Một số ứng dụng của phép biến hình vào giải toán trắc nghiệm lớp 12

MỤC LỤC Trang Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài………………………………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu…………………………………………………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu…………………………………………………… 1.4 Phương pháp nghiên cứu……………………………………………… 1.5 Những điểm SKKN………………………………… ………… Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận đề tài………………………………………………… .3 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng SKKN …………………… 2.3 Giải pháp thực ……………………………………………… .8 2.4 Hiệu SKKN 18 Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận …….………………………………………………… 19 3.2 Kiến nghị …….………………………………………………… 20 Tài liệu tham khảo………………………………………………… .21 1 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Tốn học môn khoa học môn học khác, mơn khoa học khó, trừu tượng đòi hỏi người học người dạy phải đam mê, tâm huyết, tỉ mỉ kiên nhẫn thể nắm Từ năm học 2016-2017 trở đi, Bộ Giáo dục Đào tạo thực đổi kỳ thi Trung học Phổ thơng Quốc gia (THPTQG) Trong mơn tốn đổi từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm.Việc thay đổi tạo nên nhiều bỡ ngỡ khó khăn cho giáo viên học sinh việc ơn luyện Hình thức thi trắc nghiệm mơn tốn đòi hỏi số cách tiếp cận vấn đề sovới hình thức thi tự luận Hơn nội dung kỳ thi THPTQG môn tốn tăng độ khó dần Các câu hỏi phong phú, thức rộng chủ yếu kiến thức lớp12 dựa kiến thức kiến lớp trước Phép biến hình mặt phẳng đề cập lớp11 tập trung chương I hình học lớp11 nên trình giải tập trắc nghiệm em thường quên chưa nắm cách vận dụng phép biến hình vào giải tập Là giáo viên dạy nhiều năm mơn tốn THPT trực tiếp giảng dạy lớp chọn, đội tuyển học sinh giỏi nhà trường gặp trắc trở việc giảng dạy nhiều tốn, đặc biệt phép biến hình mặt phẳng có liên quan đến trắc nghiệm lớp12 Vì tốn có nhiều cách giải khác nhau, cách giải thể kiến thức toán học vận dụng đó.Trong cách giải khác đó, có cách giải thể tính hợp lí dạy học, có cách giải thể tính sáng tạo tốn học, có cách giải tìm nhanh chóng Trong đề tài muốn hướng dẫn học sinh cách tìm hướng giải mộ số tốn trắc nghiệm thi THPTQG nhanh theo phép biến hình Từ để học sinh có nhiều định hướng trước tư để giải toán dạng hàm số số phức Thực tế qua trình giảng dạy tham khảo kết làm học sinh quacác kỳ thi,tôi thấy học sinh (kể học sinh khá, giỏi) thường lúng túng bỏ qua không làm gặp loại tốn có giải theo hướng đại số thơng thường Có ngun nhân dẫn đến tình trạng là: Học sinh khơng định hướng cách giải loại tốn mà tư túy theo đại số vận dụng kiến thức vào giải tập Các thầy cô chưa tập trung khai thác nhiều đứng trước đề em khơng biết xử lí cho phù hợp, tránh thời gian Phương pháp học tập học sinh thụ động, không sáng tạo, không linh hoạt hướng dẫn học sinh học cách tích cực Do việc lựa chọn đề tài SKKN nhằm góp phần giải vấn đề việc làm phù hợp với thực tiễn, thể tình yêu nghề trách nhiệm người cán giáo viên Từ thực tế định chọn đề tài: “Một số ứng dụng phép biến hình vào giải tốn trắc nghiệm lớp 12" 1.2 Mục đích nghiên cứu - Nhằm trang bị thêm cho học sinh số công cụ để giải số toán đồ thị hàm số số phức khó - Hệ thống hóa kiến thức, kĩ nhận dạng số toán hàm số số phức mức độ vận dụng, để từ có hướng giải tốn - Nâng cao khả tự học, tự bồi dưỡng - Việc đưa hướng giải cho số toán giúp cho học sinh có nhìn rộng nhanh chóng đưa lời giải cho toán trắc nghiệm 1.3 Đối tượng nghiên cứu -Đề tài nghiên cứu,tổng kết vấn đề giải toán ứng dụng phép biến hình vào giải tốn trắc nghiệm lớp 12 - Học sinh khối lớp mà phân công trực tiếp giảng dạy Cụ thể lớp 12 trực tiếp giảng dạy 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng phương pháp sưu tầm, phân tích tài liệu, đề thi thử THPTQG Xây dựng sở lí thuyết - Nghiên cứu cấu trúc nội dung chương trình Tốn 11, 12, phần phép biến hình, đồ thị hàm số, ứng dụng hình học số phức - Gặp gỡ, trao đổi, tiếp thu ý kiến đồng nghiệp để tham khảo ý kiến làm sở cho việc nghiên cứu đề tài - Thông qua thực tế dạy học lớp, giao tập,củng cố học,hướng dẫn học sinh chuẩn bị kết hợp với kiểm tra,đánh giá.Tổng hợp, so sánh,đúc rút kinh nghiệm 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm - Đưa tập tài liệu thống cụ thể giúp học sinh nhận dạng giải nhanh số toán trắc nghiệm ứng dụng phép biến hình để giải tốn đồ thị hàm số số phức kì thi THPTQG - Phát triển tư hình học mẻ Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1.Cơ sở lí luận đề tài Nhiệm vụ trung tâm trường học THPT hoạt động dạy thầy hoạt động học trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố kiến thức phổ thơng, đặc biệt mơn tốn, môn học cần thiết thiếu đời sống người Mơn tốn trường THPT môn độc lập, chiếm phần lớn thời gian chương trình học học sinh Mơn tốn có tầm quan trọng to lớn Nó mơn khoa học nghiên cứu có hệ thống, phù hợp với hoạt động nhận thức tự nhiên người Nó có khả giáo dục lớn việc rèn luyện tư duy, suy luận logic, đem lại niềm vui,hứng thú, hình thành nhân cách tốt đẹp cho người lao động thời đại Bài toán ứng dụng giúp biến hình vào giải tốn liên quan đến đồ thị hàm số số phức giúp học sinh tư hình học tốt hơn, hình thành phẩm chất người lao động động,sáng tạo, làm chủ tương lai Ứng dụng phép biến hình vào nội dung hàm số Dựng đồ thị hàm số thông qua phép biến hình từ đồ thị hàm số cho 2.1.1 Đồ thị hàm số y = f ( x ) Giả sử M ( x; f ( x )) thuộc đồ thị hàm số y = f ( x ) đặt tương ứng với điểm M '( x; f ( x ) ) thuộc đồ thị hàm số y = f ( x ) Hình 2.1.1 Giả sử M ( x; f ( x )) thuộc đồ thị hàm số y = f ( x ) đặt tương ứng với điểm M '( x; f ( x ) ) thuộc đồ thị hàm số y = f ( x )  f ( x), f ( x) >  f ( x) = nên đồ thị hàm số y = f ( x ) suy từ đồ thị Vì f ( x) =  0,  − f ( x), f ( x) <  hàm số y = f ( x ) cách giữ nguyên phần bên trục hoành ( kể điểm nằm trục hoành), lấy đối xứng phần bên trục hoành qua trục hồnh, sau bỏ phần bên trục hoành 2.1.2 Đồ thị hàm số y = f ( x ) Giả sử M ( x; f ( x )) thuộc đồ thị hàm số y = f ( x ) đặt tương ứng với điểm M '( x; f ( x )) thuộc đồ thị hàm số y = f ( x )  f ( x), x >  x = nên đồ thị hàm số y = f ( x ) suy từ đồ thị hàm Vì f ( x ) =  f (0),  f (− x), x <  số y = f ( x ) cách bỏ phần bên trái trục tung, lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung Hình 2.1.2 Hình 2.1.3 2.1.3 Đồ thị hàm số y = f (kx ), k ≠ Giả sử M ( x; f ( x )) thuộc đồ thị hàm số y = f ( x ) , đặt tương ứng với điểm x M '( ; f ( x )) thuộc đồ thị hàm số y = f ( kx ) Do đó, đồ thị hàm số y = f (kx ) k suy từ đồ thị hàm số y = f ( x ) phép co dãn theo trục hoành 1 Nếu k > ⇒ < < phép co với hệ số co k k Nếu < k < ⇒ > phép dãn với hệ số dãn k k y = f ( − kx ) k < Nếu ta dựng đồ thị hàm số sau lấy đối xứng qua trục tung Điểm bất động điểm nằm trục tung 2.1.4 Đồ thị hàm số y = kf ( x ), k ≠ Giả sử M ( x; f ( x )) thuộc đồ thị hàm số y = f ( x ) đặt tương ứng với điểm M '( x; kf ( x )) thuộc đồ thị hàm số y = kf ( x ) Do đó, đồ thị hàm số y = kf ( x ) suy từ đồ thị hàm số y = f ( x ) phép co dãn theo trục tung Nếu k > phép dãn với hệ số dãn k Nếu < k < đo phép co với hệ số co k Nếu k < ta dựng đồ thị hàm số y = −kf ( x ) sau lấy đối xứng qua trục hoành Điểm bất động điểm nằm trục hồnh Hình 2.1.5 Hình 2.1.4 2.1.5 Đồ thị hàm số y = f ( x ) + m Giả sử M ( x; f ( x )) thuộc đồ thị hàm số y = f ( x ) đặt tương ứng với điểm M '( x; f ( x ) + m) thuộc đồ thị hàm số y = f ( x ) + m Do đồ thị hàm số y = f ( x ) + m suy từ đồ thị hàm số y = f ( x ) phép tịnh tiến theo r véc tơ v = (0; m ) Từ ta thấy m > từ đồ thị hàm số y = f ( x ) ta “dịch lên” theo trục tung m đơn vị ta thu đồ thị hàm số y = f ( x ) + m Nếu m < từ đồ thị hàm số y = f ( x ) ta “dịch xuống” theo trục tung −m đơn vị ta thu đồ thị hàm số y = f ( x ) + m Hiển nhiên m = phép tịnh tiến trở thành phép đồng nhất.Nếu m ≠ khơng có điểm bất động (điểm biến thành nó) 2.1.6 Đồ thị y = f ( x )  f ( x) ≥  Ta có y = f ( x ) ⇔   y = f ( x )  y = − f ( x)  Do đồ thị y = f ( x ) suy từ đồ thị hàm số y = f ( x ) cách bỏ phần bên trục hoành, lấy đối xứng phần bên trục hoành qua trục hoành 2.1.7 Đồ thị hàm số y = f ( x + m ) Giả sử M ( x; f ( x )) thuộc đồ thị hàm số y = f ( x ) đặt tương ứng với điểm M '( x − m; f ( x )) thuộc đồ thị hàm số y = f ( x + m ) Do đó, đồ thị hàm số y = f ( x + m) suy từ đồ thị hàm số y = rf ( x ) phép tịnh tiến theo véc tơ v = ( −m;0) Hình 2.1.6 Hình 2.1.7 Ứng dụng phép biến hình vào nội dung số phức Các phép biến hình ứng với phép tốn tập số phức.Trong nội dung số phức ta đặt qui tắc số phức có dạng đại số z = a + bi với điểm M ( a; b) mặt phẳng Oxy 2.1.8 Phép cộng hai số phức Dựa định nghĩa phép cộng hai số phức ta có nhận xét sau: Giả sử số phức z biểu diễn điểm M , số phức z ' biểu diễn w = z + z ' có cách tịnh điểm M ' Khi điểm uuuur A biểu diễn số phức tiến điểm M theo OM ' 2.1.9 Phép trừ hai số phức Dựa định nghĩa phép trừ hai số phức ta có nhận xét sau: Giả sử số phức z biểu diễn điểm M , số phức z ' biểu diễn w = z − z ' có cách tịnh điểm M ' Khi điểm uuuuur A biểu diễn số phức tiến điểm M theo M ' O 2.1.10 Phép nhân hai số phức Giả sử hai số phức z, z ' có biểu diễn dạng mũ z = reiϕ , z ' = r ' eiϕ ' Khi đó: w = zz ' = rr ' ei (ϕ +ϕ ') Do M , N điểm biểu diễn cho z, w điểm N suy từ điểm M cách thực liên tiếp phép quay tâm O góc quay ϕ ' phép vị tự tâm O tỉ số r ' 2.1.11 Phép chia hai số phức Giả sử hai số phức z, z ' có biểu diễn dạng mũ z = reiϕ , z r i (ϕ −ϕ ') Do M , N điểm z ' = r ' eiϕ ' Khi đó: w = = e z' r' biểu diễn cho z, w điểm N suy từ điểm M cách thực liên tiếp phép quay tâm O góc quay −ϕ ' phép vị tự tâm O tỉ số r' 2.1.12 Phép lấy số phức liên hợp Dựa định nghĩa số phức liên hợp ta có nhận xét sau: Nếu M biểu diễn cho số phức z M ' biểu diễn cho số phức z M M ' đối xứng với qua trục Ox 2.1.13 Phép lấy mô đun Giả sử điểm M biểu diễn số phức z OM = z Giả sử điểm M biểu diễn số phức z1 , điểm N biểu diễn số phức z2 Khi MN = z2 − z1 2.1.14 Một số biểu diễn hình học số phức thường gặp 2.1.14.1 Đường thẳng 2 Phương trình z − a1 − b1i + z − a2 − b2i = k biểu diễn cho đường thẳng 2.1.14.2 Đường tròn, hình tròn Phương trình z − (a + bi ) = R biểu diễn đường tròn tâm I ( a; b) bán kính R Phương trình z − (a + bi ) ≤ R biểu diễn hình tròn tâm I ( a; b) bán kính R 2.1.14.3 Đường Elip Phươngtrình: z − ( a1 + b1i ) + z − ( a2 + b2i ) = 2a , a > 2a > ( a2 − a1 ) + (b2 − b1 ) biểu diễn cho Elip có tiêu điểm F1 ( a1 ; b1 ), F2 ( a2 ; b2 ) độ dài trục lớn 2a Nếu F1 ≡ F2 Elip suy biến thành đường tròn Nếu 2a = (a2 − a1 )2 + (b2 − b1 )2 Elip suy biến thành đoạn thẳng F1 F2 2.1.14.4 Đường Hyperbol Phươngtrình: z − ( a1 + b1i ) − z − (a2 + b2i ) = 2a , a > , 2a < (a2 − a1 )2 + (b2 − b1 ) biểu diễn cho đường hyperbolcó tiêuđiểm F1 ( a1; b1 ) , F (a2 ; b2 ) độ dài trục thực 2a Nếu 2a = ( a2 − a1 )2 + (b2 − b1 ) hyperbol suy biến thành đường thẳng F1F2 bỏ đoạn thẳng F1 F2 2.1.14.5 Đường Parabol Cho Parabol có đường chuẩn ∆ : A Re z + B Im z + C = 0, A2 + B > tiêu điểm F ( a; b) , Rez, Imz phần thực, phần ảo số phức z Khi phương trình Parabol có dạng: Aa + Bb + C z − ( a + bi ) = A2 + B 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Các kiến thức phép biến đổi đồ thị, phép biến hình sách giáo khoa trình bày đơn giản, tốn sách giáo khoa lớp 12 viết riêng cho hàm số Trong kỳ thi trắc nghiệm THPTQG năm gần gần năm có ứng dụng phép biến hình vào giải tốn trắc nghiệm Kỹ giải dạng tập học sinh yếu.Từ học sinh gặp vướng mắc với tốn có tâm lí ngại tiếp xúc với dạng tốn này, chí có nhiều học sinh yếu đọc lướt qua đề tốn tham dự kì thi Vì thông qua học tập giúp em rèn luyện khả tư sáng tạo, từ có kĩ giải vấn đề học tập, giúp học sinh có hứng thú học tập mơn.Việc làm nghĩ cần thiết phù hợp với yêu cầu giáo dục giai đoạn Từ thực trạng để công việc đạt hiệu hơn, chuyên đề muốn hướng dẫn học sinh cách định hướng phương pháp giải toán“Một số ứng dụng phép biến hình vào giải tốn trắc nghiệm lớp 12" Trong chuyên đề tập trình bày nhiều dạng khác nhau, để từ em đưa kết luận cho mình, ứng dụng loại tập cho phù hợp 2.3 Giải pháp thực Chuyên đề thực năm học 2018-2019 lớp chọn 12B1 Sau thực có kiểm tra, đốichứng, tơi thấy học sinh trung bình khá, khá, giỏi khơng có cảm giác vướng mắc đọc lướt đề dạng toán trước chưa tiếp thu chuyên đề Cũng qua học sinh tỏa hứng thú học tập phần Trong toán hướng dẫn học sinh cách tìm tòi lời giải khác Từ giúp em có cách nhìn rộng, từ toán cụ thể đến vấn đề tổng quát Khi gặp toán nội dung số phức ta đặt qui tắc số phức có dạng đại số z = a + bi với điểm M (a; b) mặt phẳng Oxy Khi gặp tốn nội dung hàm số ta biến đổi đồ thị cách giải trực tiếp dựa vào đáp số để thử loại trừ phương án, phần biến đổi đồ thị đề cập sách tập Tuy nhiên đề thi minh họa,thử nghiệm hay thức THPTQG năm từ 2017 trở lại đây, ta gặp nhiều, chí câu vận dụng, vận dụng cao Nó đòi hỏi phải có nhìn rõ vấn đề, phải loại bỏ phương pháp sử dụng phương pháp hợp lí Sau cách mà tơi định hướng cho học sinh thông qua số tập giải loại toán BÀI TẬP MINH HỌA Dạng 1: Sử dụng phép biến đổi đồ thị từ đồ thị hàm số cho Bài Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ bên (Hình 1.2.1) Xác định tất giá trị tham số m để phương trình f ( x ) = m có hai nghiệm thực phân biệt.[6] A m > 4; m = B < m < C < m < D −4 < m < Hình 1.2.1 Hướng dẫn: Hình 1.2.2 Theo 2.1.1 ta dễ dàng dựng đồ thị hàm số y = f ( x ) (Hình 1.2.2) Số nghiệm phương trình f ( x ) = m số giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x ) đường thẳng y = m Dựa vào đồ thị ta có: m > 4; m = Do chọn A Bài Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ ( Hình 1.2.3) Tất giá trị tham số m để hàm số y = f ( x ) + m có ba điểm cực trị [10] A m ≤ −1; m ≥ B m ≤ −1; m = B D m = D m ≤ −3; m ≥ C m = −1; m = Hình 1.2.3 1≤ m ≤ Hướng dẫn: Theo 2.1.1 2.1.5 đồ thị hàm số y = f ( x ) + m suy từ đồ thị hàm số r y = f ( x ) cách thực phép tịnh tiến theo v (0; m) sau dựng đồ thị hàm trị tuyệt đối Dễ thấy m ≤ −1; m ≥ cực trị hàm số y = f ( x ) + m nằm hoàn toàn bên bên trục hồnh Do dựng đồ thị hàm trị tuyệt đối y = f ( x ) + m thỏa mãn u cầu tốn Hình 1.2.4 Hình 1.2.5 10 Nếu hai cực trị hàm số y = f ( x ) + m nằm hai phía trục hồnh dựng đồ thị hàm số y = f ( x ) + m có cực trị Vậy chọn A (Hình 1.2.6) Hình 1.2.6 Bài Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) hình vẽ ( Hình 1.2.7) Đồ thị hàm số y = f ( x ) có đường tiệm cận gồm tiệm cận đứng tiệm cận ngang.[2] A.0 B C D Hướng dẫn: Theo 2.1.2 đồ thị hàm số y = f ( x ) dựng hình 1.2.8 Do đồ thị hàm số y = f ( x ) có đường tiệm cận gồm tiệm cận đứng tiệm cận ngang Chọn C Hình 1.2.7 Hình 1.2.8 Bài 11 Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị hình ( Hình 1.2.9) Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = x f ( ) đoạn [ 0;2] Khi 2 M + m [2] A B C D Hình 1.2.9 Hướng dẫn: Theo 2.1.3 2.1.4 ta suy đồ thị hàm số y = x f ( ) từ đồ thị hàm số 2 y = f ( x ) cách thực phép dãn theo trục hoành với hệ số dãn ( Hình 1.2.10) sau thực phép dãn theo trục tung với hệ số dãn (Hình 1.2.11) Vậy M = 3, m = ⇒ M + m = Chọn D Hình 1.2.10 Hình 1.2.11 m Bài Tìm để hệ phương trình sau có ba nghiệm phân biệt x − x + − m = [4] A − 9+4 9+4