Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh cách giải các dạng toán tìm chữ số tận cùng

MỤC LỤC I Mở đầu Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu II Nội dung sáng kiến kinh nghiệm Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 3.1 Một số định nghĩa, định lý liên quan đến phương pháp giải tốn tìm chữ số tận cùng, chia hết 3.2 Một số nhận xét quan trọng việc giải dạng toán Các biện pháp tổ chức thực để giải vấn đề 4.1 Phương pháp giải tốn tìm chữ số tận 4.1.1 Phương pháp 1: Dùng cấu tạo số: 4.1.2 Phương pháp 2: Nhận xét lũy thừa 4.1.3 Phương pháp 3: Dùng đồng dư 4.2 Dựa vào tốn tìm chữ số tận để giải tốn khác có liên quan khác 4.3 Bài tập vận dụng: Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường III Kết luận, kiến nghị Kết luận Kiến nghị Tài liệu tham khảo Danh mục đề tài SKKN hội đồng đánh giá xếp loại cấp phòng GD&ĐT, cấp sở GD&ĐT cấp cao xếp loại từ C trở lên Trang 1 1 2 3 6 12 14 18 18 19 19 20 21 22 I MỞ ĐẦU: Lý chon đề tài: Trong chương trình tốn học phổ thơng có nhiều dạng tốn khó, để giúp học sinh tiếp thu kiến thức vân dụng giải tốn đòi hỏi người giáo viên khơng ngừng tìm tòi, nghiên cứu Việc tìm hiểu giải dạng tốn khó giúp giáo viên nâng cao lực chuyên môn Trong nhiều dạng tốn, có dạng tốn tìm số tận dạng tốn khó, bất quy tắc giải tập có dạng tốn khác Khi làm đòi hỏi học sinh phải linh hoạt biết phân biệt dạng để đưa toán quen thuộc để thực giải đơn giản thực Việc giải dạng toán không bồi dưỡng thêm khiên thức cho hoc sinh mà rèn cho em phương pháp tư phân tích tổng hợp có linh hoạt tư để giải toán khác có liên quan chứng minh chia hết, chứng minh số số phương… Giúp em có trí tưởng tượng cao phát huy tích cực chủ động tư duy, có tính sáng tạo giải toán giải vấn đề môn học khác thực tiễn sống Chính thế, tơi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh cách giải dạng tốn tìm chữ số tận cùng” với mục đích giúp em nắm vững phương pháp giải từ phát phương pháp giải phù hợp với tốn cụ thể Mục đích nghiên cứu: Với đề tài sáng kiến kinh nghiệm muốn: - Chia xẻ kinh nghiệm với đồng nghiệp công tác giảng dạy - Giúp học sinh biết cách định hướng lời giải cách ngắn gọn - Phát huy trí lực, rèn luyện khả phân tích đanh giá tổng hợp có linh hoạt tư giải toán khác có liên quan cho học sinh - Giúp học sinh tự tin giải toán thi cử - Nâng cao chất lượng mơn Tốn đặc biệt chất lượng mũi nhọn - Việc nghiên cứu dạng tốn tìm chữ số tận để giúp tơi nâng cao lực chuyên môn làm tư liệu dạy học sinh giỏi Đối tượng nghiên cứu: Các phương pháp giải tốn tìm chữ số tận cùng, tốn liên quan đến việc tìm chữ số tận Đặc biệt dạy chuyên đề trường học bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi Tốn, ơn tập cho học sinh chuẩn bị thi vào lớp chọn, lớp chuyên THPT Đây tài liệu tham khảo cho đông nghiệp công tác giảng dạy mơn Tốn trường trung học sở Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu lí thuyết - Phương pháp đọc nghiên cứu tài liệu - Phương pháp so sánh đối chứng - Phương pháp thông kê - Phương pháp thực nghiệm qua giảng dạy - Phương pháp điều tra phân tích, tổng hợp II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm: - Qua thực tế giảng dạy nhận thấy giáo viên nghiên cứu sâu dạng toán Cụ thể với dạng tốn tìm chữ số tận này, giúp giáo viên nâng cao tư lực chun mơn Để từ truyền đạt cho em toán dễ dàng giúp em dễ hiểu tiếp thu tốt - Khi học sinh chưa phân dạng toán tìm chữ số tận em thường lúng túng, hay tìm mò khó tìm lời giải nhanh Nhìn chung, tơi thấy em ngại với tốn có số mũ lớn số mũ tham số - Qua thực tế giảng dạy học sinh giỏi dạng tốn tìm chữ số tận cùng, phân rõ phương pháp giải toán khác để em nắm cách phân dạng tốn, từ em đưa cách làm cho phù hợp với để có cách giải nhanh em có phương pháp phân tích tư tổng hợp tốn học, nâng cao lực giải tốn có nghị lực vượt khó để giải tốn - Với giáo viên chưa nghiên cứu dạng Toán tìm chữ số tận này, nắm phương pháp tìm chữ số tận nâng cao lực tư lực chuyên mơn - Dạng tốn “Tìm chữ số tận cùng” thực tế ứng dụng phép luỹ thừa, từ đặc điểm số luỹ thừa đặc biệt 1; 2; chữ số tận luỹ thừa thực tế nhiều ta không cần biết giá trị số mà cần biết hay nhiều chữ số tận Chẳng hạn so xổ số muốn biết có trúng giải cuối hay khơng người ta cần so hai chữ số cuối Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Qua thực tế giảng dạy học sinh giỏi, nhận thấy học sinh bế tắc, lúng túng cách xác định dạng tốn tìm chữ số tận cùng, chứng minh chia hết tìm số dư phép chia, phương hướng giải chưa có nhiều phương pháp giải hay Lý chủ yếu vấn đề em chưa có hệ thống phương pháp giải dạng tốn, phân dạng tốn để tìm lời giải cho tốn… Đứng trước thực trạng ấy, đòi hỏi giáo viên phải giúp em tháo gỡ khó khăn, tạo hứng thú cho học sinh học tập làm Muốn giáo viên phải sớm hình thành phương pháp giải dạng toán, cần giúp học sinh biết định hướng phân dạng tốn để tìm lời giải theo phương pháp hợp lí, phù hợp cho tốn Trong q trình giảng dạy bồi dưỡng cho học sinh, trước đưa vào giảng dạy phương pháp tìm chữ số tận T đề kiểm tra cho 10 em học sinh giỏi trường sau: Bài 1: (5 điểm) a Tìm chữ số tận 23 b Tìm hai chữ số tận 2100 Bài 2: (2 điểm) Chứng tỏ hiệu sau không chia hết cho 10 A = 98 96 94 – 91 93 95 97 Bài 3: (3 điểm) Chứng minh rằng: a M = 8102 – 2102 chia hết cho 10 b 74n – M5 sau: SL Qua kiểm tra khảo sát chất lượng lớp bồi dưỡng học sinh kết thu Giỏi % SL Khá % 20 Trung bình SL % 40 SL Yếu % 40 Từ thực trạng thấy học sinh chưa biết cách phân dạng tốn, chưa có biện pháp giải đạt hiệu Lời giải thường dài dòng, khơng xác, đơi ngộ nhận.Vậy để giúp học sinh nắm vững phương pháp, phân loại dạng toán, biết vận dụng linh hoạt tư tốt để trình bày lời giải đúng, chặt chẽ cần phải có biện pháp thực , mang lại hiệu cao Chính tơi tìm hiểu tài liệu để phân dạng giúp cho học sinh phương pháp làm dễ Mỗi dạng đưa sở lý thuyết số tập cụ thể để em nắm dạng toán phương pháp làm dạng Toán Kết thu qua khảo sát học sinh cuối năm học nâng cao rõ rệt so với trước Sau số kinh nghiệm mà áp dụng thành công dạy chuyên Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 3.1 Một số định nghĩa, định lý liên quan đến phương pháp giải tốn tìm chữ số tận cùng, chia hết a Định nghĩa: an = a.a.a…a (n �0) n thừa số a: số, n: số mũ b Tính chất: - Các tính chất lũy thừa am.an = am + n am : an = am – n (a �0, m �n)  am  n  a m.n  a.b  n  a n b n n n �a � a (b �0) � � n �b � b - Các tính chất khác tìm chữ số tận cùng, chia hết, số phương,… Tính chất 1: Một số tự nhiên bất kì, nâng lên lũy thừa bậc 4n + (n thuộc N) chữ số tận khơng thay đổi Tính chất 2: a) Số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận ; số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận b) Số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận ; số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận c) Các số có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, 9, nâng lên lũy thừa bậc 4n + không thay đổi chữ số tận Tính chất 3: Nếu a  N (a, 5) = a20 - 1M25 Tính chất 4: Nếu a  N (a, 5) = a100 - chia hết cho 125 Tính chất 5: Số tự nhiên A số phương : + A có chữ số tận 2, 3, 7, + A có chữ số tận mà chữ số hàng chục chữ số chẵn + A có chữ số hàng đơn vị khác mà chữ số hàng chục lẻ + A có chữ số hàng đơn vị mà chữ số hàng chục khác + A có hai chữ số tận lẻ 3.2 Một số nhận xét quan trọng việc giải dạng toán Trong toán học xét số chia hết cho 2, 4, chia hết cho 5, 25, 125 hay không ta cần xét 1, 2, chữ số tận số Việc tìm 1, 2, chữ số tận số ta vào: a.- Tích số lẻ số lẻ - Tích số có tận với số nhiên lẻ có tận - Tích số chẵn với số tự nhiên số chẵn - Tích số có chữ số tận với số tự nhiên có tận b - Các số tự nhiên có tận 0, 1, 5, nâng lên luỹ thừa (khác 0) giữ nguyên chữ số tận - Các chữ số tự nhiên tận chữ số 3, 7, nâng lên luỹ thừa 4n (n khác 0) có tận …34n = …1; …74n = …1; …94n = …1 - Các số tự nhiên có tận chữ số 2, 4, nâng lên luỹ thừa 4n (n khác 0) có tận …24n = …6; …44n = …6; …84n = - Các số tự nhiên có tận nâng lên luỹ thừa lẻ có tận nó, nâng lên luỹ thừa chẵn có số tận 6; - Các số có tận 01, 25, 76 nâng lên luỹ thừa (khác 0) có tận 01, 26, 76 - Các số 320, 815, 74, 512, 992 có tận 01 - Các số 220, 65, 184, 242, 684, 742, có tận 76 - Số 26n (n > 1) có tận 76 - Các số có tận 001, 376, 626 nâng lên luỹ thừa (khác 0)nào có tận 001, 376, 625 - Số có tận 0625 nâng lên luỹ thừa (khác 0) cúng có tận 0625 c - Số phương khơng tận chữ số 2, 3, 7, - Một số phương có nhữ số tận chữ số hàng chục d Để tìm hai chữ số tận dùng nhận xét sau: Nhận xét: Nếu x  N x = 100k + y, k ; y  N hai chữ số tận x hai chữ số tận y Hiển nhiên y ≤ x Như vậy, để đơn giản việc tìm hai chữ số tận số tự nhiên x thay vào ta tìm hai chữ số tận số tự nhiên y (nhỏ hơn) Rõ ràng số y nhỏ việc tìm chữ số tận y đơn giản Từ nhận xét trên, ta đề xuất phương pháp tìm hai chữ số tận số tự nhiên x = am sau : Trường hợp 1: Nếu a chẵn x = amM2m Gọi n số tự nhiên cho an - 1M25 Viết m = pn + q (p ; q  N), q số nhỏ để aq M4 ta có: x = am = aq(apn - 1) + aq Vì an - M25 => apn - M25 Mặt khác, (4, 25) = nên aq(apn - 1) M100 Vậy hai chữ số tận am hai chữ số tận aq Tiếp theo, ta tìm hai chữ số tận aq Trường hợp : Nếu a lẻ , gọi n số tự nhiên cho an - M100 Viết m = un + v (u ; v  N, ≤ v < n) ta có : x = am = av(aun - 1) + av Vì an - M100 => aun - M100 Vậy hai chữ số tận a m hai chữ số tận a v Tiếp theo, ta tìm hai chữ số tận av Trong hai trường hợp trên, chìa khóa để giải tốn phải tìm số tự nhiên n Nếu n nhỏ q v nhỏ nên dễ dàng tìm hai chữ số tận aq av e Để tìm ba chữ số tận dùng nhận xét sau: Nhận xét : Tương tự trường hợp tìm hai chữ số tận cùng, việc tìm ba chữ số tận số tự nhiên x việc tìm số dư phép chia x cho 1000 Nếu x = 1000k + y, k ; y  N ba chữ số tận x ba chữ số tận y (y ≤ x) Do 1000 = x 125 mà (8, 125) = nên ta đề xuất phương pháp tìm ba chữ số tận số tự nhiên x = am sau : Trường hợp : Nếu a chẵn x = am chia hết cho 2m Gọi n số tự nhiên cho an - chia hết cho 125 Viết m = pn + q (p ; q  N), q số nhỏ để aq chia hết cho ta có : x = am = aq(apn - 1) + aq Vì an - chia hết cho 125 => apn - chia hết cho 125 Mặt khác, (8, 125) = nên aq(apn - 1) chia hết cho 1000 Vậy ba chữ số tận am ba chữ số tận a q Tiếp theo, ta tìm ba chữ số tận aq Trường hợp : Nếu a lẻ , gọi n số tự nhiên cho a n - chia hết cho 1000 Viết m = un + v (u ; v  N, ≤ v < n) ta có : x = am = av(aun - 1) + av Vì an - chia hết cho 1000 => aun - chia hết cho 1000 Vậy ba chữ số tận am ba chữ số tận a v Tiếp theo, ta tìm ba chữ số tận av - Ta có tính chất: Nếu a  N (a, 5) = a100 - chia hết cho 125 Chứng minh : Do a20 - chia hết cho 25 nên a 20, a40, a60, a80 chia cho 25 có số dư => a20 + a40 + a60 + a80 + chia hết cho Vậy a 100 - = (a20 - 1)( a80 + a60 + a40 + a20 + 1) chia hết cho 125 Các biện pháp tổ chức thực để giải vấn đề 4.1 Phương pháp giải tốn tìm chữ số tận 4.1.1 Phương pháp 1: Dùng cấu tạo số: a Cơ sở lý thuyết: Xem số tự nhiên: A = nk với n, k  N * Muốn tìm chữ số tận A cần biểu diễn A dạng: A = 10a + b = ab  b chữ số cuối A Ta viết: A = nk = (10q + r)k = 10t + rk với r  N; r 9 Chữ số cuối A chữ số cuối số rk - Nếu A = 100a + bc = abc bc hai chữ số cuối A - Nếu A = 1000a + bcd = abcd bcd ba chữ số cuối A ………………… - Nếu A = 10m.am + am  a0 = am a1a0 am  a0 m chữ số cuối A * Vận dụng nghị thức Newtơn: (a + b)n = cn0 a + c1n a n  1b +… cnn  1.a.b n   cnn b n b Các ví dụ: Bài 1: Tìm chữ số tận số: A = 9 Giải: Xem số M = 9k; k N - Nếu k chẵn  k = 2m ta có: M = 92m = 81m = (80 + 1)m =(10q + 1)m = 10 t + (với m, q, t  N) Vậy: M có chữ số cuối k chẵn - Nếu k lẻ  k = 2m + ta có: M = 92m+1 = 92m.9 = (10t + 1).9 = 10q + (với m, t, q  N) Vậy: M có chữ số cuối k lẻ, ta có 99 số lẻ Do đó: A = 9 có chữ số cuối Bài 2: Tìm chữ số tận số: B = Giải: B = = 81 = (25)16.2 = 3216.2 = (30 + 2)16 = 10q + 217 = 10q + (25)3.22 = 10q + (10q + 2)3 22 = 10t + 25 = 10t + Vậy B có chữ số cuối Bài 3: Tìm hai chữ số tận số: C = 2999 Giải: Ta có : 210 + = 1024 + = 1025  25 suy 210 –  25 Ta lại có 21000 – = ( 220)50 –  220 – suy 21000 - 25 Do 21000 chữ số tận 26 ; 51 ; 76 21000  suy 21000 tận 76  2999 tận 38 88 2999   2999 tận 88 Vậy C = 2999 có hai chữ số tận 88 Bài4: Tìm hai chữ số tận số: D=3999 Giải Ta có: 92m tận ; 92m + tận Ta tìm số dư phép chia 95 + cho 100 Ta có : 95 + = 10( 94 – 93 + 92 – +1 ) Số : 94 + 92 +1 tận 93 + tận suy ( 94 – 93 + 92 – +1) tận  94 – 93 + 92 – +1 = 10q +  95 + =100q + 50  910 – = ( 95 +1 )( 95 – ) = 100t Ta lại có :31000 – = 9500 – = (910)50 – suy 31000 –  100  31000 tận 01 Mặt khác 31000  Suy chữ số hàng trăm 31000 phải ( để 201 chia hết cho )  31000 chữ số tận 201 Do 3999 tận 67 Bài : Tìm hai chữ số tận số A = 99 Giải 4 A= 9 n 99 = (10  1) có dạng: ( 10 – 1) với n = ta lại có A = C 0n 10n - C 1n 10n-1 + ……+ C nn  10 - C nn Suy A có hai chữ số cuối Với a = C nn  10 - C nn = 10n – Số n = 99 tận Suy 10n tận 90  a = 10n – tận 89 Vậy số A = 99 có hai chữ số cuối 89 4.1.2 Phương pháp 2: Nhận xét lũy thừa a Cơ sở lý thuyết: Nhận xét: Ta có an lũy thừa Các trường hợp đặc biệt lũy thừa sau: - Các số có dạng tìm chữ số tận cùng: + Các số có dạng ( a0 )n tận + Các số có dạng (a1 )n; ( a5 )n; ( a6 )n tận 1; 5; + Các số có dạng ( a3 )4n ; ( b7 )4n; ( b9 )4n tận + Các số có dạng ( a )4n; ( a )4n; ( a8 )4n tận + Các số tự nhiên có tận nâng lên luỹ thừa lẻ có tận nó, nâng lên luỹ thừa chẵn có số tận 6; - Các số có dạng tìm hai chữ số tận + Các số 320, 815, 74, 512, 992 tận 01 + Các số 220, 65, 184, 242, 684, 742, có tận 76 + Số 26n (n > 1) có tận 76 + Các số có dạng ( a01 )n; ( a 25 )n, ( a76 )n có chữ số tận là: 01, 25, 76 - Các số có dạng tìm ba, bốn chữ số tận cùng: + Các số có tận 001, 376, 626 nâng lên luỹ thừa (khác 0)nào có tận 001, 376, 625 + Số có tận 0625 nâng lên luỹ thừa (khác 0) cúng có tận 0625 b Các ví dụ: Bài 1: Tìm chữ số tận số: A = 9 Giải: Ta có: 92m tận 92m+1 tận Suy ra: 99 tận 9, (9 số lẻ.) Vậy A = 9 tận - Ở tập ta vận dụng nhận xét số tận 2, 4, nâng lên luỹ thừa 4n có chữ số tận Số có tận 3, 7, nâng lên luỹ thừa 4n có tận - Các số tự nhiên có tận nâng lên luỹ thừa lẻ có tận nó, nâng lên luỹ thừa chẵn có số tận 6; Bài 2: Tìm chữ số tận số: 7430, 4931, 8732, 5833, 2335, 24456 9 , 57967 Giải: 30 * 74 = 742 7428 = 742.744.7 = 742.(744)7 = A6.B6 = C6 Vậy 7430 có tận * 4931 = 49.4930 = 493.4928 = 493 (494)7 = A9.B1  C9 Vậy 4931 có tận   * 8732 = (874)8 = A1  B1 Vậy 8732 có tận * 5833 = 58.5832 = 58.(584)8 = 58.A6  B8 Vậy 5833 có tận   * 2335 = 233.2332 = (234)8.233 = A1 B7  C7 Vậy 2335 có tận 7 * 244 có tận nâng lên luỹ thừa bậc lẻ có tận 4, 24456 có tận 75 75 75 * 57967 = 579(2.3)  5792 5793  ( 1)    5 Vậy 57967 có tận - Ta sử dụng tính chất 1: Một số tự nhiên bất kì, nâng lên lũy thừa bậc 4n + (n thuộc N) chữ số tận khơng thay đổi Bài 3: Tìm chữ số tận số : 799 ; 4567 Giải : * Trước hết, ta tìm số dư phép chia 99 cho : 99 - = (9 - 1)(98 + 97 + … + + 1) chia hết cho => 99 = 4k + (k thuộc N) => 799 = 74k + = 74k.7 Do 74k có chữ số tận (theo tính chất 1c) => 799 có chữ số tận * Ta có 567 - chia hết cho => 567 = 4k + (k thuộc N) => 4567 = 44k + = 44k.4, theo tính chất 1d, 44k có chữ số tận nên 4567 có chữ số tận - Chữ số tận tổng lũy thừa xác định cách tính tổng chữ số tận lũy thừa tổng Bài 4: Tìm chữ số tận tổng S = 21 + 35 + 49 + … + 20048009 Giải : Nhận xét : Mọi lũy thừa S có số mũ chia cho dư (các lũy thừa có dạng n4(n - 2) + 1, n thuộc {2, 3, …, 2004}) Theo tính chất 2, lũy thừa S số tương ứng có chữ số tận giống nhau, chữ số tận tổng : (2 + + … + 9) + 199.(1 + + … + 9) + + + + = 200(1 + + … + 9) + = 9009 Vậy chữ số tận tổng S - Trong giải tốn cần lưu ý tính chất 2: a) Số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận ; số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận b) Số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận ; số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận c) Các số có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, 9, nâng lên lũy thừa bậc 4n + không thay đổi chữ số tận Bài 5: Tìm chữ số tận tổng T = 23 + 37 + 411 + … + 20048011 Giải : Nhận xét : Mọi lũy thừa T có số mũ chia cho dư (các lũy thừa có dạng n4(n - 2) + 3, n thuộc {2, 3, …, 2004}) Theo tính chất 23 có chữ số tận ; 37 có chữ số tận 7; 411 có chữ số tận ; … Như vậy, tổng T có chữ số tận chữ số tận tổng : (8 + + + + + + + 9) + 199.(1 + + + + + + + + 9) + + + + = 200(1 + + + + + + + + 9) + + + = 9019 Vậy chữ số tận tổng T Bài 6: Tìm hai chữ số tận số: C = 2999, D = 3999 Giải: * Ta có: 220 có chữ số tận 76 Suy ra: C = 2999 = (220)49 219 = ( y 76 ) n88 = q88 (với y,n,q  N) Vậy C = 2999 có chữ số tận 88 * Ta có: 3D = 31000 = (320)50 = ( k 01 )50 = z 01 Nên 3D tận 01 , mà 3.3999   Chữ số hàng trăm 31000  31000 tận 201 Vậy 3999 có hai chữ số tận 67 Bài 7: Tìm hai chữ số tận số a, M = 78966; b, N = 247561; c, Q = 81 6251 ; d, Z = 26854 ; e, C = 68 194 Giải: a, Ta có 74 có hai chữ số tận 01 Suy M = 78966 = (74)2241.72 = ( a01 )2241.49 = c01 49 = n49 (với a,c,n  N) Suy M = 78966 có hai chữ số tận 49 b,Ta có 242 tận 76 Suy N = 247561 = (242)3765.24 = ( m76 )3765.24 = k 76 24 = n24 (với m,k,n  N) Vậy N = 247561 có hai chữ số tận 24 c, ta có 815 có hai chữ số tận 01 Nên Q = 816251 = (815)1250.81 = ( k 01 )1250.81 = t 01 81 = m81 (với k, t, m  N ) Vậy Q = 816251 có hai chữ số tận 81 d, Ta có 264 có hai chữ số tận 76  Z = 26854 = (264)213.262 = ( n76 )213.676 = k 76 676 = c 76 ( Với n, k, c  N ) Vậy Z = 26854 có hai chữ số tận 76 e, Ta có 684 có hai chữ số tận 76 Suy C = 68194 = (684)48.682 = ( n76 )48.4624 = k 76 4624 = t 24 ( Với n, k, t  N ) Vậy C = 68194 có hai chữ số tận 24 - Để tìm hai chữ số tận dùng nhận xét nêu mục 3.2 trang Bài 8: Tìm hai chữ số tận số : 22003 ; 799 Giải: * Do 22003 số chẵn, theo trường hợp 1, ta tìm số tự nhiên n nhỏ cho 2n - M25 10 Ta có 210 = 1024 => 210 + = 1025 M25 => 220 - = (210 + 1)(210 - 1) M25 => 23(220 - 1) M100 Mặt khác : 22003 = 23(22000 - 1) + 23 = 23((220)100 - 1) + 23 = 100k + (k  N) Vậy hai chữ số tận 22003 08 * Do 799 số lẻ, theo trường hợp 2, ta tìm số tự nhiên n bé cho 7n - M100 Ta có 74 = 2401 => 74 - M100 Mặt khác : 99 - M4 => 99 = 4k + (k  N) Vậy 799 = 74k + = 7(74k - 1) + = 100q + (q  N) tận hai chữ số 07 Bài 9: Tìm ba chữ số tận số T = 5946 Giải: Ta có 53 có ba chữ số tận 125 Suy T = 5946 = (53)315 = ( n125 )315.5 = m125 = t 625 ( Với n, m, t  N ) Vậy T = 5946 có ba chữ số tận 125 - Ngoài để tìm ba chữ số tận dùng nhận xét nêu mục 3.2 trang Sử dụng tính chất 4: Nếu a  N (a, 5) = a100 - chia hết cho 125 Bài 10: Tìm ba chữ số tận 123101 Giải: Theo tính chất trên, do(123, 5) = =>123100 - chia hết cho =125(1) Mặt khác : 123100 - = (12325 - 1)(12325 + 1)(12350 + 1) => 123100 - chia hết cho (2) Vì (8, 125) = 1, từ (1) (2) suy : 123100 - chi hết cho 1000 => 123101 = 123(123100 - 1) + 123 = 1000k + 123 (k ∩ N) Vậy 123101 có ba chữ số tận 123 Bài 11: Tìm ba chữ số tận 3399 98 Giải : Theo tính chất 6, (9, 5) = => 9100 - chi hết cho 125 (1) Tương tự 11, ta có 9100 - chia hết cho (2) Vì (8, 125) = 1, từ (1) (2) suy : 100 - chia hết cho 1000 => 399 98 = 9199 = 9100p + 99 = 999(9100p - 1) + 999 = 1000q + 999 (p, q  N) Vậy ba chữ số tận 3399 98 ba chữ số tận 999 Lại 9100 - chia hết cho 1000 => ba chữ số tận 100 001 mà 999 = 9100 : => ba chữ số tận 99 889 (dễ kiểm tra chữ số tận 99 9, sau dựa vào phép nhân ??.9  001 để xác định ??.9  889 ) Vậy ba chữ số tận 3399 98 889 - Nếu số cho chia hết cho ta tìm ba chữ số tận cách gián bước : Tìm dư phép chia số cho 125, từ suy khả ba chữ số tận cùng, cuối kiểm tra điều kiện chia hết cho để chọn giá trị Bài 12: Tìm ba chữ số tận 2004200 Giải : Do (2004, 5) = (tính chất trên) => 2004100 chia cho 125 dư => 2004200 = (2004100)2 chia cho 125 dư 11 => 2004200 tận 126, 251, 376, 501, 626, 751, 876 Do 2004 200 chia hết tận 376 - Từ phương pháp tìm hai ba chữ số tận trình bày, mở rộng để tìm nhiều ba chữ số tận số tự nhiên Bài 13: Tìm chữ số tận số: P = 51992 Giải: * Ta có 51992 = (54)498 = 0626498 = …0625 � P = 51992 có bốn nhữ số tận 0625 4.1.3 Phương pháp 3: Dùng đồng dư a Cơ sở lý thuyết: - Định nghĩa: Cho số nguyên m>0, hai số nguyên a b chia cho m có số dư ta nói a đồng dư với theo mô đun m viết a  b (mod m) - Định lý: Ba mệnh đề sau tương đương với nhau: +) a đồng dư với b theo mô đun m +) a – b chia hết cho m +) có số nguyên t cho a = b+m.t - Tính chất: a a (mod m) a b (mod m); b c (mod m) Suy ra: a c (mod m)  a b (mod m ) a b d (, mod m ) c d (mod m ) suy ra: ac bd (mod m ) Hệ quả: a+c b (mod m)  a b  c (mod m) a b (mod m)  a m b n (mod m) Nếu a  b (mod m); k  ƯC (a,b), (k,m) =  a b (mod m ) k Z , k  a b  (mod m) k k suy ka  kb (mod m) a b m  (mod ) d d d Nếu a b (mod m1) a b (mod m2) suy a b (mod m) d  ƯC (a,b,m) thì: a b (mod m) suy m = BCNN (m1, m2) Hệ quả: (m1, m2, …, mn) =1 ng tố đôi Suy ra: a b (mod m1), a  b (mod m2) …… a  b (mod mn) a  b (mod m1 m2 … Mn) b Các ví dụ: Bài 1: Tìm chữ số tận 6195 21000 Giải: Tìm chữ số tận số tự nhiên N có nghĩa phải tìm số dư phép chia số N cho 10, tức tìm số tự nhiên nhỏ 10 đồng dư với N theo mod 10 12 * Ta có: 62 = 36  mod 10 suy 6n 6 mod 10 Với N số tự nhiên khác o Suy ra: 6195 6 (mod 10) Vậy chữ số tận 6195 * Ta có: 21000 = 24 250 = (2n)250 Vì 2n  16 6 (mod 10) Suy ra: (2n)250  16250  6250  (mod 10) Do đó: 21000  6250  (mod 10) Nghĩa chữ số tận 21000 Như ta vận dụng đồng dư vào tìm chữ số tận có nghĩa tìm chữ số tận số N với: Một chữ số tận N  a (mod 10) suy tận a < 10 Hai chữ số tận N  b (mod 100) suy tận b apn - M25 Mặt khác, (4, 25) = nên aq(apn - 1) M100 Vậy hai chữ số tận am hai chữ số tận aq Tiếp theo, ta tìm hai chữ số tận aq Trường hợp : Nếu a lẻ , gọi n số tự nhiên cho an - M100 16 Viết m = un + v (u ; v  N, ≤ v < n) ta có : x = am = av(aun - 1) + av Vì an - M100 => aun - M100 Vậy hai chữ số tận a m hai chữ số tận a v Tiếp theo, ta tìm hai chữ số tận av Trong hai trường hợp trên, chìa khóa để giải tốn phải tìm số tự nhiên n Nếu n nhỏ q v nhỏ nên dễ dàng tìm hai chữ số tận aq av Bài 12: Tìm số dư phép chia 3517 cho 25 Giải : Trước hết ta tìm hai chữ số tận 517 Do số lẻ nên theo trường hợp 2, ta phải tìm số tự nhiên n nhỏ cho 3n - M100 Ta có 310 = 95 = 59049 => 310 + M50 => 320 - = (310 + 1) (310 - 1) M100 Mặt khác : 516 - M4 => 5(516 - 1) M20 => 517 = 5(516 - 1) + = 20k + =>3517 = 320k + = 35(320k - 1) + 35 = 35(320k - 1) + 243, có hai chữ số tận 43 Vậy số dư phép chia 3517 cho 25 18 - Trong trường hợp số cho chia hết cho ta tìm theo cách gián tiếp Trước tiên, ta tìm số dư phép chia số cho 25, từ suy khả hai chữ số tận Cuối cùng, dựa vào giả thiết chia hết cho để chọn giá trị Các thí dụ cho thấy rằng, a = a = n = 20 ; a = n = - Một câu hỏi đặt : Nếu a n nhỏ ? Ta có tính chất sau - Tính chất 3: Nếu a  N (a, 5) = a20 - 1M25 Bài 13: Tìm hai chữ số tận tổng : 2002 S = + 22002 + 32002 + + 20042002 Giải : Dễ thấy, a chẵn a2 chia hết cho ; a lẻ a100 - chia hết cho ; a chia hết cho a2 chia hết cho 25 Mặt khác, từ tính chất ta suy với a  N (a, 5) = ta có a100 - 1M25 Vậy với a  N ta có a2(a100 - 1) M100 Do S = 12002 + 22(22000 - 1) + + 20042(20042000 - 1) + 22 + 32 + + 20042 Vì hai chữ số tận tổng S hai chữ số tận tổng 12 + 22 + 32 + + 20042 áp dụng công thức : 12 + 22 + 32 + + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6 =>12 + 22 + + 20042 = 2005 x 4009 x 334 = 2684707030, tận 30 Vậy hai chữ số tận tổng S 30 - Ta thấy sử dụng việc tìm chữ số tận để nhận biết số số phương Ta nhận biết điều thơng qua việc tìm hai chữ số tận Ta có tính chất sau - Tính chất 5: Số tự nhiên A khơng phải số phương : + A có chữ số tận 2, 3, 7, 17 + A có chữ số tận mà chữ số hàng chục chữ số chẵn + A có chữ số hàng đơn vị khác mà chữ số hàng chục lẻ + A có chữ số hàng đơn vị mà chữ số hàng chục khác + A có hai chữ số tận lẻ Bài 14: Cho n  N n - không chia hết cho Chứng minh 7n + số phương Giải : Do n - khơng chia hết n = 4k + r (r  {0, 2, 3}) Ta có - = 2400 ∶ 100 Ta viết 7n + = 74k + r + = 7r(74k - 1) + 7r + Vậy hai chữ số tận 7n + hai chữ số tận 7r + (r = 0, 2, 3) nên 03, 51, 45 Theo tính chất rõ ràng 7n + khơng thể số phương n khơng chia hết cho 4.3 Bài tập vận dụng: Bài 1: Chứng tỏ 175+244-1321 chia hết cho 10 Bài 2: Tìm chữ số tận số sau: 7430 ;4931 ;8732 ;5833 ;2335 Bài 3: Tìm chữ số tận số sau: (2345)42; (5796)35 Bài 4: Tìm chữ số tận tổng, hiệu sau: a) 132001-82001; b/12591+12692; b) 116+126+136+146+156+166 Bài 5: Tìm hai chữ số tận của: 5151 ; (9999)99; 6666; 14101 16101; 5n (n > 1) Bài 6: Tìm hai chữ số tận : S = 23 + 223 + + 240023 Bài 7: Tìm ba chữ số tận : S = 12004 + 22004 + + 20032004 Bài 8: Cho (a, 10) = Chứng minh ba chữ số tận a101 ba chữ số tận a Bài 9: Cho A số chẵn không chia hết cho 10 Hãy tìm ba chữ số tận A200 Bài 10: Tìm ba chữ số tận số : 199319941995 2000 Bài 11: Tìm sáu chữ số tận 521 Bài 12: Tìm chữ số tận X, Y : X = 22 + 36 + 410 + … + 20048010 ; Y = 28 + 312 + 416 + … + 20048016 Bài 13: Chứng minh chữ số tận hai tổng sau giống : U = 21 + 35 + 49 + … + 20058013 ; V = 23 + 37 + 411 + … + 20058015 Bài 14: Cho A =51n+47102 (n  N) Chứng tỏ A chia hết cho 10 Bài 15: Chứng tỏ với n  N* (n > 1) (22)n +1 có chữ số tận Bài 16: Chứng tỏ vói số tự nhiên n: a) 74n-1 chia hết cho 5; b) 34n+1 +2 chia hết cho 5; c) 92n+1+1 chia hết cho 10 Bài 17: Tìm số dư phép chia : a) 21 + 35 + 49 + … + 20038005 cho ; b) 23 + 37 + 411 + … + 20038007 cho Bài 19: Chứng minh không tồn số tự nhiên x, y, z thỏa mãn : 19x + 5y + 1980z = 1975430 + 2004 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 18 Như vậy, với cách hướng dẫn đưa phương pháp tìm chữ số tận sở lý thuyết tập minh họa Tôi nhận thấy em học tiếp thu tốt Đa số em học sinh định hướng đúng, có cách tư đúng, biết cách phân dạng tốn trình bày lời giải chặt chẽ Khả tư duy, khả thực hành, khả phán đoán, kỹ giải tốn vận dụng phương pháp thích hợp vào tốn cụ thể đa số em linh hoạt, thực tốt việc giải toán Tìm chữ số tận để đưa cách giải hợp lý vận dụng vào dạng toán khác Với sáng kiến kinh nghiệm tư liệu tốt để đồng nghiệp dùng bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn tập cho học sinh chuẩn bị thi vào lớp 10 chọn, lớp chuyên phổ thông trung học Sáng kiến kinh nghiệm chun đề hay, bổ ích Chính vậy, nhà trường dùng buổi sinh hoạt chuyên đề Sau hướng dẫn, bồi dưỡng em học theo định hướng kiểm tra khảo sát chất lượng 10 em học sinh lớp bồi dưỡng theo đợt khác dạng phiếu học tập thu kết khả quan sau: Đề bài: Bài 1: (5 điểm) a Tìm chữ số tận M = 7430 b Tìm hai chữ số tận N = 78966 Bài 2: (2 điểm) Chứng tỏ hiệu sau không chia hết cho 10 A = 405n + 2405 + m2 (m, n  N, n �0) Bài 3: (3 điểm) Chứng minh rằng: a M = 51n+47102 (n  N) chia hết cho 10 b 34n+1 +2 chia hết cho Đối tượng Số lượng Học sinh lớp Thời điểm áp dụng Trước 10 Sau Điểm giỏi SL % 0 SL % 60 Điểm SL % 20 SL % 20 Điểm TB Điểm yếu SL SL SL SL % 40 % 20 % 40 % III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ: Kết luận : Trên giới thiệu phương pháp giải dạng tốn tìm chữ số tận tốn liên quan chương trình tốn THCS khơng hành trang ban đầu kiến thức kỹ thực hành cho học sinh mà hành trang cho em chương trình tốn cao Đây sở để kích thích em tăng tính ham mê, u thích học mơn tốn Như việc lựa chọn phương pháp giải toán giới thiệu thân nhận thấy em vận dụng tương đối hiệu quả, dễ dàng tìm cách giải đạt kết cao trình học tập, thân bước đưa phương pháp vào vận dụng giải toán kết tương đối tốt Ngay từ lúc việc giải dạng tốn tìm chữ số tận toán liên quan em học sinh khơng loại tốn khó khăn 19 trước Tuy nhiên để đạt kết mong muốn giải tốn tìm chữ số tận tốn liên quan khác giáo viên học sinh trước hết cần phải đốn dạng, sau chọn lựa phương pháp để giải Ngoài cần phải nỗ lực nữa, cần phải có phân tích dạng tốn cách xác Tơi tin thời gian không lâu phương pháp giải trở thành ăn tinh thần cho em học sinh u thích mơn tốn Trên sáng kiến kinh nghiệm nhỏ mà rút trình giảng dạy mơn tốn Tơi nghĩ tơi cần phải cố gắng đọc thêm tài liệu, học bạn bè đồng nghiệp để tiếp tục xây dựng đề tài ngày phong phú Việc giải dạng toán tìm chữ số tận đa dạng ứng dụng rộng rãi, phổ biến nhiều toán, dạng tốn khác nhiều phương pháp để giải tốn tìm chữ số tận nhiều thí dụ hấp dẫn khác Nhưng kinh nghiệm thân có hạn nên trình bày sáng kiến không tránh khỏi điểm thiếu sót khiếm khuyết Rất mong góp ý chân thành đồng nghiệp, hôi đồng khoa học cấp để đề tài hoàn thiện áp dụng có hiệu Tơi xin chân thành cám ơn! Kiến nghị: - Đối với ngành Tổ chức buổi hội thảo chuyên đề môn Tốn để nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ học hỏi kinh nghiệm đồng nghiệp Triển khai thực buổi thảo luận, hướng dẫn viết SKKN giới thiệu sáng kiến kinh nghiêm có chất lượng cao ứng dụng rộng thực tế giảng dạy - Đối với nhà trường Nhà trường cần có quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi thời gian tài liệu để giúp giáo viên giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi thực ngày tốt Cần trang bị thêm đồ dùng dạy học, tài liệu tham khảo để phục vụ tốt cho công tác giảng dạy, tự học, tự nghiên cứu giáo viên học sinh - Đối với đồng nghiệp Cần chủ động, thường xuyên trao đổi kinh nghiêm, xây dựng ý kiến đóng góp phương pháp chuyên môn nghiệp vụ để giúp đỡ tham giảng dạy tốt XÁC NHẬN CỦA BGH Yên Định, ngày 16 tháng năm 2018 (Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác.) Người viết: 20 Nguyễn Hữu Dũng Tài liệu tham khảo STT Tên tài liệu Toán phát triển đại số (NXB Giáo dục) 500 toán chọn lọc (NXB Đại học sư phạm) Nâng cao phát triển toán 6, (NXB Giáo dục) 23 Chuyên đề giải 1001 toán sơ cấp(NXB Giáo dục) 400 toán số học chọn lọc (NXB Giáo dục) Tạp chí Tốn học tuổi trẻ (NXB Giáo dục) Tạp chí Tốn tuổi thơ (NXB Giáo dục) Chun đề bồi dưỡng số học Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi “Tìm chữ số tận cùng” Tác giả Nguyễn Ngọc Đạm Nguyễn Ngọc Đạm Vũ Hữu Bình Nguyễn Văn Vĩnh Vũ Dương Thụy Nguyễn Vũ Thanh Tham khảo mạng internet 21 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Nguyễn Hữu Dũng Chức vụ đơn vị công tác: THCS Yên Trung TT Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá xếp loại Kết đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) (A, B, C) Năm học đánh giá xếp loại Một số kinh nghiệm dạy tiết ôn tập chương I - số học Cấp huyện A 2009-2010 Kinh nghiệm giải phương trình, bất phương trình vơ tỉ Cấp huyện A 2010-2011 Kinh nghiệm vận dụng đẳng thức giải toán Cấp huyện A 2011-2012 Kinh nghiệm giải phương trình, bất phương trình vơ tỉ Cấp huyện C 2014-2015 Một số kinh nghiệm giải phương trình nghiệm nguyên Cấp huyện B 2015-2016 22 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN YÊN ĐỊNH TRƯỜNG THCS YÊN TRUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH CÁCH GIẢI CÁC DẠNG TỐN TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG ******************* Người thực hiện: Nguyễn Hữu Dũng Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Yên Trung SKKN thuộc lĩnh mực (mơn): Tốn 23 N ĐỊNH, NĂM 2018 ... có chữ số tận ; số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận b) Số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận ; số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận. .. tính sáng tạo giải tốn giải vấn đề mơn học khác thực tiễn sống Chính thế, chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh cách giải dạng tốn tìm chữ số tận cùng với mục... số tận số Việc tìm 1, 2, chữ số tận số ta vào: a.- Tích số lẻ số lẻ - Tích số có tận với số nhiên lẻ có tận - Tích số chẵn với số tự nhiên số chẵn - Tích số có chữ số tận với số tự nhiên có tận