Hướng dẫn học sinh lớp 9 tìm lời giải ba dạng phương trình vô tỷ thường gặp trong các đề thi chọn HSG cấp tỉnh hoặc thi vào THPT chuyên

MỤC LỤC TT Nội dung Trang MỞ ĐẦU Trang 01 1.1 Lí chọn đề tài Trang 01 1.2 Mục đích nghiên cứu Trang 02 1.3 Đối tượng nghiên cứu Trang 02 1.4 Phương pháp nghiên cứu Trang 02 NỘI DUNG Trang 03 2.1 Cơ sở lý luận Trang 03 2.2 Thực trạng Trang 03 2.3 Các giải pháp Trang 04 2.4 Hiệu sáng kiến Trang 15 KẾT LUẬN Trang 16 3.1 Kết luận Trang 16 3.2 Kiến nghị Trang 16 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Hầu kỳ thi cấp THCS có giải phương trình đề thi Đến lớp học sinh học phương trình vơ tỷ - dạng phương trình hay khó thường gặp đề thi chọn HSG cấp tỉnh thi vào lớp 10 THPT chuyên Trong sách giáo khoa mơn tốn lớp nêu số dạng phương trình mà cách giải chúng rõ ràng, rành mạch Học sinh học toán mức trung bình giải Tuy nhiên, thực tế giải phương trình đề thi chọn HSG cấp tỉnh đề thi vào lớp 10 THPT chuyên khó nhiều Khó cách giải phương trình khơng có quy luật định mà tùy vào đặc điểm phương trình, học sinh lựa chọn cách giải phù hợp Sau năm học (Từ năm học 2011-2012 đến năm học 2018 - 2019) theo dõi đề thi nhận thấy: giải phương trình vơ tỷ đề thi chọn HSG cấp tỉnh, thành phố thi vào lớp 10 THPT chuyên thường rơi vào dạng sau: Dạng k ax  b  cx  dx  e , (I) Dạng a1 x  b1 x  c1 (dx  e) a x  b2 (II) Dạng a1 x  b1 x  c1 (dx  e) a x  b2 x  c ( III ) Theo suy nghĩ thơng thường với pt bình phương vế để khử dấu bậc hai phương trình hệ thu có bậc 4, pt bậc giải Thêm phép biến đổi sau bình phương tương đối cồng kềnh, học sinh dễ nhầm lẫn Một mục tiêu quan trọng giáo dục giúp người học hình thành đạt kỹ tư khoa học như: kỹ tư phân tích, suy luận, tổng hợp, logic; kỹ tư sáng tạo, phản biện; kỹ tự học tự học hiệu Do để tìm lời giải dạng phương trình trên, người thầy cần trăn trở, tìm tòi nhiều cách giải hay, từ có cách truyền đạt, gợi mở, định hướng để học sinh tìm lời giải cho tốn Hơn qua trình nghiên cứu, sưu tầm tài liệu thân chưa thấy có tài liệu viết chuyên sâu cách giải dạng phương trình Là chuyên viên Phòng Giáo dục Đào tạo huyện, phân công phụ trách công tác bồi dưỡng HSG cấp huyện, cấp tỉnh, thân trăn trở suy nghĩ tìm tòi, nghiên cứu đề biện pháp, giải pháp nhằm nâng cao chất lượng HSG cấp huyện, cấp tỉnh Để công tác bồi dưỡng HSG đạt hiệu việc tham mưu cho lãnh đạo đạo kịp thời, xác thân phải say sưa chuyên môn, am tường chuyên môn, đồng thời biết viết truyền cảm hứng tới người khác điều tâm đắc Với lý tơi định chọn đề tài ’’Hướng dẫn học sinh lớp tìm lời giải ba dạng phương trình vơ tỷ thường gặp đề thi chọn HSG cấp tỉnh thi THPT chuyên’’ để nghiên cứu 1.2 Mục đích nghiên cứu Qua sáng kiến kinh nghiệm tác giả mong muốn thầy giáo có cách định hướng, hướng dẫn học sinh biết phân tích, tìm tòi lời giải dạng phương hay khó thường gặp đề thi chọn HSG cấp tỉnh, thành phố đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên toàn quốc Bước đầu rèn luyện cho em học sinh kỹ tư sáng tạo, cho em thấy nét đẹp, độc đáo lời giải Từ khơi dậy niềm đam mêm nghiên cứu khoa học em 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu cách giải dạng phương trình: Dạng k ax  b  cx  dx  e , Dạng ; a1 x  b1 x  c1 (dx  e) a x  b2 Dạng a1 x  b1 x  c1 (dx  e) a x  b2 x  c2 Trong x ẩn, k , a, b, c, d , e , a1 ; b1 ; c1 ; a ; b2 ; c số 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp phân tích tổng hợp lý thuyết - Phương pháp điều tra - Phương pháp chuyên gia - Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm - Phương pháp quan sát: - Phương pháp lịch sử NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Gọi A, B biểu thức chứa biến x , 2.1.1  B 0 A B    A B 2.1.2 A  B 0  ( A  B)( A  B) 0  A  B A  B 2.1.3 A  B 0  A 0 B 0 2.1.4 A  B  A  B A  B 2.1.5 A B ( A  B )( A  B ) AB  A  B2 AB A  B gọi biểu thức liên hợp biểu thức 2.1.6 Nếu phương A( x ) 0 trình với A  B 0 (Biểu thức A  B) có nghiệm x  x0 (Với A( x) a1 x n  a x n    a n  x  a n ) ln phân tích A( x) a1 ( x  x ).B( x ) 2.1.7 A  k1 A  B  k1 B  ( A  B)( A  B  k1 ) 0  A  B A  B  k1 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm Trong năm gần áp lực thi cử nên đa số học sinh học thêm nhiều khơng thời gian sức lực để nghiên cứu, tìm tòi, thưởng thức hay, đẹp mơn Tốn Nhiều dạng tốn, tốn thầy, giáo bày sẵn cách giải học sinh việc áp dụng Điều triệt tiêu óc sáng tạo em Hơn nữa, phương trình vơ tỷ khơng mẫu mực dạng phương trình khó vơ đa dạng, để giải phương trình vơ tỷ cần biết kết nối nhiều kiến thức, kỹ Ba dạng phương trình kể ba dạng khó, chắn nhiều học sinh khơng giải chưa có gợi ý thầy giáo Khi phòng Giáo dục Đào tạo giao nhiệm vụ dạy hỗ trợ số chuyên đề cho đội tuyển HSG huyện tham dự kỳ thi chọn HSG cấp tỉnh năm học 2018 - 2019 Tôi nghiên cứu lựa chọn chuyên đề, có chun đề phương trình vơ tỷ Để bước đầu đánh giá khả học sinh, từ có phương án tối ưu việc truyền đạt tới học sinh, đề kiểm tra thời gian 45 phút cho 10 em học sinh đội tuyển huyện sau: Bài 1: ( 4,0 điểm ) Giải phương trình x 1 x  4x  Bài 2: (3,0 điểm) Giải phương trình: x  2 x x  x Bài (3,0 điểm) Giải phương trình: x  x  ( x  1) x  x  Kết thu sau: Tổng số 10 Dưới điểm SL % 50 Điểm - SL % 40 Điểm - SL % 10 Điểm - 10 SL % 0 Từ kết trên, nhận thấy đa số em chưa định hướng cách giải phương trình trên, vài em lời giải dài dòng, chưa xác, đơi ngộ nhận 2.3 Các giải pháp: Qua thời gian dài thực công việc sưu tầm, tổng hợp, phân tích nghiên cứu tơi thấy rằng: Để giải dạng phương trình (I), (II), (III) ta thường sử dụng cách sau: Cách 1: Bình phương hai vế khử dấu căn, đưa phương trình cho pt bậc 4, sau biến đổi đưa phương trình dạng tích Cách 2: Nhẩm nghiệm x  x0 , biến đổi nhân với biểu thức liên hợp tương ứng làm xuất nhân tử ( x  x0 ) Cách 3: Biến đổi phương trình dạng (k1 ax  b  c1 ) (c2 x  c3 ) , k1 c1 , c2 , c3 số Cách 4: Biến đổi phương trình dạng (k1 ax  b  c1 )  (c2 x  c3 ) 0 Cách 5: Biến đổi phương trình dạng (k1 ax  b  c1 )  (c x  c3 ) 0 Cách 6: Biến đổi phương trình dạng A  k1 A  B  k1 B , A a1 x  b1 ; B  ax  b , k1 , a1 , b1 số Cách 7: Đặt ẩn phụ ax  b t a x  b2 t a x  b2 x  c t đưa pt bậc ẩn t, xem x tham số Giải t theo x sau thay t ax  b , a x  b2 a x  b2 x  c ta pt ẩn x, giải tìm x Ví dụ Giải phương trình x   x  x  (1) (Câu 3a Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp tỉnh Phú Thọ Năm học 2011 – 2012 ) Phân tích: Dễ dàng nhẩm nghiệm x 1 Sau đặt điều kiện, bình phương vế để khử dấu bậc hai, chuyển vế ta phương bậc Do nhẩm đưỡ nghiệm x 1 nên biến đổi vế trái pt xuất nhân tử x  Cụ thể lời giải sau:  x  ( x  x  1) Cách 1: PT   , Biến đổi pt đầu hệ cho ta pt:  x  x  0 x  x  x  14 x 0  x( x  1)( x  x  14) 0  x 0 x 1 x  x  14 0 Phương trình x2 + 7x + 14 = vô nghiệm Thay x 0 x 1 vào bất pt sau hệ kết luận x 1 nghiệm phương trình (1) Mặt khác: Nhẩm thấy x = nghiệm, biến đổi nhân với biểu thức liên hợp tương ứng để làm xuất nhân tử ( x  1) , cụ thể: Cách 2: x   x  3x    x    x  3x  ( x   3)( x   3) 8x    ( x  1)( x   8x   ( x  1)( x  4)  8x  8x   ) 0  x  0 x   ( x  1)( x  4) 8x   0 (1a ) Nhận xét: Phương trình (1a) khơng thể giải cách biến đổi thơng thường, mà cần có nhận xét, đánh giá cách khéo léo Để ý: giá trị x nghiệm pt (1) phải thỏa mãn đồng thời điều kiện x  0 x  3x  0 , tương đương với x  Xét phương trình: x   x 8x     13 0  x   8x   (1b) , nhận xét với   13 VT(1b)  , VP(1b)  , dẫn tới pt(1b) vô nghiệm, hay pt(1a) vô nghiệm Kết luận: PT ban đầu có nghiệm x 1 Bình luận: - Khi giải theo cách phương trình hệ thu sau bình phương phương trình bậc 4, phương trình bậc khơng đặc biệt không nhẩm nghiệm việc giải tiếp bế tắc - Cách nên sử dụng nhẩm nghiệm x  x0 (ở nhẩm x 1 nghiệm), ta có sở để biến đổi nhân liên hợp làm xuất nhân tử x  x0 Vậy trường hợp phương trình ban đầu khơng nhẩm nghiệm giải ? Hãy xét ví dụ Ví dụ 2: Giải phương trình x  4 x  x  (2) (Câu 3b đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Hưng n năm học: 2016 – 2017) Phân tích: Do khơng nhẩm nghiệm nên cách cách không hiệu ta cần nghĩ tới cách khác Nếu sử dụng cách 3, trước hết ta nhân hai vế phương trình với để tiện cho việc hình thành bình phương tổng hay hiệu Sau biến đổi khéo léo để đưa dạng ( ax  b  c1 )2  (c2 x  c3 )2 , cụ thể lời giải: Lời giải: ĐK: x  , Nhân vế pt với PT  x  16 x  20 x  (2a) , đến phân tích x  2.2 x  3.1 , suy thừa số thứ x  , thừa số thứ , vế trái pt(a) cộng thêm với 4( x  3)  vừa đủ bình phương (2 x   1) Khi vế phải PT(a) lại là: 16 x  24 x  , biểu thức ( x  3) Từ ta có lời giải sau: PT  x  16 x  20 x  (2a)  4( x  3)  x   16 x  24 x   (2 x   1) (4 x  3)  x   4 x  x    x  , Tương đương với x  4 x  x   x  , giải phương trình so sánh với điều kiện suy phương trình có nghiệm x    41   33 x  8 Bình luận: Điểm mấu chốt toán nằm bước biến đổi thứ 2; tách 20 x  thành 4( x  3)  vế trái 24 x  vế phải, đảm bảo cho vế phương trình bình phương tổng Để minh họa cho cách 4, ta xét ví dụ Ví dụ 3: Giải phương trình 3x  10  x  x  20 (3) (Tạp chí THTT Số 436 tháng 10 năm 2013 trang 1) Phân tích: Nếu theo lối suy nghĩ cách 3, để vế trái bình phương tổng ta phải cộng thêm biểu thức (3x  10)  , biểu thức vế phải x  12 x  31 , biểu thức khơng thể biến đổi thành bình phương tổng, cách khơng áp dụng Ta sử dụng cách Ban đầu chuyển hết sang vế phải ta pt: x  x  20  3x  10 0 (3a) phân tích 3x  10 2 3x  10.1 , suy thừa số thứ 3x  10 , thừa số thứ , vế trái pt(3a) cộng thêm với (3x  10)  vừa đủ bình phương ( 3x  10  1) Biểu thức lại vế trái pt(3a) là: x  x  , biểu thức ( x  3) Lời giải: Điều kiện x  10 Pt  x  x  20  3x  10 0 (3a)  ((3x  10)  3x  10  1)  x  x  0  ( 3x  10  1)  ( x  3) 0  x  10  0  x  0 Giải đối chiếu điều kiện ta nghiệm pt cho x  Ví dụ 4: Giải phương trình x  x   2 x  0 (4) (Câu 2a đề thi tuyển sinh vào lớp 10 PTNK, ĐHQG TP Hồ Chí Minh năm học: 2016 – 2017) Phân tích: Nếu theo lối suy nghĩ cách 4, phân tích 2 x  2 x  1.1 , cộng thêm với (2 x  1)  ta bình phương ( x   1) , biểu thức lại vế trái x  x  , rõ ràng biểu thức khơng thể bình phương tổng hay hiệu Do ta sử dụng cách thứ Tách  x thành  x  x , nhóm  x với x  ta bình phương ( x  2)  2x nhóm với 2 x  , đặt dấu trừ cho ta bình phương ( x   1) Bài toán giải Lời giải: Đk: x  Pt  x  x   ( 2 x   x) 0  ( x  2)  (2 x   2 x   1) 0  ( x  2)  ( x   1) 0  (x   x  1)( x   x  1) 0  x   x  0 x   x  0 Giải pt đối chiều điều kiện cho ta nghiệm: x 2  ; x 4  Ví dụ 5: Giải phương trình x   3x  13 x (5) (Câu 3a Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm học 2017 – 2018) Phân tích: Ta sử dụng cách thứ 6, nghĩa biến đổi phương trình dạng: A  k1 A  B  k1 B Từ ta chuyển phương trình dạng tích: ( A  B)( A  B  k1 ) 0 Lời giải: Cách 1: Giải: ĐK: x  , PT (5)  x  10 x  3x   3x  (5a) x  (5b), Đặt A 2 x  2; B  x  ( B 0) Khi  (2 x  2)  (2 x  2) 3 x   pt ban đầu trở thành A  A  B  B  ( A  B)( A  B  1) 0  A  B 11  73 A 1  B Với A  B giải ta x  , A 1  B giải ta 15  x 15  x 97 Đối chiếu với điều kiện suy pt có nghiệm x  97 8 11  73 Bình luận: Các em đặt câu hỏi để biến đổi từ pt (5a) pt (5b)? Lý sau: Giả (mx  n)  (mx  n) 3 x   sử pt (5a) biến đổi đưa dạng 3x  (5c) Khi ta biến đổi sử dụng đồng thức tìm m, n (5c)  m x  (2mn  n) x  n  n 3x   3x  (5d)  m 4  Từ (5a) (5d) suy  2mn  m  10 , suy m 2, n  Vậy pt (5d) lúc   n  n 6 là: (2 x  2)  (2 x  2) 3x   3x  , sở để có phép biến đổi từ pt (5a) pt(5b) Phát triển, mở rộng: Lời giải ví dụ mở hướng để xây dựng phương trình dạng, ví dụ : - Từ đẳng thức u2 + 2u = v2 + 2v, cho u  x  1; v  x  , ta pt x  x   x  (5e) Nghiệm pt (5e) x = - Từ đẳng thức u2 + 4u = v2 + 4v, cho u  x  1; v  x  , ta pt x  x   x  (5f) Nghiệm pt (5f) x =3 - Từ đẳng thức u - u = v2 - v, cho u  x  4; v  3x  , ta pt 4 x  21x  22  x  (5g) Nghiệm pt (5g) x  23  97 19  73 ;x  8 - Từ đẳng thức u + u = v2 + v, cho u  x  3; v  x  12 , ta pt 27 x  18 x  x  5  37 7  33 (5h) Nghiệm pt (5h) x  ;x  18 18 Chúng ta phân tích, tìm tòi lời giải ví dụ minh họa cho dạng phương trình: k ax  b  cx  dx  e Sau ta xét tiếp ví dụ minh họa cho dạng pt: a1 x  b1 x  c1 (dx  e) a x  b2 a1 x  b1 x  c1 (dx  e) a x  b2 x  c Ví dụ 6: 2( x  2) 3x  3x  x  (6) (Câu 2a đề tuyển sinh vào lớp 10 chuyên THPT TP Hồ Chí Minh năm học 2017 – 2018 ) Phân tích: Ta xem 2( x  2) 3x  2.( x  2) 3x  , thừa số thứ ( x  2) , thừa số thứ hai 3x  , cộng thêm vế trái pt với ( x  2)   ( x  1) ta bình phương là: ( x  2)  x  Khi vế phải phương trình là: x (2 x) Ta đưa pt ban đầu dạng A  B Từ ta có lời giải Lời giải: ĐK: x  , PT  ( x  2)  2( x  2) 3x   3x  3x  x   ( x  2)  3x   ( x  2)  2( x  2) 3x   3x  4 x  ( x   3x  1) (2 x)  x   x  2 x x   x   x Phương trình đầu có nghiệm x   29 , Phương trình sau vơ nghiệm Đối chiếu với điều kiện suy ra: pt (6) có nghiệm x   29 Ví dụ 7: Giải phương trình 3x  x x   x  0 (7) (Câu 2a Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc 10 năm học 2016 – 2017) Phân tích: Nếu đặt x  t , suy x  t , pt(7) trở thành 3x  xt  t 0  t  xt  3x 0 , xem pt bậc ẩn t , x tham số, ' t  x , ta nghiệm t 3 x t  x Thay t  x  ta pt ẩn x , giải tìm x Lời giải: ĐKXĐ x  , đặt x  t (x  x  )(3 x  x  0 3x  x  ) 0  x  x  0 Giải phương trình đầu cho nghiệm x 1; x 3 , phương trình sau vơ nghiệm Kết hợp với đk kết luận pt cho có nghiệm x 1; x 3 Bình luận: Trong lời giải ví dụ 7, sau đặt ẩn phụ x  t , ta không rút x theo t hoàn toàn mà thay (4 x  3) t để pt có ẩn t lẫn ẩn cũ x , điểm độc đáo lời giải Ví dụ 8: Giải phương trình: x  x  (4 x  1) x  (8) (Báo THTT Số 436 tháng 10 năm 2013 trang 8) Phân tích: Nhìn vào đề ta liên tưởng tới việc biến đổi pt dạng A  B A B 0 Thật để tiện cho việc biến đổi biểu thức thành bình phương tổng hay hiệu ta nhân vế pt(8) với 8, ta phương trình: 16 x  16 x  8(4 x  1) x    8(4 x  1) x   16 x  16 x  (8a) 8.(4 x  1) x  , tiếp tục phân tích 8.(4 x  1) x  2.(4 x  1).(4 x  ) , lúc xuất thừa số thứ (4 x  1) , thừa số thứ hai (4 x  ) , cộng vế pt (8a) với biểu thức (4 x  1)  (4 x  ) 32 x  x  17 ta vế trái pt (8a) bình phương ((4 x  1)  x  1) , vế phải pt (8a) 16 x  24 x  , (4 x  3) Như ta đưa pt dạng A  B Lời giải: Nhân vế phương trình (8) với ta được: 16 x  16 x  8(4 x  1) x    16 x  16 x   2.(4 x  1).4 x    16 x  16 x   (4 x  1)  (4 x  1) (4 x  1)  2.(4 x  1).4 x   (4 x  1)   16 x  24 x   (4 x  1)  x   11  (( x  1)  x  1) (4 x  3)  (4 x  1)  x  4 x   (4 x  1)  x   x   x  2 x  8 x  Giải pt đối chiếu đk ta x  nghiệm pt(8) Ví dụ Giải phương trình: x  x   3x x  (9) (Câu 2a đề thi vào lớp 10 chuyên TP Hồ Chí Minh năm học 2015 – 2016) Phân tích: Nhìn vào đề ta thấy cách giải: Cách 1: Nhẩm nghiệm x 1 , biến đổi nhân với biểu thức liên hợp để làm xuất nhân tử ( x  1) Cách Đặt x  t  x  t , pt trở thành pt bậc ẩn t (x tham số) t  xt  x 0 , giải tìm t theo x, thay t x  ta pt ẩn x, giải tìm x Cách Biến đổi đưa pt dạng A  B A B 0 Sau lời giải cho cách Lời giải: ĐK: x  , x  x   3x x  , x  3x x  PT  x  x   x x   x   0� (x  x3 x3 x  x  9( x  3) )    � (x  ) ( ) 0 16 4 � x x3  x3 x 3  x  4 x 3  x   x x  2 x Giải phương trình so sánh với điều kiện suy pt (9) có nghiệm x  x   13 Ví dụ 10: Giải phương trình: x    x  (10) x (Câu 2a đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên Thành Phố Hồ Chí Minh năm học 2018 – 2019) Phân tích: Ban đầu ta thấy pt (9) chưa phải dạng pt nêu, sau đặt điều kiện khử mẫu pt trở thành: x  x  4 x x  (9a) Từ tìm cách biến đổi để đưa pt (9a) dạng: A  B Lời giải: ĐK x �3, x �0 , Quy đồng mẫu thức ta pt: x x   x  x  12 � 4x2  4x x   x   � (2 x  x  3)2  � x  x   x  x   1 , x  2 x  x  2 x  , giải phương trình đối chiếu với điều kiện, suy pt(9) có nghiệm x   57   41 x  8 Ví dụ 11 Giải phương trình: x  3x   x  (11) (Câu 2a đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên Hà Tĩnh, năm học 2018 – 2019) Hướng dẫn: Sau đặt điều kiện, biến đổi pt dạng A  B Lời giải: ĐK: x �2 , PT � x  x   x   x   4 1 1 1 � (2 x  )  ( x   ) � x   x   x    x   2 2 2 � x   x  x   2 x Giải phương trình đối chiếu với điều kiện, kết luận pt có nghiệm : x  41  33 x  8 Ví dụ 12 Giải Phương trình: (1  x)  x  x  (12) (Bài Toán Mục Đề kỳ báo TH&TTsố 481 tháng năm 2017) Hướng dẫn: Đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc với ẩn phụ ẩn cũ Lời giải: ĐK:   x  Đặt  x t (t 0)  x  t 2 (2) Khi phương trình (1) trở thành (1  x)t  x   t  2tx  x  (3) , Cộng theo vế PT (2) PT(3) ta (t  x)  (t  x)  0 , giải ta t x  1  2  x2  x   1  2  x x   1 , Giải phương trình đối chiếu với điều kiện suy phương trình (12) có nghiệm 1 x  10  Ví dụ 13: Giải phương trình: 2 x   x  x (13) (Bài T5/459 Mục Đề kỳ báo TH&TT số 459 tháng năm 2015) 13 Hướng dẫn: Sau đặt điều kiện, biến đổi đưa pt dạng A2  B � A  B A   B Lời giải: ĐK: x � , Phương trình tương đương x  x   2 x   � x  ( x   1) � x  2x 1  x   2x 1 1 2x  x  x   x  Giải phương trình kết hợp với điều kiện suy pt có nghiệm x 2  Ví dụ 14 Giải phương trình x  x  4x  28 (14) (Báo TH&TT Số 436 tháng 10 năm 2013 trang 2) Phân tích: Đề gợi ý cho ta nghĩ tới việc biến đổi pt dạng A  B 4x  chưa thuận lợi việc biến đổi thành bình 28 Tuy nhiên hệ số gắn với phương đúng, ta cần nhân hai vế pt (14) với 28 sau biến đổi, cụ thể lời giải sau: Hướng dẫn giải: ĐK x  PT  196 x  196 x  28 x  (nhân vế với 28)  196 x  196 x 2 28 x  63  196 x  224 x  64 (28 x  63)  28 x  63  (14 x  8) ( 28 x  63  1)  14 x   28 x  63  (14a) 14 x   28 x  63  (14b) Giải phương trình (14a) (14b), đối chiếu với điều kiện, suy nghiệm pt (14) Ví dụ 15 Giải phương trình x  x   x  (15) Phân tích: Nếu nhân vế pt(15) với 4, ta có sở để biến đổi pt dạng A2 + 4A = B2 + 4B (k1 ax  b  c1 ) (c2 x  c3 ) Thật ta có lời giải: Cách 1: Nhân vế pt(15) với ta có x  x  4 x  ,  (4 x  x  1)  4(2 x  1) ( x  1)  x  14  (2 x  1)  4(2 x  1) ( x  1)  x   A  A  B  B ( A 2 x  1; B  x  1)  A B     A 4  B  x  2 x  (15a )   x  4  (2 x  1) (15b) Giải phương trình (15a), (15b) đối chiếu với điều kiện suy pt (15) có nghiệm x= x = Cách 2: Nhân vế pt (15) với ta có: x  x  4 x   x  x  ( x  1)  2.2 x    x   2 x   ( x  1) ( x   2)    x    x  Đến ta quy việc giải pt (15a) (15b) Kết luận pt(15) có nghiệm x = x = Nhận xét: Qua Cách giải 1, Cách giải Ví dụ 15 ta rút kết luận quan trọng sau đây: Nếu pt k ax  b  cx  dx  e biến đổi dạng A  k1 A  B  k1 B biến đổi dạng (k1 ax  b  c1 ) (c x  c3 ) Sử dụng cách giải nêu học sinh giải phương trình sau: x  3x  x  2 x  9 x  x  x   x  3x  x  3x   x  x  x   x  x  x   x  4 x  21x  22  x  27 x  18 x  x  2 x   x  x 10 x 1 x  4x  11 x  x  15 12 12 x   x  x  36 13 x  2 x  x  14 3x   x  21x  22 15 x   x  x  x 3 2 x  x 16 17 x  2 x x  x 18 x  x  ( x  3) x  19 x  x  ( x  1) x  3x  20 ( x  2) x  x   x  x  21 ( x  1) x  x   x  22 2(1  x) x  x   x  x  2.4 Hiệu Sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục Bản thân tham gia giảng dạy hỗ trợ đội tuyển học sinh cấp tỉnh năm học 2018 – 2019, Sau áp dụng đề tài vào giảng dạy, tiến hành kiểm tra 10 học sinh đội tuyển mơn tốn để kiểm nghiệm trình nhận thức học sinh mảng kiến thức đề kiểm tra 45 phút sau: Bài (4,0 điểm) Giải phương trình: x  x   x  Bài (3,0 điểm) Giải phương trình: x  x  ( x  1) x  3x  2 Bài (3, điểm) Giải phương trình: 2(1  x) x  x   x  x  Kết thu được: Tổng số 10 Dưới điểm SL % 10 Điểm - SL % 20 Điểm - SL % 30 Điểm - 10 SL % 40 Qua trình giảng dạy, chấm chữa cho học sinh nhận thấy rằng, từ pt đề thi chọn HSG, thi vào lớp 10 THPT chuyên, thân sáng tác khơng có sách giáo khoa, giúp học sinh huy động nhiều kiến thức, linh hoạt tư duy, đồng thời khơi gợi khả phán đoán, lựa chọn cách giải phù hợp với loại phương trình Qua học sinh 16 thấy nét độc đáo, thú vị ẩn sau toán mà em học Bồi đắp, ni dưỡng hứng thú học tập, rèn luyện óc sáng tạo, trau dồi tư linh hoạt, từ thắp sáng niềm say mê mơn tốn học KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Đề tài giúp học sinh biết cách phân tích, tìm tòi lời giải cho phương trình thuộc dạng trình: k ax  b  cx  dx  e a1 x  b1 x  c1 (dx  e) a x  b2 a1 x  b1 x  c1 (dx  e) a x  b2 x  c Đồng thời ra nguyên, nguồn gốc lời giải ấy, điều giúp em sáng tạo vơ vàn phương trình khác dạng Bước đầu rèn luyện cho học sinh tư khoa học sắc bén, khơi dậy óc sáng tạo, khả tổng qt hóa tốn Đề tài áp dụng cách hiệu việc bồi dưỡng học sinh giỏi lớp dự thi cấp huyện, cấp tỉnh tất trường THCS địa bàn huyện, thị xã Với góc độ nhìn nhận, đánh giá thân đề tài mở rộng phạm vi nghiên cứu sang dạng pt khác là: ax  bx  cx  d k e x  f ax  bx  cx  d (k1 x  k ) ex  f (Trong a, b, c, d , e, f , k1 , k số, x ẩn) Rất đề tài mở rộng với nhiều dạng phương trình khác nữa, mong ý kiến phản hồi từ bạn đọc! 3.2 Kiến nghị Đối với Sở Giáo dục Đào tạo: Sau có Quyết định cơng nhận, Sở Giáo dục Đào tạo đưa trang Web Sở SKKN đạt giải để người có hội học hỏi sáng sáng kiến hay, cách làm tốt Những SKKN đạt loại A, B, C tài liệu hữu ích cho cán bộ, giáo viên, nhân viên ngành giáo dục Đối với Phòng Giáo dục Đào tạo huyện: Hằng năm gửi hòm thư trường SKKN đạt giải, từ tạo ngân hàng SKKN khổng lồ, nguồn kiến thức vô tận Do phạm vi hẹp nên 17 cán bộ, giáo viên, nhân viên huyện có hội học hỏi trực tiếp, gián tiếp thông qua SKKN đồng nghiệp, tạo nên phong trào nghiên cứu khoa học sơi nổi, rộng khắp tồn huyện Đồng thời phê bình, nhắc nhở cá nhân chép SKKN người khác Đối với cốt cán chun mơn tồn huyện: Tích cực trau dồi kiến thức chun mơn, tham gia tích cực có hiệu phong trào viết SKKN Có ý kiến phản hồi hướng mở rộng đề tài mà tác giải nêu phân cuối mục 3.1 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn lớp tỉnh Phú Thọ năm học 2011 – 2012 [2] Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Hưng Yên năm học: 2016 – 2017 [3] Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ số 436 tháng 10 năm 2013 [4] Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Phổ thông khiếu, ĐHQG Thành phố Hồ Chí Minh năm học: 2016 – 2017 [5] Đề tuyển sinh vào lớp 10 Trung học phổ thông chuyên Hùng Vương, tỉnh Phú Thọ năm học 2017 – 2018 [6] Đề tuyển sinh vào lớp 10 Trung học phổ thơng chun Thành phố Hồ Chí Minh năm học 2017 – 2018 [7] Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc năm học 2016 – 2017 [8] Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên TP Hồ Chí Minh năm học 2015 – 2016 [9] Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên Thành Phố Hồ Chí Minh năm học 2018 – 2019 [10] Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên Hà Tĩnh, năm học 2018 – 2019 [11] Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ số 459 tháng năm 2015 [12] Tạp chí Toán học Tuổi trẻ số 481 tháng năm 2017 19 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH HOẶC CẤP CAO HƠN XẾP TỪ LOẠI C TRỞ LÊN TT Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá Kết Năm học đánh xếp loại đánh giá giá xếp loại xếp loại C 2004 -2005 Một số ứng dụng Sở Giáo dục việc thứ tự số Đào hạng tạo tỉnh Thanh Hóa Theo Quyết định số 59/QĐSGDĐT ngày Hướng dẫn hs lớp 10 Sở Giáo dục áp dụng Định lý đảo Đào tạo tỉnh dấu tam thức Thanh Hóa Theo Quyết 462/QĐ- tốn 2006 - 2007 định số bậc hai giải 24/2/2006 C SGDĐT ngày Phương pháp đặt ẩn Sở Giáo dục 19/12/2007 C số phụ để giải số Đào Theo Quyết tạo tỉnh tốn mà khơng sử Thanh Hóa định số dụng đến Định lý đảo 12/QĐ- dấu tam thức SGDĐT ngày bậc hai Một số cách giải Sở Giáo dục 05/01/2010 C phương Theo Quyết trình thường gặp hàm Đào tạo Thanh Hóa tỉnh 2008 - 2009 2010 - 2011 định số 539/QĐSGDĐT ngày 18/10/2011 20 Hướng dẫn học sinh Sở Giáo dục gỏi giải số Đào toán tạo tỉnh lập Thanh Hóa 871/QĐ- mặt SGDĐT ngày phẳng liên quan tới 18/12/2012 cực trị Hướng dẫn học sinh Sở Giáo dục lớp 11 sử dụng kết Đào tạo tỉnh tập Thanh Hóa Theo Quyết định số phương trình đường thẳng C C Theo Quyết định số Sách giáo khoa để 743/QĐ- giải số SGDĐT ngày toán khoảng cách Hướng dẫn học sinh Sở Giáo dục sử dụng kết hai Đào tạo 2012 - 2013 04/11/2013 B 2015 -2016 tỉnh tốn để giải Thanh Hóa số tốn hình học phẳng mặt phẳng tọa độ 21 ... Lý chọn đề tài Hầu kỳ thi cấp THCS có giải phương trình đề thi Đến lớp học sinh học phương trình vơ tỷ - dạng phương trình hay khó thường gặp đề thi chọn HSG cấp tỉnh thi vào lớp 10 THPT chuyên. .. học 2018 - 20 19) theo dõi đề thi nhận thấy: giải phương trình vơ tỷ đề thi chọn HSG cấp tỉnh, thành phố thi vào lớp 10 THPT chuyên thường rơi vào dạng sau: Dạng k ax  b  cx  dx  e , (I) Dạng. .. biết phân tích, tìm tòi lời giải dạng phương hay khó thường gặp đề thi chọn HSG cấp tỉnh, thành phố đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên toàn quốc Bước đầu rèn luyện cho em học sinh kỹ tư sáng