 2 1 1 1 1 7 7 4 4 2x 6 35 x 1 a) log 0 b) log 2x 1 x 2 2 c) log log 2 x d) log x 4 log x 2 x 1 − − > > − − > − + > + + [...]... t n ph (tt) Vớ d 7: Gii cỏc bt phng trỡnh + 4 x +1 10 + 1) lg + lg x lg3 3 a) 4 x 3.2 b) lg ( 9lg x x +x Cỏc phng phỏp gii bt phng trỡnh m v lụgarit P1 II Phng phỏp bin i v t n ph (tt) Vớ d 7 (tt) Bi gii a) Điều kiện x 0 Bất phương trỡnh được viết v ề dạng : 22x 3.2 x +x + 22 x +2 4.22 x + 3.2 x +x 22x 0 Chia hai v ế của bất phương trỡnh cho 2 2 4 + 3.2x x Đặt t = 2x 2 x ( 2 x x ) 02 ( 2... a) log3 4 x + 1 + log 4x +1 3 > ( b) 26 + 15 3 ( ) x ( ) 5 2 +2 7+4 3 ) x ( 2 2 3 ) x 0 v à log 4x +1 3 = ( ) 1 t Do đó bất phương trỡnh đã cho trở thành : t > 2 1 5 t + > 2t 2 5t + 2 > 0 1 t < t 2 2 Với t > 2 ta suy ra log3 ( 4 x + 1) > 2 4 x + 1 > 3 2 = 9... log3 4 x + 1 < 2 2 ( ) 4x + 1 < 3 4x < 3 1 x < log4 ( ) 3 1 Vậy tập nghiệm của bất phương trỡnh là : ( S = ; log4 ( )) 3 3 1 ; + ữ 2 Cỏc phng phỏp gii bt phng trỡnh m v lụgarit P1 II Phng phỏp bin i v t n ph (tt) Vớ d 6 (tt) ( b) Đặt 2 + 3 ) x ( = t > 0 thỡ 2 3 ( ) ( ) =t ( 26 + 15 3 ) = ( 2 + 3 ) = t 7+4 3 x 2x = 2+ 3 x ) x = 1 t 2 3x 3 Vậy bất phương trỡnh đã cho trở thành : t 3 + 2t 2 ... c s sau ú lụgarit hoỏ hoc m hoỏ (tt) Vớ d 5 (tt) Bi gii a) Xột tr ường hợp x+4 > 1 x > 2 2 Khi đó bất phương trỡnh đã cho tương đương với 0 < log2 2x 1 0 >1 1> 0 >0 x+3 x+3 x + 3 Kt hp vi iu kin x > 2 suy ra trong trng hp ny nghim ca bt phng trỡnh... < 1 hay t 4 + 2t 3 t 2 < 0 t ( ) ( t + 2 ) ( t 1) t 2 + t + 1 < 0 ( 1 ) 2 1 3 Do t 2 + t + 1 = t + ữ + > 0 nê n ( 1 ) tương đương v ới : 2 4 ( t + 2 ) ( t 1) < 0 2 < t < 1 Cỏc phng phỏp gii bt phng trỡnh m v lụgarit P1 II Phng phỏp bin i v t n ph (tt) Vớ d 6 (tt) b) (tt) Kết hợp v ới điều kiện t > 0 ta được 0 < t < 1 ( Từ đó suy ra 0 < 2 + 3 ) x < 1 hay x < 0 Vậy nghiệm của bất phương trỡnh... 2x + 3 > 1, khi đó bất phương trỡnh tương đương v ới hệ : , 2x + 3 > 1 x > 1 x 0 x 0 2 (1) 2 1 < x < 3 0 < x < 2x + 3 x 2x 3 < 0 Xột 0 < 2x + 3 < 1, khi đó bất phương trỡnh đã cho tương đương v ới hệ : x 2 > 2x + 3 0 < 2x + 3 < 1 ( *) Cỏc phng phỏp gii bt phng trỡnh m v lụgarit P1 I Phng phỏp bin i chuyn v cựng mt c s sau ú lụgarit hoỏ hoc m hoỏ (tt) Vớ d 4 (tt) x > 3 Với x 2 > 2x + 3... x < 35 x x + 2x 35 > 0 x > 5 7 < x < 0 b) M ũ hoá với cơ số a = ( ( ( ) ) ) ( ) ( Vậy tập nghiệm của bất phương trỡnh là S = 7 ; 35 5 ; 35 ) Cỏc phng phỏp gii bt phng trỡnh m v lụgarit P1 I Phng phỏp bin i chuyn v cựng mt c s sau ú lụgarit hoỏ hoc m hoỏ (tt) Vớ d 2 (tt) c) M ũ hoá cả hai vế của bất phương trỡnh theo cơ s ố 2 +x2 0 2 + x 2 + x 2x 2 x2... x2 x 1 x ( x 1) ( x + 1) < 0 0 < x 1 Vậy nghiệm của bất phương trỡnh đã cho là S = ( 0;1) 1 < 1 ta được : 7 Cỏc phng phỏp gii bt phng trỡnh m v lụgarit P1 I Phng phỏp bin i chuyn v cựng mt c s sau ú lụgarit hoỏ hoc m hoỏ (tt) Vớ d 2 (tt) d) M ũ hoá hai vế của bất phương trỡnh theo cơ số 1 ta được : 4 x2 x 2 > 0 x > 2 0< x+4< x +2 4 < x < 1 x... lg3 + lg x.lg3 lg ( 9lg x + 1) 1 lg3 ( lg x 1) 9lg x + 1 lg lg3 ( lg x 1) 10 M ũ hoá với cơ số 10 hai vế của bất phương trỡnh ta được : lg x 1) 9lg x + 1 lg x 1) lg3 ( ( 10 ) = 3( 10 32 lg x + 1 10.3( lg x 1) 3.32 lg x 10.3lg x + 3 0 Cỏc phng phỏp gii bt phng trỡnh m v lụgarit P1 II Phng phỏp bin i v t n ph (tt) Vớ d 7 (tt) b) (tt) éặt t = 3lg x thỡ t > 0 v à bất phương trỡnh tr ê n trở... 4 0 > 0 thỡ bất phương trỡnh tr ê n trở thành : t 2 3t 4 0 1 t 4 Do t > 0 nê n ta được: 0 < t 4 hay 2 x 2x x x 4 22 x x 2 x x 2 0 0 x 2 0 x 4 Vậy nghiệm của bất phương trỡnh đã cho là 0 x 4 Cỏc phng phỏp gii bt phng trỡnh m v lụgarit P1 II Phng phỏp bin i v t n ph (tt) Vớ d 7 (tt) b) éiều kiện x > 0 Bất phương trỡnh được viết v ề dạng : lg ( 9lg x + 1) 1 lg3 + lg x.lg3 . 3 + + + + − − + + + + + − + ≤ + > + + + > + + > Các phương pháp giải bất phương trình mũ và lôgarit – P1 I. Phương pháp biến đổi chuyển về cùng một cơ số sau đó lôgarit hoá hoặc mũ. tương đương các dạng bất phương trình cơ bản, bất phương trình chứa căn thức… Các phương pháp giải bất phương trình mũ và lôgarit – P1 Tóm tắt lý thuyết 1. Xét bất phương trình mũ dạng a f(x) >. 2. Xét bất phương trình mũ dạng a f(x) < b (a > 0) ta có kết luận: a) Nếu b ≤ 0 thì bất phương trình vô nghiệm. b) Nếu b > 0 thì bất phương trình tương đương với bất phương trình - f(x)