SKKN hướng dẫn học sinh lớp 9 giải một số dạng toán về sự tương giao giữa đường thẳng và parabol

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TRUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOL Người thực hiện: Phạm Thị Tuyết Lan Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Hà Yên SKKN thuộc lĩnh mực (mơn): Tốn THANH HĨA NĂM 2019 MỤC LỤC Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài .1 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu .1 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp thực 2.3.1 Kiến thức .3 2.3.2 Một số dạng toán tương giao đường thẳng parabol Dạng 1: Tìm hồnh độ giao điểm đường thẳng parabol Dạng 2: Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng parabol Dạng 3: Biện luận số giao điểm đường thẳng parabol .7 Dạng 4: Tìm giá trị tham số để vị trí tương giao đường thẳng parabol thỏa mãn điều kiện cho trước Dạng 5: Chứng minh vị trí tương đối đường thẳng parabol 13 Dạng 6: Vị trí tương đối parabol đường thẳng qua toán thực tế, toán sử sụng bất đẳng thức 15 2.4 Hiệu sáng kiến 17 Kết luận, kiến nghị 18 3.1 Kết luận 18 3.2 Kiến nghị 18 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình mơn tốn THCS có 11 tiết giảng dạy hàm số bậc có tiết nói hàm số y = kx2 (k ≠ 0) chưa có tiết nói cụ thể hóa tương giao đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) parabol y = kx (k ≠ 0) Mặt khác toán tương giao chủ đề thường gặp kỳ thi học kỳ lớp 9, kỳ thi vào lớp 10; thi học sinh giỏi phần quan trọng giúp em học sinh, học tốt năm cấp Nắm vững kiến thức giúp cho học sinh thấy mối liên hệ chúng với nghiệm phương trình bậc ẩn Xuất phát từ thực tế giáo viên dạy lớp nhiều năm liên tục ôn thi cho học sinh thi vào lớp 10, thân nhận thấy cần phải dạy cho học sinh mà đặc biệt học sinh lớp nắm dạng toán, toán tương giao đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) parabol y = kx (k ≠ 0) thông qua buổi phụ đạo, tiết ôn tập, tiết ôn thi vào lớp 10, thi học sinh giỏi Xuất phát từ ý tưởng từ đầu năm học 2016 - 2017 tơi có hướng nghiên cứu vấn đề phương pháp thực tơi lấy tên đề tài là: “Hướng dẫn học sinh lớp giải số dạng toán tương giao đường thẳng parabol" 1.2 Mục đích nghiên cứu Đề tài nghiên cứu với mục đích trang bị cho học sinh lớp số kiến thức tương giao đường thẳng parabol Để em có hứng thú học tập mơn tốn, đồng thời giúp em có kiến thức để tự tin kỳ thi đặc biệt kỳ thi vào lớp 10 THPT 1.3 Đối tượng nghiên cứu Việc hướng dẫn học sinh quan hệ parabol đường thẳng nghiên cứu đối tượng học sinh khối lớp trường THCS Hà Yên 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý thuyết: + Nghiên cứu Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách tập toán + Nghiên cứu tài liệu tham khảo - Nghiên cứu thực tiễn: + Nghiên cứu qua việc giảng dạy thực tế trường THCS Hà Yên + Qua dự đồng nghiệp nhà trường qua trao đổi, học hỏi thầy, cô giáo trước nhiều kinh nghiệm + Qua trao đổi trực tiếp với học sinh tìm hiểu khó khăn, qua kiểm tra tập học sinh 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Trong thực tế giảng dạy cho học sinh cuối cấp đòi hỏi người giáo viên cần phải cô đọng, khắc sâu, ghi nhớ cho học sinh kiến thức bản, dạng tốn điển hình thường gặp để giúp em dễ dàng nhớ vận dụng tốt kỳ thi quan trọng, không làm tốt điều học sinh học nhàm chán thi cử kết thấp Mặt khác, kỳ thi vào lớp 10 THPT năm gần năm dạng tốn liên quan đến kiến thức hàm số chiếm khoảng 1,0 điểm đến 2,0 điểm tổng số 10 điểm toàn bài, mà thực tế giảng dạy chương trình lớp lại chưa dành riêng tiết lý thuyết, luyện tập trọn vẹn nói mối quan hệ đường thẳng (d) parabol (P) Vì việc giải tốn tương giao (d) (P) chương trình, tiết luyện tập, ơn tập việc làm cần thiết giúp em củng cố kiến thức có dạng tốn hay, để ôn tập thi vào lớp 10 THPT để em đạt kết cao tích lũy nhiều kiến thức cho năm học 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trong năm gần kỳ thi vào lớp 10 THPT chuyên hay không chuyên, kỳ thi học sinh giỏi; kỳ thi học kỳ, chiếm khoảng lượng kiến thức đường thẳng (d) parabol (P) Song số phận học sinh chưa ham học, chưa nắm vững kiến thức nên khơng làm mà theo tơi ngun nhân là: - Thứ nhất: Do em khơng chăm học, không chịu trau dồi kiến thức hàm số - Thứ hai: Do học em không tập chung ý nghe giảng, nên không lĩnh hội kiến thức, nên vận dụng kiến thức vào giải tập em làm trọn vẹn - Thứ ba: Do lực học em lớp chưa đồng - Thứ tư: Do cấu trúc chương trình học chưa đề cập rõ nét tương giao - Thứ năm: Một số giáo viên cô ôn tập cho học sinh, bồi dưỡng cho học sinh chưa nhiệt tình, chưa có nhiều kinh nghiệm, nên việc ơn tập chưa có hệ thống chưa sát với thực tế Từ nguyên nhân thực trạng trên, nghiên cứu đề tài khảo sát 61 học sinh lớp trường THCS Hà Yên năm học 2017 - 2018 sau học xong chương hàm số y = ax2 đại số 9, thu kết sau: Học sinh giải Học sinh sai Học sinh giải sai nhiều Lớp Sỹ số thành thạo lầm chưa biết giải 9A 31 em em chiếm 25% 10em chiếm 33% 13em chiếm 42% 9B 30 em em chiếm 27% 10 em chiếm 33% 12 em chiếm 40% Từ thực tế khảo sát cho thấy nhiều học sinh chưa làm tốt dạng tốn mà hiệu dạy học chưa cao 2.3 Các giải pháp thực 2.3.1 Kiến thức Ghi nhớ lý thuyết kiến thức hàm số y = ax + b (a ≠ 0) parabol y = kx2 (k ≠ 0) tương giao a/ Vị trí tương đối đường thẳng Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b (a ≠ 0) (d’): y = a'x + b' (a'≠ 0) Ta có phương trình hồnh độ giao điểm (d) (d') nghiệm phương trình: ax + b = a'x + b' � (a - a')x = b – b' (1) a Nếu (d) // (d') � phương trình (1) vơ nghiệm � a = a' b ≠ b' b Nếu (d) cắt(d') � phương trình (1) có nghiệm � a ≠ a' c Nếu (d) vng góc (d') � a.a' = -1 d Nếu (d) trùng (d') � a = a' b = b' � phương trình (1) có vơ số nghiệm b/ Vị trí tương đối đường thẳng parabol Cho parabol (P): y = kx2 (k ≠ 0) đường thẳng (d): y = ax + b (a ≠ 0) Ta có phương trình hồnh độ giao điểm parabol (P) đường thẳng (d) nghiệm phương trình: kx2 = ax + b  kx2 - ax - b = (*) - Parabol (P) đường thẳng (d) khơng có điểm chung  Phương trình (*) vơ nghiệm tức  c/ Giải phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Các cách giải phương trình bậc hai : - Cơng thức nghiệm:  = b2 - 4ac Nếu:  < 0: Phương trình vơ nghiệm  = 0: Phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =  > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = -b +  ; x2 = -b -  2a 2a - Công thức nghiệm thu gọn: ’ = (b’) - ac ’ < 0: Phương trình vơ nghiệm ’ = 0: Phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = ’ > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt : x1 = -b' +  ' ; x2 = -b' -  ' a a - Nhẩm theo hệ số a, b, c Nếu a + b + c = x1 = 1; x2 = Nếu a - b + c = x1 = -1; x2 = d/ Một vài lưu ý Nếu A(xa ; ya); B(xb;yb) độ dài AB  ( xa  xb )2  ( ya  yb )2 * Nếu hàm số y= f(x) có đồ thị (C) điểm M(xm; ym) thuộc đồ thị (C) ta có: ym = f(xm) * Nếu N(xn; yn) không thuộc (C) yn ≠ f(xn) * Cho y = ax + b (a ≠ 0) (d) y = a'x + b' (a'≠ 0) (d') - Nếu (d) cắt (d') điểm trục tung b = b' ax+b=0 � - Nếu (d) cắt (d') điểm trục hồnh �� � a x+b =0 � - Nếu (d) cắt (d') điểm nằm phía trục hồnh y = ab�  a� b >0 a  a� (tung độ giao điểm nhận giá trị dương) - Nếu (d) cắt (d') điểm nằm phía bên trái trục tung hồnh độ giao điểm nhận giá trị âm x = b� b < a  a� Trên sở lý thuyết đó, sau vài dạng tập tương giao đường thẳng ( d): y = ax + b (a ≠ 0) parabol ( p): y = kx2 (k ≠ 0) 2.3.2 Một số dạng toán tương giao đường thẳng (d): y = ax + b (a ≠ 0) Parabol (P): y= kx2 (k ≠ 0) Dạng 1: Tìm hồnh độ giao điểm đường thẳng (d): y = ax + b (a ≠ 0) parabol (P): y = kx2 (k ≠ 0) * Cách giải chung: - Ta có hồnh độ giao điểm đường thẳng (d): y = ax + b (a ≠ 0) parabol (P): y = kx2 (k ≠ 0) nghiệm phương trình: kx2 = ax + b  kx2 - ax - b = (*) - Giải phương trình (*) ta hồnh độ giao điểm * Các ví dụ: Ví dụ 1: Tìm hồnh độ giao điểm Parabol y = x2 đường thẳng y = x – Hướng dẫn giải: Hoành độ giao điểm Parabol đường thẳng nghiệm phương trình: x2 = x –  x2 - x + = Ta có :  = b - 4ac = (-1) - = - 24 = -23 < Phương trình vơ nghiệm  Parabol đường thẳng khơng có điểm chung Ví dụ 2: Cho Parabol y = x đường thẳng y = 2x - Xác định hoành độ giao điểm hai đồ thị? Hướng dẫn giải: Hoành độ giao điểm hai đồ thị nghiệm phương trình: x = 2x -  x - 2x + =  x2 - 6x + = Ta có: ' = (b’)2 - ac = (-3)2 - = - = Phương trình có nghiệm kép: x = - = - (-3) = Vậy Parabol đường thẳng tiếp xúc điểm có hồnh độ Ví dụ 3: Tìm hồnh độ giao điểm parabol y = 2x2 đường thẳng y = 7x - Hướng dẫn giải: Hoành độ giao điểm parabol đường thẳng nghiệm phương trình: 2x2 = 7x -5  2x2 - 7x + = Có + (-7) + =  Phương trình có hai nghiệm: x1 = 1, x2 = Vậy đường thẳng cắt Parabol hai điểm có hồnh độ * Sai lầm học sinh thường mắc phải Mặc dù dạng toán áp dụng cơng thức đơn giản q trình làm tập thấy học sinh mắc sai lầm sau: - Quên áp dụng sai phép biến đổi tương đương phương trình - Sai lầm tính tốn * Kinh nghiệm giảng dạy dạng tốn - Ơn tập lại phép biến đổi tương đương phương trình - Luyện kĩ tính tốn cho học sinh - Luyện cho em tính cẩn thận sốt lại sau giải xong * Bài tập tương tự Bài 1: (Đề thi kỳ II – Thanh Hóa, 2017 - 2018) Cho parabol (P): y = x2 đường thẳng (d): y = 2x+3 a Vẽ parabol (P) b Tìm hồnh độ giao điểm Bài 2: (Đề thi kỳ II – Ninh Bình, 2017 - 2018) Vẽ Parabol y = 2x2 (P) đường thẳng y = x - (d) mặt phẳng toạ độ Tìm hồnh độ giao điểm? Bài 3: Tìm hồnh độ giao điểm Parabol (P): y = –x với đường thẳng (d): y = – 5x + 4? Bài 4: Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P) hàm số y = 2x – (m tham số) có đồ thị đường thẳng (d) a Vẽ (P) b Tìm hoành độ giao điểm đường thẳng (d) với parabol (P) Dạng 2: Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng (d): y = ax + b (a ≠ 0) parabol (P): y = kx2 (k ≠ 0) * Cách giải chung: Tọa độ giao điểm vừa phải thuộc (d) vừa phải thuộc (P) nên ta tìm tọa độ giao điểm phương trình hồnh độ giao điểm (*), sau thay hồnh độ vào hai phương trình (d) (P) để tìm tung độ giao điểm Từ tìm tọa độ giao điểm * Các ví dụ Ví dụ 1: Tìm toạ độ giao điểm Parabol y = x2 đường thẳng y = 2x - Hướng dẫn giải: Hoành độ giao điểm Parabol đường thẳng nghiệm phương trình: x2 = 2x –  x2 - 2x + =  x2 - 4x + 10 = Ta có: ’ = (b’)2 - ac = (-2)2 - 10 = - 10 = -6 ’ <  Phương trình vơ nghiệm  Đường thẳng Parabol khơng có điểm chung Ví dụ 2: Cho Parabol y = x2 đường thẳng y = 2x - Xác định toạ độ giao điểm Parabol đường thẳng trên? Hướng dẫn giải: Hoành độ giao điểm Parabol đường thẳng nghiệm phương trình: x2 = 2x –  x2 - 2x + =  x2 - 8x + 16 = Ta có: ’ = (b’)2 - ac = (-4)2 - 16 = 16 - 16 = Phương trình có nghiệm kép: x = = - (-4) = Với x = � tung độ giao điểm y = - = toạ độ giao điểm (P) (d) (4; 4) Vậy đường thẳng y = 2x - tiếp xúc Parabol y = x2 điểm (4; 4) Ví dụ 3: (Thi học kỳ II – Thanh Hóa năm 2015 – 2016) Cho parabol (P): y = 2x2 đường thẳng (d): y = 3x + Tìm toạ độ giao điểm (d) (P)? Hướng dẫn giải : Hoành độ giao điểm (P) (d) nghiệm phương trình: 2x2 = 3x + � 2x2 - 3x - = Ta có: a – b + c = – (-3) + (-5) = => x1= -1 ; x2 = + Với x1 = -1 � y1 = 2.(-1)2 = toạ độ giao điểm thứ (P) (d) là: A(-1; 2) 5 � 25 � y2 = � + Với x2 = toạ độ giao điểm thứ hai (P) (d) � �= �2 � 25 là: B( ; ) 2 * Sai lầm học sinh thường mắc phải Mặc dù dạng tốn áp dụng cơng thức đơn giản q trình làm tập tơi thấy học sinh mắc sai lầm sau: - Quên áp dụng sai phép biến đổi tương đương phương trình - Sai lầm tính tốn - Đôi học sinh lại vẽ hai đồ thị lên mặt phẳng tọa độ tìm giao điểm Tuy nhiên gặp mà x, y số nguyên tìm tọa độ đồ thị khó xác - HS tính hai hồnh độ giao điểm kết luận tọa độ giao điểm * Kinh nghiệm giảng dạy dạng toán Giáo viên hướng dẫn học sinh giải ví dụ lưu ý khắc sâu cho học sinh kỹ giải phương trình bậc hai - Chỉ rõ cho HS khác tốn hỏi “Hồnh độ giao điểm với tọa độ giao điểm” * Bài tập tương tự: Bài 1: Xác định toạ độ giao điểm Parabol y = x2 đường thẳng y = 7x - 12 Bài 2: (Đề thi vào THPT - Chuyên Lê Hồng Phong Thành phố Hồ Chí Minh) Cho parabol (P): y = x đường thẳng (d): y = - x + a Tìm toạ độ giao điểm (P) (d) b Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) cho đường tiếp tuyến (P) song song với (d) Bài : Cho parabol (P): y = x2 đường thẳng (d): y = -4x + a Xác định toạ độ giao điểm (d) (P) ? b Tìm toạ độ điểm (P) mà tiếp tuyến (P) điểm song song với đường thẳng (d) Dạng 3: Biện luận số giao điểm đường thẳng parabol * Cách giải chung: Số giao điểm Parabol y = kx2 (k≠ 0) đường thẳng y = ax + b (a≠ 0) số nghiệm phương trình: kx2 = ax + b  kx2 - ax - b = Ta có:  = (-a)2 – 4k (-b) = a2 + 4kb Nếu:  < 0: Parabol đường thẳng không cắt  = 0: Parabol đường thẳng tiếp xúc  > 0: Parabol đường thẳng cắt hai điểm * Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho Parabol (P) y = x2 đường thẳng (d) y = 2(m - 1)x - m2 - Tìm m để: a (d) cắt (P) hai điểm phân biệt b (d) tiếp xúc (P) điểm c (d) không cắt (P) Hướng dẫn giải: Hoành độ giao điểm Parabol đường thẳng nghiệm phương trình: x2 = 2(m - 1)x - m2 -  x2 - 2(m - 1)x + m2 + = (1) Ta có ’ = (b’)2 - ac = [-(m -1)]2 - (m2 + 9) = m2 - 2m + - m2 - = -2m - a) (d) cắt (P) hai điểm phân biệt  Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  ’ >  - 2m - >  - 2m >  m < -4 Vậy với m < -4 (d) cắt (P) hai điểm phân biệt b) (d) tiếp xúc (P) điểm  Phương trình (1) có nghiệm kép  ’ =  - 2m - =  - 2m =  m = -4 Vậy với m = -4 (d) tiếp xúc (P) điểm c) (d) không cắt (P)  Phương trình (1) vơ nghiệm  ’ <  - 2m - <  - 2m <  m > -4 Vậy với m > -4 (d) khơng cắt (P) Ví dụ 2: Cho Parabol (P) y = x đường thẳng (d) y = 6mx - 8m Với giá trị m để: a (d) không cắt (P) b (d) tiếp xúc (P) Tìm toạ độ giao điểm? c (d) cắt (P) hai điểm phân biệt? Tìm toạ độ giao điểm m = -1 Hướng dẫn giải: Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình: x2 = 6mx - 8m2  x2 - 6mx + 8m2 = (2) Ta có: ’ = (b’)2 - ac = (-3m)2 - 8m2 = 9m2 - 8m2 = m2 a (d) không cắt (P)  Phương trình (2) vơ nghiệm  ’ <  m2 < (Vơ lí)  Khơng có giá trị m để (d) không cắt (P) b (d) tiếp xúc (P)  ’ = 0 m2 =  m = Thay m = vào phương trình (2) ta được: (2)  x2 =  x = Thay x = vào hàm số y = x2 ta : y = 02 = Vậy với m = (d) tiếp xúc với (P) gốc toạ độ O (0; 0) c (d) cắt (P) hai điểm phân biệt  ’ > m0 �  Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt  m2 >  � m0 � Thay m = -1 vào phương trình (2) ta được: (2)  x2 + 6x + = ’ = 32 - = - = > = = Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = - + = -2 ; x2 = -3 - = - Lần lượt thay giá trị x1 = - 2, x2 = - vào hàm số y = x2 ta được: y1 = (- 2)2 = ; y2 = (- 4)2 = 16 Với m > m < (d) cắt (P) hai điểm phân biệt Tại m = -1 (d) cắt (P) hai điểm: (- 2; 4) (- 4; 16) * Sai lầm học sinh thường mắc phải - Quên lý thuyết công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn, nhẩm nghiệm phương trình bậc hai - Sai lầm tính tốn - HS khơng nêu hết trường hợp xảy * Kinh nghiệm giảng dạy dạng tốn Ơn tập lại cơng thức nghiệm, cơng thức nghiệm thu gọn, nhẩm nghiệm phương trình bậc hai * Bài tập tương tự: Bài 1: Cho Parabol (P): y  x2 cắt đường thẳng (d): y = 4mx – m2 – Tìm m để: a (d) cắt (P) hai điểm phân biệt b (d) tiếp xúc với (P) c (d) không cắt (P) Bài 2: Cho Parabol (P) y  x2 cắt đường thẳng (d): y = 4x + 2m a Với giá trị m (d) tiếp xúc với (P) b Với giá trị m (d) cắt (P) hai điểm phân biệt Bài 3: Cho parabol (P): y = x2 đường thẳng (d): y = x + m Với giá trị m đường thẳng (d): a Cắt (P) hai điểm phân biệt? b Tiếp xúc với (P) Tìm toạ độ tiếp điểm? Dạng 4: Tìm giá trị tham số để vị trí tương giao đường thẳng parabol thỏa mãn điều kiện cho trước: * Cách giải chung: - Lập phương trình hoành độ giao điểm đường thẳng (d): y = ax + b (a ≠ 0) parabol (P): y = kx2 (k ≠ 0) - Tính   ' - Viết hệ thức Viét làm theo yêu cầu tốn * Các ví dụ: Ví dụ 1: Dạng toán đường thẳng cắt parabol hai điểm phân biệt có hồnh độ thỏa mãn điều kiện cho trước (Đề thi vào THPT - Thanh Hóa năm 2013 – 2014) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng (d): y  2ax  Parabol (P): y  2 x Tìm a để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) hai điểm phân biệt có hồnh 2 độ x1, x2 thoả mãn điều kiện: x1  x2  4( x1  x2 )   Hướng dẫn giải : Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) nghiệm phương trình: 2 x  2ax  � x  2ax   (1) (d) cắt (P) hai điểm phân biệt �  '  a   (*) �x1  x2   a � Theo định lí Viét ta có: � x x  � � Từ giả thiết ta có: x12  x22  4( x1  x2 )   � ( x1  x2 )  x1x2  4( x1  x2 )   a 1 � � ( a)  �  4.( a)   � a  4a   � � a3 � Kết hợp với điều kiện (*) ta a = Ví dụ 2: Dạng tốn đường thẳng cắt parabol hai điểm phân biệt có độ dài cho trước: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P): y = x² đường thẳng (d): y = x + m Tìm m để (d) cắt (P) điểm phân biệt A, B cho AB = 2 Hướng dẫn giải : Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình: x² - x - m = Muốn cho (d) (P) cắt hai điểm phân biệt A, B, ta phải có: 1 Δ = + 4m > hay m > Trong điều kiện đó, gọi x₁ x₂ hai nghiệm phương trình Tọa A B là: (x₁, x₁²) (x₂, x₂²) Ta có: AB² = (x₁ - x₂)² + (x₁² - x₂²)² = (x₁ - x₂)² + (x₁ - x₂)²(x₁ + x₂)² = (x₁ - x₂)²[1 + (x₁ + x₂)²] = [(x₁ + x₂)² - 4(x₁ x₂)][1 + (x₁ + x₂)²] Theo hệ thức Viét: (x₁ + x₂) = 1, (x₁x₂) = -m, AB² = (1 + 4m)(1 + 1) = + 8m Để cho AB = 2 ta phải có + 8m = (2 2) = => m  Vậy với m  (d) cắt (P) điểm phân biệt A, B cho AB = 2 Ví dụ 3: Dạng tốn đường thẳng cắt parabol hai điểm phân biệt có độ dài nhỏ nhất: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P): y = x2 đường thẳng (d): y = 2mx - m + m - Tìm giá trị m để (d) cắt (P) hai điểm có hoành độ x1 ; x cho x12 + x22 đạt giá trị nhỏ Hướng dẫn giải : Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình: x2 – 2mx + m – m + = Ta có: Δ’ = m – 3, phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 Nên Δ’ ≥ � m ≥ Áp dụng hệ thức Viét ta có: x1 + x2 = 2m; x1.x2 = m2 - m + Theo ra, ta có: x12 + x22 = (x1 + x2) – 2x1x2 = (2m)2 - 2(m2 - m + 3) = 2(m2 + m - ) 1 12 + - - ) 4 13 13 = 2[(m + ) - ]=2(m + )2 2 = 2(m2 + 2m 10 1 ≥ 3+ = 2 2 49 49 13 49 13 � (m + ) ≥ � 2(m + ) ≥ � 2(m + )2 ≥ - = 18 2 2 2 Do điều kiện m ≥ � m + Vậy GTNN x12 + x22 18 m = Ví dụ 4: Dạng toán đường thẳng cắt parabol hai điểm phân biệt thỏa mãn tính chất hình học: (Đề thi vào THPT chuyên Lam Sơn Thanh Hóa năm 2012 - 2013) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P): y = x đường thẳng (d): y = 2x + a Chứng minh (d) (P) có hai điểm chung phân biệt b Gọi A B điểm chung (d) (P) Tính diện tích tam giác OAB (O gốc toạ độ) Hướng dẫn giải : a Chứng minh (d) (P) có hai điểm chung phân biệt Hoành độ giao điểm đường thẳng (d) Parabol (P) nghiệm phương trình: x2 = 2x + => x2 – 2x – = có a – b + c = Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = -1; x2 = c  3, a Với x1 = -1 => y1 = (-1)2 = => A(-1; 1) Với x2 = => y2 = 32 = => B(3; 9) Vậy (d) (P) có hai điểm chung phân biệt A B b Gọi A B điểm chung (d) (P) Tính diện tích tam giác OAB (O gốc toạ độ) y Ta biểu diễn điểm A B mặt B phẳng toạ độ Oxy hình vẽ: AD  BC 1 DC   20 2 BC.CO 9.3    13,5 2 AD.DO 1.1    0,5 2 S ABCD  S BOC S AOD A Theo công thức cộng diện tích ta có: D C -1 S(ABC) = S(ABCD) - S(BCO) - S(ADO) x = 20 – 13,5 – 0,5 = (đvdt) * Sai lầm học sinh thường mắc phải Học sinh hay quên không giải điều kiện Δ Δ’ Khi tìm tham số lại quên không đối chiếu với điều kiện Hoặc khơng biết vận dụng hệ thức viets để giải tốn * Kinh nghiệm giảng dạy dạng toán Giáo viên cần luyện cho em tính cẩn thận sốt lại sau giải xong Ngoài cần củng cố cho em kỹ lập phương trình hồnh độ giao điểm, biến đổi đưa phương trình bậc hai dạng tổng quát Đặc biệt, giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh biết rằng, dạng toán trọng tâm kỳ thi vào THPT tỉnh Thanh Hóa, người đề quan tâm * Bài tập tương tự 11 Bài 1: (Đề thi vào THPT - Thanh Hóa năm 2014 – 2015) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = mx - tham số m Parabol (P): y = x2 Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 thỏa mãn x1 - x = Bài 2: (Đề thi vào THPT - Thanh Hóa năm 2015 – 2016) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y= x + n – parabol (P) : y = x2 Tìm n để đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt có hồnh �1 �x1 độ x1, x2 thỏa mãn: �  1� � x1 x2   x2 � Bài 3: (Đề thi vào THPT - Thanh Hóa năm 2016 – 2017) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = nx +1 Parabol (P): y = 2x Tìm n để đường thẳng (d) qua điểm B(1; 2) Chứng minh đường thẳng (d) ln cắt Parabol (P) hai điểm phân biệt có hoàng độ M(x 1; y1), N(x2; y2) Hãy tính giá trị biểu thức S = x1 x2  y1 y2 Bài 4: (Đề thi vào THPT - Thanh Hóa năm 2017 – 2018) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y  x  n  Parabol (P): y  x Tìm n để đường thẳng (d) qua điểm A(2;0) Tìm n để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn: x12  x2  x1 x2  16 Bài 5: (Đề thi vào THPT chuyên Hà Nội năm 2017 – 2018) Cho parabol (P): y = x2 đường thẳng (d) : y  2ax  4a (với a tham số) 1.Tìm tọa độ giao điểm ( d) (P) a   2 Tìm tất giá trị a để đường thẳng (d) cắt (P) taị hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2 thỏa mãn x1  x2  Dạng 5: Chứng minh vị trí tương đối parabol đường thẳng * Cách giải chung: Hoành độ giao điểm Parabol (P):y = kx (k≠ 0) đường thẳng (d): y = ax + b (a≠ 0) số nghiệm phương trình: kx2 = ax + b  kx2 - ax - b = (*) Ta có:  = (-a)2 – 4k (- c) = a2 + 4kb Nếu:  < 0: Phương trình (*) vơ nghiệm => Parabol đường thẳng khơng cắt  = 0: Phương trình (*) có nghiệm kép => Parabol đường thẳng tiếp xúc (có điểm chung) 12  > 0: Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt => Parabol đường thẳng cắt hai điểm * Các ví dụ Ví dụ 1: Chứng tỏ Parabol (P) y  4x2 tiếp xúc với đường thẳng (d): y = 4mx + m2 m thay đổi Hướng dẫn giải: Ta có hồnh độ giao điểm Parabol (P): y = –4x với đường thẳng (d): y = 4mx + m2 nghiệm phương trình: –4x2 = 4mx + m2  4x2 + 4mx + m2 = Ta có  = b2 – 4ac = (4m)2 – 4.4.m2 = 16m2 – 16m2 =  m Phương trình có nghiệm kép Do Parabol (P) ln tiếp xúc với (d) m thay đổi Ví dụ 2: Chứng tỏ Parabol (P) : y  x2 ln có điểm chung với đường thẳng (d): y = 2(m – 1)x – 2m + m thay đổi Hướng dẫn giải: Ta có hồnh độ giao điểm Parabol (P) y = x với đường thẳng (d) y = 2(m – 1)x – 2m + nghiệm phương trình: x2 = 2(m – 1)x – 2m +  x2 – 2(m – 1)x + 2m – = ' = b'2 – ac = [(m – 1)]2 – (2m – 3) = m2 – 4m +4 = (m – 2)2   m Phương trình ln có nghiệm Do Parabol (P) ln ln có điểm chung với đường thẳng (d) m thay đổi Ví dụ 3: Chứng tỏ Parabol (P): y  3x2 cắt đường thẳng (d): y = 5x – hai điểm nằm phía trục tung Hướng dẫn giải: Hoành độ giao điểm Parabol (P): y = 3x2 với đường thẳng (d): y = 5x – nghiệm phương trình: 3x2 = 5x –  3x2 – 5x + = Ta có a + b + c= + (–5) + = c Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1  1; x2   a Ta thấy hai nghiệm dương Suy hoành độ giao điểm dương Do giao điểm chúng nằm phía trục tung (góc phần tư thứ I hệ trục Oxy) Ví dụ 4: Chứng tỏ Parabol (P) y   x2 cắt đường thẳng (d): y = 2x – 2007 hai điểm thuộc hai phía trục tung Hướng dẫn giải: Hồnh độ giao điểm Parabol (P): y = -x2 với đường thẳng (d): y = 2x – 2013 nghiệm phương trình: –x2 = 2x – 2013  x2 + 2x – 2013 = Vì có a.c = – 2013 < nên phương trình có hai nghiệm trái dấu Do giao điểm thuộc hai phía trục tung * Phân tích sai lầm học sinh mắc phải 13 Học sinh khơng đưa phương trình hồnh độ giao điểm phương trình tổng qt tính  ’ Học sinh nhầm lẫn phương trình bậc trường hợp có nghiệm vơ số nghiệm * Kinh nghiệm dạy dạng tốn Giáo viên cần củng cố cho học sinh kỹ lập phương trình hồnh độ giao điểm, biến đổi đưa phương trình bậc hai dạng tổng quát Khi xác định vị trí tương đối parabol đường thẳng trở thành toán biện luận số nghiệm phương trình bậc hai * Bài tập tương tự Bài 1: (Đề thi vào THPT - Thanh Hóa năm 2009 – 2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y = x2 điểm A(0; 1) a Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm A (0; 1) có hệ số góc k b Chứng minh đường thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) hai điểm phân biệt M N với k c Gọi hoành độ hai điểm M N x x2 Chứng minh rằng: x1.x2 = –1, từ suy tam giác MON tam giác vuông Bài 2: (Đề thi vào THPT – Hà Nội năm 2016 – 2017) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 3x + m2 - parabol (P): y = x2 a Chứng minh (d) cắt (P) hai điểm phân biệt với m b Gọi x1; x2 hồnh độ giao điểm (d) (P) Tìm m để (x1 + 1)(x2 + 1) = Bài 3: (Đề thi vào THPT – Đà Nẵng năm 2017 – 2018) Cho hai hàm số y = x2 y = mx + 4, với m tham số Chứng minh với giá trị m, đồ thị hai số cho cắt hai điểm phân biệt A1  x1 ; y1  B  x2 ; y2  Tìm tất trị m cho  y1    y2   2 Bài 4: (Đề thi vào THPT chuyên Lam Sơn năm 2011 - 2012, toán chung) Cho parabol (P): y = x đường thẳng (d): y = mx – m + (m tham số) a Tìm m để (d) cắt (P) điểm có hồnh độ x = b Chứng minh với giá trị m (d) ln cắt (P) hai điểm phân biệt Dạng 6: Vị trí tương đối parabol đường thẳng qua toán thực tế, toán sử sụng bất đẳng thức * Cách giải chung: - Đây dạng tương đối khó, u cầu HS phải dựa vào nội dung toán qui lạ quen - Xác định phương trình (P) (d), tìm tọa độ giao điểm - Sử dụng kiến thức hình học, đại số liên quan như: Đối xứng; Pytago; Bất đẳng thức Côsi 14 * Các ví dụ: Ví dụ : Một xe tải có chiều rộng 2.4m chiều cao 2,5m muốn qua cổng hình Parabol Biết khoảng cách hai chẩn cổng 4m khoảng cách từ đỉnh cổng (đỉnh Parabol) tới chân công 25 m (bỏ qua độ dày cổng) Trong mặt phẳng toa độ Oxy, gọi Parabol (P): y = ax với a < hình biểu diễn cổng mà xe tải muốn qua Chứng minh a = -1 Hỏi xe tải qua cơng không? Tại sao? (Đề thi vào THPT chuyên ĐHSP Hà Nội, năm 2015 - 2016) Hướng dẫn giải : Giả sử mặt phẳng tọa độ, độ dài đoạn thẳng tính theo đơn vị mét Mà khoảng cách hai chân cổng 4m Nên MA = NA = Từ giả thiết ta có: OM = ON = Do theo định lí Pytago ta tính được: OA = � M(2 ; 4), N(-2 ; -4) Mặt khác, M(2 ; 4) thuộc Parabol nên tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình: (P): y = ax2 hay -4 = a.22 � a = -1 Vậy a = -1 (P): y = -x2 Để đáp ứng chiều cao, trước hết xe tải phải chọn phương án vào cổng Xét đường thẳng (d): y  3 (Ứng với chiều cao xe) Đường thẳng cắt Parabol hai điểm có tọa độ thỏa mãn hệ: � 3 3 �y   x � x2  x ;y � � � � � 2 � 3 � � 3 � � y �y  �x  3 ; y  3 � � � � � 2 �3 3 � �3 3 � ;H � Do tọa độ hai giao điểm là: T � � ; � � � ; � � � � �2 � Trên Parabol (P) xét hai điểm H T đối xứng với qua Oy HT=2,4 (Ứng với chiều rộng xe tải) Gọi B giao điểm HT Oy Khi AB  64  2,5 25 Do xe tải qua cổng Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A B chạy Parabol (P): y = x2 cho A, B �O(0; 0) OA  OB Giả sử I trung điểm đoạn thẳng AB a Tìm quĩ tích trung điểm I đoạn thẳng AB b Đường thẳng AB luôn qua điểm cố định c Xác định tọa độ điểm A B cho độ dài đoạn AB nhỏ 15 Hướng dẫn giải: a Giả sử A(a ; a2) B(b ; b2) hai điểm thuộc (P) Để A, B �O(0; 0) OA  OB ta cần điều kiện: ab �0 OA2 + OB2 = AB2 hay ab �0 a2 + a4 +b2 +b4 = (a - b)2+(a2 – b2)2 � ab = -1 Gọi I(x1; y1) trung điểm đoạn AB Khi đó: ab � x  � � � 2 a  b  2ab a  b   �y    x12  1 � � 2 � Tọa độ điểm I thỏa mãn phương trình y = 2x2 Ta tìm điều kiện để OA  OB theo cách sử dụng hệ số góc a2 a a b2 Đường thẳng OB có hệ số góc k2   b b � Điều kiện để OA  OB ab = -1 Đường thẳng OA có hệ số góc k1  x  a y  a2  b Phương trình đường thẳng qua A B (AB): b  a b2  a2 Hay (AB): y = (a + b)x – ab = (a + b)x + Vậy (AB): y = (a + b)x + qua điểm cố định (0;1) c Vì OA  OB nên ab = -1 Độ dài đoạn AB: AB  (a  b)  (a  b ) Hay AB  a  b  2ab  a  b  2a 2b Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có: a  b �2 a 2b  ab , a  b �2a 2b2 Ta có: AB � ab   2a 2b2  2a 2b2  Vậy độ dài đoạn AB nhỏ a  b , ab = -1 Và điểm A(-1; 1), B(1; -1) * Phân tích sai lầm học sinh mắc phải: - Sai lầm phải nói đến em gặp dạng tốn khơng đọc thật kĩ đề, dẫn đến em thấy khó bỏ qua; làm không nội dung yêu cầu - HS không tư đến việc sử dụng kiến thức liên quan để giải toán: Đối xứng ; Pytago ; Bất đẳng thức Côsi * Kinh nghiệm dạy dạng toán Giáo viên hướng dẫn cho học sinh giải dạng toán theo cấu trúc ví dụ Củng cố cho học sinh kỹ sử dụng bất đẳng thức Côsi * Bài tập tương tự Bài 1: (Đề thi vào THPT chuyên ĐHSP Hà Nội, năm 2005 - 2006) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): 2x – y – a2 = Parabol (P): y = x2 (a > 0) 16 Tìm a để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B Chứng minh A, B nằm bên phải trục tung Gọi xA, xB hồnh độ A B Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T  x A  xB x A  xB Bài 2: (Đề thi vào THPT chuyên Lam Sơn, năm 2012 - 2013) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P): y = x đường thẳng (d): y = 2x + Chứng minh (d) (P) có hai điểm chung phân biệt Gọi A B điểm chung (d) (P) Tính diện tích tam giác OAB (O gốc toạ độ) 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Qua bốn năm học 2014 - 2015 đến năm học 2017 - 2018, nghiên cứu thực đề tài với đối tượng học sinh lớp trường THCS Hà Yên Qua khảo sát đề thi vào lớp 10 năm gần học sinh làm tốt loại toán Với kết thật đáng mừng Tôi nhận thấy học sinh tự tin gặp toán hàm số, toàn tập SGK, sách tham khảo học sinh làm thành thạo mà không gặp trở ngại Điều cho thấy kết bước đầu đề tài thành công Để khẳng định tính hiệu giải pháp áp dụng, khảo sát 61 em học sinh lớp năm học 2017 - 2018 trường THCS Hà Yên, thu kết sau: Lớp Sĩ số 9A 9B 31 30 Học sinh giải thành thạo Số Lượng Tỉ lệ 29 93,3% 30 100% Học sinh mắc sai lầm Số lượng Tỉ lệ 6,7 % 0 Tuy nhiên kết thu kết ban đầu chứng minh cho giải pháp áp dụng quy mô nhỏ lẻ phạm vi đơn vị trường học Để giải pháp mà tơi áp dụng đem lại hiệu cao trình dạy học với nhiều đối tượng, nhiều đơn vị khác Rất mong bạn bè, đồng nghiệp tham khảo góp ý để đề tài thân ngày hoàn thiện KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT 3.1 Kết luận Trong trình giảng dạy, việc người giáo viên đưa dạng toán, dạng tập toán nhằm củng cố, ghi nhớ, khắc sâu cho học sinh việc làm thiết góp phần giúp cho em có kiến thức vững để phục vụ cho việc học tập việc thi cử Ngồi ra, giúp em tự tin theo học lên cấp cao Cũng từ đó, góp phần giúp cho em u thích mơn học Giúp cho tốn học có ảnh hưởng lớn đến lĩnh vực xã 17 hội Tôi hy vọng rằng, viết góp phần việc nâng cao trình độ học tốn học sinh góp phần nhỏ cho giáo viên phụ huynh học sinh tham khảo 3.2 Kiến nghị Đường thẳng parabol dạng toán thơng dụng có ảnh hưởng nhiều đến việc học tập sau em Nhưng phân phối chương trình theo quy định hành chưa dành riêng tiết cụ thể nói tương giao đường thẳng parabol Vậy tơi kính mong nhà quản lí giáo dục cần bổ sung thêm tiết tương giao đường thẳng parabol Để giúp học sinh có vững kiến thức hàm số Để tạo điều kiện cho giáo viên trường học hỏi sáng kiến hay nhằm áp dụng vào thực tiễn giảng dạy xin đề nghị với phòng giáo dục tổ chức cho giáo viên hàng năm học tập sáng kiến kinh nghiệm có tính ứng dụng cao thực tiến dạy học Trong trình nghiên cứu trình bày, thân cố gắng làm việc tất điều kiện Nhà trường cho phù hợp với trình độ khác học sinh Đồng thời thân không ngừng tham khảo ý kiến đồng nghiệp Tuy nhiên, nhiều hạn chế phương tiện, điều kiện nghiên cứu thiếu nên chắn nhiều thiếu sót Rất mong góp ý đồng nghiệp bạn để đề tài hoàn thiện áp dụng rộng rãi giảng dạy Xin trân trọng cảm ơn! Hà Trung, ngày 20 tháng năm 2019 Tôi xin cam đoan sáng kiến thân, tuyệt đối không chép người khác XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ NGƯỜI THỰC HIỆN Phạm Thị Tuyết Lan 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa toán - Nhà xuất Giáo dục Sách giáo viên Toán - Nhà xuất Giáo dục Sách tập toán - Nhà xuất Giáo dục Toán chuyên đề nâng cao Đại số - Vũ Dương Thụy - Nguyễn Ngọc Đạm - Nhà xuất Giáo dục 500 toán chọn lọc Toán - Nguyễn Ngọc Đạm - Nguyễn Quang Hanh Ngô Long Hậu - Nhà xuất Đại học Sư phạm Nâng cao phát triển tốn - Vũ Hữu Bình - Nhà xuất Giáo dục Một số đề thi học sinh giỏi toán Các đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn Thanh Hoá tỉnh khác từ năm 2005 đến 2018 Các đề thi vào lớp 10 THPT Tỉnh Thanh hoá từ năm 2009 đến 2018 10 Tuyển tập đề thi vào lớp 10 - Nhà xuất Giáo dục DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đà ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Phạm Thị Tuyết Lan Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên trường THCS Hà Yên TT Tên đề tài SKKN Phương pháp chứng minh ba đường thẳng đồng qui Hướng dẫn học sinh lớp giải số dạng toán giải toán cách lập phương trình Phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng Hướng dẫn học sinh lớp giải số dạng toán giải tốn cách lập phương trình Phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng Một số ứng dụng hệ thức Viét giải toán Cấp đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Năm học đánh giá xếp loại Huyện C 2006 Huyện C 2007 Huyện C 2008 Huyện C 2013 Huyện A 2015 Huyện B 2017 ... đường thẳng đồng qui Hướng dẫn học sinh lớp giải số dạng toán giải toán cách lập phương trình Phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng Hướng dẫn học sinh lớp giải số dạng toán giải tốn cách lập... dạy lớp nhiều năm liên tục ôn thi cho học sinh thi vào lớp 10, thân nhận thấy cần phải dạy cho học sinh mà đặc biệt học sinh lớp nắm dạng toán, toán tương giao đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) parabol. .. khảo sát 61 học sinh lớp trường THCS Hà Yên năm học 2017 - 2018 sau học xong chương hàm số y = ax2 đại số 9, thu kết sau: Học sinh giải Học sinh sai Học sinh giải sai nhiều Lớp Sỹ số thành thạo