Việc giải quyết được dạng toán này không chỉ bồi dưỡng thêm khiên thứccho hoc sinh mà còn rèn cho các em được phương pháp tư duy phân tích tổnghợp và có được sự linh hoạt về tư duy để gi
Trang 13 Đối tượng nghiên cứu
4 Phương pháp nghiên cứu
II Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
3.1 Một số định nghĩa, định lý liên quan đến phương pháp giải bài
toán tìm chữ số tận cùng,chia hết
3.2 Một số nhận xét quan trọng trong việc giải các dạng toán này
4 Các biện pháp tổ chức thực hiện để giải quyết vấn đề
4.1 Phương pháp giải các bài toán tìm chữ số tận cùng
4.1.1 Phương pháp 1: Dùng cấu tạo số:
4.1.2 Phương pháp 2: Nhận xét về lũy thừa
4.1.3 Phương pháp 3: Dùng đồng dư
4.2 Dựa vào bài toán tìm chữ số tận cùng để giải các bài toán khác có
liên quan khác
4.3 Bài tập vận dụng:
5 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
III Kết luận, kiến nghị
1 Kết luận
2 Kiến nghị
Tài liệu tham khảo
Danh mục các đề tài SKKN đã được hội đồng đánh giá xếp loại
cấp phòng GD&ĐT, cấp sở GD&ĐT và các cấp cao hơn xếp loại từ C
trở lên
111112223
34666712
1418
1819192021
22
Trang 2I MỞ ĐẦU:
1 Lý do chon đề tài:
Trong chương trình toán học phổ thông có nhiều dạng toán khó, để giúphọc sinh tiếp thu được kiến thức và vân dụng trong giải toán đòi hỏi người giáoviên không ngừng tìm tòi, nghiên cứu Việc tìm hiểu và giải quyết được nhữngdạng toán khó giúp giáo viên nâng cao năng lực chuyên môn Trong nhiều dạngtoán, có dạng toán tìm số tận cùng là dạng bài toán khó, bất quy tắc và khi giảibài tập có các dạng toán khác nhau Khi làm bài đòi hỏi học sinh phải linh hoạt
và biết phân biệt dạng để đưa về bài toán quen thuộc để thực hiện bài giải đơngiản hơn thì mới thực hiện được
Việc giải quyết được dạng toán này không chỉ bồi dưỡng thêm khiên thứccho hoc sinh mà còn rèn cho các em được phương pháp tư duy phân tích tổnghợp và có được sự linh hoạt về tư duy để giải các bài toán khác nhau có liênquan như chứng minh chia hết, chứng minh một số là số chính phương… Giúpcác em có trí tưởng tượng cao phát huy tích cực chủ động trong tư duy, có tínhsáng tạo trong khi giải toán cũng như giải quyết các vấn đề trong môn học khác
và trong thực tiễn cuộc sống
Chính vì thế, tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh
nghiệm hướng dẫn học sinh cách giải dạng toán tìm chữ số tận cùng” vớimục đích giúp các em nắm vững các phương pháp giải và từ đó phát hiệnphương pháp giải phù hợp với từng bài toán cụ thể
2 Mục đích nghiên cứu:
Với đề tài sáng kiến kinh nghiệm này tôi muốn:
- Chia xẻ các kinh nghiệm với các đồng nghiệp trong công tác giảng dạy
- Giúp học sinh biết cách định hướng và lời giải một cách ngắn gọn nhất
- Phát huy trí lực, rèn luyện khả năng phân tích đanh giá tổng hợp và có được sựlinh hoạt về tư duy giải các bài toán khác nhau có liên quan cho học sinh
- Giúp học sinh tự tin khi giải toán hoặc trong thi cử
- Nâng cao chất lượng môn Toán đặc biệt là chất lượng mũi nhọn
- Việc nghiên cứu về dạng toán tìm chữ số tận cùng để giúp tôi nâng cao nănglực chuyên môn và làm tư liệu dạy học sinh giỏi
3 Đối tượng nghiên cứu:
Các phương pháp giải toán về tìm chữ số tận cùng, các bài toán liên quan đến việc tìm chữ số tận cùng Đặc biệt là dạy các chuyên đề trong trường họchoặc bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi Toán, ôn tập cho học sinh chuẩn bị thivào các lớp chọn, lớp chuyên THPT
Đây cũng là tài liệu tham khảo cho các đông nghiệp trong công tác giảngdạy môn Toán ở trường trung học cơ sở
4 Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu lí thuyết
- Phương pháp đọc và nghiên cứu tài liệu
Trang 3- Phương pháp so sánh đối chứng.
- Phương pháp thông kê
- Phương pháp thực nghiệm qua giảng dạy
- Phương pháp điều tra phân tích, tổng hợp
II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:
- Qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy khi giáo viên được nghiên cứu sâu về cácdạng toán Cụ thể là với dạng toán tìm chữ số tận cùng này, sẽ giúp giáo viênnâng cao tư duy và năng lực chuyên môn Để từ đó truyền đạt cho các em nhữngbài toán được dễ dàng và giúp các em dễ hiểu và tiếp thu bài tốt
- Khi học sinh chưa được phân dạng về các bài toán tìm chữ số tận cùng thì các
em thường lúng túng, hay tìm mò hoặc khó tìm ra các lời giải nhanh và đúng.Nhìn chung, tôi thấy các em rất ngại với những bài toán có số mũ lớn và số mũ
là tham số
- Qua thực tế giảng dạy học sinh giỏi về các dạng toán tìm chữ số tận cùng, tôi
đã phân rõ các phương pháp giải bài toán khác nhau để các em nắm được cáchphân dạng toán, từ đó các em đưa ra các cách làm cho phù hợp với mỗi bài để cócách giải nhanh nhất và các em sẽ có được phương pháp phân tích tư duy tổnghợp toán học, nâng cao năng lực giải toán và có nghị lực vượt khó để giải bàitoán
- Với những giáo viên chưa được nghiên cứu về dạng Toán tìm chữ số tận cùngnày, nếu nắm được các phương pháp tìm chữ số tận cùng thì sẽ nâng cao đượcnăng lực tư duy và năng lực chuyên môn của mình
- Dạng toán “Tìm chữ số tận cùng” thực tế là ứng dụng của phép luỹ thừa, từ cácđặc điểm của một số luỹ thừa đặc biệt 1; 2; 3 hoặc 4 chữ số tận cùng của một luỹthừa bởi trong thực tế nhiều khi ta không cần biết giá trị của một số mà chỉ cầnbiết một hay nhiều chữ số tận cùng của nó Chẳng hạn khi so xổ số muốn biết
có trúng những giải cuối hay không người ta chỉ cần so hai chữ số cuối cùng
2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Qua thực tế giảng dạy học sinh giỏi, tôi nhận thấy học sinh còn bế tắc,lúng túng trong cách xác định dạng toán tìm chữ số tận cùng, chứng minh chiahết và tìm số dư trong một phép chia, phương hướng giải và chưa có nhiềuphương pháp giải hay Lý do chủ yếu của các vấn đề trên là các em chưa có hệthống phương pháp giải dạng toán, phân dạng toán để tìm lời giải cho bài toán…
Đứng trước thực trạng ấy, đòi hỏi giáo viên phải giúp các em tháo gỡ khókhăn, tạo hứng thú cho học sinh khi học tập và làm bài Muốn vậy giáo viên phảisớm hình thành phương pháp giải từng dạng toán, cần giúp học sinh biết địnhhướng phân dạng toán để tìm lời giải theo các phương pháp hợp lí, phù hợp chobài toán đó
Trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng cho học sinh, trước khi đưa vàogiảng dạy các phương pháp tìm chữ số tận cùng Tôi đã ra một đề kiểm tracho 10 em học sinh khá giỏi của trường như sau:
Trang 4Chính vì vậy tôi đã tìm hiểu các tài liệu để phân dạng giúp cho học sinh cácphương pháp làm dễ hơn Mỗi dạng tôi đưa ra cơ sở lý thuyết và một số bài tập
cụ thể để các em nắm chắc hơn các dạng toán và các phương pháp làm đối vớinhững dạng Toán đó Kết quả thu được qua khảo sát học sinh cuối năm học đãnâng cao rõ rệt hơn so với trước đó Sau đây là một số kinh nghiệm mà tôi đã ápdụng thành công khi dạy chuyên này
3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
3.1 Một số định nghĩa, định lý liên quan đến phương pháp giải bài toán tìm chữ số tận cùng, chia hết
Trang 5Tính chất 1: Một số tự nhiên bất kì, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 1 (n thuộc
N) thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi
Tính chất 2: a) Số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ
có chữ số tận cùng là 7 ; số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 3
b) Số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ
số tận cùng là 8 ; số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ
có chữ số tận cùng là 2
c) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9, khi nâng lên lũy thừa bậc4n + 3 sẽ không thay đổi chữ số tận cùng
Tính chất 3: Nếu a N và (a, 5) = 1 thì a20 - 1M25
Tính chất 4: Nếu a N và (a, 5) = 1 thì a100 - 1 chia hết cho 125
Tính chất 5: Số tự nhiên A không phải là số chính phương nếu :
3.2 Một số nhận xét quan trọng trong việc giải các dạng toán này
Trong toán học khi xét một số chia hết cho 2, 4, 8 hoặc chia hết cho 5, 25,
125 hay không ta chỉ cần xét 1, 2, 3 chữ số tận cùng của số đó Việc tìm 1, 2, 3chữ số tận cùng của một số ta chỉ có thể căn cứ vào:
a.- Tích các số lẻ là một số lẻ.
- Tích một số có tận cùng là 5 với bất kì số nhiên lẻ nào cũng có tận cùng là 5
- Tích một số chẵn với bất kì số tự nhiên nào cũng là một số chẵn
- Tích một số có chữ số tận cùng là 0 với bất kì số tự nhiên nào cũng có tận cùng
là 0
b - Các số tự nhiên có tận cùng là 0, 1, 5, 6 khi nâng lên luỹ thừa bất kì nào
(khác 0) vẫn giữ nguyên chữ số tận cùng của nó
- Các chữ số tự nhiên tận cùng bằng những chữ số 3, 7, 9 nâng lên luỹ
Trang 6- Các số có tận cùng bằng 001, 376, 626 nâng lên luỹ thừa (khác 0)nào cũng cótận cùng bằng 001, 376, 625.
- Số có tận cùng bằng 0625 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cúng có tận cùngbằng 0625
c - Số chính phương không tận cùng bởi các chữ số 2, 3, 7, 8.
Rõ ràng số y càng nhỏ thì việc tìm các chữ số tận cùng của y càng đơn giản hơn
Từ nhận xét trên, ta đề xuất phương pháp tìm hai chữ số tận cùng của số tựnhiên x = am như sau :
Trường hợp 1: Nếu a chẵn thì x = amM2m Gọi n là số tự nhiên sao cho an - 1M 25 Viết m = pn + q (p ; q N), trong đó q là số nhỏ nhất để aq M4 ta có:
e Để tìm ba chữ số tận cùng chúng ta dùng nhận xét sau:
Nhận xét : Tương tự như trường hợp tìm hai chữ số tận cùng, việc tìm ba
chữ số tận cùng của số tự nhiên x chính là việc tìm số dư của phép chia x cho
Trang 7Vì an - 1 chia hết cho 125 => apn - 1 chia hết cho 125 Mặt khác, do (8, 125) = 1nên aq(apn - 1) chia hết cho 1000
Vậy ba chữ số tận cùng của am cũng chính là ba chữ số tận cùng của aq Tiếptheo, ta tìm ba chữ số tận cùng của aq
Trường hợp 2 : Nếu a lẻ , gọi n là số tự nhiên sao cho an - 1 chia hết cho
1000
Viết m = un + v (u ; v N, 0 ≤ v < n) ta có :
x = am = av(aun - 1) + av
Vì an - 1 chia hết cho 1000 => aun - 1 chia hết cho 1000
Vậy ba chữ số tận cùng của am cũng chính là ba chữ số tận cùng của av Tiếptheo, ta tìm ba chữ số tận cùng của av
- Ta có tính chất: Nếu a N và (a, 5) = 1 thì a100 - 1 chia hết cho 125
Chứng minh : Do a20 - 1 chia hết cho 25 nên a20, a40, a60, a80 khi chia cho
25 có cùng số dư là 1
=> a20 + a40 + a60 + a80 + 1 chia hết cho 5 Vậy a100 - 1 = (a20 - 1)( a80 + a60 + a40 +
a20 + 1) chia hết cho 125
4 Các biện pháp tổ chức thực hiện để giải quyết vấn đề.
4.1 Phương pháp giải các bài toán tìm chữ số tận cùng.
4.1.1 Phương pháp 1: Dùng cấu tạo số:
a Cơ sở lý thuyết: Xem số tự nhiên: A = nk với n, k N
* Muốn tìm chữ số tận cùng của A chỉ cần biểu diễn A dưới dạng:
A = 10a + b = ab b là chữ số cuối cùng của A
Ta viết:
A = nk = (10q + r)k = 10t + rk với rN; 0r9
Chữ số cuối cùng của A chính là chữ số cuối cùng của số rk
- Nếu A = 100a + bc = abc thì bclà hai chữ số cuối cùng của A
- Nếu A = 1000a + bcd = abcd thì bcd là ba chữ số cuối cùng của A
1
1
n n n
- Nếu k lẻ k = 2m + 1 ta có:
M = 92m+1 = 92m.9 = (10t + 1).9
Trang 8= 10q + 9 (với m, t, q N)Vậy: M có chữ số cuối cùng là 9 nếu k lẻ, ta có 99 là một số lẻ.
Bài 3: Tìm hai chữ số tận cùng của số: C = 2 999
Vậy số A = 999có hai chữ số cuối cùng là 89
4.1.2 Phương pháp 2: Nhận xét về lũy thừa.
Trang 9a Cơ sở lý thuyết: Nhận xét: Ta có an là một lũy thừa.
Các trường hợp đặc biệt của lũy thừa như sau:
2, 4, 8 nâng lên luỹ thừa 4n có chữ số tận cùng là 6.
Số có tận cùng là 3, 7, 9 nâng lên luỹ thừa 4n có tận cùng bằng 1.
- Các số tự nhiên có tận cùng là 4 hoặc 9 nâng lên luỹ thừa lẻ có tận cùng bằng chính nó, nâng lên luỹ thừa chẵn có số tận cùng lần lượt là 6; 1.
* 5833 = 58.5832 = 58.(584)8 = 58.A6 B8
Trang 10Vậy 5833 có tận cùng bằng 8.
* 2335 = 233.2332 = (234)8.233 = 8
A1 B7 C7Vậy 2335 có tận cùng là 7
* 244 có tận cùng là 4 nâng lên luỹ thừa bậc lẻ vẫn có tận cùng là 4, vậy 24457
- Ta sử dụng tính chất 1: Một số tự nhiên bất kì, khi nâng lên lũy thừa
bậc 4n + 1 (n thuộc N) thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi.
- Chữ số tận cùng của một tổng các lũy thừa được xác định bằng cách tính tổng các chữ số tận cùng của từng lũy thừa trong tổng
Bài 4: Tìm chữ số tận cùng của tổng S = 2 1 + 3 5 + 4 9 + … + 2004 8009 Giải :
Nhận xét : Mọi lũy thừa trong S đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 1 (các
lũy thừa đều có dạng n4(n - 2) + 1, n thuộc {2, 3, …, 2004})
Theo tính chất 2, mọi lũy thừa trong S và các cơ số tương ứng đều có chữ số tận cùng giống nhau, bằng chữ số tận cùng của tổng :
(2 + 3 + … + 9) + 199.(1 + 2 + … + 9) + 1 + 2 + 3 + 4 = 200(1 + 2 + … + 9) + 9
= 9009
Vậy chữ số tận cùng của tổng S là 9
- Trong giải toán này chúng ta cần lưu ý tính chất 2:
a) Số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ
số tận cùng là 7 ; số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ
có chữ số tận cùng là 3
b) Số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ
số tận cùng là 8 ; số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ
có chữ số tận cùng là 2
c) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ không thay đổi chữ số tận cùng
Bài 5: Tìm chữ số tận cùng của tổng T = 2 3 + 3 7 + 4 11 + … + 2004 8011 Giải :
Nhận xét : Mọi lũy thừa trong T đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 3 (các
lũy thừa đều có dạng n4(n - 2) + 3, n thuộc {2, 3, …, 2004})
Trang 11Theo tính chất trên thì 23 có chữ số tận cùng là 8 ; 37 có chữ số tận cùng là 7; 411
có chữ số tận cùng là 4 ; …
Như vậy, tổng T có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của tổng : (8 + 7 + 4 +
5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 199.(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 1 + 8 + 7 + 4 = 200(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 8 + 7 + 4 = 9019
Bài 8: Tìm hai chữ số tận cùng của các số : 2 2003 ; 7 99
Giải: * Do 22003 là số chẵn, theo trường hợp 1, ta tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho 2n - 1 M 25
Trang 12Ta có 210 = 1024 => 210 + 1 = 1025 M 25 => 220 - 1 = (210 + 1)(210 - 1) M 25 =>
23(220 - 1) M100 Mặt khác :
22003 = 23(22000 - 1) + 23 = 23((220)100 - 1) + 23 = 100k + 8 (k N)
Vậy hai chữ số tận cùng của 22003 là 08
* Do 799 là số lẻ, theo trường hợp 2, ta tìm số tự nhiên n bé nhất sao cho
- Ngoài ra để tìm ba chữ số tận cùng chúng ta dùng nhận xét được nêu
trong mục 3.2 trang và Sử dụng tính chất 4: Nếu a N và (a, 5) = 1 thì a 100 - 1 chia hết cho 125
Bài 10: Tìm ba chữ số tận cùng của 123 101
Giải: Theo tính chất trên, do(123, 5) = 1 =>123100 - 1 chia hết cho =125(1).Mặt khác : 123100 - 1 = (12325 - 1)(12325 + 1)(12350 + 1) => 123100 - 1 chia hếtcho 8 (2)
Vì (8, 125) = 1, từ (1) và (2) suy ra : 123100 - 1 chi hết cho 1000
9100 : 9 => ba chữ số tận cùng của 999 là 889 (dễ kiểm tra chữ số tận cùng của 999
là 9, sau đó dựa vào phép nhân ??.9 001 để xác định ??.9 889 )
Vậy ba chữ số tận cùng của 3399 98 là 889
- Nếu số đã cho chia hết cho 8 thì ta cũng có thể tìm ba chữ số tận cùng một cách gián tiếp theo các bước : Tìm dư của phép chia số đó cho 125, từ đó suy ra các khả năng của ba chữ số tận cùng, cuối cùng kiểm tra điều kiện chia hết cho 8 để chọn giá trị đúng
Bài 12: Tìm ba chữ số tận cùng của 2004 200
Giải : Do (2004, 5) = 1 (tính chất trên)
=> 2004100 chia cho 125 dư 1
=> 2004200 = (2004100)2 chia cho 125 dư 1
Trang 13=> 2004200 chỉ có thể tận cùng là 126, 251, 376, 501, 626, 751, 876 Do 2004200chia hết cho 8 nên chỉ có thể tận cùng là 376
- Từ phương pháp tìm hai và ba chữ số tận cùng đã trình bày, chúng ta có thể mở rộng để tìm nhiều hơn ba chữ số tận cùng của một số tự nhiên
Bài 13: Tìm 4 chữ số tận cùng của số: P = 51992
Giải:
* Ta có 51992 = (54)498 = 0626498 = …0625 �P = 51992 có bốn nhữ số tận cùng là0625
4.1.3 Phương pháp 3: Dùng đồng dư.
a Cơ sở lý thuyết:
- Định nghĩa:
Cho số nguyên m>0, hai số nguyên a và b chia cho m có cùng số dư ta nói
a đồng dư với 6 theo mô đun m và viết a b (mod m)
- Định lý:
Ba mệnh đề sau tương đương với nhau:
+) a đồng dư với b theo mô đun m
m b
a
m d
c
suy ra: a acbd b(modd(,modm)m)
Hệ quả: a+c b (mod m) a b c(mod m)
ab (mod m) a m b n(mod m)
4 Nếu a b (mod m); k ƯC (a,b), (k,m) = 1 thì (mod m)
k
b k
a
5 (mod )
0 ,
m b a
k Z k
Tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên N có nghĩa là phải tìm số
dư trong phép chia số N cho 10, tức là tìm số tự nhiên nhỏ hơn 10 đồng dư với
N theo mod 10