SỞ GD&ĐT THÁI NGUYÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC KỲ II NĂM HỌC 2017 - 2018 Mơn: Tốn – Lớp 11 – Chương trình Nâng cao Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề Mã đề thi 132 Câu Tính đạo hàm hàm số y = A y′ = C y′ = −9 x − x + ( x + 1) −3 x − x + ( x + 1) x ( − 3x ) x +1 B y′ = − x D y′ = − 6x2 ( x + 1) Lời giải Chọn C ( − x ) ( x + 1) − ( x − 3x x − 3x y= ⇒ y′ = x +1 ( x + 1) Câu 2 ) = −3x − 6x +1 ( x + 1) x3 − x ≠ Cho hàm số f ( x ) = x − Tìm tất giá trị tham số thực m để hàm số liên mx + x = tục x = 13 A m = B m = 15 C m = 17 D m = 11 Lời giải Chọn D + Hàm số cho xác định x = f ( ) = 2m + x3 − + lim f ( x ) = lim = lim ( x + x + ) = 12 x→2 x→2 x − x →2 + Để hàm số liên tục x = điều kiện cần đủ 2m + = 12 ⇔ m = Câu 11 Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a , SA = 2a Tính cơsin góc hai mặt phẳng ( SAB ) ( ABCD ) A B 30 15 C Lời giải Chọn A D 42 Gọi H tâm đáy ABCD Vì hình chóp cho nên SH vng góc với ( ABCD ) Kẻ HG vng góc với AB G Ta chứng minh SG vng góc với AB G · Vậy góc hai mặt phẳng ( SAB ) ( ABCD ) α = SGH a 2 a 14 Trong tam giác vuông SGA vuông G , Ta có: SG = SA − GA = 4a − = ÷ ÷ Trong tam giác vuông SHG vuông H , ta có: cos α = Câu HG 2a = = SG a 14 Tính đạo hàm hàm số f ( x ) = sin x + cos x điểm x = π2 A f ′ ÷ = 16 π2 2 ′ C f ÷ = π 16 π2 16 π2 B f ′ ÷ = 16 π2 ′ D f ÷ = 16 π Lời giải Chọn B f ( x ) = sin x + cos x ⇒ f ′ ( x ) = π2 ⇒ f ′ ÷= 16 Câu π2 16 cos π2 − 16 x π2 16 cos x − sin ) ) x sin x π2 =0 16 r uuur Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ Đặt a = AA′ , uuuu r A′B′C ′ Vectơ AG ′ bằng: uuuu r r r r A AG ′ = a + 3b + c uuuu r r r r C AG ′ = a + b + 3c ( ( r uuur r uuur b = AB , c = AC Gọi G′ trọng tâm tam giác uuuu r r r r B AG′ = a + b + c uuuu r r r r D AG′ = 3a + b + c ( ( ) ) Lời giải Chọn D uuuu r uuur uuuur r uuuur r uuuur uuuur r r r r r r AG′ = AA′ + A′G′ = a + A′M = a + A′B ′ + A′C ′ = a + b + c = 3a + b + c 3 3 ( Câu ) ( ) ( ) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , hai mặt bên ( SAB ) ( SBC ) vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) , SB = a Tính góc SD ( ABCD ) A 60o B 30o C 45o Lời giải D 90o Chọn C ïì ( SAB ) ^ ( ABCD ) · Þ SB ^ ( ABCD) , góc SD ( ABCD ) ( SD, AD ) = SDA Ta có ïí ïï ( SBC ) ^ ( ABCD ) ỵ · Xét D SAD vng cân S Þ SDA = 45o Câu Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD A¢B ¢C ¢D ¢có cạnh đáy a , cạnh bên 2a Tính khoảng cách từ điểm A¢đến mặt phẳng ( AB ¢D ¢) A a B a C a D 2a Lời giải Chọn D Gọi O ¢ trung điểm B ¢D ¢, kẻ A¢H ^ AO ¢, dễ dàng chứng minh d ( A¢, ( AB ¢D ¢) ) = A¢H Xét D AA¢O ¢ vuông A¢, có AA¢= 2a, A¢O ¢= A¢C ¢ a = 2 1 2a = + = ị AÂH = 2 AÂH A¢A A¢O ¢ 4a Câu lim A + + + +( 4n - 3) + +12 + +( 5n - 3) B Lời giải C D Chọn A n ( +( n - 1) 4) + + + +( 4n - 3) = lim 4n - = = lim Ta có lim n + +12 + +( 5n - 3) 5n - ( +( n - 1) 5) Câu Cho cấp số nhân un có tổng hai số hạng , tổng ba số hạng 13 , tính tổng năm số hạng cấp số nhân cho, biết công bội cấp số nhân số dương 181 35 A S5 = 121 B S5 = C S5 = 141 D S5 = 16 16 Lời giải Chọn A éq = ( n ) ìï u1 ( + q ) = ê ïìï u1 + u2 = 1+ q ï Û í Þ = Þ ê Ta có í 2 ïïỵ u1 + u2 + u3 = 13 ïï u1 ( + q + q ) = 13 + q + q 13 êq =- ( l ) ïỵ ê ë Với q = Þ u1 = Þ S5 = u1 ( 1- q ) 1- q = 121 Câu 10 Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x +1 điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ x- là: A y =- 13 x 3 B y =- 12 x+ 3 C y =- 12 x 3 D y =- 13 x+ 3 Lời giải Chọn D Ta có y0 = Þ x0 = , y ¢= - ( x - 1) Þ y ¢( 4) =- 13 x+ 3 Câu 11 Vận tốc chất điểm chuyển động hiển thị công thức v ( t ) = 8t + 3t , t > , t Phương trình tiếp tuyến có dạng y = f ¢( xo ) ( x - xo ) + yo Þ y =- tính giây v ( t ) tính mét/giây Tính gia tốc chất điểm thời điểm mà vận tốc chuyển động 11 mét/giây A 6m/s B 11m/s C 14m/s D 20m/s Lời giải Chọn C t = v ( t ) = 11 ⇒ 8t + 3t = 11 ⇔ 3t + 8t − 11 = ⇔ t = − 11 Vì t > nên t = Gia tốc: a ( t ) = v′ ( t ) = + 6t ⇒ a ( 1) = 14 2 Câu 12 Trong dãy số ( un ) cho số hạng tổng quát u n sau, dãy số dãy số giảm? 3n − A un = n B un = n + C un = n D un = n +1 Lời giải Chọn C Với số tự nhiên n ≥ , ta có: un +1 = 1 = < n = un n +1 n 2.2 dãy số giảm 2n Câu 13 Nếu số + m; + 2m; 17 + m theo thứ tự lập thành cấp số cộng m ? A m = B m = C m = D m = Lời giải Chọn A Các số + m; + 2m; 17 + m theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên ta có Vậy dãy số ( un ) với un = + m + 17 + m = ( + m ) ⇔ m = Câu 14 Kết giới hạn lim A +∞ 3n − 4.2n +1 − 3.2n + 4n B −∞ C Lời giải D Chọn C n n n 3 1 1 − ÷ − ÷ ÷ n n +1 − 4.2 − 2 4 = = lim = lim n n n 3.2 + 1 ÷ + 2 Câu 15 Cho số thập phân vô hạn tuần hồn a = 2,151515 (chu kì 15), a biểu diễn dạng phân số m , m, n số ngun dương Tính tổng m + n n A m + n = 38 B m + n = 104 C m + n = 312 D m + n = 114 Lời giải Chọn B 15 15 15 15 a = 2,151515 = + + + + ×××+ n + ××× 10 10 10 10 15 15 15 15 15 Do ; ; ; ×××; n ; ×××lập thành cấp số nhân ( un ) lùi vô hạn với số hạng đầu u1 = , 10 10 10 10 10 15 71 a =2+ × = cơng bội q = nên t có 10 − 33 10 10 ⇒ m = 71; n = 33 ⇒ m + n = 104 Câu 16 Cho tứ diện ABCD có AB = AC , DB = DC Gọi I trung điểm cạnh BC Hãy chọn khẳng định khẳng định sau A DI ⊥ ( ABC ) B ( ABC ) ⊥ ( AID ) C CD ⊥ ( ABD ) D AI ⊥ ( BDC ) Lời giải Chọn B Do AB = AC , DB = DC nên ta có BC ⊥ ( IAD ) BC ⊥ IA ⇒ ⇒ ( ABC ) ⊥ ( IAD ) BC ⊥ ID BC ⊂ ( ABC ) Câu 17 Cho hàm số y = x − x + Tìm điểm nằm đồ thị hàm số cho tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất? 25 23 24 A ; ÷ B ; ÷ C ; ÷ D ( 0;1) 27 27 27 Lời giải Chọn A Ta có y′ = x − x hàm số bậc hai có hệ số a = > nên đạt giá trị nhỏ x = 25 ⇒y= 3 − Câu 18 Giới hạn lim+ ÷ x→2 x − x−2 A +∞ B −2 Với x = D −∞ C −3 Lời giải Chọn D Ta có lim+ ( −x − 1) = −3 < x→2 − x −1 x2 − 4) = − = lim+ = −∞ nên lim+ ( xlim ÷ + x→2 x − x − x →2 x − →2 ví i x > ⇒ x − > Câu 19 Cho hàm số y = 3x + x + , có đạo hàm y′ Để y′ ≤ x nhận giá trị thuộc tập sau đây? A − ;0 B − ;0 9 2 C −∞; − ∪ [ 0; +∞ ) D −∞; − ∪ [ 0; +∞ ) 2 9 Lời giải Chọn B Ta có y′ = x + x ≤ ⇔ −2 ≤ x ≤ Câu 20 Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn ? A (x lim x →−2 − x − 6) x3 + x 2 B lim x →1 x −1 x3 − C lim + x → ( −2 ) − x2 − x + x2 − lim D x →−3 x + 3x x − 3x + Lời giải Chọn A Ta có (x lim x →−2 − x − 6) x3 + x 2 ( x + ) ( x − 3) = lim x →−2 x2 ( x + 2) 2 ( x + ) ( x − 3) = lim x →−2 x2 = II PHẦN TỰ LUẬN Câu x2 + x − x −1 Tìm tất giá trị m để hàm số f ( x ) = 3 m x + x < x = liên tục x = x > Lời giải Hàm số xác định với xỴ ¡ Ta có : f ( 1) = lim ( m x + 1) = m + x →1+ x2 + x − ( x − 1)( x + 2) = lim− = lim( x + 2) = x →1 x →1 x →1− x −1 x −1 f ( x ) = lim− f ( x) = f (1) Để hàm số liên tục x = ⇔ xlim →1+ x →1 lim− Câu ⇔ m2 + = ⇔ m = ± Tính giới hạn sau: 1+ x − − x x →0 x x2 + x − x x2 a) lim+ x →0 b) lim Lời giải a) Ta có: lim+ x →0 x2 + x − x x2 + x − x = lim = lim+ x →0 + x→ x2 x x +x+ x x2 ) ( x2 ( x +x+ x ) = lim+ x→0 ( x +x+ x ) 1+ x − − x 1+ x − 2− 8− x = lim + lim x →0 x →0 x →0 x x x b) Ta có: I = lim 1+ x) − 4x + x − = lim ( = lim = lim =1 x →0 x →0 x →0 x + x + x + x + 2 + x + x →0 x ( Tính A = lim Tính B = lim x →0 ( 2− 8− x x = lim x → x x + (8 − x ) + (8 − x) ( = lim x→0 ⇒ I = A+ B = Câu ) ( 4+2 (8 − x) + (8 − x) ) ) ) = 12 13 12 Tính đạo hàm hàm số sau; x2 + a) y = 2x2 + y = sin x.tan ( −3 x ) ( ) = +∞ x3 + mx − ( 2m + 3) x + ( m tham số ) Tìm tất giá trị m x1 x2 + = −4 cho phương trình f ' ( x ) = có hai nghiệm phân biệt thỏa x2 x1 b) Cho hàm số f ( x ) = Lời giải a) y= x2 + 2x2 + Ta có y ' = (x = = • + 2) x2 + − ( x2 + 2) ' ( x2 + x x2 + − ( x2 + 2) 2x2 + x ( x2 + − x2 − ) ( 2x + 1) x + y = sin x.tan ( −3 x ) = ) ( x2 + ) ' 4x 2 2 x + = x ( x + 1) − x ( x + ) ( x + 1) x + ( 2x x3 − x + 1) x + 3sin x y ' = cos x.tan ( −3 x ) − cos ( −3 x ) b Ta có: f ' ( x ) = x + 2mx − ( 2m + 3) f ' ( x ) = ⇔ x + 2mx − ( 2m + 3) = ( *) Với ∆ ' = m + 2m + = ( m + 1) + > 0, ∀m ⇒ f ' ( x ) = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 x1 + x2 = 2m Theo hệ thức vi – ét : x1.x2 = − ( 2m + 3) x1 x2 x12 + x22 + = − ⇔ = −4 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = −4 x1 x2 Theo giả thiết x2 x1 x1 x2 ⇔ ( x1 + x2 ) + x1 x2 = ⇔ ( −2m ) − ( 2m + ) = Câu 1+ ( tm ) m = 2 ⇔ 4m − m − = ⇔ 1− ( tm ) m = 1+ 1− Vậy m = m = 2 · · Cho hình chóp S ABC có SA ⊥ ( ABC ) , SB = BC = 2a 2, BSC = 450 , BSA =α a) Chứng minh BC ⊥ ( SAB ) b) Tính giá trị α để góc hai mặt phẳng ( SAC ) ( SBC ) 450 Lời giải a) Chứng minh BC ⊥ ( SAB ) · Tam giác SBC có BC = BS BSC = 450 nên ∆SBC vuông cân B ⇒ BC ⊥ BS BC ⊥ BS Khi đó: BC ⊥ SA ( SA ⊥ ( ABC ) ) ⇒ BC ⊥ ( SAB ) Vậy BC ⊥ ( SAB ) b) Tính giá trị α để góc hai mặt phẳng ( SAC ) ( SBC ) 450 Dựng AE ⊥ SB E dựng AF ⊥ SC F Theo câu a) BC ⊥ ( SAB ) nên BC ⊥ AB Khi đó: AE ⊥ ( SBC ) ⇒ AE ⊥ SC Vậy SC ⊥ ( AEF ) ⇒ SC ⊥ EF Hai đường thẳng AF EF thuộc hai mặt phẳng (SAC) (SBC) vng góc với giao tuyến SC · Nên ( SAC ) , ( SBC ) = ·AFE = 45 Ta có ∆AEF vng E (vì AE ⊥ ( SBC ) ⇒ AE ⊥ EF ) có AE = EF tan 450 = EF Xét ∆SAE có AE = SE.tan α , xét ∆SEF có EF = SE.sin 450 = Suy AE = EF ⇔ SE.tan α = Vậy α = arctan SE 2 SE 2 ⇔ tan α = ⇒ α = arctan 2 2 góc hai mặt phẳng ( SAC ) ( SBC ) 450 ... Câu lim A + + + +( 4n - 3) + +12 + +( 5n - 3) B Lời giải C D Chọn A n ( +( n - 1) 4) + + + +( 4n - 3) = lim 4n - = = lim Ta có lim n + +12 + +( 5n - 3) 5n - ( +( n - 1) 5) Câu Cho cấp số... 13 êq =- ( l ) ïỵ ê ë Với q = Þ u1 = Þ S5 = u1 ( 1- q ) 1- q = 121 Câu 10 Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x +1 điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ x- là: A y =- 13 x 3 B y =- 12 x+... có tung độ x- là: A y =- 13 x 3 B y =- 12 x+ 3 C y =- 12 x 3 D y =- 13 x+ 3 Lời giải Chọn D Ta có y0 = Þ x0 = , y ¢= - ( x - 1) ị y Â( 4) =- 13 x+ 3 Câu 11 Vận tốc chất điểm chuyển động hiển