Meo tim nhanh dao ham ham so huu ty bac n

Mẹo tìm nhanh đạo hàm hàm số hữu tỷ bậc n Ngơ Đình Học January 17, 2018 Bài viết mẹo tìm nhanh đạo hàm hàm số hữu tỉ bậc bậc mà khơng cần nhớ cơng thức Mục đích giải đáp câu hỏi có mẹo nhanh để tìm đạo hàm hàm số hữu tỉ bậc n hay khơng Bài tốn muốn giải tìm đạo hàm hàm số sau đây: axn + bxn-1 + cxn-2 + dxn-3 + + kx0 y = -, n = 1, 2, 3, … Axn + Bxn-1 + Cxn-2 + Dxn-3 + + Kx0 (1) Câu trả lời có cách tính nhanh đạo hàm hàm số Khẩu vơ chiêu gồm có câu sau đây: a Nhân chéo trừ nhân chéo kể biến số b Giảm số mũ bậc c Nhân với số lần khởi hành (số lần khởi hành hiệu số số mũ nhân chéo) Sở dĩ ta phải giảm bậc tính đạo hàm xn số mũ giảm xuống thành xn-1 Đạo hàm hữu tỉ bậc Bây giờ, ta áp dụng để giải lại toán hàm số hữu tỉ bậc viết nêu 3x2 + 2x +1 y = - ==> 2x2 + 5x + 11x2 + 38x + y ’ = (2x2 + 5x + 7) (2) Nhận xét có tất lần nhân chéo, gồm lần xuất phát từ 3x2 lần từ 2x: • • Xuất phát từ 3x2 lần thứ nhất, áp dụng a, b, c: (3x2 nhân 5x) – (2x2 nhân 2x) = 11x3 , giảm bậc 11x2, nhân lần khởi hành => 11x2 Xuất phát từ 3x2 lần thứ nhì, áp dụng a, b, c: (3x2 nhân 7) – (2x2 nhân 1) = 19x2 , giảm bậc 19x, nhân lần khởi hành => 38x Chú ý ta tính nhân chéo trừ nhân chéo cho cột cột cuối cùng: | cột | | cột | | 3x2 | | 1x0 | | 2x2 | | 7x0 | Số mũ cột 2, cột Do đó, hiệu số số mũ 2, tức số lần khởi hành từ 3x2 Ta cần ghi nhớ điều để áp dụng cho hàm hữu tỉ bậc n • Xuất phát từ 2x lần thứ nhất, áp dụng a, b, c: (2x nhân 7) – (5x nhân 1) = 9x , giảm bậc 9, nhân lần khởi hành => Chú ý hiệu số số mũ cột Đó số lần khởi hành từ 2x 2 Đạo hàm hữu tỉ bậc Áp dụng a, b, c vào toán hữu tỉ bậc sau đây: 3x3 + 2x2 + 4x + 8x4 + 14x3 + 48x2 - 6x2 + 16x + 19 y = ==> y’ = -2x3 + 4x2 + 5x + (2x3 + 4x2 + 5x + 6) 8x4 + 14x3 + 42x2 + 16x + 19 = -(2x3 + 4x2 + 5x + 6) (3) (4) Nhận xét có tất lần nhân chéo xuất phát từ tử số Đó lần xuất phát từ 3x3 , hai lần từ 2x2 lần từ 4x: • • • • • • Xuất phát từ 3x3 lần thứ nhất, áp dụng a, b, c: (3x3 nhân 4x2) – (2x3 nhân 2x2) = 8x5 , giảm bậc 8x4, nhân lần khởi hành => 8x4 Xuất phát từ 3x3 lần thứ nhì, áp dụng a, b, c: (3x3 nhân 5x) – (2x3 nhân 4x) = 7x4 , giảm bậc 7x3, nhân lần khởi hành => 14x3 Xuất phát từ 3x3 lần thứ ba, áp dụng a, b, c: (3x3 nhân 6) – (2x3 nhân 1) = 16x3 , giảm bậc 16x2, nhân lần khởi hành => 48x2 Xuất phát từ 2x2 lần thứ nhất, áp dụng a, b, c: (2x2 nhân 5x) – (4x2 nhân 4x) = -6x3 , giảm bậc -6x2, nhân lần khởi hành => -6x2 Xuất phát từ 2x2 lần thứ nhì, áp dụng a, b, c: (2x2 nhân 6) – (4x2 nhân 1) = 8x2 , giảm bậc 8x, nhân lần khởi hành => 16x Xuất phát từ 4x lần thứ nhất, áp dụng a, b, c: (4x nhân 6) – (5x nhân 1) = 19x , giảm bậc 19, nhân lần khởi hành => 19 Nhận xét quan trọng: Số lần khởi hành hiệu số số mũ cột tương ứng hình vẽ sau cột mũ cột cột mũ mũ cột mũ 3x3 + 2x2 + 4x + y = 2x3 + 4x2 + 5x + 8x4 + 14x3 + 48x2 + y’ = ( 2x2 + 5x + ) ③ khởi hành lần 3, hiệu số mũ cột ② khởi hành lần 2, hiệu số mũ cột ① khởi hành lần 1, hiệu số mũ cột Nếu giải dạng tổng quát cho đạo hàm hàm hữu tỉ bậc 3, ta kết sau đây: ax3 + bx2 + cx + d y = mx3 + nx2 + px + q Ax4 + Bx3 + (C + D)x2 + Ex + F ==> y’ = - (5) (mx3 + nx2 + px + q)2 với: A = an – mb B = 2(ap – mc) C = 3(aq – md) D = bp – nc E = 2(bq – nd) F = cq – pd (6) (7) (8) (9) (10) (11) Tuy có cơng thức, nên qn hẳn Bí vơ chiêu nhớ vị trí cách tính tốn liên quan đến vị tri mà thơi Do đó, áp dụng a, b, c mà tính nhanh đạo hàm sau đây: 4x3 + 5x2 + 2x + y = -3x3 + 5x2 + 2x + 5x4 + 4x3 + 33x2 + 20x + ==> y’ = - (12) (3x3 + 5x2 + 2x + 5) 3x3 - x2 + 2x - y = -2x3 + 5x2 + x - 17x4 - 2x3 - 14x2 + 12x - ==> y’ = (2x3 + 5x2 + x - 1) (13) Đạo hàm hữu tỉ bậc n Thay đưa cơng thức, áp dụng a, b, c vào toán cụ thể để tìm đáp số tức khắc Chẳng hạn, hàm số sau hàm hữu tỉ bậc n = 1000 với nhiều số hạng zero: 2x1000 + 3x + y = - ==> 2x + 3996x1000 + 10000x999 + y ‘ = -(2x + 5) (14) Muốn biết kết thế, ta xếp lại số hạng có số mũ cho cột đồng thời phục hồi cột zero: 2x1000 + 0x999 + 0x998 + + 3x + y = -0x1000 + 0x999 + 0x998 + + 2x + | | | | | Cột : 1000 1001 Số mũ x: 1000 999 998 Nhân chéo xuất phát từ 2x1000 : Lần Lần Lần 999 Lần 1000 Nhân chéo xuất phát từ 3x : Lần (15) Áp dụng a, b, c: • Cặp nhân chéo trừ nhân chéo sống sót cột cột 1000 Số lần khởi hành từ 2x1000 999, tức hiệu số số mũ cột: mũ 1000 – mũ = 999 Vậy nhân chéo trừ nhân chéo 4x1001, giảm bậc 4x1000 Đem nhân với 999 lần khởi hành cho kết 3996x1000 • Cặp nhân chéo trừ nhân chéo thứ nhì sống sót cột cột 1001 Số lần khởi hành từ 2x1000 1000, tức hiệu số số mũ cột: mũ 1000 – mũ = 1000 Vậy nhân chéo trừ nhân chéo 10x1000, giảm bậc 10x999 Đem nhân với 1000 lần khởi hành cho kết 10000x999 • Cặp nhân chéo trừ nhân chéo cuối sống sót cột thứ 1000 cột 1001 Số lần khởi hành từ 3x 1, tức hiệu số số mũ cột: mũ – mũ = Vậy nhân chéo trừ nhân chéo 15x - 8x = 7x, giảm bậc Đem nhân với lần khởi hành cho kết Kết luận Bài viết đưa qui luật tìm đạo hàm thật nhanh áp dụng cho hàm hữu tỉ bậc n bất kỳ, từ bậc đến bậc ngàn, hay bậc triệu Qui luật chứng minh cách giải dạng tổng quát dùng công thức tính đạo hàm y = u/v Sau đáp số, ta xếp lại thứ tự số hạng xuất qui luật mô tả a, b, c Tuy nhiên, vấn đề thử thách lớn tìm qui luật đơn giản để nhớ hệ số Bài viết cống hiến qui luật nầy Đó phải lấy số lần khởi hành nhân với kết nhân chéo trừ nhân chéo  ... (3x3 nh n 6) – (2x3 nh n 1) = 16x3 , giảm bậc 16x2, nh n l n khởi hành => 48x2 Xuất phát từ 2x2 l n thứ nhất, áp dụng a, b, c: (2x2 nh n 5x) – (4x2 nh n 4x) = -6x3 , giảm bậc -6x2, nh n l n khởi... 8x4, nh n l n khởi hành => 8x4 Xuất phát từ 3x3 l n thứ nhì, áp dụng a, b, c: (3x3 nh n 5x) – (2x3 nh n 4x) = 7x4 , giảm bậc 7x3, nh n l n khởi hành => 14x3 Xuất phát từ 3x3 l n thứ ba, áp dụng... hành => -6x2 Xuất phát từ 2x2 l n thứ nhì, áp dụng a, b, c: (2x2 nh n 6) – (4x2 nh n 1) = 8x2 , giảm bậc 8x, nh n l n khởi hành => 16x Xuất phát từ 4x l n thứ nhất, áp dụng a, b, c: (4x nhân