Bài tập vật lí lí thuyết tập 2, cơ học lượng tử vật lí thống kê

N G U Y Ễ N HỮU MÌNH (chủ biên) TẠ D U Y LỢI - Đ Ỗ Đ Ì N H T H A N H - LÊ T R Ọ N G T Ư Ờ N G » Bài tập V Ậ T L í L í T H U Y Ế T Tập hai (Cơ học lượng tử - Vật lí thống kê) (Tái lần thứ ba) N H À X U Ấ T B Ả N G IÁ O D U C V IÊ T N A M -\V‘v ■ Tìm bước s ó n g Đ Brơi ch o trường hợp sau : a) Electron bay qua hiệu điện IV, 100V, 1000V b) E le c tr o n b ay với vận tốc V = 10 cm /s c) E le c tro n c h u y ể n đ ộ n g với n ă n g lượng M e V d) Quả cầu c ó khối lượng lg chuyển động với vận tốc V = lm /s D ùn g điều kiện lượng tử hoá Bo (ỳpdq = nh (q t o độ suy rộng tương ứng với x u n g lượng suy rộng p, n s ố ng uy êm n = 1, 2, h h ằ n g số P lă n g ) (P la n c k ) để tìm : a) Bán k ính q u ỹ đ o Bo th ứ n h ất th ứ hai c ủ a ê l e c t r n Itrong n g u y ê n tử hiđrô c c vận tốc q u ỹ đạo b) Các m ức n ă n g lượng c ủ a e le c tro n n g u y ê n tử h i đ r xạc định giá trị mức lượng electron quỹ đạo Bo thứ c) Bước s ó n g c ủ a vạch q u a n g p h ổ ê l e c tr ô n tr o n g nguytên tử h iđ rồ c h u y ể n từ q uỹ đạ o lượng tử thứ tư (n = 4) q u ỹ đ o hượng tử thứ hai (n = ) D ù n g điều kiện lượng tử hóa Bo để tìm c c mức hượng dao đ ộ n g tử điều hoà m ột ch iểu với tần s ố 00 Hàm s ó n g hạt g iế n g c h ié u c ó d n s : V|/n(x) = A s in / Ĩ17ĨX < X < d với n = 1, 2, 3, Xác định A từ điều kiện chuẩn hố hàm són£ Trạng thái hạt mơ tả bàng hàm s ó n g : *2 + ikx ■„ Vị/(x) = A e 2a2 A , a, k số a) Từ điéu kiện ch u ẩn hoá hàm sóng xác định A b) Xác định X để c h o mật độ xác suất tìm thấy hạt c ó trị lớn c ) Tìm x c suất để hạt nàm k h o ả n g từ - a đến + a trục X Cho biết : -GO Hàm s ó n g củ a electro n n g u y ê n tử hiđrô trạng thái c (trạng thái c ó mức lượng thấp nhất) c ó dạng : cp(r) = A e a a = , 10m bán kính quỹ đạo Bo thứ a) D ù n g điểu kiện ch u ẩ n hố hàm s ó n g xác định A b) Xác định r để c h o mật độ xác suất theo bán kính c ó giá trị lớn §2 T O Á N TỬ 10 Chứng minh : 1 C hứng minh toán tử Ẵ B toán tử tu yến tính tốn tử ( Ầ + B ) toán tử A B c ũ n g tốn tử tuyến tính 12 Chứng tỏ toán tử A B n hữn g tốíni tử ecm it tốn tử ( A + B ) ( A B + B A ) n hữn g tốín tử ecmit Với điều kiện A B BA tốn tử e c m i t ? 13 Chứne; tỏ toán tử sau e c m i t : X = X, ỳ = y, z = z, p x = a) õx , ổ A , õ Py = ~in Ĩ T ’ Pz = - ^ t : õy 2 OZ ^ Px + Pv + Pz b) H = — y + U (x,y,z) 2m (m khối lượng hạt, u t h ế hạt) /V ) Ỵ Lz A A A A /\ * A A = xpy - ypx , A /N A Ỵ A A L y = z p x- x p z , L x A A = y p z- z p y L2 = L2x + L y + L2z 14 C h ứ n e m i n h rằ n g A , B to án tử e c m i t XV yv /V A A /V -A [ A , B ] = A B - BA = i c c tốn tử ecmit 15 C h ứ n g m i n h rằnơ n ế u Ẫ, B n h ữ n g to n tử ecimit, f Ẩ , B ] = i C a s ố thực : J Ì ( a Ầ - i B ) i | / ( x ) | dx = J \|/* (x ) (a A + a C + B )\|/(x)dx 16 Toán tử tịnh tiến v ec tơ vô c ù n g bé ã k í hiệui Tã đ ịnh n g h ĩa n h sau : Tãi|/(r) = i ị / ( f + ã) Tìm dạnc tốn tử tịnh tiến Tà biểu diễn qua tốn tử xung lượng P= = -i /?v - \ h ỡx dy dz T ì m t o n t q u a y m ộ t ĨC ơcp b é q u a y h n g biếu diẻn qua tốn tử mơmen xung lượng L = [r A n p] Cho biết toán tử quay góc bé ỗ(p = n ỗ(p kí hiệu R(ỗcp) đ ịn h n e h ĩa sau : R(ftộ)ụ(?) = Vị/(r + ỗr) tr a n g r = [Sep A r ] 18 Toáĩ> tử A + gọi toán tử liên hiệp ecmit với toán tử Ẩ mếu : j\ị/(x)(A+cp(x)) dx = Jcp (x)Ai|/(x)dx Chứng minh : a ) T o n tử A t o n tử e c m i t n ế u A + = Â b) (A B )+ = B+ A + c ) JẨ,B]+ = [ B + , A Ĩ ] 19 Chứng minh ta có hẹ thức eiao hốn tốn tử sau : a) ỵ p x - PxY = ° ’ z Px - b ) x L x - Lxx = -i/?z, tro»n2 đ ) p x = - i n — õ ổx z Ly C' _ ^ Pxz = ° ’ — Lxz = ì hy , Lx = ypz - ^ zpy x Px - Pxx = Phần I I I Cơ HỌC LƯỢNG TỬ A - ĐE BAI §1 N H Ữ N G C SỞ V Ậ T LÍ CỦA c H Ọ C LƯ Ợ N G TỬ M Ẩ U N G U Y ÊN T Ử R O Z E P H O (R U TH E FO R D ) L Ị T H U Y Ế T 130 ( B O H R ) Xác định năns; lượng, khối lượng xung lượnơ phơtơn có bước sóng tương ứng với : a) Anh sáng trơng ihấy có X = 0,7 Ịim b) Bức xạ Rơnghen có X = ,25Ả c) Bức xạ gamma có X = , 16Ả Ánh sáng có bước sóng X = 4,2.10 7m chiếu mặt kiiĩìi loại kali Cơng electron từ mặt kim loại kali 3,2 10 19 J Xác định vận tốc cực đại electron bay từ mặt kirm loại kali Tìm cơng thức để tính bước sóng Đơ Brơi (DeBroglie) cho hat tương đối tính Đ ặt L+ = L x + i L y , L _ = L x - iLy chứng m in h ràng : â) u L-f L-t- —/? L-f b) LZL_ - L_LZ = - hL_ c) Q C C ) - ( C C ) C = o d) L2 = C C + L 2z + Í ' e) L^L2 - L L ^ = , L^L2 - L L^ = , Q l - L L^ = tron g đ ó L = L X + L y + Chứn-g m in h ta c ó c c hệ thức g ia o h o n sau : a) pxf ( x ) - f ( x ) p x = - \ h —~ ơx b) pA(x,y,z) - A(x,y,z)p = - ih d iv A õ đ ó p x p = -ifìV , f ( x ) hàm X ' A lả vcc: tơ ỡx phụ th u ộ c o X, y , z c) Êt - tÊ = i tì với Ê = ih — ỡt t thời gian 2 T ìm h m riên g trị riên g c c toán tử sau : X a) K = - i Va2 d 4- —— với a = st dx b) L x = - in — x ãp c) Px = - \ h — hàm r iên g p x V|/(x) thoả mãn điều dx k iện Vj/(x) = V|/(x + a) với a = c o n s t AE2 = k T ^ = (/ko)2 dT T hăng g iá n g tương đ ối c ó dạng AE2 ( h(ừ\ — = exp —— E2 U t J % N ếu biểu d iễn v ế phải qua E ta tìm AE2 /?G) E Khi nhiệt đ ộ ca o (kT » hcù ), kết n ày có dạng Ẽ =kT A E = (kT )2 Ta nhận xét tăng lượng trung b ình , thăng giáintg tương đ ối dẫn đến đơn vị không dẫn đến k h ơn g K í h iệu En năna lượng N dao đ ộ n e tử đ iều hồ, ta có En = N E AE^J = NAE AF.XI 370 AE2 í h(ừ^ K hi N lớn th ă n g e iá n g tương đối nhò í Đ iề u phù hợp với thực n g h iệ m : T h ă n g g iá n g tương đối c ủ a v ậ t th ể vĩ m ô nhỏ 127 Đ o th ă n g g iá n g , b ả n tụ điện x u ấ t h iện điện tích q / Khii đ ó n ă n g lư ợ n g c ủ a tụ điện E = 2C kT _ M ặ t k h c n ă n g lượng b ằ n g — T đ ó Ị^ Ạ j2 = CkT Ị^rp 28 T n g tự -— = — , tr o n g L hệ s ố tự c ả m c ủ a c u ộ n d â y , I c n g độ d ò n g điện Từ AI2 = — L 129 Khi k h u ế c h tán Ax = 2D t với D = kT 67ĩĩ|r T đ ó ta tính k h o ả n g c c h tru n g b ìn h c ủ a k h í k h u ế c h tán s a u tthời g ia n t A x = ^ 130 =, J ™ ]Ị 3nr\v Lực n g o i Fi = - V U lực m a sát F = y v cân b ằ n g với građliôn c ủ a p s u ấ t p n (-y V -V U ) = Vp, t r o n ‘g Y hệ s ố ma sát, n n n g độ hạt Braonơ Lấy d iv e c ủ a Ibiểu thức trê n , ý đ ế n p h ươ n g trìn h liên tục 371 ổn div(nv) + — ơt = 0, ph ươ n g trình tra n g thái c ủ a khí lí t ỡ n g p = n k T m ậ t độ x c s u ấ t tỉ lệ với mật đ ộ c c hạt k h ô n g t n g tác (W ~ n) ỡt ÍIv w Y Y kT Tỉ s ố —— hệ s ố m a sát D nên Y W ổt -W V U +D W Y 131 H n g trục X th e o phương trọng lực, ta c ó p h n g t r ì n h E - F - p m ột c h iề u : aw dt y ổx w au +D Ổ2W ổx Đ ầ u tiên n h â n p h n g trình với sau n h â n với (x - X Q) X - x ơ, tích p h ân theo) lại tích p h â n th e o X X, Ta (các h ê thức sau : ^ - ( x - x ) = D - - ( x - x 0) ^ dt Ỵ Ỡx au a Ỵ Ỡx “Í dt: (X~ X())= ổ u Bởi —— = - m g = const (m khối lương h at Braonơ), inên ỡx tích phân p h n g trình với đ iều k i ệ n ban đầu 372 t r o n g A = c o n st = c o n s t, th o ả m ãn v ế trái c ủ a p h n g trìnih B n x m a n M ặ t k h c h m p h ân b ố c â n b ằn g , ta c ũ n g có f ( r, V2>.f(r, V ị ) = f ( r , v ) f(r, V ị ) d o đ ó vế p hải c ủ a ph ươ n g trìn h B ô n x m a n c ũ n g tiến đ ến không 133 Khi vắng mặt trường n goài u ( r ) = Đ ối với cân b ằ n g , ỡt h m phân b ố k h ô n s phu thuôc tường m in h vào thời gian — = 0, ổt M ặt khác k hôn g c ó trường n g o i f k h ô n g phụ thuiộ'C to đ ộ nên đặt v ?f = T h n h th ta có p h n g trình f(v'i)f(vf2 ) = f(V|)f(v2) Lấy lơ g a rit c ủ a phương trình kết hợp với đ i ề u iiiệm va c h m đàn h i, ta có : /nf( vỊ ) + /nf( Vj + Vọ - Vị ) = /nf( V ị ) + /nf( v ) + V2 ( V + (V2)2 = ( ^ ) + G l ) T a dể d n g thấy r ằ n s hàm /nf( v ) = b ( v - v )2 + A t r o n g b, A v h àng số N h n g h i ệ m c ủ a p h n g trnh B ô n x m a n trư n g h ợ p n y f(v) = Beb(ụ-Ụ° } Đ ó phân b ố M a c x o e n T h ế u c ó d ạng U (z ) = m gz, Đối với khí lí tư n g , từ phươnơ trình đ ộ n g họ c B ô n x m a n ta d ễ d n g rút p h n g trình h m phân b ố theo c h iề u c a o z trom g trường f(z) * í « + Ị i f ( z ) = o: Õz kT T f(z) = Be mgz kT tro n g B = const, T a biết d N (z ) = n ( z ) d z = Nfdz, mgz , , _ n(z) = nGe kT 135 Khi vắn g m ặ t trườ ng n g o ài k h ô n s có va c h m , phương; trìmh B ô n x m a n có d n g — + v V ?f = at Ở thời điểm t = f(ro >Vo’0 ) — P o(^o)fo ( v ) ’ t r o m g đ ó P o(r0 ) m ậ t đ ộ h t t h i đ i ể m t = c ò n f 0( V ) l p h â n bố TMacxoen Bởi hạt chuyển độnơ theo quán tính nên thời điểm t, vị trí hạt ? = r0 + v t , từ : r0 = ? - v t f( ? ,v ,t) =ip0 ( r - vt)fơ (v) hiển 375 À (x -x 0) = ; (x - x ) ‘0=0 = 0, to=0 I t a t ì m đư ợ c ( x - x ) = Y f ( x - x Q) = 2Dt + mg V Y ^ J T ta c ó h ệ thức sau g iá trị tr u n g bình b ìn h i p í h n g d ịc h c h u y ể n [ ( x - x ) - ( x - x )] = 2Dt K hi v ắn g m ặ t trư n g n g o ài xơ = 0, ta c ó X2 = 2Dt 132 Khi c ó trư n g ngồi U ( r ) , p h n g trình B n x m a n c ó (chạng — + ỸVĩ*f - — V ĩ1U V ĩ*f = ẼL a m dí th T r o n g r r Jdv2 j 'd ĩ' Ã th - V f ( r , v ,t) f ( ? , v I, t ) - f ( ĩ , v ,t) f(r ,V p t ) (ở đ â y Vị , v2, Vị , v , vận tốc h ạt trước sau va c h m , (ơf(0, (p) tiết d i ệ n h i ệ u d ụ n g vi phân c ủ a tán xạ Dễ dàng kiểm n g h iệ m lại h m phân bố M acxoen - IB iônxơm an 373 nhiên f ( r , v , t ) th o ả m ãn ph ươ n g trình B n x m a n điều khệm b a n đầu Mật độ thời đ iể m t tìm th e o p h n g trình p ( r ,t) = j f ( r , v , t ) d v = j p (r - vt)f0 (v)dv r - IV dr„ T a thay vào c n g thức { _ —\ r-iu m \ / exp m ĩ-ĩr \2 20 coi p (r0 ) đối x ứ n g c ầ u , tích p h ân th e o (p r va r a T a có : 1/2 p(r, t) = ( — Po v 27T0Í y T r o n g m —T^ro - r) J(r) = Jí 76 2QV ro^ro m -* ■(r0 + r) 20t Po(ro)rld o T i ế p tục tính J(r) thay vào, ta có í— [e (p+ a ) p(r, t) = £ - _e (p a ) “ ] + e rf(p + a ) - e r f ( p - a ) tro m g 20t -X erf(x) = - = le dx í< Vn0 136 G iả sử tro n g hệ c ó g r a đ iê n n h iệ t đ ộ h n g th eo trục z T a c ũ m g g iả thiết r ằ n g b iế n đ m g tự / = th iê n nhiệt độ T (z) c h iề u dài q u ã n g V n h ỏ hơ n n h iều so với b ả n th â n n h iệ t độ T Bởi măng lượng tr u n g b ìn h u hàm c ủ a n h iệ t độ nên c ũ n g hàrni c ủ a toạ độ z n ê n ta viết u(z) D ò n g nhiệt q x c đ ịn h đ ộ n g n ă n g c h u y ể n q u a m ộ t đơni vị đ iện tích c ủ a m ặ t z = sau m ột n vị thời g ia n hệ s ố truy/ền n h iệ t X liên hệ với b n g hệ thức q = -X ỔT õz Ta n h ậ n x ét rằnơ m ỗi e le c tro n c h u y ể n đ ộ n g tự tro n g thời e ia m để đ n g iả n , ta c h ọ n m ặ t z = c u ố i q u ã n s đường tự d o c ủ a e le c tr o n , ta có: u(-lcos0) = u ( O ) - lc o s / ỡvN ổz z = (vì ịgrađiên n h iệ t đ ộ n h ỏ ) tro n g g ó c g iữ a n h ữ n g p h n g vận tốc c ủ a e l e c t r o n trục ZQ 37 Sau m ột đơn vị thời g ia n , s ố e le c tr o n c ó hướng ch u y ển đ ộrn g nằm giữ a + d đư ợc x c đ ịnh b àng đ ẳn g thức V dn = — n s in c o s d , n s ố tổn g cộ n g cá c electro n đơn vị thể tích IDo đ ó dòng tồn phần n ă n s lượng xác định tích phân õ u nr A • D 1A _ _ I |d u q = n v l—- co s s in d = - —n v l— 3z õz N ếu ý ỡu õu ỔT — = ta có õz ỠT ơz x = —C v /, du với c = —— n h iệt d u n g củ a m ột đơn vị thể tích khí electro n ỔT 137 Mật đ ộ d ò n g j x d ò n s lượng Q x tìm tlhieo c n g thức jx = “ e0 J v x fd §; Q x = Je fv xd g tron e díz q u ã n g cá c trạng thái lư ợ n s tử tính sa i :: (2 m ) 3/2 1/2, Q1n , dg = — —^— dssinGdGdcp h Thay b iểu thức củ a hàm phân b ố vào, ta có eE x + x dT du |LI dT T dx +- K ? T dx \ dT Qx = - 378 dT T dx T dx tromg đ ó ^ K ,= t a e ) / + ĩ Ể k tlt 3n2h3 0J de G iả sử j x = , ta tìm được: = x K |K - K jl HT dT T K,ị K hay dx ’ ơx dx _ ,, X _ k ,k - k ^ — — -— - = T K ị Đ ể đơn g iả n , ta g iả sử h ỗ n h ợ p k h í b a o g m hai loại p h â n 138 tử ccó k h ố i lượng mỊ m K í h i ệ u b n kính c ủ a c h ú n g aj a v/ận tốc Vị v Khi đ ó vận tốc k hối tâm V vận tốc tươm g đ ố i ũ : mjV| + m2v2 V = — — - u = v - V ị — m Ị + m2 Sau m ộ t n vị thời g ian t r o n g m ộ t đơn vị th ể tích xảy m ộ t s ố Vía c h m : fid v if2d v 27r(a] + a )2 Ịs in ( + đ ) - s i n o ị u