Một số kinh nghiệm xác định nhanh góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT TĨNH GIA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ KINH NGHIỆM XÁC ĐỊNH NHANH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Người thực hiện: Nguyễn Thị Thúy Hằng Chức vụ: Giáo Viên SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HĨA NĂM 2019 MỤC LỤC Trang Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Góc đường thẳng mặt phẳng, thể tích khối đa diện tốn thường gặp kỳ thi tốt nghiệp THPT quốc gia Rèn luyện cho học sinh có kỹ xác định góc nhanh chóng nhiệm vụ đặc biệt quan trọng Trong q trình dạy học hình học khơng gian nói chung dạy tập tính góc đường thẳng mặt phẳng chương trình tốn 11 nói riêng học sinh thường lung túng, dễ nhầm lẫn thời gian xác định góc đường thẳng mặt phẳng Vì vậy, để giúp em tự tin hơn, tơi có rút “Một số kinh nghiệm xác định nhanh góc đường thẳng mặt phẳng” số trường hợp từ toán đơn giản nhằm giúp em học sinh lớp 11 xác định góc đường thẳng mặt phẳng dễ dàng nhanh chóng Đồng thời tảng cho việc tính thể tích khối đa diện chương trình tốn 12 số tốn thường gặp Vì em khơng xác định góc đường thẳng mặt phẳng dẫn tới khơng giải tốn thể tích khối đa diện số trường hợp Qua trình thực tơi thấy từ phương pháp giúp em giải tốn liên quan đến tính thể tích khối đa diện cách dễ dàng từ học sinh hứng thú với mơn hình học khơng gian 1.2 Mục đích nghiên cứu: + Nghiên cứu đề tài nhằm rút số kinh nghiệm xác định nhanh góc đường thẳng mặt phẳng nhằm giúp em học sinh rút ngắn thời gian làm tập góc thể tích khối đa diện + Trên sở kinh nghiệm thân, với trao đổi với đồng nghiệp để tìm giải pháp hữu hiệu vận dụng trình hướng dẫn học sinh giải tập góc Góp phần nâng cao chất lượng dạy học hình khơng gian 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Các tốn tính góc tính thể tích khối đa diện 1.4 Phương pháp nghiên cứu: + Xây dựng sở lí thuyết + Khảo sát thực tế + Phương pháp phân tích, suy luận, tổng hợp, so sánh… Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1Khái niệm góc đường thẳng mặt phẳng a Khái niệm Cho đường thẳng d mặt phẳng (α) + Trường hợp đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (α) ta nói góc đường thẳng d mặt phẳng (α) 900 + Trường hợp đường thẳng d khơng vng góc với mặt phẳng (α) góc d hình chiếu d’ (α) gọi góc đường thẳng d mặt phẳng (α) 00 ≤ a· , ( α ) ≤ 900 ( ) b Chú ý: 2.1.2 Xác định góc đường thẳng d mặt phẳng (α) a· , ( α ) = 900 + Nếu đường thẳng d mp(α) vng góc ( ) ( a· , ( α ) ) = + Nếu đường thẳng d mp(α) song song d ⊂(α) + Nếu đường thẳng d mp(α) khơng song song, d ⊄(α), d mp(α) không vuông góc nhau, ta xác định góc chúng theo bước sau: Bước Xác định điểm O=d∩(α) d Bước Trên đường thẳng d ta chọn điểm A (khác O) A cho ta xác định hình chiếu H A (α) Bước Kết luận góc đường thẳng d (α) φ( α) ϕ = ·AOH H O góc H.5 Trên thực tế ta thường gặp trường hợp đường thẳng d mp(α) cắt Tuy nhiên việc xác định hình chiếu H A (α) gây khó khăn em học sinh sau xác định hình chiếu em lại nhầm lẫn việc tên góc Để khắc phục khó khăn nội dung sáng kiến đưa công thức chung để học sinh đọc nhanh tên góc để tránh nhầm lẫn cách xác định chân đường vng góc H trường hợp thường gặp 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Qua giảng dạy tốn góc, học sinh thường lúng túng gặp nhiều khó khăn Kết khảo sát tơi dạy phần góc đường thẳng mặt phẳng cho học sinh hai lớp 11A4 11A9 (đối tượng học sinh chủ yếu trung bình yếu) năm học 2018- 2019 chưa áp dụng sáng kiến a Đề bài: Cho hình chóp SABCD, có đáy hình vng cạnh Cạnh bên SA vng góc với đáy.M trung điểm BC a.Tính góc SC mặt phẳng (ABCD) b.Tính góc SM mặt phẳng (SAD) c.Tính góc SA mặt phẳng (SBD) Lớp Sĩ số HS làm câu a HS làm câu a,b số lượng số lượng 11A4 40 14 11A9 44 21 % 35,00 47,73 HS làm 3câu % số lượng % 12,50 5,00 20,45 6,80 Từ kết nhận thấy tỉ lệ học sinh xác định góc q thấp Điều khiến thân tơi phải trăn trở lựa chọn phương pháp giảng dạy phù hợp nhằm giúp học sinh yếu nắm lại để giải số tốn thường gặp, từ vận dụng vào tốn thể tích khối đa diện lớp 12 để em đạt kết tốt kì thi TNTHPTQG 2.3 Các trường hợp xác định góc đường thẳng mặt phẳng Cơng thức đọc tên góc nhanh: Đọc tên góc theo thứ tự: Đỉnh - giao điểm - chân đường cao Trong đó: + Giao điểm: điểm chung đường thẳng mặt phẳng + Đỉnh: đầu mút lại đoạn thẳng + Chân vng góc: chân đường vng góc hạ từ đỉnh đến mặt phẳng 2.3.1 Góc cạnh bên mặt đáy Trong trường hợp chân đường cao chân đường cao hình chóp Do đề có sẵn chân đường cao đường cao dễ dàng suy từ giả thiết Bài tốn 1: Cho hình chóp SABCD, có đáy hình vng cạnh a Tam giác (SAB) nằm mặt phẳng vng góc với đáy.Tính góc SB mặt phẳng (ABCD) H,M, N trung điểm AB,BC SA a Xác định góc SC mặt phẳng (ABCD) b Xác định góc SM mặt phẳng (ABCD) c Xác định góc NM mặt phẳng (ABCD) Giải: Dễ thấy SH đường cao hình chóp Ta xác định nhanh góc sau: SC ∩ ( ABCD ) = { C} a.+ Giao điểm: + Đỉnh:S(đầu mút lại SC) + Chân vng góc: H (hạ từ đỉnh đến mp(ABCD) suy từ giả thiết) · , ( ABCD ) = SCH · SC ) ( Suy ( Đọc tên góc thứ tự: Đỉnh- Giao điểm-Chân vng góc) S N K A D H B C M SM ∩ ( ABCD) = { M } b + Giao điểm: + Đỉnh: S (Đầu mút lại SM) + Chân vng góc: H (hạ từ đỉnh S đến mp(ABCD)) · , ( ABCD ) = SMH · SM Suy ( ) MN ∩ ( ABCD ) = { M } c.+ Giao điểm: + Đỉnh:N (đầu mút lại SM) + Chân vng góc: H (hạ từ đỉnh N đến mp(ABCD)) Cách dựng: Dựng NK⊥AB suy NK⊥(ABCD) · , ( ABCD ) = NMK · MN Suy ( ) a Ví dụ 1.1: Cho hình chóp SABCD, có đáy hình vng cạnh SA vng góc với đáy góc SC (ABCD) 300 Thể tích chóp SABCD bao nhiêu? 6 3 a a a a A.Giải B C D Xác định nhanh góc: SC ∩ ( ABCD) = { C} + Giao điểm: + Đỉnh:C ( đầu mút lại SC) + Chân vng góc: A (hạ từ đỉnh đến mp(ABCD) có từ giả thiết) S A D B Suy C · , ( ABCD ) = SCA ) · ( SC SA = AC.tan 300 = a Xét ∆ SAC vuông A, ta có 1 a a3 V = Bh = SA.S ABCD = a = 3 3 a = 3 Chọn A Ví dụ 1.2 (Đề thi THPTQG 2018): Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a Gọi M trung điểm cạnh SD Tan góc BM mặt phẳng (ABCD) A 2 B 3 C D Giải: S M G G A B D O C H Xác định nhanh góc: BM ∩ ( ABCD) = { B} + Giao điểm: + Đỉnh:M (đầu mút lại BM) + Chân vng góc: H hạ từ đỉnh M đến mp(ABCD) Cách dựng: Dựng MH vng góc với BD Suy MH ⊥(ABCD) SO⊥(ABCD) · · BM , ( ABCD ) = MBH ( ) ( ) Suy + Chân vng góc: H hạ từ đỉnh M đến mp(ABCD) Cách dựng: Dựng MH vuông góc với BD.Suy MH ⊥(ABCD) SO⊥(ABCD) · · BM , ( ABCD ) = MBH Suy Gọi O giao điểm AC BD, G giao điểm BM SO Ta có G trọng tâm tam giác SBD a a2 a a 2 2 ⇒ OG = = BO = BD = SO = SB − OB = a − 2 2 · tan MBH = OG = OB Chọn D 2.3.2 Góc cạnh bên mặt phẳng chứa đường cao Trong trường hợp chân đường cao ta xác định sau: Từ đỉnh dựng đường thẳng vng góc với chân mặt đứng.(Giao tuyến mặt đứng mặt phẳng đáy) Bài tốn 2: Cho hình chóp SABCD, có đáy hình chữ nhật Hai mặt phẳng (SAB) (SAD) vng góc với mặt phẳng đáy a Xác định góc SO mp(SAB) b Xác định góc SC mp(SAC) Giải: S A D H B C O Từ giả thiết suy SA đường cao hình chóp Ta xác định nhanh góc sau: a SO ∩ ( SAB ) = { S } + Giao điểm: + Đỉnh:O (đầu mút lại SO) + Chân vng góc: H Cách dựng: Từ O dựng OH vng góc với chân mặt bên AB · , ( SAB ) = OSH · SO ) ( Suy ( Đọc tên góc thứ tự: Đỉnh- Giao điểm-Chân vng góc) SC ∩ ( SAD) = { S } b + Giao điểm: + Đỉnh:C (Đầu mút lại SC) + Chân vng góc: H Cách dựng: Từ C dựng CH vng góc với chân mặt bên AD Trường · , ( SAD ) = CSD · SC hợp điểm H trùng với điểm D Suy ) ( Ví dụ 2.1: Cho hình chóp SABC, có đáy tam giác cạnh góc với đáy 17 51 Giải: A SA = 2a a SA vuông tan góc SC (SAB) bao nhiêu? 51 Xác định góc:17 B − C 51 17 − D 51 S A B H C SC ∩ ( SAB) = { S } + Giao điểm: + Đỉnh:C (Đầu mút lại SC) + Chân vng góc: hạ từ đỉnh C đến chân mặt bên cạnh AB · , ( SAB ) = CSH · SC Trong mp(ABC) dựng CH⊥AB Vậy ) ( a a 17 SH = SA + AH = 4a + = 2 Vậy 2 a CH = 51 · tan CSH = = SH a 17 17 Chọn B Ví dụ 2.2 ( Đề thi THPTQG 2018): Cho hình chóp SABCD, có đáy hình vng a cạnh SA vng góc với mặt đáy SD tạo với mặt phẳng (SAB) góc 300 Thể tích chóp V khối chóp SABCD 6a 6a 3a V= V= V= V = 3a 18 3 A B C D 10 Giải: S A B Xác định góc: D C SD ∩ ( SAB) = { S } + Giao điểm: + Đỉnh: D + Chân vng góc: hạ từ đỉnh D đến chân AB mặt đứng A · , ( SAB ) = DSA · SD Suy ( ) a3 SA = AD.cot 30 = a ⇒ V = a 3.a = 3 Chọn đáp án D 2.3.3 Góc đường cao hình mặt bên không chứa đường cao Trong trường hợp chân đường vng góc ta xác định sau: Từ chân đường cao hình chóp dựng đường thẳng vng góc với giao tuyến mặt bên mặt phẳng đáy Bài tốn 3: Cho hình chóp SABCD, có đáy hình vng O giao điểm hai đường chéo AC BD Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy c Xác định góc SA mp(SBC) d Xác định góc SA mp(SBD) Giải: 11 S D A B O C Ta xác định nhanh góc sau: SA ∩ ( SBC ) = { S } a.+ Giao điểm: + Đỉnh: A (đầu mút lại SA) + Chân vng góc: H Cách dựng: Từ A dựng AH vng góc với giao tuyến( mặt bên (SBC) mặt phẳng đáy) AB Ở chân vng góc H trùng với điểm B · , ( SBC ) = ·ASB SA ( ) Suy ( Đọc tên góc thứ tự: Đỉnh- Giao điểm-Chân vng góc) SA ∩ ( SBD ) = { S } b + Giao điểm: + Đỉnh:A(Đầu mút lại SA) + Chân vng góc: H Cách dựng: Từ A dựng AH vng góc với giao tuyến( mặt bên (SBD) mặt phẳng đáy) BD Ở chân vng góc H điểm O · , ( SBD ) = ·ASO SA Suy ( ) Ví dụ 3.1: Cho hình chóp SABC, có đáy tam giác cạnh a SA vng góc với đáy góc SAvà (SBC) 300 Thể tích chóp SABC bao nhiêu? A a 24 B a 12 C 3 a 24 D 3 a 12 Giải: 12 S A C H B Xác định góc: SA ∩ ( SBC ) = { S } + Giao điểm: + Đỉnh: A (Đầu mút lại SA) + Chân vng góc: hạ từ đỉnh A đến giao tuyến mặt bên (SBC) mặt phẳng đáy cạnh BC · , ( SBC ) = CSH · SA Trong mp(ABC) dựng AH⊥BC Vậy Xét ∆ SAH vng A, ta có ) ( a SA = AH cot 600 = 1 a2 a a3 V = Bh = SA.S ABC = = 3 24 Chọn C Ví dụ 3.2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật cạnh AD = a, AB = a Cạnh bên SA vng góc với mp(ABCD).Gọi M trung điểm cạnh CD, tính cosin góc tạo SA mp(SBM) biết 21 Giải: A − B 21 SA = 3a C 75 D 71 13 S D A I B C M Xác định góc: SA ∩ ( SDM ) = { S } + Giao điểm: + Đỉnh: A (Đầu mút lại SA) + Chân vng góc: hạ từ đỉnh A đến giao tuyến mặt bên (SDM) mặt phẳng đáy cạnh DM · , ( SDM ) = ASI · SA Trong mp(ABC) dựng AI⊥DM Vậy AI = 2d (C ; BM ) = ( ) CB.CM 2a 21 = BM ⇒ SI = SA2 + AI = a 75 ⇒ cos ASI = SA 21 = SI Chọn đáp án A Bài tập áp dụng ( Đề thi THPTQG 2018): Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông SA = a C thoi ABCD A a2 Góc SD với mặt phẳng (SAC) B a2 C a2 D 300 Tính diện tích hình 2a Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi ·ABC = 600 AC = a, BC = a SA = a SA vng góc với mặt phẳng đáy Góc SB với mặt phẳng đáy 14 600 900 300 450 A B C D Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng cân A SA vng góc SA = BC với mặt phẳng đáy 300 450 A B .Tính góc SA với mặt phẳng (SBC) 600 900 C D ( Đề thi THPTQG 2018): Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có đáy tam giác AC = 2 600 AC ' = vuông cân A AC’ tạo với mp(ABC) góc Tính thể tích V khối đa diện ABC.B’C’ 16 16 3 3 A B C D 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Sau tìm tòi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào thực tiễn giảng dạy, thân nhận thấy chất lượng giảng dạy nâng lên rõ rệt Các em học sinh thực hứng thú với môn học, đa số học sinh xác định tốt góc đường thẳng mặt phẳng trường hợp đơn giản thường gặp Qua kết khảo sát thực lớp học năm 2018-2019 sau áp dụng sáng kiến với đề tương tự trước áp dụng chất lượng làm em đạt kết cao so Kết cụ thể : HS làm câu a Lớp Sĩ số Số lượng 11A4 40 35 11A9 44 40 % 87,50 90,09 HS làm câu HS làm a,b 3câu Số Số % % lượng lượng 22 55,00 13 32,50 34 77,27 21 47,72 15 Bản thân trao đổi đồng nghiệp đồng nghiệp ủng hộ cơng nhận tính hiệu sáng kiến đồng nghiệp dạy trực tiếp lớp 11 Kết luận, kiến nghị: Có thể nói việc hướng dẫn học sinh xác định góc đường thằng mặt phẳng nhiệm vụ quan trọng chương trình hình học 11 Trong phạm vi đề tài đưa kinh nghiệm xác định góc trường hợp thường gặp, áp dụng cho đối tượng học sinh trung bình Trên kinh nghiệm thân đúc rút q trình giảng dạy Rất mong góp ý xây dựng đồng nghiệp để để sáng kiến tơi hồn thiện hơn, giúp học sinh học tốt tốn góc, thể tích hình khơng gian nhằm nâng cao chất lượng giáo dục Tôi xin chân thành cảm ơn ! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 24 tháng 05 năm 2019 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Nguyễn Thị Thúy Hằng 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Văn Hạo - Sách Giáo Khoa ban lớp 11 - NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC Nguyễn Mộng Hy - Sách Bài Tập lớp 11 - NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC Một số phương pháp xác định góc đường thẳng mặt phẳng - đăng trang web: tailieu.vn 17 ... (SAB) nằm mặt phẳng vng góc với đáy.Tính góc SB mặt phẳng (ABCD) H,M, N trung điểm AB,BC SA a Xác định góc SC mặt phẳng (ABCD) b Xác định góc SM mặt phẳng (ABCD) c Xác định góc NM mặt phẳng (ABCD)... kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1Khái niệm góc đường thẳng mặt phẳng a Khái niệm Cho đường thẳng d mặt phẳng (α) + Trường hợp đường thẳng d vng góc với mặt phẳng. .. có rút Một số kinh nghiệm xác định nhanh góc đường thẳng mặt phẳng số trường hợp từ toán đơn giản nhằm giúp em học sinh lớp 11 xác định góc đường thẳng mặt phẳng dễ dàng nhanh chóng Đồng thời