SKKN hướng dẫn học sinh phân tích, tìm lời giải cho một số dạng toán lập số thường gặp

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT NHƯ THANH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI HƯỚNG DẪN HỌC SINH PHÂN TÍCH, TÌM LỜI GIẢI CHO MỘT SỐ DẠNG TOÁN LẬP SỐ THƯỜNG GẶPNHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI, ÔN THI THPT QUỐC GIA CHO HỌC SINH TRƯỜNG THPT NHƯ THANH Người thực hiện: Lê Văn Trung Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực: Tốn THANH HỐ NĂM 2019 MỤC LỤC Nội dung Trang PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu PHẦN NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3.Các giải pháp thực Dạng 1:Từ chữ số tập hợp A lập số tự nhiên có k chữ số mà vài chữ số có điều kiện Dạng 2: Lập số tự nhiên có k chữ số mà bắt buộc có mặt chữ số α Dạng 3: Lập số tự nhiên có k chữ số mà bắt buộc hai chữ số a, b đứng cạnh nhau( hai chữ số a, b không đứng cạnh nhau) Dạng 4: Lập số tự nhiên có n chữ số mà chữ số a có mặt k lần Dạng 5: Lập số tự nhiên liên quan đến tổng chữ số Dạng 6: Lập số tự nhiên liên quan đến giả thiết so sánh số so sánh chữ số 2.4.Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị TÀI LIỆU THAM KHẢO 10 11 13 14 15 20 20 20 21 PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong giảng dạy phần đại số tổ hợp tốn " Tìm số số tự nhiên lập thỏa mãn điều kiện cho trước" (sau tơi gọi tắt tốn lập số) toán giúp học sinh tiếp cận với quy tắc đại số tổ hợp Từ đó, giúp em liên hệ tốn lập số để giải toán tổ hợp phức tạp Tuy nhiên, giải toán lập số học sinh cảm thấy lúng túng, nhầm lẫn cách chọn chữ số thường phải giải nhiều lần trùng đáp án Với cách làm việc tiếp cận với hình thức thi trắc nghiệm mơn tốn kì thi THPTQG khơng đạt hiệu cao Bởi lẽ, em khơng có đủ thời gian để giải toán nhiều lần chọn phương án Từ Bộ giáo dục cơng bố thi trắc nghiệm mơn tốn kì thi THPTQG nhiều học sinh tìm kiếm kĩ sử dụng MTCT với hi vọng giải phần nhiều nội dung đề thi Song thực tế cho thấy, học sinh có khả làm tự luận tốt có đủ tư để sử dụng MTCT kiểm tra, dò tìm phương án thi trắc nghiệm Và học sinh làm tự luận tốt, nắm kiến thức có khả đạt điểm cao mơn tốn MTCT hỗ trợ em tốc độ làm giải số tốn mức điểm trung bình Thực tế đề thi Bộ giáo dục cho thấy, đề bám sát chương trình song hạn chế đến mức tối đa việc sử dung MTCT để chọn trực tiếp phương án Rất nhiều phần kiến thức học sinh phải sử dụng kiến thức biến đổi toán vài bước sử dụng MTCT để đưa kết Phần "đại số tổ hợp" phần kiến thức Với thời lượng phân phối chương trình tiết cho hai bài: Quy tắc đếm, Hốn vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp giáo viên đủ thời gian giúp học sinh tiếp cận với lí thuyết, chưa dành nhiều thời gian để luyện tập quy tắc, khơng thể có thời gian trình bày cách tường minh tốn lập số Vì vậy, học sinh gặp nhiều khó khăn giải toán Bài toán lập số toán thường xuất đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh thi THPT quốc gia Do đó, nhu cầu học học sinh phần cao Song tài liệu tham khảo viết chủ đề lại nêu ví dụ lời giải cho tập cụ thể, chưa phân dạng toán, chưa phân tích giúp học sinh tìm lời giải cho tốn Từ lí với kinh nghiệm giảng dạy thân năm qua, định chọn đề tài :" Hướng dẫn học sinh phân tích, tìm lời giải cho số dạng toán lập số thường gặp"- chương II- Đại số giải tích 11 Qua chun đề này, tơi khơng có tham vọng phân tích tường minh cách giải toán đại số tổ hợp mà giúp học sinh phân tích tìm lời giải cho số dạng tốn lập số Tơi tin rằng, qua chuyên đề em học sinh nắm vững kiến thức Đại số tổ hợp, học cách phân tích để tìm lời giải cho toán lập số, áp dụng cách suy luận vào việc giải tốn tổ hợp khác Từ đó, giúp em nâng cao khả tự học 1.2 Mục đích nghiên cứu Từ thực tế giảng dạy, nghiên cứu đề tài nhằm:  Giúp học sinh biết cách giải số dạng toán lập số thường gặp chương trình tốn THPT  Giúp học sinh hiểu cách phân tích để tìm lời giải cho số toán lập số  Nâng cao hiệu công tác giảng dạy 1.3 Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu cách giải toán lập số thường gặp chương trình Đại số giải tích 11và chương trình tốn học phổ thơng Từ đó, tơi tổng kết thành số dạng tốn thường gặp lập số 1.4 Phương pháp nghiên cứu  Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lí thuyết  Phương pháp điều tra khảo sát thực tế PHẦN NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1.Quy tắc cộng Giả sử cơng việc thực theo k phương án A 1, A2, , Ak Có n1 cách thực phương án A1 Có n2 cách thực phương án A2 Có nk cách thực phương án Ak Trong đó, cách thực phương án A i không trùng với cách thực phương án Aj Khi đó, cơng việc hồn thành n + n2 + + nk cách 2.1.2.Quy tắc nhân Một cơng việc hồn thành hai hành động liên tiếp Có m cách thực hành động thứ Ứng với cách có n cách thực hành động thứ Khi đó, cơng việc hồn thành m.n cách Chú ý:Quy tắc nhân mở rộng cho nhiều hành động liên tiếp 2.1.3.Hoán vị Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n �1) Mỗi cách xếp n phần tử A theo thứ tự ta hoán vị A Số hoán vị n phần tử P n = n! = n (n-1)(n-2) 2.1 Nhận xét: Hai hoán vị n phần tử khác thứ tự xếp 2.1.4.Chỉnh hợp Cho tập hợp A gồm n phần tử số nguyên k (1 �k �n) Khi lấy k phần tử khác A xếp chúng theo thứ tự, ta chỉnh hợp chập k n phần tử A( gọi tắt chỉnh hợp chập k A) Số chỉnh hợp chập k A A nk  n(n  1) (n  k  1)  n! (*) (n  k)! Chú ý: Quy ước 0! =1 cơng thức(*) với số ngun k thỏa mãn �k �n 2.1.5 Tổ hợp Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n �1) Mỗi tập gồm k phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử cho k n! Z, k n ) Số tổ hợp chập k n phần tử Cn   A n ( k, nΣ� k!(n  k)! k! k 2.1.6 Nhận dạng quy tắc giải toán Hoán vị : Mỗi hoán vị thứ tự hết cho n phần tử tập hợp A  Chỉnh hợp : Mỗi chỉnh hợp thứ tự cho k phần tử tập  tập hợp A � Pn  A nn Tổ hợp: Không yêu cầu thứ tự, tức thay đổi thứ tự phần tử  tổ hợp khơng tạo thành tổ hợp Chú ý: Kí hiệu số phần tử tập hợp A, B n(A), n(B) - Nếu A �B  �thì n(A �B) = n(A) + n(B) B - Nếu A ǹ� n(A �B) = n(A) + n(B) - n(A �B) 2.2.Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Kết khảo sát thực tế chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm lớp 11A1 trường THPT Như Thanh II năm học 2017- 2018 cho thấy: 29% học sinh áp dụng quy tắc đếm toán lập số mức độ nhận biết 51 % áp dụng quy tắc đếm tốn lập số mức độ thơng hiểu Chỉ khoảng 19% học sinh nhận dạng quy tắc để giải toán mức độ vận dụng điểm kiểm tra Nguyên nhân :  Quan sát nhóm học sinh giải tập kết kiểm tra cho thấy : - Học sinh không nhận dạng quy tắc đếm, quy tắc hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp - Học sinh chưa hiểu cách phân chia trường hợp toán phải xét nhiều trường hợp - Học sinh chưa phân biệt phương án trùng lấy hợp trường hợp có phương án trùng Thời gian phân phối giảng dạy cho phần tiết Với thời lượng đó, sách giáo khoa trình bày lý thuyết lời giải số ví dụ đơn giản nhất, giáo viên chưa đủ thời gian để lí giải cặn kẽ quy tắc áp dụng toán cụ thể nên hiệu việc vận dụng không cao Từ thực trạng trên, giảng dạy phần thực hiện: - Phân chia toán lập số thành số dạng thường gặp - Trong dạng tơi nêu cách giải, phân tích cặn kẽ ví dụ điển hình từ dễ đến khó để học sinh dễ tiếp cận quy tắc, hiểu chất toán - Cuối phần tập tự luyện Các tập sáng kiến kinh nghiệm lấy từ đề thi học sinh giỏi, sách tham khảo tác giả tự biên soạn  2.3.Các giải pháp thực Cụ thể, phân chia toán lập số thành số dạng thường gặp sau Dạng 1: Từ chữ số tập hợp A lập số tự nhiên có k chữ số mà vài chữ số có điều kiện Khi gặp dạng toán học sinh phải phân tích trả lời câu hỏi sau Câu hỏi Trả lời * Số cần lập có chữ số? * Nếu số tự nhiên có k chữ số, số có dạng a1a2 ak ( a1 �0 ) chưa có câu trả lời phải xét trường hợp thỏa mãn toán * Các chữ số tập A có chữ * Nếu có a1 �0 số khơng? * Các chữ số có u cầu khác * Nếu có khơng chọn lặp khơng? *Những chữ số có điều kiện? * Nếu có nhiều chữ số có điều kiện chữ số có nhiều điều kiện ưu tiên chọn trước ( Có thể phải chia nhiều trường hợp) Sau trả lời đủ câu hỏi trên, học sinh giải toán theo bước Bước 1: Gọi số cần lập có dạng a1a2 ak ( Nêu điều kiện chữ số)  Bước 2: Tiến hành chọn chữ số  Bước : Kết tốn tính quy tắc nhân  Ví dụ 1: Từ chữ số 0,1,2,3 lập số tự nhiên mà số lập có chữ số khác * Phân tích Câu hỏi Trả lời * Số cần lập có chữ số? *Chưa xác định nên phải xét trường hợp xảy * Các chữ số tập A có chữ *Có nên chữ số đứng đầu a �0 số khơng? * Các chữ số có u cầu khác * Có nên khơng chọn lặp khơng? *Những chữ số có điều kiện? * Chữ số đứng đầu a Lưu ý: Từ ta quy ước với số cần lập có từ hai chữ số trở lên chữ số đứng đầu chữ số hàng cao số tự nhiên Bài giải - Trường hợp 1: Số lập có chữ số, có số 0,1,2,3 - Trường hợp 2: Số lập có hai chữ số dạng ab ( a �0, a �b) Có cách chọn a, cách chọn b Trường hợp có 3.3 = (số) - Trường hợp 3: Số lập có ba chữ số dạng abc ( a �0, a, b, c khác ) Có cách chọn a, cách chọn b, cách chọn c Trường hợp có 3.3.2 = 18 (số) - Trường hợp 4: Số lập có bốn chữ số dạng abcd ( a �0, a, b, c, d đơi khác nhau) Có cách chọn a, cách chọn b, cách chọn c, cách chọn d Trường hợp có 3.3.2.1 = 18 (số) Vậy số số thỏa mãn toán +9 + 18 + 18 = 49 ( số) Ví dụ 2: Từ chữ số tập hợp A   0;1;2;3;4;5;6 , lập số tự nhiên lẻ gồm chữ số đôi khác * Phân tích Câu hỏi Trả lời * Số cần lập có chữ số? *Có chữ số dạng a1a2 a5 * Các chữ số tập A có chữ *Có nên a1 �0 số khơng? * Các chữ số có yêu cầu khác * Có nên không chọn lặp không? * a1, a5 có điều kiện *Những chữ số có điều kiện? - Nếu chọn a1 trước: a1 lẻ a5 có cách chọn, a1 chẵn a5 có cách chọn Như tốn phải chia trường hợp Bài giải A   0;1; 2;3; 4; 5; 6 - Nếu chọn a5 trước a1 ln có cách chọn nên khơng phải chia trường hợp Gọi số cần lập có dạng a1a2a3a4a5 ( a1 �0 , a5 lẻ, �aj)  a5 có cách chọn a5 �  1;3; 5  a1 có cách chọn a1 �A\  0; a5  Có A 35 cách chọn số a2a3a4 Vậy tất có A 35 = 900( số) Ví dụ 3: Từ chữ số tập hợp A   0;1;2;3; 4; 5 , lập số tự nhiên chẵn gồm chữ số đôi khác * Phân tích Câu hỏi Trả lời * Số cần lập có chữ số? *Có chữ số dạng a1a2 a5 * Các chữ số tập A có chữ *Có nên a1 �0 số khơng? * Các chữ số có u cầu khác * Có nên khơng chọn lặp khơng? *Những chữ số có điều kiện? * a1, a5 có điều kiện a1 �0 , a5 chẵn - Nếu chọn a1 trước: a1 lẻ a5 có cách chọn, a1 chẵn a5 có cách chọn Do đó, tốn phải chia trường hợp - Nếu chọn a5 trước: a5 = a1 có cách chọn, a5 �0 a1 có cách chọn Tức tốn việc chọn chữ số a1 hay a5 trước phải xét trường hợp Bài giải Gọi số cần lập có dạng a1a2a3a4a5 ( a1 �0 , a5 chẵn, �aj) - Trường hợp 1: a5 = a5 có cách chọn  a1 có cách chọn a1 �A\  0  Có A 34 cách chọn số a2a3a4 Trường hợp có A 34 = 120( số) -Trường hợp 2: a5 �0 Có cách chọn a5: a5 �  2, 4  Có cách chọn a1  Có A 34 cách chọn số a2a3a4  Trường hợp có A 34 = 192( số)  Vậy số số thỏa mãn toán 120 + 192 = 312(số) Ví dụ 4: Có số tự nhiên có chữ số chữ số cách chữ số đứng giống nhau[2] * Phân tích Câu hỏi Trả lời * Số cần lập có chữ số? *Có chữ số dạng a1a2a3a4a5 * Các chữ số tập A có chữ *Có nên a1 �0 số khơng? * Các chữ số có u cầu khác * Khơng nên chọn lặp không? a �0 *Những chữ số có điều kiện? * ; a2 = a4; a1=a5 nên số cần lập có dạng a1a2a3a2a1 Bài giải Đặt A   0;1; 2;3; 4; 5; 6; 7;8; 9 Vì số cần lập có chữ số chữ số cách chữ số đứng giống nên số có dạng a1a2a3a2a1 ( a1 �0 ; �A) Có cách chọn a1, a1 �A\  0 Có 10 cách chọn a2, a2 �A  Có 10 cách chọn a3 , a3 �A  Vậy số số thỏa mãn toán 10.10 = 900( số) Bài tập tự luyện Bài 1: Từ chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; lập số tự nhiên có a) Có chữ số đơi khác b) Có chữ số đơi khác chia hết cho Bài 2: Có biển số xe biển số gồm chữ số chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; Dạng 2: Lập số tự nhiên có k chữ số mà bắt buộc có mặt chữ số α Phương pháp: Số cần lập có dạng a1a2 ak * Nếu chữ số cho khơng có chữ số 0, để lập số thỏa mãn toán ta thực bước liên tiếp:  Bước 1: Có k vị trí đặt chữ số α  Bước 2: Chọn chữ số cho k-1 vị trí lại số cần lập  Bước 3: Kết toán kết bước nhân kết bước * Nếu chữ số cho có chữ số 0, ta xét hai trường hợp xảy Trường hợp (chỉ xét α �0) : a1 = α Có cách chọn a1  Chọn k-1 chữ số lại  � Kết trường hợp Trường hợp 2: a1 �ao Chọn chữ số a1  Có k-1 vị trí đặt chữ số a0    Chọn k-2 chữ số lại � Kết trường hợp Kết toán = Kết trường hợp + kết trường hợp Ví dụ 1: Với chữ số 1; 2; 3; 4; 5; ta lập số mà số có chữ số đơi khác Hỏi: a) Có số phải có mặt chữ số b) Có số phải có mặt chữ số Bài giải Đặt A   1; 2;3; 4;5;6 Số cần lập có dạng a1a2a3a4a5 ( �A, �aj ) a)  Có vị trí đặt chữ số  Có A 54 cách chọn thứ tự chữ số lại Vậy số số thỏa mãn toán A 54 = 600(số) b)  Có A 25 cách chọn vị trí để đăt hai chữ số  Có A 34 cách chọn chữ số lại Vậy số số thỏa mãn tốn A 25 A 34 = 480(số) Ví dụ 2: Có số chẵn có chữ số khác bắt buộc có mặt chữ số * Phân tích Câu hỏi Trả lời * Số cần lập có chữ số? *Có chữ số dạng a1a2a3a4 * Các chữ số tập A có chữ *Có nên a1 �0 số khơng? * Các chữ số có yêu cầu khác * Có nên không chọn lặp không? *Những chữ số có điều kiện? * a1 ; a4 chữ số Bài giải Đặt A   0;1; 2;3; 4; 5; 6; 7;8; 9 Gọi số cần tìm có dạng a1a2a3a4 ( a1 �0 , a4 chẵn) Trường hợp 1: a4 = Có cách chọn a4   Có cách chọn vị trí để đặt chữ số  Có A 82 cách chọn hai số lại Trường hợp có A 82 = 168(số) Trường hợp 2: a4 �0 ; a1 = Có cách chọn a4   Có cách chọn a1  Có A 82 cách chọn hai số lại Trường hợp có A 82 = 224(số) Trường hợp 3: a4 �0 ; a1 � 1Có cách chọn a4 Có cách chọn vị trí để đặt chữ số  Có cách chọn a1  Có cách chọn chữ số lại  Trường hợp có 4.2.7.7 = 392 (số) Vậy số số thỏa mãn toán 168 + 224 + 392 = 784 ( số ) Nhận xét: Để giải dạng ta tiếp tục hệ thống phân tích tìm lời giải dạng phải xử lí thêm tính chất đặc trưng dạng " bắt buộc có mặt chữ số α " số cần lập Bài tập tự luyện Bài 1: Cho chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; Hỏi lập số gồm chữ số khác thiết phải có mặt chữ số Bài 2: Từ chữ số 2; 3; lập số tự nhiên gồm chữ số, có mặt đủ chữ số Dạng 3: Lập số tự nhiên có k chữ số mà bắt buộc hai chữ số a, b đứng cạnh nhau( hai chữ số a, b không đứng cạnh nhau) Phương Pháp: Bước 1:  Xem hai chữ số a, b đứng cạnh chữ số đặc biệt X  Bài toán trở thành lập số tự nhiên có k-1 chữ số bắt buộc có mặt chữ số X ( trở toán dạng 2) Bước 2:  Số hoán vị hai chữ số a, b 2! Do đó, kết tốn (Kq bước 1) x 2! Chú ý: Đối với toán: Lập số tự nhiên có k chữ số mà bắt buộc hai chữ số a, b không đứng cạnh nhau, ta giải theo phương pháp tìm phần bù  Gọi A tập hợp số tự nhiên có k chữ số B tập hợp số tự nhiên có k chữ số bắt buộc hai chữ số a,b đứng cạnh  Kết tốn n(A) - n(B) Ví dụ 1: Cho chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 7; Hỏi lập số có chữ số đôi khác mà a) Hai chữ số chẵn đứng cạnh b) Hai chữ số chẵn không đứng cạnh Bài giải A   1; 2;3; 4; 5; 7; 9 a)  Xem hai chữ số 2;4 đứng cạnh tạo thành chữ số đặc biệt X 10 Khi từ chữ số 1; X; 3; 5; 7; ta tìm số số có chữ số khác dạng a1a2a3a4a5a6 bắt buộc có mặt chữ số X Tất có 6! (số)  Mặt khác hai chữ số X có 2! hốn vị Vậy số số thỏa mãn toán 6!.2!= 1440 (số) b)  Số số có chữ số khác lập từ tập hợp A 7! (số)  Vậy số số có chữ số khác lập từ tập A mà hai chữ số chẵn không đứng cạnh 7! - 1440 = 3600 (số) Chú ý : Dạng mở rộng cho trường hợp yêu cầu nhiều chữ số đứng cạnh Nhận xét: Thực chất dạng kết hợp dạng dạng Bài tập tự luyện Bài 1: Có số tự nhiên có chữ số khác mà hai chữ số 1;2 đứng cạnh hai chữ số 3;4 đứng cạnh Bài 2: Từ chữ số 0; 1; 2; 3; 4; lập số tự nhiên có chữ số khác hai chữ số 1và không đứng cạnh Dạng 4: Lập số tự nhiên có n chữ số mà chữ số a có mặt k lần ( k < n ) Phương pháp:  Bước 1: Chọn k vị trí n vị trí để đặt k chữ số a, có Cnk cách chọn ( lưu ý trường hợp có chữ số 0)  Bước 2: Chọn chữ số lại  Bước 3: Kết toán (Kết bước 1) nhân (Kết bước 2) Ví dụ 1: Cho tập hợp A   0;1;2;3; 4;5 Hỏi lập số tự nhiên có chữ số, chữ số có mặt ba lần chữ số lại có mặt lần Bài giải Đặt A   0;1; 2;3; 4; 5 Số cần lập có dạng a1a2a3a4a5a6a7a8 (a1 �0) Trường hợp 1: a1 = Có cách chọn a1  Có C27 cách chọn vị trí cho chữ số lại  Có 5! cách chọn thứ tự cho chữ số vị trí lại  Trường hợp có C27 5! = 2520 (số) Trường hợp 2: a1 �1 Có cách chọn a1 : a1 � 2;3; 4; 5  Có C37 cách chọn vị trí cho chữ số vị trí lại  Có 4! cách chọn thứ tự cho chữ số vào vị trí lại  Trường hợp có C37 4! = 3360(số) Vậy số số thỏa mãn toán 2520 + 3360 = 5880(số) 11 Bình luận 1: Bài tốn giải nhiều cách, sau cách giải tương đối ngắn gọn Bài toán thực chất lập số tự nhiên có chữ số dạng a1a2a3a4a5a6a7a8 (a1 �0) có mặt tất chữ số 0, 1, 1, 1, 2, 3, 4, ; ; ; 2;3; 4; 5 Có cách chọn a1: a1 � 111 Có 7! cách chọn thứ tự cho chữ số 1, 1, 1, 2, 3, 4, Tất có 7.7! ( số ) Nhưng thứ tự cho chữ số giống ta khơng thu số Do đó, số số lập 7.7!  5880(số) 3! Bình luận 2: Học sinh thường nhầm lẫn quy tắc tổ hợp chỉnh hợp cho hai tình huống: Tình 1: Chọn k vị trí n vị trí để đặt k chữ số a giống Cnk ( Dạng ) thay đổi thứ tự k chữ số ta không thu số Tình 2: Chọn k vị trí n vị trí để đặt k chữ số khác vào số cần lập A nk ( Ví dụ 1b-Dạng ) thay đổi thứ tự k chữ số khác ta thu số Ví dụ 2: Có số tự nhiên có chữ số, biết chữ số có mặt hai lần, chữ số có mặt lần chữ số lại có mặt khơng lần.[6] Bài giải A   0;1; 2;3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 Số cần lập có dạng a1a2a3a4a5a6a7 (a1 �0) Trường hợp 1: a1 = Có cách chọn a1  Có cách chọn vị trí để đặt chữ số lại  Có C35 cách chọn vị trí để đặt chữ số  Có A 82 cách chọn hai chữ số lại  Trường hợp có 1.6 C35 A 82 = 3360 ( số) Trường hợp :a1 = Có cách chọn a1  Có C26 cách chọn vị trí để đặt chữ số lại  Có C24 cách chọn vị trí để đặt chữ số  Có A 82 cách chọn hai chữ số lại  Trường hợp có C26 C24 A 82 = 5040( số) Trường hợp 3: a1 �2, a1 �3 có cách chọn a1  Có C26 cách chọn vị trí để đặt chữ số  12 Có C34 cách chọn vị trí để đặt chữ số Có cách chọn chữ số lại  Trường hợp có C26 C34 7= 2940( số) Vậy số số thỏa mãn toán 3360 + 5040 + 2940 = 11340 (số) Bài tập tự luyện Bài 1: Từ chữ số 1; 2; lập số có chữ số mà chữ số có mặt lần Bài 2: Có số tự nhiên có chữ số, chữ số chẵn có mặt lần Dạng 5: Lập số tự nhiên liên quan đến tổng chữ số  Bước 1: Tính số số có tổng thỏa mãn u cầu tốn  Bước 2: Từ ta tìm số số tự nhiên thỏa mãn tốn (Chú ý phân biệt có chữ số khơng có chữ số 0)  Bước 3: Tính kết tốn = (Kết bước 1) x (kết bước 2) Ví dụ 1: Từ chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; lập số có chữ số khác số chia hết cho 9.[6] Bài giải  A   0;1; 2;3; 4;5;6 Số cần lập có dạng a1a2a3 (a1 �0) Vì a1a2a3 M9 nên (a1 + a2 + a3 ) M9 Các số gồm chữ số khác tập hợp A có tổng chia hết cho A   0;3; 6 , B   0; 4; 5 , C   1; 2; 6 , D   1;3; 5 , E   2;3; 4 * Từ có chữ số ( tập A B)  Có cách chọn a1  Có 2! cách chọn hai số a2a3  Tất có 2.2! = (số) thỏa mãn toán * Từ khơng có chữ số (tập C, D, E) lập 3! = (số) thỏa mãn toán Vậy số số thỏa mãn toán 2.4 + 3.6 =26( số) Ví dụ 2: Từ chữ số tập hợp A   0;1; 2;3; 4; 5 lập số tự nhiên lẻ, số có chữ số khác tổng ba chữ số đầu lớn tổng ba chữ số cuối đơn vị.[4] Bài giải Số cần lập có dạng a1a2a3a4a5a6 (a1 �0, a6 lẻ, �aj, �A) Theo a1 +a2 +a3 = a4 +a5 +a6 + lại có a1 +a2 +a3 + a4 +a5 +a6 = +1+2+3+4+5 = 15 nên a1 +a2 +a3 = a4 +a5 +a6 = Có ba trường hợp thỏa mãn toán Trường hợp 1: a1 ,a2 ,a3 � 1;3; 4 ,và a4 ,a5 ,a6 �  0; 2; 5  Có 3! cách chọn số a1a2a3 13  Có cách chọn a6  Có 2! cách chọn số a4a5 Trường hợp có 3! 2! = 12(số) Trường hợp 2: a1 ,a2 ,a3 � 0;3; 5 ,và a4 ,a5 ,a6 �  1; 2; 4 Có cách chọn a1  Có 2! cách chọn số a2a3  Có cách chọn a6  Có 2! cách chọn số a4a5  Trường hợp có 2.2! 2! = 8(số) Trường hợp 3: a1, a2, a3 � 1; 2; 5 ,và a4, a5, a6 �  0;3; 4 Tương tự trường hợp có 12 số thỏa mãn trường hợp Vậy số số thỏa mãn toán 12 + + 12 = 32 (số) Bài tập tự luyện Bài 1: Từ chữ số 0;1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; ta lập số tự nhiên có ba chữ số khác mà tổng chữ số a) Các chữ số khác b) Các chữ số không yêu cầu khác Bài 2: Cho A   1; 2;3; 4;5 Từ chữ số thuộc tập hơp A lập số tự nhiên có ba chữ số đơi khác có tổng chữ số 10 [3] Dạng 6: Lập số tự nhiên liên quan đến giả thiết so sánh số so sánh chữ số Việc so sánh số tự nhiên phải so sánh theo thứ tự chữ số từ trái qua phải thường xảy nhiều trường hợp Để khơng bỏ sót trường hợp, giảng dạy dạng giáo viên nên hướng dẫn học sinh lập sơ đồ so sánh số Ví dụ 1: Có số tự nhiên gồm bốn chữ số có dạng abcd cho a �0, a < b 7 b t� y� c ch� n a =7 b >8 c ch� n a =7 b =8 c >9, c ch� n (kh� ng x� y ) Trong hai trường hợp trên, trường hợp a > 7, b tùy ý, c chẵn có hai chữ số a c có điều kiện nên ta tiếp tục cách phân tích dạng để giải toán Bài giải A   1; 2;3; 4; 5; 6; 7;8; 9 * Từ chữ số tập hợp X ta lập số chẵn dạng abc ( c chẵn, a, b, c đơi khác lấy từ A ) Có cách chọn c  Có A 82 cách chọn hai số ab Tất có A 82 = 224(số) * Từ chữ số tập hợp A ta lập số chẵn dạng abc có chữ số khác lớn 789 Trường hợp 1: a = 7, b > , c chẵn  Có số 792; 794; 796; 798 Trường hợp : a > 7, a chẵn, b bất kỳ, c chẵn  Có cách chọn a  Có cách chọn c  Có cách chọn b Trường hợp có 1.3.7 = 21(số) Trường hợp 3: a > 7, a lẻ, b bất kỳ, c chẵn  Có cách chọn a  Có cách chọn c  Có cách chọn b Trường hợp có 1.4.7 = 28(số) 15 Do đó, số số chẵn dạng abc có chữ số khác lớn 789 + 21 + 28 = 53 Vậy số số thỏa mãn toán 224 - 53 = 171( số) Bài tập tự luyện Bài 1: Có số tự nhiên chẵn có chữ số abc a �0 cho chữ số a, b, c khác theo thứ tự tăng dần.[3] Bài 2: Cho tập hợp A   0;1; 2;3; 4; 5; 6; 7 Hỏi từ tập hợp A lập số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác cho số lớn 2011.[4] Bài 3: Từ chữ số 0; 1; 2; 3; lập số chẵn có chữ số đơi khác Lấy ngẫu nhiên số vừa lập.Tính xác suất để lấy số lớn 2012[5] 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Để đánh giá hiệu sáng kiến kinh nghiệm giảng dạy với việc nắm vững kiến thức học sinh, trước hết theo dõi đánh giá hoạt động cá nhân học sinh nhóm học sinh tiến trình dạy học vào mục tiêu buổi học Kết hợp với cách đánh giá này, cho học sinh làm kiểm tra 45 phút tiết dạy thêm Tôi tiến hành thực nghiệm sư phạm với đối tượng học sinh lớp 11 Nhìn chung, trình độ học sinh lớp khảo sát tương đương tư duy, khả tiếp thu kiến thức - Lớp đối chứng là: 11C2 năm học 2018- 2019, sĩ số 40 Giáo viên dạy tốn lập số theo nội dung tiến trình dạy tập SGK, sách tập, sách tham khảo tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia không phân dạng - Lớp thực nghiệm là: 11C1 năm học 2018- 2019, sĩ số 41 Giáo viên dạy theo nội dung tiến trình dạy tập sáng kiến kinh nghiệm theo định hướng đổi phương pháp dạy học Các tập đề kiểm tra soạn từ sách tham khảo, đề thi Đại học, đề thi HSG Tỉnh năm vừa qua giáo viên tự biên soạn Đề kiểm tra 45 phút I Trắc nghiệm khách quan( điểm) Câu 1: Từ số tự nhiên 1, 2, 3, lập số tự nhiên có chữ số khác nhau? A 44 B 24 C.1 D.42 Câu 2: Cho A={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} Từ tập A lập số lẻ có chữ số đơi khác nhau? 16 A 2520 B 900 C.1080 D.21 Câu 3: Cho A={1, 2, 3, 4, 5, 6} Từ tập A lập số chẵn có chữ số? A 3888 B 360 C.15 D.120 Câu 4: Cho chữ số 0,1,2,3,4,5.Có thể lập số tự nhiên có chữ số khác lớn 300.000 A 5!.3! B 5!.2! C 5! D 5!.3 Câu 5: Cho chữ số 1,2,3,4,5,6 lập số chẵn có chữ số cho chữ số có mặt lần A 6720 B 720 C 40320 D.2520 Câu 6: Từ chữ số 0,1,2,3 lập số tự nhiên có chữ số khác có tận A 12 B C 11 D.24 II.Tự luận( điểm) Câu 7: Cho tập A={0;1; 2; 3; 4; 5; 6} Có số tự nhiên có chữ số khác chọn A cho số chia hết cho 15.[6] Câu 8: Có số tự nhiên có chữ số đơi khác mà có chữ số lẻ ? Hướng dẫn chấm Câu Đáp án Điểm 1B 2B 3A 4D 5D 6C 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 A={0;1; 2; 3; 4; 5; 6} * Gọi số tự nhiên cần lập X  abcde ( a �0 , a;b;c;d;e đôi 0.25 khác lấy từ tâp A) * Vì X M15 nên X M3 X M5 Do (a + b + c + d +e ) M3 e� 0; 5 0.25 17 * Các tập gồm phần tử tập hợp A có tổng chia hết cho chứa hai phần tử 0; 5là A   0;1; 2;3; 6 , A   0; 2;3; 4; 6 , A   1; 2;3; 4; 5 , A   1; 2; 4; 5; 6 , A   0;1; 2; 4; 5 , A   0;1;3; 5; 6 , A   0;3; 4; 5; 6 0.5  Có tập chứa hai số Từ tập có cách chọn e, có P4 cách lập số abcd Do từ tập có 1.P4 = 96 ( số) thỏa mãn tốn 1.0  Có ba tập có chứa hai chữ số Từ tập này: - Nếu chọn e = có P4 = 24 (số) thỏa mãn toán - Nếu chọn e = có cách chọn e, cách chọn a P3 lập hai số bc nên có 1.3.P3 = 18 số thỏa mãn tốn Do đó, từ tập có chữ số có 3(24 + 18) = 126 (số) thỏa 1.0 mãn toán Vậy số số chia hết cho 15 96 + 126 = 222(số) 0.5 A={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} Gọi số tự nhiên cần lập a1a2a3a4a5a6 ( a1 �0; �aj ), chữ số lấy từ tập A  Có khả chọn chữ số lẻ từ tập A  Với cách chọn chữ số lẻ chữ số chẵn có 0.5 hai trường hợp để lập số a1a2a3a4a5a6 Trường hợp 1: a1 chữ số lẻ - Có cách chọn a1 - Có P5 cách thứ tự chữ số chẵn vào vị trí từ a2 đến a5 Trường hợp có P5 = 120 (số) Trường hợp 2: a1 chữ số chẵn - Có cách chọn a1 - Có P5 cách thứ tự chữ số lại vào vị trí từ a2 đến a5 Trường hợp có P5 = 480 (số) 0.5 0.5 0.5 0.5 18 Vậy số số thỏa mãn toán 5.(120 + 480) = 3000 (số) 1.0 Bảng phân bố tần số kết kiểm tra Lớp Số HS Điể Điểm số 10 m TB Thực nghiệm 41 0 0 7,1 11C1 Đối chứng 40 0 3 10 11 0 5,8 11C2 Sau sử dụng sáng kiến kinh nghiệm thực nghiệm giảng dạy, đồng thời tiến hành kiểm tra đối chứng nhận thấy: - Học sinh khơng lúng túng giải tập lập số làm phần lớn tập lớp tập vận dụng đề tài - Các nhóm học sinh hào hứng hơn, chủ động giải toán lập số Các em có tư rõ ràng hơn, lơgic phân tích tìm lời giải cho tốn Từ đó, em tự tin tự học nhà - Các em học sinh khá, giỏi có liên tưởng thú vị từ tư tốn lập số vào q trình chia trường hợp, nhận dạng quy tắc giải toán đại số tổ hợp khác - Kết kiểm tra lớp thực nghiệm cao lớp đối chứng dù học sinh hai lớp có khả tư duy, mức độ tiếp thu kiến thức gần tương đương - Các đồng nghiệp trường áp dụng hệ thống phân dạng vào giảng dạy thu kết đáng khích lệ - Trong cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi năm học 2018 - 2019, tổ chuyên môn vận dụng chuyên đề ơn tập cho em Kết kì thi HSG cấp tỉnh năm học 2018 - 2019 có 01 học sinh đạt giải Ba, thành tích xuất sắc sau nhiều năm lỗ lực thầy trò trường thược vùng kinh tế khó khăn Cùng đội tuyển khác Nhà trường xếp thứ 52 toàn tỉnh, tăng 12 bậc so với năm học 2017 - 2018 PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Trên thực tế, toán có nhiều cách giải khác tùy theo cách phân tích người Vì vậy, học theo tài liệu học sinh không nên 19 học cách máy móc để áp dụng vào toán nguyên dạng mà cần học cốt lõi Đó hình thành cho cách tư lơgic để tìm lời giải Thực chất q trình tìm lời giải cho tốn huy động kiến thức, tổng hợp sâu chuỗi kiến thức có liên quan tạo thành suy luận lơgic hướng Từ đó, người học đưa phương án giải khác cho vấn đề điều quan trọng chọn phương án tối ưu Một học sinh có lí giải tường minh cho vấn đề mà thân băn khoăn tạo hứng thú thật cho em học tập Điều thúc đẩy em tiếp tục nổ lực, tìm tòi, lĩnh hội thêm tri thức Đồng thời, giúp em ln tìm thấy điều thú vị giải tốn Đây chuyên đề phù hợp với đối tượng học sinh lớp 11; 12 học sinh ôn thi ĐH, CĐ, ôn thi học sinh giỏi Sáng kiến kinh nghiệm tư liệu tốt giúp giáo viên giảng dạy toán lập số Qua quan sát tư nhóm học sinh khá, giỏi tơi nhận thấy đề tài mở rộng theo hướng: Phát triển tư toán lập số vào giải số tập đại số tổ hợp khác 3.2.Kiến nghị Trên kinh nghiệm dạy học chủ đề:" Một số dạng toán lập số thường gặp” Tơi mong nhận đóng góp ý kiến đồng nghiệp, đồng chí hội đồng khoa học ngành để sáng kiến kinh nghiệm tơi hồn thiện bạn đồng nghiệp áp dụng rộng rãi giảng dạỵ Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2019 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết Lê Văn Trung TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) NXB Giáo dục(2007)Sách giáo khoa Đại số giải tích 11 ban ban nâng cao 2) NXB Giáo dục2006).Bài tập Đại số giải tích 11 ban ban nâng cao 20 3) NXB Giáo dục Tạp chí Toán học tuổi trẻ số 440, số 443, số 451 4) Vũ Trí Trần Hà- NXB Hà Nội(2012).Tuyển tập 39 đề thi thử đại học mơn tốn 5) Một số đề thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa 6) Nhà giáo ưu tú Lê Hồnh Phò- NXB Đại học quốc gia Hà Nội(2010) Bộ đề thi tự luận toán học 21 ... chưa phân dạng toán, chưa phân tích giúp học sinh tìm lời giải cho tốn Từ lí với kinh nghiệm giảng dạy thân năm qua, định chọn đề tài :" Hướng dẫn học sinh phân tích, tìm lời giải cho số dạng toán. .. toán lập số thường gặp" - chương II- Đại số giải tích 11 Qua chun đề này, tơi khơng có tham vọng phân tích tường minh cách giải toán đại số tổ hợp mà giúp học sinh phân tích tìm lời giải cho số dạng. .. để tìm lời giải cho số toán lập số  Nâng cao hiệu công tác giảng dạy 1.3 Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu cách giải toán lập số thường gặp chương trình Đại số giải tích 11và chương trình tốn học