tham khao de thi hoc sinh gioi toan lop 8 co kem dap an chi tiet

[TOÁN – Đề thi HSG sưu tầm] PHẦN I – ĐỀ THI PHẦN I – ĐỀ THI ĐỀ THI SỐ Câu 1: (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1) Câu 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức : 2 x 4x2 2 x x  3x A(   ):( )  x x   x x  x3 a) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị x để A > 0? c) Tính giá trị A trường hợp : |x – 7| = Câu 3: (5,0 điểm) a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z – 6y + 20 = b) Cho a b c x y z x2 y z       Chứng minh :    x y z a b c a b c Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD a) Tứ giác BEDF hình ? Hãy chứng minh điều ? b) Chứng minh : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | [TOÁN – Đề thi HSG sưu tầm] PHẦN I – ĐỀ THI ĐỀ THI SỐ Câu (6 điểm) a Phân tích đa thức sau thừa số: A = x4  B =  x  2 x  3 x   x  5  24 b Giải phương trình: x  30x  31x  30  a2 b2 c2 a b c c Cho   0    Chứng minh rằng: bc ca ab bc ca ab Câu (6 điểm) Cho biểu thức:   10  x   x A   : x      x2   x 4 2 x x2  a Rút gọn biểu thức A b Tính giá trị A , Biết x = c Tìm giá trị x để A < d Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị ngun Câu 3.(6 điểm) Cho hình vng ABCD cạnh a, M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ ME  AB, MF  AD a Chứng minh: DE  CF b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy c Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn Câu (2 điểm) a Cho số dương a, b, c có tổng Chứng minh rằng: 1   9 a b c b Cho a, b dương a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tính: a2011 + b2011 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | [TOÁN – Đề thi HSG sưu tầm] PHẦN I – ĐỀ THI ĐỀ THI SỐ Câu 1: (2 điểm) Cho P = a  4a  a  a3  7a  14a  a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên a để P nhận giá trị nguyên Câu 2: (2 điểm) a) Chứng minh tổng hai số nguyên chia hết cho tổng lập phương chúng chia hết cho b) Tìm giá trị x để biểu thức : P = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Câu 3: (2 điểm) a) Giải phương trình : 1 1    x  x  20 x  11x  30 x  13x  42 18 b) Cho a , b , c cạnh tam giác Chứng minh : A= a b c   3 bc a a c b a bc Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC , gọi M trung điểm BC Một góc xMy 600 quay quanh điểm M cho cạnh Mx , My cắt cạnh AB AC D E Chứng minh : a) BD.CE= BC b) DM,EM tia phân giác góc BDE CED c) Chu vi tam giác ADE khơng đổi Câu 5:(1 điểm) Tìm tất tam giác vng có số đo cạnh số nguyên dương số đo diện tích số đo chu vi 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | [TOÁN – Đề thi HSG sưu tầm] PHẦN I – ĐỀ THI ĐỀ THI SỐ Câu1 (2 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A   a  1 a  3 a  5 a    15 Câu (2 điểm) Với giá trị a b đa thức:  x  a  x  10  phân tích thành tích đa thức bậc có hệ số nguyên Câu 3.(1 điểm) Tìm số nguyên a b để đa thức A(x) = x4  3x3  ax  b chia hết cho đa thức B( x)  x2  3x  Câu ( điểm)Cho tam giác ABC, đường cao AH,vẽ phân giác Hx góc AHB phân giác Hy góc AHC Kẻ AD vng góc với Hx, AE vng góc Hy.Chứng minh rằngtứ giác ADHE hình vng Câu (2 điểm) Chứng minh P 1 1      2 1002 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | [TOÁN – Đề thi HSG sưu tầm] PHẦN I – ĐỀ THI ĐỀ THI SỐ Bài 1:(4 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) (x + y + z) – x3 – y3 – z3 b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 Bài 2:(2 điểm) Giải phương trình: x  241 x  220 x  195 x  166     10 17 19 21 23  2009  x    2009  x  x  2010    x  2010  Bài 3: (3 điểm) Tìm x biết: 2  2009  x    2009  x  x  2010    x  2010  2  19 49 Bài 4: (3 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  2010 x  2680 x2  Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, D điểm di động cạnh BC Gọi E, F hình chiếu vng góc điểm D lên AB, AC a) Xác định vị trí điểm D để tứ giác AEDF hình vng b) Xác định vị trí điểm D cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ Bài 6: (4 điểm) Trong tam giác ABC, điểm D, E, F tương ứng nằm cạnh BC, CA, AB cho: AFE  BFD, BDF  CDE, CED  AEF a) Chứng minh rằng: BDF  BAC b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = Tính độ dài đoạn BD 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | [TOÁN – Đề thi HSG sưu tầm] PHẦN I – ĐỀ THI ĐỀ THI SỐ Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + = 25 b) x  17 x  21 x    4 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = Bài 2(1,5 điểm): Cho x, y, z đơi khác Tính giá trị biểu thức: A  1    x y z yz xz xy   x  yz y  xz z  xy Bài (1,5 điểm): Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta số phương Bài 4(3 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H trực tâm a) Tính tổng HA ' HB ' HC '   AA ' BB ' CC ' b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN IC.AM c) Tam giác ABC biểu thức ( AB  BC  CA)2 đạt giá trị nhỏ nhất? AA '2  BB '2  CC '2 Câu (1 điểm): Tìm tất tam giác vng có số đo cạnh số nguyên dương số đo diện tích số đo chu vi 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | [TOÁN – Đề thi HSG sưu tầm] PHẦN I – ĐỀ THI ĐỀ THI SỐ   x3   x2  x : Bài (4 điểm) Cho biểu thức A =  với x  1  1 x  1 x  x  x a, Rút gọn biểu thức A b, Tính giá trị biểu thức A x  1 c, Tìm giá trị x để A < Bài (3 điểm) Cho  a  b    b  c    c  a    a  b2  c  ab  ac  bc  Chứng 2 minh rằng: a = b = c Bài (3 điểm) Giải toán cách lập phương trình Một phân số có tử số bé mẫu số 11 Nếu bớt tử số đơn vị tăng mẫu lên đơn vị phân số nghịch đảo phân số cho Tìm phân số Bài (2 điểm)Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = a4  2a3  3a2  4a  Bài (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông A có góc ABC 600, phân giác BD Gọi M,N,I theo thứ tự trung điểm BD, BC, CD a, Tứ giác AMNI hình gì? Chứng minh b, Cho AB = 4cm Tính cạnh tứ giác AMNI Bài (5 điểm)Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt O Đường thẳng qua O song song với đáy AB cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự M N a, Chứng minh OM = ON b, Chứng minh 1   AB CD MN c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích) Tính SABCD 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | [TOÁN – Đề thi HSG sưu tầm] PHẦN I – ĐỀ THI ĐỀ THI SỐ Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2  x  x4  2008x2  2007 x  2008 Bài 2: (2điểm) Giải phương trình: x2  3x   x    1     1 2  x     x     x   x     x   x x x  x     Bài 3: (2điểm) 1  1 CMR với a,b,c số dương,ta có:  a  b  c       a b c  Tìm số d phép chia biểu thức  x  2 x   x  6 x  8  2008 cho đa thức x2  10 x  21 Bài 4: (4 điểm)Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đường cao AH (H  BC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đường vng góc với BC D cắt AC E Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo m  AB Gọi M trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM Tia AM cắt BC G Chứng minh: GB HD  BC AH  HC 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | [TOÁN – Đề thi HSG sưu tầm] PHẦN I – ĐỀ THI ĐỀ THI SỐ Bài 1(6 điểm): Cho biểu thức: 2x  2x   21  x  x  P =   1 : 2  x  12 x  13x  x  20 x   x  x  a) Rút gọn P b) Tính giá trị P x  c) Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên d) Tìm x để P > Bài 2(3 điểm) Giải phương trình: a) 15 x     12    x  3x   x  3x   b) 148  x 169  x 186  x 199  x     10 25 23 21 19 c) x    Bài 3(2 điểm) Giải tốn cách lập phương trình: Một người xe gắn máy từ A đến B dự định 20 phút Nếu người tăng vận tốc thêm km/h đến B sớm 20 phút Tính khoảng cách AB vận tốc dự định người Bài (7 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M điểm đối xứng điểm C qua P a) Tứ giác AMDB hình gì? b) Gọi E F hình chiếu điểm M lên AB, AD Chứng minh EF//AC ba điểm E, F, P thẳng hàng c) Chứng minh tỉ số cạnh hình chữ nhật MEAF khơng phụ thuộc vào vị trí điểm P d) Giả sử CP  BD CP = 2,4 cm, PD  Tính cạnh hình chữ nhật PB 16 ABCD Bài 5(2 điểm) a) Chứng minh rằng: 20092008 + 20112010 chia hết cho 2010 b) Cho x, y, z số lớn Chứng minh rằng: 1   2  xy 1 x 1 y 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | [TOÁN – Đề thi HSG sưu tầm] PHẦN I – ĐỀ THI ĐỀ THI SỐ 10 Bài 1: (3điểm) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên x để A B biếtA = 10x2 – 7x – B = 2x – c)Cho x + y = x y  Chứng minh 2 x  y x y   2 0 y 1 x 1 x y  3 Bài 2: (3điểm)Giải phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 b) x 1 x  x  x  x  x       2008 2007 2006 2005 2004 2003 Bài 3:(2điểm)Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, tia đối tia CB lấy F cho AE = CF a) Chứng minh  EDF vuông cân b) Gọi O giao điểm đường chéo AC BD Gọi I trung điểm EF Chứng minh O, C, I thẳng hàng Bài 4: (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển AB, AC cho BD = AE Xác địnhvị trí điểm D, E cho: a DE có độ dài nhỏ b Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 10 [TOÁN – Đề thi HSG sưu tầm] PHẦN I – ĐỀ THI ĐỀ THI SỐ 11 Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x2 – y2 – 5x + 5y b) 2x2 – 5x – Bài 2: Tìm đa thức A, biết rằng: x  16 A  x x2  Bài 3: Cho phân thức: 5x  2x2  2x a) Tìm điều kiện x để giá trị phân thức xác định b) Tìm giá trị x để giá trị phân thức Bài 4: a) Giải phương trình : x2   x  x x( x  2) b) Giải bất phơng trình: (x-3)(x+3) < (x+2)2 + Bài 5: Giải tốn sau cách lập phương trình: Một tổ sản xuất lập kế hoạch sản xuất, ngày sản xuất 50 sản phẩm Khi thực hiện, ngày tổ sản xuất 57 sản phẩm Do hồn thành trước kế hoạch ngày cịn vượt mức 13 sản phẩm Hỏi theo kế hoạch tổ phải sản xuất sản phẩm thực ngày Bài 6: Cho ∆ ABC vuông A, có AB = 15 cm, AC = 20 cm Kẻ đường cao AH trung tuyến AM a) Chứng minh ∆ ABC ~ ∆ HBA b) Tính : BC; AH; BH; CH ? c) Tính diện tích ∆ AHM ? 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 11 [TOÁN – Đề thi HSG sưu tầm] PHẦN I – ĐỀ THI ĐỀ THI SỐ 12 Câu 1:(5điểm) Tìm số tự nhiên n để: a A  n3  n2  n  1là số nguyên tố b B  n4  3n3  2n2  6n  có giá trị số nguyên n2  c D  n5  n  số phương với n  Câu 2:(5điểm) Chứng minh : a a b c    biết abc = ab  a  bc  b  ac  c  b Với a+b+c=0 a  b4  c4   ab  bc  ca  c a b2 c c b a      b2 c a b a c Câu 3:(5điểm) Giải phương trình sau: a x  214 x  132 x  54   6 86 84 82 b x 8x  1  x  1  c x2  y  x  y  10  với x,ynguyên dương Câu 4:(5điểm) Cho hình thang ABCD (AB//CD), O giao điểm hai đường chéo.Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt DA E,cắt BCtại F a Chứng minh:Diện tích tam giác AOD diện tích tam giác BOC b Chứng minh: 1   AB CD EF c Gọi Klà điểm thuộc OE Nêu cách dựng đường thẳng qua Kvà chia đôi diện tích tam giác DEF 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 12 [TOÁN – Đề thi HSG sưu tầm] PHẦN I – ĐỀ THI ĐỀ THI SỐ 13 Câu (2 điểm) a Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2  xy  y  x  y  b Chứng minh n  N * n3  n  hợp số c Cho hai số phương liên tiếp Chứng minh tổng hai số cộng với tích chúng số phương lẻ Câu (2 điểm) a Giải phương trình: x 1 x  x  x  2012      2012 2012 2011 2010 b Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = Tính S = a2 + b 2012 + c 2013 Câu (1,5 điểm) a Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  x2  y  xy  8x  y  18 b Cho a; b; c ba cạnh tam giác Chứng minh: ab bc ac    abc a  b  c a  b  c a  b  c Câu (3,5 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi E, F, G, H trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA M giao điểm CE DF a Chứng minh: Tứ giác EFGH hình vuông b Chứng minh DF  CE  MAD cân c Tính diện tích  MDC theo a 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 13 [TOÁN – Đề thi HSG sưu tầm] PHẦN I – ĐỀ THI ĐỀ THI SỐ 14 Bài 1: (4,0 điểm) a) Cho y+z-x x y z   Tìm giá trị biểu thức : M = x-y+z b) Tìm giá trị lớn biểu thức : f(x) = - x  5x + Bài 2: (6,0 điểm) a) Tìm x, biết rằng: 1  0, 75x +4    + =  : 19.21  x 231  11.13 13.15 b) Rút gọn biểu thức sau đây: 1 x 1+x +  x + x2 C = 1 x + x 1+ x 1-x 1 x + x - x + x2 Bài 3: (2,0 điểm) Trong trường có ba lớp Biết 2/3 số học sinh lớp 7A 3/4 số học sinh lớp 7B 4/5 số học sinh lớp 7C Lớp C có số học sinh tổng số học sinh hai lớp 57 bạn Tính số học sinh lớp Bài 4: (4,0 điểm)Cho tam giác ABC, đường cao AK BD cắt G Vẽ đường trung trực HE, HF AC BC Chứng minh : BG = 2HE AG = 2HF Bài 5: (4,0 điểm)Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, I theo thứ tự trung điểm đoạn thẳng AD, BC, AC a) Chứng minh EI // CD; FI // AB b) Chứng minh hệ thức EF  AB + CD c) Từ hệ thức trên, suy dấu “ = ” xảy tứ giác ABCD hình thang 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 14 [TOÁN – Đề thi HSG sưu tầm] PHẦN I – ĐỀ THI ĐỀ THI SỐ 15 Bài 1:(2 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: c) (x + y + z) – x3 – y3 – z3 d) x4 + 2012x2 + 2011x + 2012   10  x   x A   : x      x2   x 4 2 x x2  Bài 2: (2,5 điểm)Cho biểu thức: a Rút gọn biểu thức A b Tính giá trị A , Biết x = c Tìm giá trị x để A < d Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Bài :(2 điểm) a) Giải phương trình : 1 1    x  x  20 x  11x  30 x  13x  42 18 b) Cho a , b , c cạnh tam giác Chứng minh : A= a b c   3 bc a a c b a bc Bài 4: (3,5 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD a) Tứ giác BEDF hình ? Hãy chứng minh điều ? b) Chứng minh : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 15 [TOÁN – Đề thi HSG sưu tầm] PHẦN I – ĐỀ THI ĐỀ THI SỐ 16 Bài (4,0 điểm): a) Chứng minh rằng: Chữ số tận hai số tự nhiên n n5 b) Tìm tất số nguyên x thỏa mãn: x2 + x – p = 0; với p số nguyên tố i (3,0 điểm): a) Cho ba số a, b, c khác thỏa mãn: a + b + c = Tính giá trị biểu thức: P 1   2 2 a b c b c a c  a  b2 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A  x  x3  3x  x  2015 ; B  x  x  2016 x2 Bài 3(3,0 điểm): Cho biểu thức: P 1 1     x  x x  3x  x  5x  x  x  12 x  x  20 a) Tìm điều kiện x để biểu thức P có giá trị b) Rút gọn biểu thức P c) Tính giá trị P x thỏa mãn: x3 – x2 + = Bài (4,0 điểm): a) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: ab + bc + ca  a2 + b2 + c2< 2(ab + bc + ca) b) Tìm tất cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: 10x2 + 50y2 + 42xy + 14x – 6y + 57 < Bài (4,0 điểm) Cho M điểm nằm hình vng ABCD có cạnh a) Chứng minh rằng: MA2 + MB2 + MC2 + MD2  b) Xét điểm M nằm đường chéo AC, kẻ MN  AB N, gọi O trung điểm AM Chứng minh rằng: CN2 = 2.OB2 Bài (2,0 điểm): Cho tam giác ABC có A  B Trên cạnh BC lấy điểm H cho HAC  ABC Đường phân giác góc BAH cắt BH E Từ trung điểm M AB kẻ ME cắt đường thẳng AH F Chứng minh rằng: CF//AE 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 16 [TOÁN – Đề thi HSG sưu tầm] PHẦN I – ĐỀ THI ĐỀ THI SỐ 17  6x   Bài 1: (4,5 điểm) Cho biểu thức: Q      : ( x  2)  x 1 x 1 x  x 1 a) Tìm điều kiện xác định Q, rút gọn Q b) Tìm x Q = c) Tìm giá trị lớn biểu thức Q Bài 2: (4,5 điểm) a) Giải phương trình: 2x  2x  6x2  9x    1 2x  2x  (2 x  1)(2 x  7) b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 – 2x2 – x +2 c) Tìm giá trị x, y nguyên dương cho: x2 = y2 + 2y + 13 Bài 3: (4,0 điểm) a) Cho abc ≠ ? ab  bc  ca  Chứng minh a = b = c   b c a b) Cho số tự nhiên n  Chứng minh 2n 10a  b (a, b  N ,  b  10) tích ab chia hết cho Bài 4: (5,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Các đường cao AD, BE, CF cắt H a) Chứng minh rằng: BD.DC = DH.DA b) Chứng minh rằng: HD HE HF    AD BE CF c) Chứng minh rằng: H giao điểm đường phân giác tam giác DEF d) Gọi M, N, P, Q, I, K trung điểm đoạn thẳng BC, CA, AB, EF, FD, DE Chứng minh ba đường thẳng MQ, NI, PK đồng quy điểm Bài 5: (1,0 điểm)Cho tam giác ABC cân A có AB = AC = b ; BC = a Đường phân giác BD tam giác ABC có độ dài cạnh bên tam giác ABC Chứng minh rằng: 1 b   b a ( a  b) Bài 6:(1,0 điểm) Cho a, b, c > 0; a + b + c = Chứng minh rằng: a b c    2 2 1 b 1 c 1 a 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 17 [TOÁN – Đề thi HSG sưu tầm] PHẦN I – ĐỀ THI ĐỀ THI SỐ 18 Bài 1: (2,5 điểm ) a Phân tích đa thức thành nhân tử: x2  xy  y  b Giải phương trình: x 1 x  x  x  2012      2012 2013 2012 2011 c Tìm đa thức f ( x) biết: f ( x) chia cho x  dư 5; f ( x) chia cho x  dư 7; f ( x) chia cho ( x  2)( x  3) thương x2  đa thức dư bậc x Bài 2: (2,0 điểm) Cho: P  7.2014n  12.1995n với n  N ; Q ( x2  n)(1  n)  n2 x  Chứng minh: a P chia hết cho 19 ( x2  n)(1  n)  n2 x  b Q không phụ thuộc vào x Q  Bài 3:(1,5 điểm) a Chứng minh: a2  5b2  (3a  b)  3ab  b Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2  y  x  19 Bài 4:( 4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) Các đường cao AE, BF cắt H Gọi M trung điểm BC, qua H vẽ đường thẳng a vng góc với HM, a cắt AB, AC I K a Chứng minh  ABC đồng dạng  EFC b Qua C kẻ đường thẳng b song song với đường thẳng IK, b cắt AH, AB theo thứ tự N D Chứng minh NC = ND HI = HK c Gọi G giao điểm CH AB Chứng minh: AH BH CH   6 HE HF HG 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 18 [TOÁN – Đề thi HSG sưu tầm] PHẦN I – ĐỀ THI ĐỀ THI SỐ 19 Bài (4,0 điểm):   x3   x2  x : Cho biểu thức A =  với x khác -1  1 x  1 x  x  x 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị biểu thức A x  1 3) Tìm giá trị x để A < Bài 2( 4,0 điểm ): a) Giải phương trình sau:   x  2x  x  2x  x  2x  b) Cho x số nguyên Chứng minh biểu thức M   x  1 x   x  3 x  4  bình phương số nguyên Bài 3( 4,0 điểm ): a)Cho x, y, z số nguyên thỏa mãn: x + y + z chia hết cho Chứng minh M = ( x + y)( x + z )( y + z ) – 2xyz chia hết cho b) Cho a, b, c số khác thỏa mãn: a3b3  b3c3  c3 a3  3a2b2 c2   a  b  c    Tính giá trị biểu thức P  1  1  1   b c a Bài (6,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC ( AB < AC), có đường cao AH cho AH = HC Trên AH lấy điểm I cho HI = BH Gọi P Q trung điểm BI AC Gọi N M hình chiếu H AB IC ; K giao điểm đường thẳng CI với AB ; D giao điểm đường thẳng BI với AC a) Chứng minh I trực tâm tam giác ABC b) Tứ giác HNKM hình vuông c) Chứng minh bốn điểm N, P, M, Q thẳng hàng Bài 5( 2,0 điểm ): Cho x,y,z số dương thỏa mãn điều kiện: x2015  y 2015  z 2015  Tìm giá trị lớn biểu thức: x2  y  z 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 19 [TOÁN – Đề thi HSG sưu tầm] PHẦN I – ĐỀ THI ĐỀ THI SỐ 20 Bài (4 điểm) Phân tích thành nhân tử: x4 - 6x2 - 7x - Bài (4 điểm) Cho x, y, z số thực không âm, biết x + y + z = Tìm giá trị nhỏ của: x4 + y4 + z4 Bài (4 điểm) Cho x, y, a, b số thực thoả mãn: x4 y4 x2  y   a b ab Chứng minh: x  y  x 2006 y 2006   1003 1003 1003 a b  a  b Bài (4 điểm) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh bất đẳng thức: ab bc ca 1      2 a b c bc  a ac  b ab  c Bài 5.(4 điểm) Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC) Trên cạnh AB lấy điểm M cho BM = 2MA, nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ đường thẳng Bx vng góc với AB, Bx lấy điểm N cho BN = AB Đường thẳng MC cắt NA E, đường thẳng BE cắt đường thẳng AC F a) Chứng minh AF = AM b) Gọi H trung điểm FC, Chứng minh EH = BM 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 20 [TOÁN – Đề thi HSG sưu tầm] PHẦN I – ĐỀ THI ĐỀ THI SỐ 21 Bài Phân tích thành nhân tử: a) a3  2a2  13a  10 b) (a2  4b2  5)2  16(ab  1)2 Bài Cho số tự nhiên a, b, c Chứng minh a + b + c chia hết cho a3 + b3 + c3 + 3a2+ 3b2 + 3c2 chia hết cho Bài a) Cho a – b = Chứng minh a2 + b2  b) Cho 6a – 5b = Tìm giá trị nhỏ 4a2 + 25b2 Bài Đa thức bậc có hệ số bậc cao thoả mãn f(1) = 5; f(2) = 11; f(3) = 21 Tính f(-1) + f(5) Bài Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC) M trung điểm AC, BM lấy điểm N cho NM = MA; CN cắt AB E Chứng minh: a) Tam giác BNE đồng dạng với tam giác BAN b) NC NB   AN AB 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 21 [TOÁN – Đề thi HSG sưu tầm] PHẦN I – ĐỀ THI ĐỀ THI SỐ 22 Bài 1.(2 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) a2 – a – b) a4 + Bài 2.(4 điểm) a) Tìm đa thức bậc ba f(x), biết: f(x) + f(x + 1) = 4x3 + 14x2 + 16x + 17 b) Tìm n  N* cho n2 + n + 13 số phương Bài 3.(3,5 điểm)Cho f(x) = S = f( 100 x , tính tổng: 100 x  10 2008 ) + f( ) + f( ) + … + f( ) 2009 2009 2009 2009 Bài (4,5 điểm) a) Tìm giá trị lớn biẻu thức: P = b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x2 x4  x2  A= ( x  18 x  32)( x  x  8) x2 Bài 5.(6 điểm) Cho hình vuông ABCD, M N theo thứ tự trung điểm của AB AD MD cắt AC P, NC cắt BD Q, MD NC cắt E, PQ BE cắt F Chứng minh: a) BC = BE b) FP = FE 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 22 ... a DE có độ dài nhỏ b Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 10 [TOÁN – Đề thi HSG sưu tầm] PHẦN I – ĐỀ THI ĐỀ THI. .. thẳng qua Kvà chia đơi diện tích tam giác DEF 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 12 [TOÁN – Đề thi HSG sưu tầm] PHẦN I – ĐỀ THI ĐỀ THI SỐ 13 Câu... dạng với tam giác BAN b) NC NB   AN AB 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 21 [TOÁN – Đề thi HSG sưu tầm] PHẦN I – ĐỀ THI ĐỀ THI SỐ 22 Bài 1.(2