SKKN GIÚP học SINH lớp 10 KHẮC PHỤC một số SAI lầm KHI GIẢI TOÁN bất PHƯƠNG TRÌNH

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH LỚP 10 KHẮC PHỤC MỘT SỐ SAI LẦM KHI GIẢI TỐN BẤT PHƯƠNG TRÌNH Người thực : Thi Văn Chung Chức vụ Phó Hiệu trưởng : SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HĨA NĂM 2019 MỤC LỤC NỘI DUNG Trang MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2 NỘI DUNG ĐỀ TÀI 2.1 Cơ sở lí luận 2.1.1 Bất phương trình bậc nhất, bậc hai 2.1.1.1 Nhị thức bậc định lí dấu nhị thức bậc 2.1.1.2 Định lí dấu tam thức bậc hai 2.1.1.3 Tam thức bậc hai không đổi dấu 2.1.2 Cách giải số bất phương trình thường gặp 2.2 Thực trạng vấn đề 2.3 Một số sai lầm thường gặp học sinh lớp 10 giải tốn bất phương trình biện pháp khắc phục 2.3.1 Sai lầm giải bất phương trình bậc hai 2.3.2 Sai lầm giải bất phương trình tích chứa ẩn mẫu thức 2.3.3 Sai lầm giải bất phương trình chứa tham số 10 2.3.4 Sai lầm giải bất phương trình chứa ẩn dấu thức 12 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 15 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 16 3.1 Kết luận 16 3.2 Kiến nghị 16 Danh mục SKKN ngành GD Đào tạo xếp loại 17 Tài liệu tham khảo 18 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Trong Tốn học nói chung chương trình Tốn nhà trường phổ thơng nói riêng, chủ đề bất phương trình có vị trí quan trọng Kiến thức kỹ chủ đề bất phương trình có mặt xun suốt chương trình mơn tốn trường phổ thơng, đặc biệt kỳ thi đại học, cao đẳng, thi học sinh giỏi cấp tỉnh thường gặp toán Chương trình Đại số lớp 10, em học sinh bước đầu tiếp cận với dạng bất phương trình cách giải dạng bất phương trình Tuy nhiên phần lớn học sinh lớp 10, đối tượng học sinh có học lực trung bình yếu phần kiến thức khó học sinh dễ mắc phải sai lầm Để giúp học sinh dễ dàng việc tiếp thu kiến thức kỹ giải tốn bất phương trình Trong q trình giảng dạy, tơi kết hợp việc hướng dẫn chi tiết cách giải dạng bất phương trình với việc sai lầm mà học sinh thường gặp, đồng thời nguyên nhân sai lầm biện pháp khắc phục, sửa chữa kịp thời Từ thực tế đó, tơi thấy việc làm có tác dụng rèn luyện lực giải tốn cho học sinh góp phần nâng cao hiệu dạy học toán trường THPT Triệu Sơn Chính tơi lựa chọn đề tài: “Giúp học sinh lớp 10 khắc phục số sai lầm giải tốn bất phương trình ” 1.2 Mục đích nghiên cứu Tôi thực đề tài nhằm hướng tới số mục đích sau: + Khảo sát, đánh giá thực trạng việc học toán học sinh khối lớp 10 trường THPT Triệu Sơn năm học 2017-2018 năm học 2018-2019 + Tìm hiểu khó khăn học sinh lớp 10 giải tốn bất phương trình, phân tích sai lầm phổ biến học sinh Từ nghiên cứu, đề xuất số cách sửa chữa, khắc phục sai lầm cho học sinh góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn trường trung học phổ thơng + Truyền cảm hứng học mơn Tốn cho học sinh, giúp em học sinh tạo tự tin, yêu môn học, tích cực tự tìm tịi, học hỏi để nâng cao trình độ nhằm đạt kết cao kì thi HSG văn hóa cấp tỉnh thi THPT quốc gia lớp 11, 12 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu sai lầm thường gặp số giải pháp khắc phục sai lầm học sinh lớp 10 học chương bất phương trình đại số Phương pháp nghiên cứu + Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lí thuyết: Các tài liệu tập huấn (một số phương pháp kĩ thuật dạy học tích cực; phương pháp, kĩ thuật tổ chức hoạt động học hướng dẫn học sinh tự học; đổi tổ chức hoạt động giáo dục theo định hướng phát triển lực học sinh…); Trường học kết nối; Nguồn tài liệu mạng Internet; tài liệu bất phương trình đại số lớp 10 + Phương pháp điều tra khảo sát thực tế thu thập thông tin: Thu thập thông tin từ thực trạng học toán học sinh lớp 10 Trường trung học phổ thông Triệu Sơn + Phương pháp thống kê, xử lí số liệu: Tổng hợp, xử lí số liệu hiệu việc áp dụng đề tài trước sau thực nghiên cứu 1.5 Những điểm đề tài Có thể nói, chủ đề SKKN khắc phục sai lầm giải toán bất phương trình đại số lớp 10 chủ đề cũ, có nhiều SKKN làm, nhiên SKKN tập trung sâu vào vấn đề mà SKKN khác làm là: đưa ví dụ giải pháp hiệu để “khắc phục sai lầm cho học sinh giải toán bất phương trình” nội dung quan trọng chương trình SGK lớp 10 NỘI DUNG ĐỀ TÀI 2.1 Cơ sở lí luận 2.1.1 Nhị thức bậc nhất, dấu tam thức bậc hai 2.1.1.1 Nhị thức bậc định lí dấu nhị thức bậc Nhị thức bậc nhất: f ( x ) = ax + b; a,b ∈ R,a ≠ −b Nghiệm nhị thức x = a Định lí: Nhị thức bậc f ( x ) = ax + b dấu với hệ số a x lớn nghiệm trái dấu với hệ số a x nhỏ nghiệm 2.1.1.2 Định lí dấu tam thức bậc hai Định lí: Cho tam thức bậc hai f ( x ) = ax + bx + c ( a ≠ ) Nếu ∆ < tam thức f(x) dấu với a với ∀x ∈ R  b Nếu ∆ = tam thức f(x) dấu với a với ∀x ∈ R \ −   2a  Nếu ∆ > tam thức f(x) có hai nghiệm x1; x Tam thức f(x) dấu với a với ∀x ∈ ( −∞; x1 ) ∪ ( x ; + ∞ ) Tam thức f(x) trái dấu với a với ∀x ∈ ( x1; x ) 2.1.1.3 Tam thức bậc hai không đổi dấu Cho tam thức f(x)= ax2 + bx + c (a ≠ 0) a > f(x)>0, ∀x ∈ R ⇔  ∆ < a > f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔  ∆ ≤ a < f (x) < 0, ∀x ∈ R ⇔  ∆ < a < f (x) ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔  ∆ ≤ 2.1.2 Cách giải số bất phương trình thường gặp 2.1.2.1 Bất phương trình bậc hai Xét bất phương trình bậc hai: ax + bx + c ≥ 0;a ≠ Dựa vào định lí dấu tam thức bậc hai ta có trường hợp sau: { ∆≤0 + Nếu a > tập nghiệm bất phương trình cho S = R ∆ > + Nếu  a > tập nghiệm bất phương trình cho  ∆0 + Nếu a < tập nghiệm bất phương trình cho S = [ x1; x ] , x1; x hai nghiệm phương trình ax + bx + c = 0; a ≠ Với cách suy luận tương tự học sinh suy cách lấy nghiệm bất phương trình dạng khác như: ax + bx + c > 0; ax + bx + c ≤ 0; ax + bx + c < 0; a ≠ { 2.1.2.2 Bất phương trình tích Phương pháp Bước 1: Đưa bất phương trình dạng P(x)0, P(x) ≤ , P(x) ≥ Trong P(x) tích số nhị thức bậc tam thức bậc hai Bước 2: Lập bảng xét dấu xét dấu trục số biểu thức P(x) suy miền nghiệm bất phương trình 2.1.2.3 Bất phương trình chứa ẩn mẫu thức Phương pháp Bước 1: Đặt điều kiện xác định Bước 2: Đưa bất phương trình cho dạng P(x) P(x) P(x) P(x) < 0, ≤ 0, > 0, ≥0 Q(x) Q(x) Q(x) Q(x) tử thức mẫu thức tích số nhị thức bậc tam thức bậc hai Bước 3: Lập bảng xét dấu xét dấu trục số vế trái, từ chọn miền nghiệm thích hợp với điều kiện * Chú ý ax + b > ⇔ (ax + b)(cx + d) > cx + d ax + b ≥ ⇔ (ax + b)(cx + d) ≥ cx + d ≠ cx + d 2.1.2.4 Bất phương trình chứa ẩn dấu { Dạng 1: f ( x ) ≥ f ( x) < g( x) ⇔  f ( x ) < g ( x ) Dạng 2: Dạng 3: Dạng 4: Dạng 5: g ( x ) >  f ( x ) < g ( x ) ⇔ f ( x ) ≥ f ( x ) < g ( x ) g ( x ) < f ( x) > g( x) ⇔  f ( x ) ≥ g ( x ) ≥ f x > g x ( )  ( ) h ( x ) > f ( x ) ≥  f ( x ) + g ( x ) < h ( x ) ⇔ g ( x ) ≥  f x + g x < h2 ( x ) ( ) ( )  h ( x ) ≥ f ( x ) ≥  f ( x ) + g ( x ) > h ( x ) ⇔ g ( x ) ≥   f ( x ) + g ( x ) = h ( x ) ( ( ) ) h ( x ) <  f ( x ) ≥ g ( x ) ≥ 2.2 Thực trạng vấn đề Phần bất phương trình phần em học sinh lớp 10 Đa số em quen giải theo kiểu phương trình nên chuyển thành dấu bất phương trình em gặp khơng bỡ ngỡ Nhiều em kỹ sử dụng máy tính cầm tay chưa thạo thuật toán Một mặt học sinh trường THPT Triệu Sơn mà giảng dạy thuộc vùng nông thôn, đời sống nhân dân cịn khó khăn, chất lượng học tập phận học sinh chưa cao Đối với học sinh lớp 10 em có học lực trung bình yếu, giải tốn bất phương trình thường gặp khó khăn, sai lầm như: Khơng nắm vững định lý dấu nhị thức bậc dấu tam thức bậc hai Không nắm vững phương pháp giải bất phương trình Lúng túng giải tốn bất phương trình chứa tham số, trình bày giải cịn thiếu logic, chặt chẽ, khoa học… 2.3 Một số sai lầm thường gặp học sinh lớp 10 giải tốn bất phương trình biện pháp khắc phục 2.3.1 Sai lầm giải bất phương trình bậc hai Học sinh khơng biết vận dụng định lí dấu tam thức bậc hai để giải bất phương trình bậc hai mà thường nhầm lẫn cách giải bất phương trình bậc hai với cách giải phương trình bậc hai bất phương trình bậc Đặc biệt với bất phương trình bậc hai khuyết hệ số Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định hàm số sau y = 5x + − x2 − Sai lầm thường gặp Điều kiện xác định hàm số là: x − > ⇔ x > ⇔ x > ±3 Hướng khắc phục Học sinh cần nắm vững cách giải bất phương trình bậc hai ý lấy nghiệm bất phương trình dựa vào dấu tam thức bậc hai (khi tam thức có hai nghiệm phân biệt dấu tam thức xác định theo qui tắc trái) Lời giải Điều kiện xác định hàm số : x − > Dấu vế trái trục số: + -3 - + Vậy điều kiện xác định x ∈ (−∞; −3) ∪ (3; +∞) Ví dụ 2: Tìm m để phương trình 5x + ( m + 1) x − ( m + 6m − 16 ) = có nghiệm trái dấu Sai lầm thường gặp Điều kiện để phương trình có nghiệm trái dấu là: ac < ⇔ −5(m + 6m − 16) < m < −8 ⇔ m + 6m − 16 > ⇔   m>2 Hướng khắc phục Trong giải bất phương trình bậc hai tam thức có ∆ > , học sinh thường nhầm lẫn cách dùng kí hiệu [ { Do cần rõ cho học sinh thấy tập nghiệm bất phương trình khoảng hay hai khoảng để lựa chọn kí hiệu phù hợp Trong tốn xét dấu tam thức miền nghiệm hợp khoảng ta phải dùng kí hiệu [ Lời giải Điều kiện để phương trình có nghiệm trái dấu là: ac < ⇔ −5(m + 6m − 16) < ⇔ m + 6m − 16 > + -8 +  m < −8 ⇔  m>2 Vậy với m∈ (−∞; −8) ∪ (2; +∞) phương trình có nghiệm trái dấu Ví dụ 3: Giải bất phương trình 5x − 4x + > Sai lầm thường gặp 5x − 4x + > Đặt f ( x ) = 5x − 4x + có ∆ ' = −1 < , suy bất phương trình vơ nghiệm Khi giải bất phương trình bậc hai trường hợp ∆ < học sinh khơng dựa vào định lí để kết luận nghiệm mà thường kết luận bất phương trình vơ nghiệm Hướng khắc phục Dấu tam thức phụ thuộc vào dấu hệ số a dấu ∆ Khi tam thức có ∆ < tam thức ln dấu với hệ số a với x ∈ R Lời giải 5x − 4x + > Đặt f ( x ) = 5x − 4x + Ta có a = > , ∆ = −1 < suy f ( x ) > với x ∈ R Vậy tập nghiệm bất phương trình S = R 2.3.2 Sai lầm giải bất phương trình tích chứa ẩn mẫu thức 2.3.2.1 Dạng f (x).g(x) ≥ ⇔ g(x) ≥ 0; f (x).g(x) ≤ ⇔ g(x) ≤ ? Hướng khắc phục Học sinh cần lưu ý xét dấu biểu thức có nghiệm kép (hoặc nghiệm bội chẵn) dấu biểu thức khơng đổi qua nghiệm kép f (x) = 0, x ∈ Dg f (x)g(x) ≥ ⇔  Đặc biệt:  g(x) ≥ 0, x ∈ D f f (x) = 0, x ∈ Dg f (x)g(x) ≤ ⇔   g(x) ≤ 0, x ∈ D f Ví dụ 4: Giải bất phương trình sau 2x − 3x > 2 Sai lầm thường gặp Đặt f ( x ) = 2x − 3x = x ( 2x − 3) Ta có : x = ⇔ x = + + 2x − = ⇔ x = Xét dấu f ( x ) trục số Dựa vào kết xét dấu ta có tập nghiệm bất phương trình là: 3  S = ( −∞;0 ) ∪  ; + ∞ ÷ 2  Hướng khắc phục Học sinh cần lưu ý xét dấu biểu thức có nghiệm kép (hoặc nghiệm bội chẵn) dấu biểu thức khơng đổi qua nghiệm kép f (x) = 0, x ∈ Dg f (x)g(x) ≥ ⇔  Đặc biệt:  g(x) ≥ 0, x ∈ D f f (x) = 0, x ∈ Dg f (x)g(x) ≤ ⇔   g(x) ≤ 0, x ∈ D f 2 Lời giải Đặt f ( x ) = 2x − 3x = x ( 2x − 3) x2 = ⇔ x = 2x − = ⇔ x = Xét dấu f ( x ) trục số Ta có : - - + 3  Dựa vào kết xét dấu ta có tập nghiệm bất phương trình là: S =  ; + ∞ ÷ 2  f (x) a 2.3.2.2 Dạng g(x) ≥ b f (x) a Sai lầm học sinh: g(x) ≥ b ⇔ b.f (x) ≥ a.g(x) Đối với bất phương trình chứa ẩn mẫu thức, giải bất phương trình học sinh thường hay khử mẫu thức mà không để ý đến dấu mẫu thức phép biến đổi có tương đương hay không Hướng khắc phục: Học sinh cần ý đến xét dấu mẫu số biến đổi dạng: b.f (x) − a g(x) ≥ sau lập bảng xét dấu vế trái dùng phương pháp trục số b.g(x) Ví dụ Giải bất phương trình x +1 ≥− x + x − 12 2 Sai lầm học sinh thường gặp: x ≥ x +1 2 ≥ − ⇔ 2(x + 1) ≥ − (x + x − 12) ⇔ x + 3x − 10 ≥ ⇔  x ≤ −5 x + x − 12  S = ( −∞ ; − 5] ∪ [2; + ∞ ) Vậy tập nghiệm bất phương trình: Nguyên nhân sai lầm: x ∈ (−4;3) x + x − 12 0 a b ab Trong cách giải học sinh sai lầm nghĩ 10  x >3 Lời giải Điều kiện:   −5 ≠ x < −1 Với x < −5 ta có vế trái dương vế phải âm nên bất phương trình vơ nghiệm Với x ∈ ( −5; − 1) ∪ ( 3; + ∞ ) ta có 1 < ⇔ x + x − 2x − ⇔ x + < x − 2x − ⇔ ( x + ) < x − 2x − −7 ⇔ 12x + 28 < ⇔ x < 7  Kết hợp với x ∈ ( −5; − 1) ∪ ( 3; + ∞ ) ta x ∈  −5; − ÷ 3  2.3.3 Sai lầm giải bất phương trình chứa tham số Khi giải bất phương trình bậc hai chứa tham số giải tốn tam thức bậc hai nói chung, sai lầm thường xuất học sinh vội vàng áp dụng định lý chưa ý đến giả thiết toán lạm dụng suy diễn mệnh đề không xét thiếu trường hợp cần biện luận Ví dụ 8: Tìm m để biểu thức P ( x ) = ( m − 1) x − ( m − 1) x + 3m + có nghĩa với x Sai lầm thường gặp Biểu thức có nghĩa với x ⇔ f ( x ) = ( m − 1) x − ( m − 1) x + 3m + ≥ 0, ∀x m −1 >  a >0 ⇔ ' ⇔ ∆ ≤ ( m − 1) − ( m − 1) ( m + 1) ≤   m >1 m >1   ⇔ ⇔  m ≥ ⇔ m > 2 ( m − 1) ( m + ) ≥   m ≤ −2   Hướng khắc phục Dễ thấy với m = f ( x ) = > 0, ∀x Lời giải xét thiếu trường hợp m = Do cần lưu ý với học sinh rằng:  a = b =   c≥0 f ( x ) = ax + bx + c ≥ 0, ∀x ⇔   a >0    ∆ ≤ Lời giải Biểu thức có nghĩa với x ⇔ f ( x ) = ( m − 1) x − ( m − 1) x + 3m + ≥ 0, ∀x 11 Với m = f ( x ) = > 0, ∀x Với m ≠ f ( x ) = ( m − 1) x − ( m − 1) x + 3m + ≥ 0, ∀x m −1 >  a >0 ⇔ ' ⇔ ∆ ≤ ( m − 1) − ( m − 1) ( m + 1) ≤   m >1 m >1   ⇔ ⇔  m ≥ ⇔ m > 2 ( m − 1) ( m + ) ≥   m ≤ −2   Vậy giá trị m cần tìm m ≥ Ví dụ 9: Tìm m để bất phương trình −3x + 6x + 3m ≤ nghiệm với ∀x ∈ ( 0; + ∞ ) Sai lầm thường gặp Đặt f ( x ) = −3x + 6x + 3m Giả sử f(x) có hai nghiệm x1,x2, đó: f ( x ) = −3x + 6x + 3m ≤ 0, ∀x ∈ ( 0; + ∞ ) ⇔ x1 ≤ x ≤ ∆ ' ≥ 9 + 9m ≥   ⇔  P ≥ ⇔  −m ≥ S≤  2