Bài tập vật lí lí thuyết tập 2, cơ học lượng tử vật lí thống kê

Cho một dao động tử điều hoà một chiều.a Xuất phát từ hệ thức bất định, xác định mức năng lượng thấp nhất có thê có của dao độnơ tử điều hoà.. b Tìm phân bố xác suất những giá trị khác n

■

4 Tìm bước s ó n g Đ ơ Brơi c h o cá c trường h ợ p sau :

a) Electron bay qua các hiệu điện thế IV, 100V, 1000V

b) E l e c t r o n b a y với vận tố c V = 108 c m /s

c) E l e c t r o n c h u y ể n đ ộ n g với n ă n g lượng 1 M e V

d) Q u ả cầu c ó khối lượng l g c h u y ể n đ ộ n g với v ậ n tốc

V = l m / s

5 D ù n g đ iề u kiện lượng tử hoá Bo (ỳpdq = nh (q là t o ạ độ

su y rộng tương ứng với x u n g lượng su y rộng p, n là s ố n g u y ê m n =

1, 2, 3 và h là h ằ n g số P lă n g ) ( P l a n c k ) để tìm :

a) Bán k ín h q u ỹ đ ạ o Bo th ứ n h ấ t và t h ứ hai c ủ a ê l e c t r ồ n Itrong

n g u y ê n tử hiđrô và c á c vận tốc củ a nó trên các q u ỹ đ ạ o đó.

b) Các m ứ c n ă n g lượng c ủ a e l e c t r o n tro n g n g u y ê n t ử h i đ r ồ xạ c

định g iá trị mức năng lượng c ủ a e l e c t r o n trên q u ỹ đ ạ o B o thứ n h ấ t

c) Bước s ó n g c ủ a v ạ c h q u a n g p h ổ khi ê l e c t r ô n t r o n g nguytên tử

h i đ r ồ c h u y ể n từ q u ỹ đ ạ o lư ợng tử th ứ tư (n = 4 ) về q u ỹ đ ạ o hượng

tử thứ hai (n = 2)

6 D ù n g đ iề u k iệ n lượng tử hóa Bo để tìm c á c m ức năng hượng

c ủ a da o đ ộ n g tử điều h o à m ộ t c h iể u với tần s ố 00.

a) Từ đ ié u kiện c h u ẩ n ho á hàm só n g x á c định A.

b) Xác định X đ ể c h o mật độ x á c suất tìm thấy hạt c ó trị lớn nhất.

c ) Tìm x á c suất để hạt n àm trong k h o ả n g từ - a đến + a trên trục X Cho b iế t :

9 Hàm s ó n g c ủ a e l e c t r o n trong n g u y ê n tử hiđrô ở trạng thái

1 1 C h ứ n g m inh rằng nếu c á c toán tử Ẵ và B là n hữn g toán

12 Chứng tỏ rằng nếu c á c toán tử A và B là n h ữ n g toáíni tử

e c m i t thì các toán tử ( A + B ) và ( A B + B A ) là n h ữ n g toáín tử

e c m it Với điều k iệ n nà o thì A B h o ặ c BA là toán tử e c m i t ?

13 Chứne; tỏ rằng c á c toán tử sau đây là e c m i t :

Tìm dạnc toán tử tịnh tiến Tà và biểu diễn nó qua toán tử xung lượng

ỡ x d y d z

1 7 T ì m t o á n t ử q u a y m ộ t 2ÓC ôcp rất b é q u a y h ư ớ n g n ơ v à biếu diẻn nó qua toán tử mômen xung lượng L = [r A p] Cho biết toán tử quay một g óc bé ỗ(p = n0ỗ(p được kí hiệu là R(ỗcp) và được

có bước sóng tương ứng với :

2 Ánh sáng có bước sóng X = 4 ,2.10 7m được chiếu trên mặt kiiĩìi loại kali Công thoát của electron từ mặt kim loại kali bằng

3,2 10 19J Xác định vận tốc cực đại của electron bay ra từ mặt kirm loại kali.

3 Tìm công thức để tính bước sóng Đ ơ Brơi (DeBroglie) cho hat tương đối tính.

a) Anh sáng trông ihấy có

c ) Êt - tÊ = itì vớ i Ê = ih — v à t là thời gian.

c) Gọi / là giá trị lớn nhất của m, chứng minh rang L = h 1(1 + 1).

2 5 Tim c á c trị r i ê n s của toán tử L2 tương ứn g với h àm r iê n g :

0 khi 0 < X < d

trong đó U ( x ) =

00 k h i X > d v à X < 0

Y ( 0 , cp) = A { c o s 0 + 2sin0coscp}, A = con st.

26 Từ điều kiện chuẩn h o á hàm s ó n g , x á c định hệ số ch u ẩn hoá N /m c ủ a hàm Y /m( 0 , cp) = N / mP/m( c o s 0 ) e irn(p ( Y /m( 9 , cpj llà hàm riêng củ a toán tử L? ).

2 7 Chứnơ tỏ rằn s trị trung bình củ a bình phương tcoán tử

e c m i t là k h ồ n e âm.

2 8 Trạng thái củ a hạt đư ợc m ô tả bởi h àm s ó n g

Tính c á c trị trung bình X , p x , À x 2 , Áp* và n g h i ệ n lại hệ thức bất định.

29 Hạt c h u y ể n đ ộ n e trong g i ế n s thế c h ữ nhật một chiiều c ó thành c a o vô hạn được m ô tả b ằn g hàm s ó n s đã ch u ẩn hoá :

trong đó a, k là những h ằ n g s ố và A =

2

b) Tính các trị trung bình X, ( x - x ) và đ ộ n g năng t r u i g )ình

10

30 Cho một dao động tử điều hoà một chiều.

a) Xuất phát từ hệ thức bất định, xác định mức năng lượng thấp nhất có thê có của dao độnơ tử điều hoà.

b ) Tính c á c trị t r u n g b ì n h X, X2 , X3 v à X4 c ủ a d a o đ ộ n g tử

đ i ế u h o à ở t r ạ n g t h á i c ơ b ả n ( t r ạ n e t h á i c ó m ứ c n ã n e l ư ợ n g t h ấ p nhất) V|/0 ( x )

c) Các hệ thức sau đây X7 = (x )2, X4 = (x2 ) 2 có đúng không ?

mô tả bằng hàm sóng :

trong đỏ a là bán kính quỹ đạo Bo thứ nhất.

a) Tính các trị trung bình 7 và r2 trong trạng thái cơ bản này.

b) Tìm phân bố xác suất những giá trị khác nhau của xung lượng của electron ở trạng thái cơ bản.

32 Chứng tỏ ràng nếu VỊ/ là hàm riêng của toán tử Lz thì các trị trung bình Lx và Ly tronc trạng thái này đều bằng không.

33 Rổtato phảng là mô hình của hạt chuyển động quay tronơ mặt phảng có mômen xung lượng Lz Tìm các giá trị có thể có cùa mồmen Lz , các xác suất của chúng và trị trung bình của mômen

Ị

ax

e a

a) C h ứ n g m i n h r ằ n g n ếu ta c ó ? '( t ) = S- 1(t)L S (t) với :o>ái tử

trong đó A ( x , y, z) là thế vẻctơ, (p(x, y, z) là thế vồ hướng của

trường đ i ệ n từ và m là k hối lượng c ủ a hạt.

a) Trường t h ế U ( z ) = az (a = c o n s t )

b) Trường b iế n thiên U ( z , t ) = a(t)z.

c ) Trường đ ối xứn g x u y ê n tâm U(r).

§3 P H Ư Ơ N G T R ÌN H S R Ô Đ IN G Ơ (S h rõ d in g er)

4 2 Tìm n g h i ệ m t ổ n g quát c ủ a p hư ơn g trình S r ó đ ir g ĩơ một

c h i ề u phụ th u ộc vào thời gia n đối với hạt tự do.

4 3 Chứng tỏ rằng hạt c h u y ể n đ ộ n g tự d o c ó p h ổ l â n g lư ợn g liê n tục.

4 6 H à m s ó n £ c ủ a hạt ở t r o n g g i ế n g t h ế v u ô n e £ÓC m ộ t c h i ề u

c ổ b ề r ộ n e d , c ó t h à n h c a o v ô h ạ n ớ t h ờ i đ i ế m b a n đ ầ u t = 0 c ó dạng Vị/(x, 0) = Ax(d - x) tron£ đó A = (30d 5 ) l / 2 là hệ s ố chuấn

b) Giải phươnc trình Srôđingơ tìm nàng lượng, nghiệm dừng

v à n g h i ệ m t ổ n c q u á t

c) T im c á c giá trị c ó thế c ó c ủ a hình c h iế u m ô m e n x u n g llượng trên trục O z và các xác suất c ủ a c h ú n g

dj Tính trị trung bình c ủ a hình c h i ế u m ô m e n x u n g l ư ợ n g trẻn

trục O z, trị trung bình c ủ a bình phương hình c h i ế u m ô m e n x u n g

lư ợ n g trên trục O z ở trạng thái dừng t ổng quát.

5 0 Hạt c ó k hối lượng in c h u y ể n đ ộ n g trong trường t h ế :

5 3 Hạt c ó khối lượng m, c ó n ăng lượng E > 0 c h u y ể n đ ộ n g từ

trái s a n e phải trone t r ư ờ n ơ t h ế c ó d ạng :

16

58 X á c đ ị n h c á c m ứ c n ă n g lượng và h à m s ó n g c ù a e l e c t r o n

c h u y ể n đ ộ n g trong từ trường đều c ó c ảm ứng từ B h ư ớng d ọ c t h e o

trụ c Oz

5 9 T ìm m ức n ăn g lượng và hàm s ó n g c ủ a d a o đ ộ n g tử lượng

tử m ộ t c h i ề u dưới tác d ụn g c ủ a điện trường k h ô n g đ ối 8 đặt d ọ c

t h e o p hư ơn g da o đ ộ n g Ox C h o biết k h ố i lư ợn g củ a hạt là m và

đ iệ n t í c h c ủ a nó là e.

6 0 Hai hạt c ó k hối lượng m J và m 2 với m Ị = m 2 = m c h u y ể n

đ ộ n g d ọ c theo trục O x và liên hệ với nhau bởi lực đàn hồi c ó hệ s ố đàn h ồi p N g o à i ra m ỗ i hạt liê n hệ với g ố c toạ đ ộ ( đ i ể m X = 0) bằng lực đàn h ồi với hệ s ố đàn hổi a X á c đ ịn h c á c m ức năng lượng và hàm s ó n g c ủ a hệ hai hạt.

6 1 T ìm m ức n ă n g lượng và hàm s ó n g c ủ a rôtato lư ợn g tử đối

64 Tim các mức nănơ lượng và các hàm sóng của hạt ờ trong

trường thế U(x) = - ^ — trong đó UQ và a là những hằne số.

V|/(r, 0 cp)*= R(r)Y(0, cp) a) Tìm phương trình vi phân xác định hàm bán kính R(r).

69 Electron trong nguyên tử hiđrô ở trạng thái dừng được mồ

tả bởi hàm sóng đối xứng cầu V|/(r) = A(1 + ar)eaỉ (A, a, a là những hằng số) Từ ph ư ơ n ơ trình Srôđingơ xác định các hằng số a,

a và tìm năng lượns của electron Xác định các s ố lượng tử tương ứng của trạng thái electron.

phản x ạ và D là hệ sô truyền qua).

5 6 T ì m h àm s ó n g đã c h u ẩ n hoá và n ăng lượng củ a d a o đ ộ n g

70 T im các hàm só n g c ủ a c á c trạ n g thái d ừ n g và c á c inức

n ã n g lư ợ n g c ủ a h ạ t tro ng g iế n g t h ế n ă n g đ ố i x ứ n g cầu có d ạ n g

U (r) = 0 khi r < a và U(r) = co khi r > a

82 V iết toán tử H a m i n t ơ n c ủ a d a o đ ộ n g tử đ iề u h o à m ột chiiều

trong biểu diễn x u n g lượng Tìm hàm riêng và trị riêng củ a nó

t r o n g b i ể u d i ễ n x u n g l ư ợ n g

83 T ìm h à m s ó n g c ủ a h ạ t trong x u n g lư ợng b iể u diễ n tro>ng

c á c trường h ợ p sau :

1) Đối với hạt ở các trạng thái trong toạ độ biểu diễn có dạng:

đúng bậc nhất của lí thuyết nhiễu loạn, xác định các mức năng lượng của dao động tử phi điều hoà.

9 6 T í n h đ ế n p h é p g ầ n đ ú n g b ậ c n h ấ t c ủ a l í t h u y ế t n h i ễ u l o ạ n

độ dịch chuyển mức năng lượng ở trạng thái cơ bản của nguyên tử hoặc iôn tương tự hiđrô do hạt nhân không phải là một điểm Coi hạt nhân như hình cầu có bán kính R có điện tích Ze phân bố đều theo tất cả thể tích.

97 Rồtato quay trong mặt phẳng xOy (quay xung quanh trục Oz) có mỏmen quán tính I và mômen lưỡng cực D Nghiên cứu ảnh hưởng của đtện trường đều cường độ E hướng dọc theo trục X

27

88 T ì m giá trị r i ê n g c ủ a tích vô h ư ớ n g Sị S2 c ủ a hai e l e c t r o n

khli spin c ủ a c h ú n g s o n g so ng và đối s o n g song

89 G ọ i L là to á n tử m ỏ m e n x u n g lư ợ n g , s là to á n tử s p i n c ủ a hạt; T o á n tử m ồ m e n toàn phần j = L + S với c á c to á n tử t h à n h

100 G ọi E ơ là n ă n g lư ợng t r ạ n g thái c ơ b ản của h ệ lươmg tử,

là n ăn g lư ợ n g c ủ a hạt C hứn e tỏ rằng hàm

i k r ' - r

1 0 6 Chứn g minh rằng khi r —>co thì hàm s ó n g phẳng e lkz c ó thể được viết dưới d ạ n g :

1 0 7 Chứn g tỏ rằng biên đ ộ tán x ạ f ( 0 ) c ó thể được viết dưới

b) Khi 0 = 0, chứng minh rằng ta có định lí quang học sau :

4n

ơ/ =

109 Xét sự tán xạ đàn tính của hệ hai hạt có khối lượng m Ị và

Gọi 0 O và 0 là góc tán xạ của hạt thứ nhất có khối lượng rrìị trong

hệ quy chiếu phòng thí nghiệm và hệ khối tâm tương ứng.

hạtt với thế năng có dạng sau :

- Jacobi trong cơ h ọ c cổ điển.

c) Trong gần đ ú n g bậc n h ấ t đối với tì c ủ a p h ư ơ n g trình

S r ồ đ in g ơ tìm h àm s ó n g c ủ a hạt ở trong trư ờ n g t h ế u = U (x ) khiX| ^ x < x 7 v à U = co khi X > Xọ và X < X ị G ầ n đ ú n g coi Iị/(x ị ) = Vj/(x2) = 0 tìm điều k iệ n lư ợng tử h oá c ủ a hạt

d) Tìm điều kiện áp dụng gần đ ú n g giả cổ điển

111 T r o n g gần đ ú n g B o o c n ơ tính tiết d i ệ n tán xạ đàn t í n h vi

p hân c ủ a hạt có điện tích ej tán x ạ lên đ i ệ n t í c h hạt n h â n Ze yà có

m ậ t độ đ á m m ây điệ n tí ch âm b a o q u a n h h ạ t n h â n là —ep( r ) T ín l\

1 N ă n g lượng, k hối lượng và x u n g l ư ợ n g c ủ a p h ỏ t ô n được ;xác định b ằ n g c á c c ô n g thức sau :

3 Theo thuyết tương đối, năng lượng toàn phần E của hạt biểu

c h o hạt tro n g trường hợp phi tư ơ n g đối tính

E0 = m0c2 = 9,1.1 Ó- 3 1 kg (3.1 o8 m /s) 2 = 8 ,1 9 1 0 ' ,4kg

s

= 8 , 1 9 1 0 ' 14J = 0,51 Me V a) Bởi vì T = e ư = 1000eV rất bé so với Eơ = 0,51 M eV nên bước sóng Đ ơ Brơi của electron trong câu a được xác định bằng công thức :

n ă n g T của electron rất bé so với năng lượng tĩnh Eơ = m ơc2 của

nó và bước sóng Đ ơ Brơi c ủ a electron được xác định bằng công thức :

bước sóng Đ ơ Brơi của electron tương đối tính :

tron g đó p = — = mcpr = const Ỡ L 2

(p ổ(ị) điểu kiện lượng tử hoá Bo :

= 9,1 1.10 3 1kg, 8 0 = 8,85.10 12đơn vị SI, e = 1,602.10 19c vào các

me

V , = 2,19.106m/s,r2 = 4 r l = 2,2 1 2 1 0 ‘V v2 = 1,09.108m/s.

đittợe Itính bằng công thức :

c) Bước só ng Xmn c ủ a vạch q u a n g phổ khi e le c tro n chu}ểm từ

N ă n e lượng c ủ a dao đ ộ n g tử điều h o à m ộ t c h iề u được x á c đ ị n h

4 = - Ỉ Ì A 2e

dx

Dể thấy rằng

= 0 - » X = 0a

X = 0 v à giảm rất nhanh khi Ixl > a.

c) Xác suất để hạt nằm trong khoàng từ - a đến +a trên tiụcc X

10 Đ ế chứng m i n h các hệ thức toán tử ở trên ta tác dựng các toán tử ở vế phải lên h à m V|/(x) :

B (c I V|y j + C9VỊ/9) = C| B lị/ị + Co B \ị/9

trong đ ó C j , Cọ là n h ữ n g s ố phức h o ặ c s ố t h ự c bất kì, Vị/Ị và \\J1 là

những hàm mà các toán tử A và B tác dụng lên chúng Cộng hai

p h ư ơ n g t r ì n h t rê n v ế theo v ế ta t ì m được :

- Cộng hai đẳng thức trên theo từng vế ta tìm được :

J\|/[(A + B)i|/2dV = ji|/2[(A + B)i|/j]*dV

Từ đây suy ra ( Â + B ) là toán tử ecmit.

>

|v|;*(A B 4- BA)vj/2dV = JV* ABv|/2dV + J\ị/* B A V|/2d V =

= J(B\|/ 2 )(Ầ\ị/ 1 )*dV+ J CẪV|/ 2 XBV|/1 )*dv =

= J(Ầvị/|) Biị/2dV + J(Bvị/| )*Âiị/2dV

= jv|/2(BẨ\ị/|)*dV + J\|/2(ÂÔM/|>*dV =

= Ji|/2[(BA + AB)\j/|fdV= J\|/2[(ẦB + BÂ)v|/jfdV

Vậy toán tử ( AB + B A ) là toán tử ecmit.

j\|/j ABiị/2dV = j(B\|/2)(Av|;1)*dV = J(Aiị/Ị)*Bi|/2dV =

Nếu BA = AB thì ta có :

JV*(AB)i|/2dV = Jvị/2[(ẦB)\Ị/1]*dV

nghĩa là AB là toán tử ecmit Vậy nếu các toán tử A, B là nhtững

toán tử ecmit và AB = BA thì toán tử A B là ecmit Từ đly tuy ra

nếu toán tử A là ecmit thì A n (n = 2, 3, 4 .) cũng là toán tửecniit.

Nếu V|/j(x) và Vị/2 ( x ) khi X = ±co b ằ n g k h ồ n g (vì mật đ ộ x á c suất ù m t h ấ y h ạt ở x a v ô c ù n g b ằ n g k h ô n g ) thì ta c ó :

là toán tử ecmit Các toán tử p x , P y , pz là các toán tử thành phần

xung lượng, toán tử P = íp x + jp y + k p z là toán tử xung lượng và

H là toán tử Hamintơn.

c) Các toán tử X, ỹ, Z, p x , P y , p z là những toán tử ecmi t Vì