Thay linh baigiang a3

dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010 TOÁN CAO CẤP A3 ĐẠI HỌC PHÂN PHỐ PHỐI CHƯƠNG TRÌNH Số tiế tiết: 45 Chương Hàm số nhiều biến số Chương Tích phân bội Chương Tích phân đường – Tích phân mặt Chương Phương trình vi phân Tài liệu tham khảo Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Toán cao cấp A3 – ĐHCN TP HCM Đỗ Cơng Khanh – Giải tích hàm nhiều biến (tập 3, 4) – NXB ĐHQG TP HCM Chương Hà Hàm số số nhiề nhiều biế biến số số §1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Các định nghĩa a) Miền phẳng • Trong mặt phẳng Oxy , hình phẳng D giới hạn đường cong kín gọi miền phẳng Tập hợp đường cong kín giới hạn D gọi biên D , ký hiệu ∂D hay Γ Đặc biệt, mặt phẳng Oxy xem miền phẳng với biên vô Chương Hà Hàm số số nhiề nhiều biế biến số số • Khoảng cách điểm M1 (x1, y1 ), M (x , y2 ) là: (x1 − x ) + (y1 − y2 ) • Hình tròn S (M , ε) mở có tâm M (x , y ), bán kính ε > gọi lân cận điểm M Nghĩa là: ε • M M (x , y ) ∈ S (M , ε) ⇔ (x − x )2 + (y − y0 )2 < ε Toán cao cấp A3 Đại học dvntailieu.wordpress.com • Miền phẳng D gọi miền liên thông có đường cong nằm D nối điểm thuộc D Miền liên thơng có biên đường cong kín gọi miền đơn liên (hình a); có biên nhiều đường cong kín rời miền đa liên (hình b) Chương Hà Hàm số số nhiề nhiều biế biến số số b) Lân cận điểm ) Download Slide bà giả giảng Toá Toán A3 ĐH tạ • Miền phẳng D kể biên ∂D gọi miền đóng, miền phẳng D khơng kể biên ∂D miền mở ………………………………………………………… ( Biên soạ soạn: ThS Đoà Đoàn Vương Nguyên Chương Hà Hàm số số nhiề nhiều biế biến số số §1 Khái niệm §2 Đạo hàm riêng – Vi phân §3 Khai triển Taylor hàm hai biến số §4 Cực trị hàm hai biến số d M , M = M 1M = Nguyễn Đình Trí – Phép tính Giải tích hàm nhiều biến – NXB Giáo dục Phan Quốc Khánh – Phép tính Vi tích phân (tập 2) – NXB Giáo dục Nguyễn Thừa Hợp – Giải tích (tập 1, 2) – NXB ĐHQG Hà Nội Nguyễn Thủy Thanh – Bài tập Giải tích (tập 2) – NXB Giáo dục James Stewart – Calculus concepts and contexts c) Hàm số hai biến số • Trong mặt phẳng Oxy cho tập D ⊂ ℝ2 Tương ứng f : D → ℝ cho tương ứng (x , y ) ∈ D với giá trị z = f (x , y ) ∈ ℝ gọi hàm số hai biến số x , y • Tập D ⊂ ℝ2 gọi miền xác định (MXĐ) hàm số f (x , y ), ký hiệu Df Miền giá trị hàm f (x , y ) là: { } G = z = f (x , y ) ∈ ℝ (x , y ) ∈ Df Chú ý • Trong trường hợp xét hàm số f (x , y ) mà khơng nói thêm ta hiểu MXĐ hàm số tập tất điểm M (x , y ) ∈ ℝ2 cho f (x , y ) có nghĩa dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010 Chương Hà Hàm số số nhiề nhiều biế biến số số Chương Hà Hàm số số nhiề nhiều biế biến số số • Hàm có nhiều hai biến định nghĩa tương tự 1.2 Giới hạn hàm số hai biến số a) Điểm tụ • Trong mpOxy cho dãy điểm M n (x n , yn ), n = 1, 2, VD • Hàm số f (x , y ) = 3x 2y − cos xy có Df = ℝ2 Điểm M (x , y ) gọi điểm tụ dãy • Hàm số z = − x − y có MXĐ hình tròn đóng tâm O(0; 0), bán kính R = • Hàm số z = ln(4 − x − y ) có MXĐ hình tròn mở tâm O(0; 0), bán kính R = • Hàm số z = f (x , y ) = ln(2x + y − 3) có MXĐ nửa mp mở có biên d : 2x + y − = , không chứa O lân cận M chứa vơ số phần tử dãy • Điểm M (x , y ) gọi điểm tụ tập D ⊂ ℝ lân cận điểm M chứa vô số điểm thuộc D b) Định nghĩa giới hạn (giới hạn bội) • Điểm M (x , y ) gọi giới hạn dãy điểm M n (x n , yn ), n = 1, 2, M (x , y ) điểm tụ dãy Chương Hà Hàm số số nhiề nhiều biế biến số số Chương Hà Hàm số số nhiề nhiều biế biến số số n →∞ Ký hiệu là: lim M n = M hay M n   → M0 n →∞ Giải ≤ f (x , y ) = • Hàm số f (x, y ) có giới hạn L ∈ ℝ ∪ {±∞} Mn Vậy dần đến M lim f (xn , yn ) = L Ký hiệu: n →∞ lim f (x , y ) = x →x y →y0 VD lim (x ,y )→(x ,y0 ) M →M 2x 2y − 3x − lim lim (x ,y )→(0,0) f (x , y ), với f (x , y ) = xy x + y2 Chương Hà Hàm số số nhiề nhiều biế biến số số lim (x ,y )→(0,0) sin(x + y ) x + y2 VD Cho hàm số f (x , y ) = Chứng tỏ = lim r →0 sin r r2 = 2xy x + y2 lim f (x , y ) không tồn (x ,y )→(0,0) (x ,y )→(0,0) f (x , y ) = lim r →0 r sin 2ϕ r2 = sin 2ϕ Do giới hạn phụ thuộc vào ϕ nên không Vậy lim f (x , y ) không tồn (x ,y )→(0,0) Toán cao cấp A3 Đại học ≤ y2 x →0 y →0 = x   → f (x , y ) = Nhận xét • Nếu đặt x = x + r cos ϕ, y = y + r sin ϕ thì: VD Tìm lim sin(x + y ) x + y2 Giải Đặt x = r cos ϕ, y = r sin ϕ , ta có: (x ,y )→(0,0) Chương Hà Hàm số số nhiề nhiều biế biến số số Giải Đặt x = r cos ϕ, y = r sin ϕ , ta có: lim lim (x ,y )→(0,0) x2 + y2 xy (x , y ) → (x , y0 ) ⇔ r → =− xy + (x , y )→(1,−1) VD Tìm f (x , y ) = lim f (M ) = L xy c) Giới hạn lặp • Giới hạn theo biến M n dần đến M hàm số f (x , y ) gọi giới hạn lặp Khi x → x trước, y → y sau ta viết: lim lim f (x , y ) y →y x →x Khi y → y trước, x → x sau ta viết: lim lim f (x , y ) x →x y →y VD Xét hàm số f (x , y ) = sin x − sin y lim lim f (x , y ) = lim y →0 x → y →0 x + y2 − sin y y2 Ta có: = −1 , dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010 Chương Hà Hàm số số nhiề nhiều biế biến số số lim lim f (x , y ) = lim Chương Hà Hàm số số nhiề nhiều biế biến số số sin x Nhận xét • Nếu lim lim f (x , y ) ≠ lim lim f (x , y ) khơng tồn = x2 Vậy lim lim f (x , y ) ≠ lim lim f (x , y ) x →0 y → x →0 y →0 x →0 y →y0 x →x x →0 y →0 • Định lý Trong ℝ2 cho hình vng H có đỉnh M (x , y ) hàm số f (x , y ) xác định H Nếu tồn lim (x ,y )→(x ,y ) f (x , y ) = L ∈ ℝ y ∈ Y (x ,y )→(x ,y0 ) x →x y →y f (x , y ) • Sự tồn giới hạn lặp không kéo theo tồn giới hạn bội ngược lại 1.3 Hàm số liên tục • Hàm số f (x , y ) liên tục M (x , y0 ) ∈ D ⊂ ℝ2 lim tồn ϕ(y ) = lim f (x , y ) ∈ ℝ thì: (x ,y )→(x ,y0 ) x →x f (x , y ) = f (x , y ) • Hàm số f (x , y ) liên tục tập D ⊂ ℝ2 liên tục lim lim f (x , y ) = lim ϕ(y ) = L y →y x →x lim y →y điểm thuộc D Chương Hà Hàm số số nhiề nhiều biế biến số số Chương Hà Hàm số số nhiề nhiều biế biến số số Chú ý §2 ĐẠO HÀM RIÊNG – VI PHÂN Hàm số f (x , y ) liên tục miền đóng giới nội D đạt giá trị lớn (max) nhỏ (min) D VD Xét liên tục f (x , y ) = sin x − sin y x + y2 Giải Với (x , y ) ≠ (0, 0) hàm số f (x , y ) xác định nên liên tục Tại (0, 0) lim (x ,y )→(0,0) f (x , y ) không tồn (VD 6) Vậy hàm số f (x , y ) liên tục ℝ2 \ {(0, 0)} …………………………………………………………… Chương Hà Hàm số số nhiề nhiều biế biến số số fy/ (x , y0 ) = lim y →y y − y0 có đạo hàm x ta gọi đạo hàm đạo hàm riêng theo biến x hàm số f (x , y ) (x , y ) ∂f (x , y ) ∂x 0 f (x , y0 ) − f (x , y0 ) / Vậy fx (x , y0 ) = lim x →x x − x0 Ký hiệu: fx (x , y ) hay fx/ (x , y ) hay VD Tính đạo hàm riêng z = ln x2 + x + y2 + Chú ý ∂f df = ∂x dx • Hàm số nhiều hai biến có định nghĩa tương tự • Nếu f (x ) hàm số biến x fx/ = VD Tính đạo hàm riêng hàm số: f (x , y ) = x − 3x 3y + 2y − 3xy (−1; 2) Toán cao cấp A3 Đại học chứa điểm M (x , y ) Cố định y0 , hàm số f (x , y ) Chương Hà Hàm số số nhiề nhiều biế biến số số • Tương tự, đạo hàm riêng theo biến y (x , y ) là: f (x , y ) − f (x , y0 ) 2.1 Đạo hàm riêng a) Đạo hàm riêng cấp • Cho hàm số f (x , y ) xác định miền mở D ⊂ ℝ VD Tính đạo hàm riêng z = cos x (π; 4) y VD Tính đạo hàm riêng f (x , y, z ) = e x y sin z b) Đạo hàm riêng cấp cao • Đạo hàm riêng (nếu có) hàm số fx/ (x , y ), fy/ (x , y ) gọi đạo hàm riêng cấp hai f (x , y ) dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010 Chương Hà Hàm số số nhiề nhiều biế biến số số Chương Hà Hàm số số nhiề nhiều biế biến số số Ký hiệu: VD Tính đạo hàm riêng cấp hai hàm số: f (x , y ) = x 3ey + x 2y − y (−1; 1) ∂  ∂f  ∂2 f ,  = ∂x  ∂x  ∂x ∂  ∂f  ∂2 f = ,  = ∂y  ∂y  ∂y f // = fxx = ( fx ) = x f // y2 x ( )y = fyy = fy fxy// = fxy = ( fx ) y ( )x fyx// = fyx = fy VD Cho hàm số f (x , y ) = x + y − x 4y Giá trị đạo hàm riêng cấp năm f (5) (1; −1) là: x y ∂  ∂f  ∂2 f = = ,   ∂y  ∂x  ∂y ∂x ∂  ∂f  ∂2 f =   = ∂x  ∂ y  ∂x ∂y A (−1) e ; C (−1)m 2m e 2x −y ; (m ≥ 2) z = e C f (5) (1; −1) = 120 ; D f (5) (1; −1) = −120 x y Chương Hà Hàm số số nhiề nhiều biế biến số số VD B f (5) (1; −1) = −480 ; x y • Hàm số nhiều biến đạo hàm riêng cấp cao có định nghĩa tương tự Đạo hàm riêng z (mm −+2n n) x y x n m +n 2x −y A f (5) (1; −1) = 480 ; x y x y • Định lý Schwarz Nếu hàm số f (x , y ) có đạo hàm riêng fxy// , fyx// liên tục miền mở D ⊂ ℝ fxy// = fyx// Chương Hà Hàm số số nhiề nhiều biế biến số số 2x −y là: B (−1)m 2m +n e 2x −y ; D (−1)n 2m e 2x −y b) Định nghĩa • Nếu lân cận S (M , ε) với số gia ∆x , ∆y mà số gia ∆f tương ứng viết dạng: ∆f = A.∆x + B.∆y + O (r ), r = (∆x )2 + (∆y )2 , 2.2 Vi phân A, B số phụ thuộc vào điểm 2.2.1 Vi phân cấp a) Số gia hàm số • Cho hàm số f (x , y ) xác định lân cận S (M , ε) M (x , y ) hàm f (x , y ), không phụ thuộc ∆x , ∆y điểm M (x , y0 ) Cho x số gia ∆x y số gia ∆y , hàm f (x , y ) có tương ứng số gia: ∆f = f (x + ∆x , y0 + ∆y ) − f (x , y0 ) Chương Hà Hàm số số nhiề nhiều biế biến số số Nhận xét • Xét điểm M (x + ∆ x , y + ∆ y ) dịch chuyển đường qua M song song Ox Khi ∆ y = : ∆ f = f (x + ∆ x , y ) − f (x , y ) = A.∆ x + O (∆ x ) ∆f ⇒ lim = A ⇒ A = fx/ (x , y ) ∆x → ∆ x ∆f Tương tự, lim = B ⇒ B = fy/ (x , y ) ∆y → ∆ y Suy df (x , y ) = fx/ (x , y ).∆ x + fy/ (x , y ).∆ y • Xét f (x , y ) = x ⇒ df (x , y ) = ∆x ⇒ dx = ∆x Tương tự, dy = ∆y Vậy: df (x , y ) = fx/ (x , y )dx + fy/ (x , y )dy Toán cao cấp A3 Đại học đại lượng A.∆x + B.∆y gọi vi phân hàm số f (x , y ) điểm M (x , y ) • Khi đó, f (x , y ) gọi khả vi điểm M (x , y ) Ký hiệu là: df (x , y ) = A.∆x + B.∆y Chương Hà Hàm số số nhiề nhiều biế biến số số c) Định lý • Nếu hàm số f (x , y ) có đạo hàm riêng lân cận (x , y ) đạo hàm riêng liên tục (x , y ) f (x , y ) khả vi (x , y ) VD Cho hàm f (x , y ) = x 2e x −y − y Tính df (1; −1) VD Tính vi phân cấp hàm z = e x −y sin(xy ) 2.2.2 VI PHÂN CẤP CAO a) Vi phân cấp • Giả sử f (x , y ) hàm khả vi với x , y biến độc lập Các số gia dx = ∆x , dy = ∆y tùy ý độc lập với x , y nên xem số x , y dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010 Chương Hà Hàm số số nhiề nhiều biế biến số số Chương Hà Hàm số số nhiề nhiều biế biến số số • Vi phân df (x , y ) gọi vi phân cấp f (x , y ) Ký hiệu công thức: d f = d (df ) = fx′′2dx + fxy′′dxdy + fy′′2dy 2 Chú ý • Nếu x , y biến không độc lập (biến trung gian) b) Vi phân cấp n ( n ) ∑C d n f = d d n −1 f = f Trong k =0 (n ) x ny n =f (n ) xn , f (0n )n = f (nn ) , x y n y dx dy = dx , dx dy = dy n x = x (ϕ, ψ ), y = y(ϕ, ψ ) cơng thức khơng n k (n ) f dx k dy n −k n x k y n −k Sau ta xét trường hợp x , y độc lập VD 10 Cho hàm số f (x , y ) = x 2y + xy − 3x 3y Tính vi phân cấp hai df (2; −1) VD 12 Tính vi phân cấp hàm số f (x , y ) = x 3y VD 13 Tính vi phân d 3z hàm số z = e 2x cos 3y VD 11 Tính vi phân cấp hàm f (x , y ) = ln(xy ) Chương Hà Hàm số số nhiề nhiều biế biến số số 2.3 Đạo hàm hàm số hợp a) Hàm hợp với biến độc lập • Cho f (x , y ) hàm khả vi x , y x , y hàm khả vi biến độc lập t Khi đó, hàm hợp biến t ω(t ) = f (x (t ), y(t )) khả vi Ta có: dx dy + fy/ dt dt VD 14 Tính ω ′(t ) với hàm số f (x , y ) = x 2y ω′(t ) = fx/ x = 3t − t, y = sin t dx dy Giải ω ′(t ) = fx/ + fy/ dt dt = 2xy(3t − t )t/ + x (sin t )t/ = 2xy(6t − 1) + x cos t Chương Hà Hàm số số nhiề nhiều biế biến số số b) Hàm hợp với hai biến độc lập • Cho f (x , y ) hàm khả vi x , y x , y hàm khả vi hai biến độc lập ϕ, ψ Khi đó, hàm hợp biến ϕ, ψ ω(ϕ, ψ) = f (x (ϕ, ψ), y(ϕ, ψ)) khả vi Ta có: ω/ϕ = fx/ x ϕ/ + fy/ y ϕ/ , ω/ψ = fx/ x ψ/ + fy/ y ψ/ 2.4 Đạo hàm hàm số ẩn (hai biến) • Hàm z(x , y ) xác định Dz ⊂ ℝ2 thỏa phương trình F (x , y, z (x , y )) = 0, ∀(x , y ) ∈ D ⊂ Dz (*) gọi hàm số ẩn hai biến xác định (*) Chương Hà Hàm số số nhiề nhiều biế biến số số Tính trực tiếp sau: ω(t ) = (3t − t )2 sin t ⇒ ω ′(t ) = 2(3t − t )(6t − 1)sin t + (3t − t )2 cos t = 2xy(6t − 1) + x cos t VD 15 Cho f (x, y ) = ln(x + y ), y = sin2 x Tính df dx Giải / / df = ln(x + y ) + ln(x + y ) (sin x )/x  x  y dx = 2x x +y + 2y sin 2x x +y = 2x + 2y sin 2x x + y2 Chương Hà Hàm số số nhiề nhiều biế biến số số Giả sử hàm khả vi, đạo hàm vế (*) ta được: Fx/ + Fz/ z x/ = 0, Fy/ + Fz/ zy/ = / Vậy z x = − Fx/ Fz/ , zy/ = − Fy/ Fz/ (F / z ) ≠0 VD 16 Cho hàm ẩn z (x , y ) thỏa phương trình: xyz = cos(x + y + z ) Tính z x/, zy/ VD 17 Cho hàm ẩn z(x , y ) thỏa phương trình mặt cầu: x + y + z − 2x + 4y − 6z − = Tính zy/ …………………………………………………… Tốn cao cấp A3 Đại học dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010 Chương Hà Hàm số số nhiề nhiều biế biến số số Chương Hà Hàm số số nhiề nhiều biế biến số số §3 KHAI TRIỂN TAYLOR HÀM HAI BIẾN 3.1 Công thức Taylor Cho hàm số f (x , y ) có đạo hàm riêng đến cấp n + miền mở D chứa điểm M (x ; y ) Giả sử N (x + ∆x ; y + ∆y ) ∈ D MN ⊂ D Khai triển Maclaurin Tại lân cận O(0; 0), khai triển Maclaurin f (x , y ) là: f (x , y ) = f (0; 0) + df (0; 0) d n f (0; 0) + + + O(ρ n ) 1! n! Trong đó, dx = x , dy = y , ρ = x + y Đặt dx = ∆x = x − x , dy = ∆y = y − y Khai triển Taylor hàm f (x , y ) lân cận điểm M là: f (x , y ) = f (M ) + df (M ) 1! + + d n f (M ) n! + O(ρ n ) Trong đó, ρ = (x − x )2 + (y − y )2 Chương Hà Hàm số số nhiề nhiều biế biến số số Chương Hà Hàm số số nhiề nhiều biế biến số số x x x x − + − + + O(x n ) x2 x4 x6 + − + + O(x n ) 4) cos x = − 2! ! 6! x x3 x5 x7 5) sin x = − + − + + O(x n ) 1! 3! 5! ! 3) ln(1 + x ) = Các khai triển Maclaurin hàm biến cần nhớ 1) = + x + x + + x n + O(x n ) 1−x x x2 xn + + + O(x n ) 2) e x = + + 1! 2! n! 3.2 Các ví dụ VD Khai triển Taylor lân cận điểm (1; 1) hàm số f (x , y ) = y x đến số hạng bậc hai Giải Ta có: • f (1;1) = 1; • df (x , y ) = fx′(x , y )dx + fy′(x , y )dy = y x ln ydx + xy x −1dy ⇒ df (1;1) = dy = y − 1; • d f (x , y ) = fx′′2dx + fxy′′dxdy + fy′′2dy = y x ln2 ydx + 2y x −1(x ln y +1)dxdy + x (x − 1)y x −2dy ⇒ d f (1;1) = 2dxdy = 2(x − 1)(y − 1) Vậy y x = + (y − 1) + (x − 1)(y − 1) + O(ρ ), ρ = (x − 1)2 + (y − 1)2 Chương Hà Hàm số số nhiề nhiều biế biến số số Chương Hà Hàm số số nhiề nhiều biế biến số số §4 CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ 4.1 Định nghĩa (cực trị địa phương) VD Khai triển Maclaurin hàm số f (x , y ) = cos(x + y ) đến số hạng bậc • Hàm số z = f (x , y ) đạt cực trị địa phương (gọi tắt VD Khai triển Maclaurin hàm số z = e x sin y đến số hạng bậc VD Khai triển Maclaurin hàm số z = (1 + y )x đến số hạng bậc x3 VD Cho hàm f (x , y ) = e y +1 Tính vi phân d f (0; 0)? …………………………………………………………… cực trị) M (x , y ) với điểm M (x , y ) gần khác M hiệu ∆ f = f (x , y ) − f (x , y ) có dấu khơng đổi • Nếu ∆ f > f ( x , y ) gọi giá trị cực tiểu M điểm cực tiểu z = f ( x , y ) • Nếu ∆ f < f ( x , y ) gọi giá trị cực đại M điểm cực đại z = f ( x , y )  y 3y VD Hàm số f (x , y ) = x + y − xy = x −  +   ⇒ f (x , y ) ≥ 0, ∀ (x , y ) ∈ ℝ nên đạt cực tiểu O (0; 0) Toán cao cấp A3 Đại học dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010 Chương Hà Hàm số số nhiề nhiều biế biến số số 4.2 ĐỊNH LÝ a) Điều kiện cần • Nếu hàm số z = f (x , y ) đạt cực trị M (x , y0 ) hàm số có đạo hàm riêng thì: fx′(x 0, y ) = fy′(x 0, y ) = • Điểm M (x , y ) thỏa fx′(x 0, y ) = fy′(x 0, y ) = gọi điểm dừng, M khơng điểm cực trị b) Điều kiện đủ Giả sử z = f (x , y ) có điểm dừng M có đạo hàm riêng cấp hai lân cận điểm M (M ), B = fxy// (M ), C = f // (M ) Đặt A = f // 2 x y Chương Hà Hàm số số nhiề nhiều biế biến số số Khi đó: AC − B > • Nếu  ⇒ f (x , y ) đạt cực tiểu M  A>0  AC − B > • Nếu  ⇒ f (x , y ) đạt cực đại M  A 0, y > 0) x y Khẳng định là: A z đạt cực tiểu M (2; 5) giá trị cực tiểu z = 39 B z đạt cực tiểu M (5; 2) giá trị cực tiểu z = 30 C z đạt cực đại M (2; 5) giá trị cực đại z = 39 D z đạt cực đại M (5; 2) giá trị cực đại z = 30 Toán cao cấp A3 Đại học Chương Hà Hàm số số nhiề nhiều biế biến số số 4.5 Cực trị có điều kiện (cực trị vướng) • Cho hàm số f (x , y ) xác định lân cận điểm M (x , y ) thuộc đường cong (γ) : ϕ(x , y ) = Nếu điểm M , hàm f (x , y ) đạt cực trị ta nói M điểm cực trị có điều kiện f (x , y ) với điều kiện ϕ(x , y ) = • Để tìm cực trị có điều kiện hàm số f (x , y ) ta dùng phương pháp khử nhân tử Lagrange a) Phương pháp khử • Từ phương trình ϕ(x , y ) = ta rút x y vào f (x , y ), sau tìm cực trị hàm biến dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010 Chương Hà Hàm số số nhiề nhiều biế biến số số Chương Hà Hàm số số nhiề nhiều biế biến số số VD Tìm điểm cực trị hàm z = x 2y thỏa điều kiện: x − y + = b) Phương pháp nhân tử Lagrange Tại điểm cực trị (x , y ) f , gọi λ = − fx/ ϕ/x =− fy/ ϕy/ nhân tử Lagrange Để tìm cực trị ta thực bước: • Bước Lập hàm phụ (hàm Lagrange): L(x , y, λ ) = f (x , y ) + λϕ(x , y ) • Bước Giải hệ: Lx′ = 0, Ly′ = 0, Lλ′ = Suy điểm dừng M (x , y0 ) ứng với λ Chương Hà Hàm số số nhiề nhiều biế biến số số VD Tìm điểm cực trị hàm số f (x , y ) = 2x + y 2 với điều kiện x + y = VD Tìm giá trị cực trị hàm số z = x + y thỏa điều kiện x + y = 3x + 4y VD 10 Tìm điểm cực trị hàm z = xy thỏa điều kiện: 2 x y + = VD 11 Tìm cực trị hàm số f (x , y ) = 10x + 40y thỏa điều kiện xy = 20 x , y > Chương Hà Hàm số số nhiề nhiều biế biến số số • Bước Giá trị max f (x , y ), f (x , y ) tương ứng D D giá trị lớn nhất, nhỏ tất giá trị sau: f (M ), , f (M m ), f (N ), , f (N n ), f (P1 ), , f (Pp ) VD 12 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số f (x , y ) = x + y miền D : x − x + y ≤ VD 13 Cho hàm số f (x , y ) = x + y − xy + x + y Tìm giá trị lớn nhỏ f (x , y ) miền D : x ≤ 0, y ≤ 0, x + y ≥ −3 VD 14 Tìm max, z = sin x + sin y + sin(x +y ) π π miền D : ≤ x ≤ , ≤ y ≤ 2 ……………………………………………………… Tốn cao cấp A3 Đại học • Bước Tính vi phân cấp M (x , y ) ứng với λ : ′′ dxdy + L ′′2dy d 2L(M ) = Lx′′2dx + 2Lxy y Các vi phân dx , dy phụ thuộc vào điều kiện ràng buộc: d ϕ(x , y ) = ϕ ′ (x , y )dx + ϕ ′ (x , y )dy = (1) 0 x 0 y 0    (dx )2 + (dy )2 > (2)  • Bước Từ điều kiện ràng buộc (1) (2), ta có: Nếu d 2L(M ) > f (x , y ) đạt cực tiểu M Nếu d 2L(M ) < f (x , y ) đạt cực đại M Nếu d 2L(M ) = M khơng điểm cực trị Chương Hà Hàm số số nhiề nhiều biế biến số số 4.6 Giá trị lớn – nhỏ hàm hai biến miền đóng, bị chặn (cực trị tồn cục) Cho miền D ⊂ ℝ đóng có biên ∂D : ϕ(x , y ) = f (x , y ) hàm liên tục D , khả vi D mở (có thể khơng khả vi m điểm M , , M m ) Giả sử biên ∂D trơn, nghĩa hàm ϕ khả vi Để tìm giá trị lớn – nhỏ f D , ta thực bước sau: • Bước Tìm điểm cực trị tự N , , N n D (chỉ cần tìm điểm dừng) • Bước Tìm điểm cực trị P1 , , Pp biên ∂D thỏa điều kiện ϕ(x , y ) = (chỉ cần tìm điểm dừng) Chương Tí Tích phân bội §1 Tích phân bội hai (tích phân kép) §2 Tích phân bội ba §3 Ứng dụng tích phân bội ………………………… §1 TÍCH PHÂN BỘI HAI 1.1 Bài tốn mở đầu (thể tích khối trụ cong) • Xét hàm số z = f (x , y ) liên tục, khơng âm mặt trụ có đường sinh song song với Oz , đáy miền phẳng đóng D mpOxy dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010 Chương Tí Tích phân bội Chương Tí Tích phân bội • Để tính thể tích khối trụ, ta chia miền D thành n phần không dẫm lên ∆Si , i = 1; n Diện tích phần ký hiệu ∆Si Khi đó, khối trụ cong chia thành n khối trụ nhỏ Trong phần ∆Si ta lấy điểm M i (xi ; yi ) tùy ý thể tích V khối trụ là: n V ≈ ∑ f (xi ; yi )∆Si i =1 { } n I n = ∑ f (x i ; yi )∆Si gọi tổng tích phân i =1 n ∑ f (xi ; yi )∆Si max d →0 f (x , y ) D (ứng với phân hoạch ∆Si điểm lim i chặn mặt phẳng Oxy Chia miền D cách tùy ý thành n phần khơng dẫm lên nhau, diện tích phần ∆Si , i = 1; n Lấy n điểm tùy ý M i (x i ; yi ) ∈ ∆Si , i = 1; n Khi đó, • Gọi di = max d (A, B ) A, B ∈ ∆Si đường kính ∆Si Ta có: V = 1.2 Tích phân bội hai a) Định nghĩa • Cho hàm số f (x , y ) xác định miền D đóng bị i =1 chọn M i ) Chương Tí Tích phân bội • Nếu giới hạn I = Chương Tí Tích phân bội n lim max di →0 ∑ f (xi , yi )∆Si tồn hữu i =1 f (x , y ) khả tích miền D ; f (x , y ) hàm dấu tích phân; x y biến tích phân Nhận xét S (D ) = ∫∫ dxdy (diện tích miền D ) ∫∫ f (x , y )dS D D • Chia miền D đường thẳng song song với Ox , Oy ta ∆Si = ∆x i ∆yi hay dS = dxdy Vậy I = ∫∫ f (x, y)dS = ∫∫ f (x , y )dxdy D Nếu f (x , y ) > , liên tục D thể tích hình trụ có đường sinh song song với Oz , hai đáy giới hạn mặt z = , z = f (x , y ) V = ∫∫ f (x , y )dxdy D D Chương Tí Tích phân bội Chương Tí Tích phân bội b) Định lý Hàm f (x , y ) liên tục miền D đóng bị chặn khả tích D 1.3 Tính chất tích phân bội hai Giả thiết tích phân tồn • Tính chất ∫∫ f (x, y )dxdy = ∫∫ f (u, v )dudv D D • Tính chất ∫∫ [ f (x, y ) ± g(x, y )]dxdy = D ∫∫ D ∫∫ f (x, y )dxdy , ta nói hàm số D hạn, khơng phụ thuộc vào phân hoạch ∆Si cách chọn điểm M i số thực I gọi tích phân bội hai hàm số f (x , y ) miền D Ký hiệu là: I = • Nếu tồn tích phân ∫∫ fdxdy ± ∫∫ gdxdy ; D D kf (x , y )dxdy = k ∫∫ f (x , y )dxdy, k ∈ ℝ D Toán cao cấp A3 Đại học • Tính chất Nếu chia miền D thành D1, D2 đường cong có diện tích thì: ∫∫ f (x, y )dxdy = D ∫∫ f (x, y )dxdy + ∫∫ f (x, y )dxdy D1 D2 1.4 PHƯƠNG PHÁP TÍNH 1.4.1 Đưa tích phân lặp a) Định lý (Fubini) Giả sử tích phân I = ∫∫ f (x , y )dxdy tồn tại, D D = {(x , y ) : a ≤ x ≤ b, y1(x ) ≤ y ≤ y2 (x )}, dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010 Chương Tí Tích phân bội Chương Tí Tích phân bội y (x ) với x ∈ [a ; b ] cố định, ∫ Chú ý f (x , y )dy tồn y1 (x ) b I = Khi đó: y2 (x ) ∫ dx ∫ a b f (x , y )dy ∫∫ y1 (x ) I = c d d a c c f (x , y )dxdy = D x1 (y ) Chương Tí Tích phân bội a 2) Nếu D = {(x , y ) : a ≤ x ≤ b, y1(x ) ≤ y ≤ y2 (x )} f (x , y ) = u(x ).v(y ) thì: ∫∫ f (x , y )dx b ∫ dx ∫ f (x, y )dy=∫ dy ∫ f (x , y )dx y2 (x ) b x (y ) ∫ dy ∫ f (x , y )dxdy = D Tương tự, miền D là: D = {(x , y ) : x1(y ) ≤ x ≤ x (y ), c ≤ y ≤ d } d 1) Nếu miền D hình chữ nhật, D = {(x , y ) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d } = [a ; b ] × [c; d ] thì: ∫ ∫ u(x )dx v(y )dy y1(x ) a Chương Tí Tích phân bội 3) Nếu D = {(x , y ) : x1(y ) ≤ x ≤ x (y ), c ≤ y ≤ d } f (x , y ) = u(x ).v(y ) thì: x (y ) d ∫∫ f (x , y )dxdy = D ∫ c v(y )dy ∫ u(x )dx x1 (y ) 4) Nếu D miền phức tạp ta chia D thành miền đơn giản VD Cho I = ∫∫ f (x, y )dxdy Xác định cận tích phân D lặp với miền D giới hạn y = 0, y = 2x , x = a > Chương Tí Tích phân bội VD Tính tích phân I = ∫∫ D (2x + y )dxdy Trong đó, D = {y ≤ x ≤ − y, − ≤ y ≤ 0} VD Tính tích phân I = ∫∫ 6xy dxdy D Trong đó, D = [0; 2]× [−1; 1] Chương Tí Tích phân bội VD Tính tích phân I = ∫∫ ydxdy , miền D D giới hạn đường y = x − 4, y = 2x VD Tính tích phân I = ∫∫ ydxdy , D miền D giới hạn đường y = x + 2, y = x Toán cao cấp A3 Đại học 10 dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010 Chương Tí Tích phân đườ đường – Tích phân mặ mặt Chương Tí Tích phân đườ đường – Tích phân mặ mặt VD Tính tích phân I = Đặc biệt ∫ (x + y )ds với L ∆OAB L • Nếu L có phương trình y = α ∈ ℝ với a ≤ x ≤ b thì: có đỉnh O(0; 0), A(1; 0), B(1; 2) b VD Tính tích phân ∫ f (x, y )ds = ∫ f (x, α)dx L a I = • Nếu L có phương trình x = α ∈ ℝ với a ≤ y ≤ b thì: b ∫ f (x , y )ds = L ∫ f (α, y )dy a Chương Tí Tích phân đườ đường – Tích phân mặ mặt ∫ 2x 81 − 9x ds 81 − 8x Trong đó, C cung x2 + y2 = nằm góc phần tư thứ ba C Chương Tí Tích phân đườ đường – Tích phân mặ mặt VD Tính tích phân I = c) Đường cong L tọa độ cực • Nếu phương trình đường cong L cho tọa độ cực r = r (ϕ) với α ≤ ϕ ≤ β ta xem ϕ tham số ∫ x + y ds Trong đó, L L đường tròn có phương trình (C ) : x + y − 4y = Khi đó, phương trình L là: x = r (ϕ)cos ϕ, y = r (ϕ)sin ϕ, α ≤ ϕ ≤ β • Đặt f ≡ f (r (ϕ)cos ϕ, r (ϕ)sin ϕ), ta có cơng thức: β ∫ L f (x , y )ds = ∫ f ( ) r + rϕ′ x = r cos ϕ   y = r sin ϕ  d ϕ α Chương Tí Tích phân đườ đường – Tích phân mặ mặt 1.4 Ứng dụng tích phân đường loại a) Tính độ dài cung Độ dài l cung L l = ∫ ds L VD Tính độ dài l cung  x = t + L : , t ∈ 1;  y = ln t + t + 1    3  VD 10 Tính độ dài l cung L : r = a(1 + cos ϕ), ϕ ∈ [0; π] Chương Tí Tích phân đườ đường – Tích phân mặ mặt VD 11 Tính độ dài cung tròn (C ) : x + y − 2x = nối 3  từ điểm A  ;  đến  2  1   B  ; −  không qua O   b) Tính khối lượng m trọng tâm G cung Nếu cung L có hàm mật độ khối lượng ρ phụ thuộc vào điểm M ∈ L khối lượng cung là: m = ∫ ρds L Toán cao cấp A3 Đại học 21 dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010 Chương Tí Tích phân đườ đường – Tích phân mặ mặt Trọng tâm G cung L ứng với ρ = ρ(x , y ) là: 1 xG = ∫ x ρ(x , y )ds, yG = ∫ y ρ(x , y )ds m L m L Trọng tâm G cung L ứng với ρ = ρ(x , y, z ) là: 1 xG = ∫ x ρds, yG = ∫ y ρds, zG = ∫ z ρds m L m L m L VD 12 Cho dây thép có dạng nửa đường tròn mpOyz với phương trình y + z = 1, z ≥ Biết hàm mật độ khối lượng ρ(x , y, z ) = 2z Tìm khối lượng trọng tâm dây thép ……………………………………………………………… Chương Tí Tích phân đườ đường – Tích phân mặ mặt §2 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI II 2.1 Bài tốn mở đầu Tính cơng sinh lực F = F (M ) tác dụng lên chất điểm M (x , y ) di chuyển dọc theo đường cong L • Nếu L đoạn thẳng AB cơng sinh là: ( ) W = F AB = F AB cos F , AB • Nếu L cung AB ta chia L thành n cung nhỏ điểm chia A = A0 , A1 , , An = B Trên cung Ai −1Ai ta lấy điểm M i (x i , yi ) tùy ý Chiếu F (M i ), Ai −1Ai lên trục Ox , Oy ta được: Chương Tí Tích phân đườ đường – Tích phân mặ mặt Chương Tí Tích phân đườ đường – Tích phân mặ mặt 2.2 Định nghĩa (tích phân đường theo tọa độ) F (M i ) = P (M i ).i + Q(M i ).j • Cho hai hàm số P(x , y ), Q(x , y ) xác định đường Ai −1Ai = ∆xi i + ∆yi j cong L Chia L toán mở đầu Khi đó: n I n = ∑ P (M i )∆xi + Q(M i )∆yi  gọi tổng tích Khi đó, cơng W sinh là: n i =1 n W ≈ ∑Wi = ∑ F (M i )Ai−1Ai i =1 phân đường loại P(x , y ), Q(x , y ) L i =1 n =∑ P(M i )∆xi + Q(M i )∆yi  i =1 n Vậy W = lim ∑ P(M i )∆xi + Q(M i )∆yi  max A A → i −1 i i =1 lim • Giới hạn max Ai −1Ai →0 I n tồn hữu hạn gọi tích phân đường loại P(x , y ), Q(x , y ) L Ký hiệu là: ∫ P(x , y )dx + Q(x, y )dy L Chương Tí Tích phân đườ đường – Tích phân mặ mặt • Định nghĩa tương tự không gian Oxyz : ∫ P(x, y, z )dx + Q(x , y, z )dy + R(x, y, z )dz L Chương Tí Tích phân đườ đường – Tích phân mặ mặt Tích phân đường loại phụ thuộc vào chiều L Do đó, viết tích phân ta cần ghi rõ điểm đầu cuối: ∫ P (x, y)dx + Q(x, y )dy = −∫ P(x , y )dx + Q(x, y )dy AB Nhận xét Tích phân đường loại có tất tính chất tích phân xác định Từ định nghĩa tổng tích phân, ta viết: ∫ P (x, y)dx + Q(x, y )dy = ∫ P(x, y )dx + ∫ Q(x, y )dy AB AB AB BA • Định lý Nếu hai hàm số P (x , y ), Q(x , y ) liên tục miền mở chứa đường cong L trơn khúc tồn tích phân đường loại P(x , y ), Q(x , y ) dọc theo L Chú ý Nếu L đường cong phẳng kín lấy theo chiều dương ta dùng ký hiệu: ∫ P (x , y )dx + Q(x , y )dy L Toán cao cấp A3 Đại học 22 dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010 Chương Tí Tích phân đườ đường – Tích phân mặ mặt 2.3 PHƯƠNG PHÁP TÍNH a) Đường cong L có phương trình tham số Xét đường cong L chứa cung AB • Nếu L có phương trình y = y(x ) thì: • Nếu L có phương trình x = x (t ), y = y(t ) thì: xB tB Pdx + Qdy = ∫ P (x (t ), y(t ))xt′ + Q(x (t ), y(t ))yt′  dt ∫ Chương Tí Tích phân đườ đường – Tích phân mặ mặt b) Đường cong L có phương trình tổng qt Xét đường cong L chứa cung AB ∫ Pdx + Qdy = ∫ P (x, y(x )) + Q(x , y(x )).yx′  dx xA AB tA AB • Nếu L có phương trình x = x (t ), y = y(t ), z = z (t ) thì: yB tB ∫ Pdx + Qdy = ∫ P(x (y ), y).xy′ + Q(x (y ), y ) dy tA AB ∫ Pdx + Qdy + Rdz = ∫ (P.xt′ + Q.yt′ + R.zt′ )dt AB Chương Tí Tích phân đườ đường – Tích phân mặ mặt • Nếu L có phương trình y = α ∈ ℝ thì: Chương Tí Tích phân đườ đường – Tích phân mặ mặt ∫ dx + xdy Trong AB có AB phương trình x = 2t , y = − 3t với A(0; 2) B(2; 5) xB P (x , y )dx + Q(x , y )dy = ∫ P(x, α)dx VD Tính tích phân I = xA AB elip yB x2 a2 + y2 b2 = lấy theo chiều dương VD Tính tích phân I = P (x , y )dx + Q(x , y )dy = ∫ Q(α, y )dy ∫ (x − y )dx + (x + y )dy , với L yA AB ∫ 2xdx − dy Trong đó, L L • Nếu L có phương trình x = α ∈ ℝ thì: ∫ yA VD Tính tích phân I = Đặc biệt ∫ • Nếu L có phương trình x = x (y ) thì: L đường nối điểm O(0; 0) với điểm A(1; 1) trường hợp: Chương Tí Tích phân đườ đường – Tích phân mặ mặt 1) L đường thẳng y = x ; 2) L đường cong y = x VD Tính tích phân I = ∫ dx + 4xydy , với BA có BA phương trình y = x điểm A(1; 1), B(4; 2) VD Tính tích phân I = ∫ dx − ydy + dz L Trong đó, L đường cong Oxyz có phương trình: x = cos t , y = sin t , z = 2t nối từ điểm A(0; 1; π) đến B(1; 0; 0) Toán cao cấp A3 Đại học Chương Tí Tích phân đườ đường – Tích phân mặ mặt 2.4 Cơng thức Green (liên hệ với tích phân kép) a) Xác định chiều biên miền đa liên Đường cong L gọi Jordan không tự cắt Cho miền D miền đa liên, liên thơng, bị chặn có biên ∂D Jordan kín trơn khúc Chiều dương ∂D chiều mà di chuyển dọc theo biên ta thấy miền D nằm phía bên tay trái 23 dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010 Chương Tí Tích phân đườ đường – Tích phân mặ mặt b) Công thức Green Cho miền D (xác định mục a) Nếu P(x , y ), Q(x , y ) đạo hàm riêng liên tục miền mở chứa D thì: ∫ P(x , y )dx + Q(x, y )dy = ∫∫ (Qx′ − Py′)dxdy ∂D D Chương Tí Tích phân đườ đường – Tích phân mặ mặt VD Tính diện tích hình elip x2 a2 + y2 b2 ≤ VD Tính diện tích hình tròn x + y − 2y ≤ VD Tính tích phân: I = ∫ (x arctan x + y )dx + (x + 2xy + y 2e −y )dy C Hệ Diện tích miền D tính theo cơng thức: S (D ) = ∫ ∂D xdy − ydx hay S (D ) = ∫r (ϕ)d ϕ ∂D Chương Tí Tích phân đườ đường – Tích phân mặ mặt 1) Do P = −y x + y2 ,Q = Giải x x + y2 đạo hàm riêng liên tục ℝ2 \ {(0; 0)} nên áp dụng Green, ta có: I = ∫ L 2) Hàm P = xdy − ydx x + y2 −y ( ) = ∫∫ Qx′ − Py′ dxdy = D Q = x không liên tục x +y x + y2 O(0; 0) nên ta không áp dụng công thức Green 2 Giả sử L có phương trình tọa độ cực r = r (ϕ) Chương Tí Tích phân đườ đường – Tích phân mặ mặt 2.5 Điều kiện để tích phân đường khơng phụ thuộc vào đường lấy tích phân a) Định lý Giả sử hàm số P , Q đạo hàm riêng cấp chúng liên tục miền mở đơn liên D Khi đó, bốn mệnh đề sau tương đương: 1) Py′ = Qx′ , ∀(x , y ) ∈ D 2) ∫ P(x, y )dx + Q(x , y )dy = dọc theo đường L cong kín L nằm D Trong đó, C đường tròn x + y − 2y = VD Tính I = ∫ xdy − ydx trường hợp: x + y2 1) L đường cong kín khơng bao quanh gốc tọa độ O ; 2) L đường cong kín bao quanh gốc tọa độ O L Chương Tí Tích phân đườ đường – Tích phân mặ mặt Khi đó, phương trình tham số L là: x = r (ϕ)cos ϕ, y = r (ϕ)sin ϕ, ≤ ϕ ≤ 2π dx = x ′dr + x ′ d ϕ = cos ϕdr − r sin ϕd ϕ r ϕ Do  nên:  dy = yr′dr + y ϕ′ d ϕ = sin ϕdr + r cos ϕd ϕ  xdy − ydx = r cos2 ϕd ϕ + r sin2 ϕd ϕ = r 2d ϕ xdy − ydx ⇒I =∫ 2 L x +y 2π =∫ r 2d ϕ r2 = 2π Cách khác Chương Tí Tích phân đườ đường – Tích phân mặ mặt 3) Tích phân ∫ P (x, y )dx + Q(x , y )dy, AB ⊂ D , phụ AB thuộc vào hai đầu mút A, B mà không phụ thuộc vào đường nối A với B 4) Biểu thức P(x , y )dx + Q(x , y )dy vi phân toàn phần hàm u(x , y ) miền D Nghĩa là: ∃u(x , y ) : du(x , y ) = P (x , y )dx + Q(x , y )dy b) Hệ Nếu P(x , y )dx + Q(x , y )dy vi phân toàn phần hàm u(x , y ) miền mở đơn liên D thì: ∫ P(x, y )dx + Q(x, y )dy = u(B) − u(A) AB Toán cao cấp A3 Đại học 24 dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010 Chương Tí Tích phân đườ đường – Tích phân mặ mặt Chương Tí Tích phân đườ đường – Tích phân mặ mặt VD 10 Tích phân đường sau khơng phụ thuộc vào đường trơn khúc nối hai điểm A, B ? A I = ∫ ∫ (4xy + 2x − 1)dx + (y + 6x 2y − 1)dy C I = ∫ (4xy ∫ (4xy L VD 12 Cho biết hàm u(x , y ) = xe y − ye x + 2x + có vi + 2x )dx − (y + 2y − x )dy (1; 0) Hãy tính I = AB D I = x +y phân toàn phần: du = (e y − ye x + 2)dx + (xe y − e x )dy AB x −y ∫ x + y dx + x + y dy Biết L đường trơn khúc nối điểm A(−1; −1) B(−2; −2) nằm miền D không chứa gốc tọa độ O (4xy + 2x )dx + (y + 2y − x )dy AB B I = VD 11 Tính I = + 2x − 1)dx − (y + 6x 2y − 1)dy AB ∫ (e y − ye x + 2)dx + (xe y − e x )dy ? (1; 1) (5; 12) VD 13 Tính tích phân I = ∫ xdx + ydy (3; 4) Chương Tí Tích phân đườ đường – Tích phân mặ mặt (x ; y2 ) ∫ Pdx + Qdy , người ta (x1 ; y1 ) §3 TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I 3.1 Định nghĩa • Cho hàm số f (x , y, z ) xác định mặt S Chia mặt S cách tùy ý thành n phần khơng dẫm lên nhau, diện tích phần ∆Si (i = 1, 2, , n ) Trong ∆Si ta n lấy điểm M i lập tổng tích phân I n = ∑ f (M i )∆Si thường tính theo đường gấp khúc song song với trục tọa độ (3; 2) ∫ VD 14 Tính tích phân I = (x + 2y )dx + ydy (x + y )2 (1; 1) • Nếu giới hạn I = theo đường trơn khúc không cắt (d ) : x + y = …………………………………………………………… Chương Tí Tích phân đườ đường – Tích phân mặ mặt Ký hiệu là: I = ∫∫ f (x, y, z )dS lim max d (∆Si )→0 ∑ f (M i )∆Si tồn hữu i =1 hạn, không phụ thuộc vào cách chia S cách chọn điểm M i số thực I gọi tích phân mặt loại hàm f (x , y, z ) S Chương Tí Tích phân đườ đường – Tích phân mặ mặt I = 3.2 PHƯƠNG PHÁP TÍNH ∫∫ f (x, y(x, z ), z ) + (yx′ ) + (yz′ ) dxdz 2 D a) Chiếu S lên mpOxy Nếu S có phương trình z = z(x , y ) S có hình chiếu mpOxy D thì: ∫∫ f (x, y, z (x, y )) i =1 n b) Chiếu S lên mpOxz Nếu S có phương trình y = y(x , z ) S có hình chiếu mpOxz D thì: S I = Chương Tí Tích phân đườ đường – Tích phân mặ mặt Chú ý Giả sử hai hàm số P, Q thỏa định lý Khi tính tích phân I = x + y2 ( ) + (z x′ ) + z y′ D 2 dxdy c) Chiếu S lên mpOyz Nếu S có phương trình x = x (y, z ) S có hình chiếu mpOyz D thì: I = ∫∫ f (x (y, z ), y, z ) ( ) + (xz′ ) + x y′ 2 dydz D Toán cao cấp A3 Đại học 25 dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010 Chương Tí Tích phân đườ đường – Tích phân mặ mặt VD Tính tích phân I = ∫∫ (x Chương Tí Tích phân đườ đường – Tích phân mặ mặt + y )dS S Trong S phần mặt nón z = x + y , ≤ z ≤ ∫∫ xyzdS VD Tính tích phân I = S VD Tính tích phân I = ∫∫ zdS , S phần S mặt cầu x + y + z = với x ≥ , y ≥ Chương Tí Tích phân đườ đường – Tích phân mặ mặt Chương Tí Tích phân đườ đường – Tích phân mặ mặt 3.3 Ứng dụng tích phân mặt loại Diện tích mặt S §4 TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II ∫∫ dS 4.1 Các định nghĩa S 4.1.1 Mặt định hướng Khối lượng mặt S có hàm mật độ ρ(x , y, z ) m= Trong S mặt hình hộp chữ nhật ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ , ≤ z ≤ ∫∫ ρ(x, y, z )dS S Khi đó, tọa độ trọng tâm G mặt S là: 1 xG = ∫∫ x ρ(x , y, z )dS , yG = ∫∫ y ρ(x , y, z )dS , m S m S zG = ∫∫ z ρ(x , y, z )dS m S • Mặt trơn S gọi mặt định hướng pháp vector đơn vị n xác định điểm M ∈ S (có thể trừ biên S ) biến đổi liên tục M chạy S n • Mặt định hướng có hai phía, phía mà đứng n hướng từ chân lên đầu phía dương, ngược lại phía âm S M ………………………………………………………………… Chương Tí Tích phân đườ đường – Tích phân mặ mặt Chương Tí Tích phân đườ đường – Tích phân mặ mặt z • Hướng biên S hướng ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ n • Khi mặt S khơng kín, ta gọi phía phía mà n lập với tia Oz góc nhọn, ngược là phía n S M Tốn cao cấp A3 Đại học n n C ( n • Lập tổng tích phân I n = ∑ f (M i ).S (Di ) Nếu giới hạn I = S ) lên nhau, diện tích phần ∆Si i = 1, n Trong ∆Si ta lấy điểm M i ∈ ∆Si tùy ý Gọi Di hình chiếu ∆Si lên Oxy kèm theo dấu dương ∆Si có định hướng trên, ngược lại dấu âm • Khi mặt S kín ta gọi phía phía ngồi • Mặt trơn khúc S gọi định hướng hai phần trơn S nối với đường biên C có định hướng ngược 4.1.2 Định nghĩa tích phân mặt loại • Cho hàm số f (x , y, z ) xác định mặt định hướng, trơn khúc S Chia mặt S thành n phần không dẫm i =1 lim max d (∆Si )→0 I n tồn hữu hạn, không phụ thuộc vào cách chia S cách chọn điểm M i số 26 dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010 Chương Tí Tích phân đườ đường – Tích phân mặ mặt Chương Tí Tích phân đườ đường – Tích phân mặ mặt I gọi tích phân mặt loại f (x , y, z ) mặt định hướng S Ký hiệu ∫∫ f (x , y, z )dxdy S Nếu đổi hướng mặt S tích phân đổi dấu Khi tính tích phân I = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy , S • Tương tự, chiếu S lên Ozx Oyz ta có: ∫∫ f (x, y, z )dzdx ∫∫ f (x, y, z )dydz S Chú ý người ta thường tách riêng thành tích phân sau: I = ∫∫ Pdydz + ∫∫ Qdzdx + ∫∫ Rdxdy S S • Kết hợp dạng ta tích phân mặt loại hàm P(x , y, z ), Q(x , y, z ), R(x , y, z ) mặt S : ∫∫ P (x, y, z )dydz + Q(x, y, z )dzdx + R(x, y, z )dxdy S S Nếu mặt S kín, hướng lấy tích phân phía ngồi S , tích phân ký hiệu: ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy S S Chương Tí Tích phân đườ đường – Tích phân mặ mặt Chương Tí Tích phân đườ đường – Tích phân mặ mặt Đặc biệt: Nếu mặt S có pháp vector đơn vị n = (a; b; c) thì: 4.2 Liên hệ với tích phân mặt loại Cho mặt định hướng trơn khúc S Gọi α, β, γ góc hợp n với tia Ox , Oy, Oz Khi đó: ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy S = ∫∫ (P cos α + Q cos β + R cos γ)dS S S S Trong đó: cos α = cosβ = 1 + (x y′ )2 + (x z′ )2 1 + (yx′ ) + (yz′ ) 2 , cosγ = VD Tính tích phân I = ∫∫ dydz + dzdx + dxdy , S 1 + (z x′ )2 + (z y′ )2 Trong đó, S tam giác giao mặt phẳng x + y + z = với mặt phẳng tọa độ (lấy phía trên) Chương Tí Tích phân đườ đường – Tích phân mặ mặt 4.3 Phương pháp tính tích phân mặt loại Nếu S có hình chiếu đơn trị (khơng trùng lắp) lên Oxy miền Dxy có phương trình z = z (x , y ) thì: ∫∫ R(x, y, z )dxdy = ±∫∫ R(x, y, z(x, y ))dxdy S =∫∫ (P a + Q.b + R.c)dS Dxy Chương Tí Tích phân đườ đường – Tích phân mặ mặt Nếu S có hình chiếu đơn trị lên Oyz miền Dyz có phương trình x = x (y, z ) thì: ∫∫ P(x , y, z )dydz = ±∫∫ P(x(y, z ), y, z )dydz S Dyz (dấu “+” S hướng phía tia Ox ) (dấu “+” hay “–” tùy thuộc vào S phía hay dưới) Nếu S có hình chiếu đơn trị lên Oxz miền Dxz có phương trình y = y(x , z ) thì: ∫∫ Q(x, y, z )dzdx = ±∫∫ Q(x , y(x, z ), z )dzdx S Dxz VD Tính tích phân I = ∫∫ zdxdy , S với S phía ngồi mặt cầu x + y + z = R (dấu “+” S hướng phía tia Oy ) Toán cao cấp A3 Đại học 27 dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010 Chương Tí Tích phân đườ đường – Tích phân mặ mặt Chương Tí Tích phân đườ đường – Tích phân mặ mặt 4.4 Cơng thức Stokes (mối liên hệ tích phân đường mặt loại 2) VD Tính tích phân Cho S mặt định hướng, trơn khúc có biên ∂S Jordan trơn khúc Giả sử P, Q, R hàm số có đạo hàm riêng liên tục miền mở chứa S Khi đó: ∫ Pdx + Qdy + Rdz = ∫∫ Ry′ − Qz′ dydz ( ∂S ∫ ydx + zdy + xdz Trong C đường tròn giao mặt cầu x + y + z = R mặt phẳng x + y + z = , hướng tích phân C hướng dương nhìn từ tia Oz z ) R S + ∫∫ (Pz′ − Rx′ )dzdx S ( C n O S ) + ∫∫ Qx′ − Py′ dxdy x S y C (Hướng ∂S hướng dương phù hợp với hướng S ) Chương Tí Tích phân đườ đường – Tích phân mặ mặt Chương Tí Tích phân đườ đường – Tích phân mặ mặt 4.5 Cơng thức Gauss – Ostrogradski (mối liên hệ tích phân mặt bội ba) Cho V khối bị chặn với biên S kín, trơn khúc hướng phía ngồi Giả sử P, Q, R hàm có đạo hàm riêng liên tục miền mở chứa V Khi đó: ( ) V ∫∫ dxdy , với S mặt S A I B I C I D I = ∫∫∫ Px′ + Qy′ + Rz′ dxdydz VD Tính I = VD Tính tích phân I = mặt x + ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy S 4.6 Các ví dụ trắc nghiệm tích phân mặt loại = −3π = 3π = −9π = 9π y2 ≤ 1, z = ∫∫ x dydz + y dzdx + z dxdy , với S 3 S mặt phía ngồi mặt cầu x + y + z = R Chương Tí Tích phân đườ đường – Tích phân mặ mặt VD Tính I = Chương Tí Tích phân đườ đường – Tích phân mặ mặt ∫∫ zdxdy , với S mặt mặt VD Tính I = ∫∫ xdydz + 2zdzdx + dxdy với S S z = giới hạn x + y ≤ 1, x ≥ 0, ≤ y ≤ A I = 1; B I = ; C I = ; D I = VD Tính tích phân I = ∫∫ 3xdxdy + 2xdydz − ydzdx , S với S mặt biên elipsoid y2 z Ω : x2 + + ≤ A I = 144π ; B I = 32π ; D I = 36π C I = 8π ; Toán cao cấp A3 Đại học z Ω O x S mặt mặt cầu x + y + z − 2z = 0, z ≤ 2π 2π B I = − π C I = π D I = − A I = − y ………………………………………………………………… 28 dvntailieu.wordpress.com Chương Phương trì trình vi phân §1 Khái niệm phương trình vi phân §2 Phương trình vi phân cấp §3 Phương trình vi phân cấp cao …………………………… §1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 1.1 Bài tốn mở đầu a) Bài tốn • Tìm phương trình đường cong (C ) : y = f (x ) qua điểm M (2; 3) cho đoạn tiếp tuyến với (C ) nằm hai trục tọa độ bị tiếp điểm chia thành hai phần ? Tuesday, August 31, 2010 Chương Phương trì trình vi phân Giải Giả sử I (x , y ) ∈ (C ), hệ số góc tiếp tuyến I là: PI PI y y ′(x ) = tan α = − =− ⇒ y ′(x ) = − (*) PA OP x C , C ∈ ℝ thỏa (*) x C Thay tọa độ M vào y = ta y = x x Nhận thấy hàm y = b) Bài tốn Tìm vận tốc nhỏ để phóng vật theo phương thẳng đứng cho vật không rơi trở lại trái đất ? Cho biết lực cản khơng khí khơng đáng kể Chương Phương trì trình vi phân Chương Phương trì trình vi phân Giải Gọi khối lượng trái đất vật phóng M , m Khoảng cách từ tâm trái đất đến trọng tâm vật phóng r , R bán kính trái đất Theo định luật hấp dẫn Newton, lực hút tác dụng lên vật Mm f = k (k số hấp dẫn) r2 Phương trình chuyển động vật là: d 2r Mm d 2r M m = −k ⇔ = −k (1) dt r2 dt r2 Mặt khác d 2r dv dv dr dv = = =v dt dr dt dr dt Chương Phương trì trình vi phân 1.2 Khái niệm phương trình vi phân (ptvp) • Phương trình chứa đạo hàm vi phân vài hàm cần tìm gọi phương trình vi phân • Cấp cao đạo hàm có phương trình vi phân gọi cấp phương trình vi phân • Dạng tổng quát phương trình vi phân cấp n là: F (x , y, y ′, , y (n ) ) = (*) Nếu từ (*) ta giải theo y (n ) ptvp có dạng: y (n ) = f (x , y, y ′, , y (n −1) ) Toán cao cấp A3 Đại học dv M kM = −k ⇔ vdv = − dr dr r r2 kM v2 kM vdv = −∫ dr ⇒ = + C (2) r r (1) ⇔ v ⇒ ∫ Tại thời điểm t = r = R v = v0 nên:   v kM v2 kM  v0 kM  (2) ⇒ C = − ⇒ = +  −  (3)  2 R r R  Khi r → +∞ v 02 − kM v2 = ≥ ⇒ v0 ≥ R 2kM R Thay giá trị k , M , R ta v0 ≈ 11, km / s Chương Phương trì trình vi phân • Nghiệm (*) khoảng D hàm y = ϕ(x ) xác định D cho thay y = ϕ(x ) vào (*) ta đồng thức D • Phương trình vi phân có nghiệm có vơ số nghiệm sai khác số C • Giải phương trình vi phân tìm tất nghiệm phương trình vi phân • Đồ thị nghiệm y = ϕ(x ) phương trình vi phân gọi đường cong tích phân Chú ý • Nghiệm phương trình vi phân thường biểu diễn dạng hàm ẩn 29 dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010 Chương Phương trì trình vi phân §2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I 2.1 Khái niệm phương trình vi phân cấp • Phương trình vi phân cấp phương trình có dạng tổng qt F (x , y, y ′) = (*) Nếu từ (*) ta giải theo y ′ (*) trở thành y ′ = f (x , y ) • Nghiệm (*) có dạng y = y(x ) chứa số C gọi nghiệm tổng quát Khi điều kiện y = y(x ) cho trước (thường gọi điều kiện đầu) vào nghiệm tổng quát ta giá trị C cụ thể nghiệm lúc gọi nghiệm riêng (*) • Nghiệm thu trực tiếp từ (*) không thỏa nghiệm tổng quát gọi nghiệm kỳ dị (*) Chương Phương trì trình vi phân ⇒ arcsin y = x + C ⇒ y = sin(x + C ) (2) Nhận thấy y = ±1 thỏa ptvp không thỏa (2) Vậy y = ±1 nghiệm kỳ dị Từ sau, ta không xét đến nghiệm kỳ dị VD Tìm ptvp họ đường cong y = Cx Giải Ta có: y = Cx ⇒ y ′ = 2Cx ⇒ C = Vậy y ′ = y′ y′ ⇒y = x 2x 2x 2y , x ≠ x Chương Phương trì trình vi phân VD Tìm hàm y = y(x ) thỏa y ′ − x = Biết đường cong tích phân qua điểm M (2; 1) x2 Giải Ta có: y ′ − x = ⇔ y ′ = x ⇒ y = + C (1) x2 Thế M (2; 1) vào (1) ta C = −1 ⇒ y = − VD Tìm nghiệm kỳ dị ptvp y ′ = − y Giải Với điều kiện −1 ≤ y ≤ 1, ta có: dy y′ = − y2 ⇒ = − y2 dx dy ⇒∫ = ∫ dx , −1 < y < 1 − y2 Chương Phương trì trình vi phân 2.2 Một số phương trình vi phân cấp 2.2.1 Phương trình vi phân cấp với biến phân ly Phương trình vi phân với biến phân ly có dạng: f (x )dx + g(y )dy = (1) Phương pháp giải Lấy tích phân hai vế (1) ta nghiệm tổng quát: ∫ f (x )dx + ∫ g(y )dy = C VD Giải phương trình vi phân Chương Phương trì trình vi phân VD Giải phương trình vi phân y ′ = xy(y + 2) xdx 1+x + ydy + y2 = Chương Phương trì trình vi phân 2.2.2 Phương trình vi phân đẳng cấp cấp a) Hàm đẳng cấp hai biến số • Hàm hai biến f (x , y ) gọi đẳng cấp bậc n với k > f (kx , ky ) = k n f (x , y ) VD Giải ptvp x 2(y + 1)dx + (x − 1)(y − 1)dy = Chẳng hạn, hàm số: f (x , y ) = VD Giải ptvp xy ′ + y = y thỏa điều kiện y(1) = 2 Toán cao cấp A3 Đại học x −y đẳng cấp bậc 0, 2x + 3y 4x + 3xy đẳng cấp bậc 1, 5x − y f (x , y ) = 3x − 2xy đẳng cấp bậc f (x , y ) = 30 dvntailieu.wordpress.com Chương Phương trì trình vi phân Tuesday, August 31, 2010 Chương Phương trì trình vi phân b) Phương trình vi phân đẳng cấp • Phương trình vi phân đẳng cấp cấp có dạng: y ′ = f (x , y ) (2) Trong đó, f (x , y ) hàm số đẳng cấp bậc Phương pháp giải y  Bước Biến đổi (2) ⇔ y ′ = ϕ    x  y Bước Đặt u = ⇒ y ′ = u + xu ′ x du dx Bước (2) ⇒ u + xu ′ = ϕ(u ) ⇒ = ϕ(u ) − u x ϕ ( u ) − u ≠ ≠ x (đây ptvp có biến phân ly) ( ) Chương Phương trì trình vi phân 2.2.3 Phương trình vi phân tồn phần • Cho hai hàm số P (x , y ), Q(x , y ) đạo hàm riêng chúng liên tục miền mở D , thỏa điều kiện Qx′ = Py′, ∀(x , y ) ∈ D Nếu tồn hàm u(x , y ) cho du(x , y ) = P (x , y )dx + Q(x , y )dy phương trình vi phân có dạng: P (x , y )dx + Q(x , y )dy = (3) gọi phương trình vi phân tồn phần • Nghiệm tổng qt (3) u(x , y ) = C Nhận xét ux′ (x, y ) = P (x , y ), uy′ (x, y ) = Q(x, y ) Chương Phương trì trình vi phân VD 11 Cho phương trình vi phân: (3y + 2xy + 2x )dx + (x + 6xy + 3)dy = (*) 1) Chứng tỏ (*) phương trình vi phân tồn phần 2) Giải phương trình (*) VD 12 Giải ptvp (x + y − 1)dx + (ey + x )dy = VD Giải phương trình vi phân y ′ = x − xy + y xy VD Giải phương trình vi phân y ′ = x +y x −y với điều kiện đầu y(1) = VD 10 Giải phương trình vi phân: y y xy ′ ln = y ln + x (x , y > 0) x x Chương Phương trì trình vi phân Phương pháp giải Bước Từ (3) ta có ux′ = P (3a) uy′ = Q (3b) Bước Lấy tích phân (3a) theo biến x ta được: u(x , y ) = ∫ P (x , y )dx = ϕ(x , y ) + C (y ) (3c) Trong đó, C (y ) hàm theo biến y Bước Đạo hàm (3c) theo biến y ta được: uy′ = ϕy′ + C ′(y ) (3d) Bước So sánh (3b) (3d) ta tìm C (y ) Thay C (y ) vào (3c) ta u(x , y ) Chương Phương trì trình vi phân 2.2.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp • Phương trình vi phân tuyến tính cấp có dạng: y ′ + p(x )y = q(x ) (4) • Khi q(x ) = (4) gọi phương trình vi phân tuyến tính cấp Phương pháp giải (phương pháp biến thiên số Lagrange) − p(x )dx Bước Tìm biểu thức A(x ) = e ∫ VD 13 Giải phương trình vi phân: [(x + y + 1)e x + e y ]dx + (e x + xe y )dy = Toán cao cấp A3 Đại học Bước Tìm biểu thức B(x ) = ∫ q(x ).e ∫ p(x )dxdx Bước Nghiệm tổng quát y = A(x ) B(x ) + C  31 dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010 Chương Phương trì trình vi phân Nhận xét B(x ) = ∫ p(x )dx q(x ).e ∫ dx = ∫ q(x ) dx A(x ) Chú ý • Khi tính tích phân trên, ta chọn số • Phương pháp biến thiên số tìm nghiệm −∫ p(x )dx tổng quát (4) dạng: y = C (x )e VD 14 Trong phương pháp biến thiên số, ta tìm y nghiệm tổng quát y ′ + = 4x ln x dạng: x C (x ) C (x ) A y = ; B y = ; x x3 C (x ) C (x ) ; D y = − C y = x x Chương Phương trì trình vi phân 2.2.5 Phương trình vi phân Bernoulli • Phương trình vi phân Bernoulli có dạng: y ′ + p(x )y = q(x )y α (5) • Khi α = α = (5) tuyến tính cấp • Khi p(x ) = q(x ) = (5) pt có biến phân ly Phương pháp giải (với α khác 1) Bước Với y ≠ , ta chia hai vế cho y α : y′ y (5) ⇒ + p(x ) = q(x ) α y yα ⇒ y ′y −α + p(x )y 1−α = q(x ) Chương Phương trì trình vi phân §3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 3.1 Các dạng phương trình vi phân cấp 3.1.1 Phương trình khuyết y y’ • Phương trình vi phân khuyết y y ′ có dạng: y ′′ = f (x ) (1) Phương pháp giải • Lấy tích phân hai vế (1) hai lần: y ′′ = f (x ) ⇒ y ′ = ∫ f (x )dx = ϕ(x ) + C ⇒y = ∫ ϕ(x )dx + C1x = ψ(x ) + C1x + C VD Giải phương trình vi phân y ′′ = x Toán cao cấp A3 Đại học Chương Phương trì trình vi phân VD 15 Giải phương trình vi phân y ′ − x 2y = thỏa điều kiện đầu y x =3 = −e VD 16 Giải phương trình y ′ + y cos x = e − sin x VD 17 Giải phương trình y ′ − 2y tan 2x = sin 4x Chương Phương trì trình vi phân Bước Đặt z = y 1−α ⇒ z ′ = (1 − α)y ′y −α , ta được: (5) ⇒ z ′ + (1 − α )p(x )z = (1 − α )q(x ) (đây phương trình tuyến tính cấp 1) VD 18 Giải phương trình vi phân y ′ + với điều kiện đầu x = 1, y = y = xy x VD 19 Giải phương trình vi phân y ′ − 2xy = x 3y …………………………………………………………………… Chương Phương trì trình vi phân VD Giải ptvp y ′′ = e 2x với y(0) = − , y ′(0) = 3.1.2 Phương trình khuyết y • Phương trình vi phân khuyết y có dạng: y ′′ = f (x , y ′) (2) Phương pháp giải • Đặt z = y ′ đưa (2) phương trình tuyến tính cấp VD Giải phương trình vi phân y ′′ = x − y′ x y′ − x (x − 1) = x −1 với điều kiện y(2) = 1, y ′(2) = −1 VD Giải pt vi phân y ′′ − 32 dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010 Chương Phương trì trình vi phân Chương Phương trì trình vi phân 3.1.3 Phương trình khuyết x • Phương trình vi phân khuyết x có dạng: y ′′ = f (y, y ′) (3) Phương pháp giải dz dz dy dz • Đặt z = y ′ ta có: y ′′ = z ′ = = =z dx dy dx dy • Khi đó, (3) trở thành ptvp với biến số phân ly VD Giải phương trình vi phân 2yy ′′ = (y ′) + VD Giải phương trình vi phân y ′′ + 2y ′(1 − 2y ) = với điều kiện y(0) = 0, y ′(0) = VD Giải phương trình vi phân (1 − y )y ′′ + 2(y ′)2 = Chương Phương trì trình vi phân Trường hợp Phương trình (5) có nghiệm kép thực k Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng y1 = e kx , y2 = xe kx kx kx nghiệm tổng quát y = C 1e + C 2xe Trường hợp Phương trình (5) có hai nghiệm phức liên hợp k = α ± iβ Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng: y1 = e αx cos βx , y2 = e αx sin βx nghiệm tổng quát là: y = e αx (C cos βx + C sin βx ) Chương Phương trì trình vi phân 3.2 Phương trình vi phân cấp tuyến tính với hệ số 3.2.1 Phương trình • Phương trình có dạng: y ′′ + a1y ′ + a2y = 0, (a1 , a ∈ ℝ ) (4) Phương pháp giải Xét phương trình đặc trưng (4): k + a1k + a = (5) Trường hợp Phương trình (5) có hai nghiệm thực phân biệt k1 , k2 Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng y1 = e nghiệm tổng quát y = C 1e k1x k1x + C 2e , y2 = e k 2x k2x Chương Phương trì trình vi phân VD Giải phương trình vi phân y ′′ + 2y ′ − 3y = VD Giải phương trình vi phân y ′′ − 6y ′ + 9y = VD 10 Giải phương trình vi phân y ′′ + 16y = VD 11 Giải phương trình vi phân y ′′ + 2y ′ + 7y = VD 12 Tìm nghiệm tổng quát phương trình: y ′′ − y ′ + y = Chương Phương trì trình vi phân 3.2.2 Phương trình khơng VD 13 Giải phương trình vi phân y ′′ − 2y ′ + y = x (a) • Phương trình khơng có dạng: y ′′ + a1y ′ + a2y = f (x ), (a1, a2 ∈ ℝ ) (6) Giải Xét phương trình nhất: y ′′ − 2y ′ + y = (b) a) Phương pháp giải tổng quát • Nếu (4) có hai nghiệm riêng y1(x ), y2 (x ) (6) có nghiệm tổng qt y = C 1(x )y1(x ) + C (x )y2 (x ) • Để tìm C 1(x ) C (x ), ta giải hệ Wronsky: C ′(x )y (x ) + C ′(x )y (x ) = 2   ′ C 1(x )y1′(x ) + C 2′(x )y2′ (x ) = f (x )  Tốn cao cấp A3 Đại học Ta có: k − 2k + = ⇔ k = ⇒ y1 = e x , y2 = xe x nghiệm riêng (b) Suy ra, nghiệm tổng quát (a) có dạng: y = C 1(x ).e x + C (x ).xe x Ta có hệ Wronsky: e x C ′(x ) + xe x C ′ (x ) =0  x x e C ′(x ) + (x + 1)e C ′ (x ) = x  33 dvntailieu.wordpress.com Chương Phương trì trình vi phân Giải hệ định thức Crammer, ta được: −x  ′ C 1(x ) = −x e C ′ (x ) = xe−x  −x  C 1(x ) = ∫ C 1′(x )dx = e (x + 2x + 2) + C ⇒  C (x ) = C ′ (x )dx = −e −x (x + 1) + C ∫ 2  Vậy phương trình (a) có nghiệm tổng qt là: y = C 1e x + C 2xe x + x + Chương Phương trì trình vi phân Phương pháp chồng chất nghiệm • Định lý Cho phương trình y ′′ + a1y ′ + a2y = f1(x ) + f2 (x ) (7) Nếu y1(x ) y2 (x ) nghiệm riêng y ′′ + a1y ′ + a2y = f1(x ), y ′′ + a1y ′ + a2y = f2 (x ) nghiệm riêng (7) là: y = y1(x ) + y2 (x ) VD 16 Tìm nghiệm tổng quát y ′′ − y ′ = cos2 x (*) Cho biết y ′′ − y ′ = y ′′ − y ′ = cos 2x có nghiệm riêng y1 = −x , y2 = − cos 2x − sin 2x 10 10 Chương Phương trì trình vi phân Bước Xác định m : 1) Nếu α không nghiệm phương trình đặc trưng (4) m = 2) Nếu α nghiệm đơn phương trình đặc trưng (4) m = 3) Nếu α nghiệm kép phương trình đặc trưng (4) m = Bước Thế y = x m e αxQn (x ) vào (6) đồng thức ta nghiệm riêng cần tìm VD 17 Tìm nghiệm riêng phương trình vi phân: y ′′ − 2y ′ − 3y = e 3x (x + 1) Toán cao cấp A3 Đại học Tuesday, August 31, 2010 Chương Phương trì trình vi phân b) CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI ĐẶC BIỆT Phương pháp cộng nghiệm • Định lý Nghiệm tổng qt phương trình không (6) tổng nghiệm tổng quát phương trình (4) với nghiệm riêng (6) VD 14 Cho phương trình vi phân: y ′′ − 2y ′ + 2y = (2 + x )e x (*) 1) Chứng tỏ (*) có nghiệm riêng y = x 2e x 2) Tìm nghiệm tổng quát (*) VD 15 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân: y ′′ + y ′ = sin 2x + cos 2x , biết nghiệm riêng y = − cos 2x Chương Phương trì trình vi phân Phương pháp tìm nghiệm riêng phương trình vi phân tuyến tính cấp với hệ số Xét phương trình y ′′ + a1y ′ + a2y = f (x ) (6) y ′′ + a1y ′ + a2y = (4) • Trường hợp 1: f(x) có dạng eαxPn(x) ( Pn (x ) đa thức bậc n ) Bước Nghiệm riêng (6) có dạng: y = x m e αxQn (x ) (Qn (x ) đa thức đầy đủ bậc n ) Chương Phương trì trình vi phân Giải Ta có f (x ) = e 3x (x + 1), α = 3, P2 (x ) = x + Suy nghiệm riêng có dạng: y = x me 3x (Ax + Bx + C ) Do α = nghiệm đơn phương trình đặc trưng k − 2k − = nên m = Suy nghiệm riêng có dạng y = xe 3x (Ax + Bx + C ) Thế y = xe 3x (Ax + Bx + C ) vào phương trình cho, đồng thức ta được: A= 1 , B =− ,C = 12 16 32 34 dvntailieu.wordpress.com Tuesday, August 31, 2010 Chương Phương trì trình vi phân Chương Phương trì trình vi phân 1 9 Vậy nghiệm riêng y = xe 3x  x − x +  12 16 32  VD 18 Tìm dạng nghiệm riêng phương trình vi phân: y ′′ + 2y ′ + y = xe x + 2e −x • Trường hợp f(x) có dạng eαx[Pn(x)cosβx + Qm(x)sinβx] ( Pn (x ) đa thức bậc n , Qm (x ) đa thức bậc m ) Bước Nghiệm riêng có dạng: y = x se αx [Rk (x )cos β x + H k (x ) sin βx ] ( Rk (x ), H k (x ) đa thức đầy đủ bậc k = max{n, m} ) Chương Phương trì trình vi phân VD 20 Tìm dạng nghiệm riêng phương trình vi phân: y ′′ − 2y ′ + 2y = e x [(x + 1)cos x + x sin x ] Giải Ta có α = 1, β = 1, k = Chương Phương trì trình vi phân Giải Phương trình đặc trưng: k − 2k − k + = ⇔ k = ±1, k = Vậy phương trình có nghiệm riêng: y1 = e−x , y2 = e x , y3 = e 2x phương trình (8) có n nghiệm riêng kn −1x , yn = e kn x k1x + C 2e k2x nghiệm tổng quát y = C 1e−x + C 2e x + C 3e 2x VD 23 Giải phương trình vi phân y (4) − 5y ′′ + 4y = nghiệm tổng quát là: y = C 1e 3.3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO tuyến tính với hệ số • Phương trình tuyến tính cấp n có dạng: y (n ) +a1y (n −1) +a2y (n −2) + +an −1y ′+an y = (8) Chương Phương trì trình vi phân có n nghiệm thực đơn k1, k2 , , kn −1 , kn , , yn −1 = e y = xe x [(Ax + Bx + C )cos x + (Dx + Ex + F )sin x ] VD 22 Giải phương trình y ′′′ − 2y ′′ − y ′ + 2y = • Định lý Nếu phương trình đặc trưng (8) k n + a1k n −1 + a2k n −2 + + an −1k + an = k 2x Vậy dạng nghiệm riêng cần tìm là: Trong đó, ∈ ℝ, i = 1, 2, , n ± i nghiệm k − 2k + = ⇒ s = , y2 = e Giải Ta có f (x ) = e x (cos x + 3x sin x ) ⇒ α = 1, β = 1, n = 0, m = 1, k = VD 21 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân: y ′′ + y = sin x (*) đặc trưng k + 2k − = nên s = Vậy dạng nghiệm riêng là: y = e x [(Ax + B )cos x + (Cx + D )sin x ] k1x VD 19 Tìm dạng nghiệm riêng phương trình vi phân: y ′′ + 2y ′ − 3y = e x cos x + 3xe x sin x Chương Phương trì trình vi phân Suy nghiệm riêng có dạng: y = x se x [(Ax + B )cos x + (Cx + D )sin x ] Do α ± i β = ± i không nghiệm phương trình y1 = e Bước Xác định s : 1) Nếu α ± i β không nghiệm phương trình đặc trưng (4) s = 2) Nếu α ± i β nghiệm phương trình đặc trưng (4) s = Bước Thế y = x se αx [Rk (x )cos βx + H k (x )sin βx ] vào (6) đồng thức ta nghiệm riêng + + C n −1e kn −1x + C ne kn x ………………Hết……………… Trong đó, C i ∈ ℝ, i = 1, 2, , n Toán cao cấp A3 Đại học 35 ... v 02 − kM v2 = ≥ ⇒ v0 ≥ R 2kM R Thay giá trị k , M , R ta v0 ≈ 11, km / s Chương Phương trì trình vi phân • Nghiệm (*) khoảng D hàm y = ϕ(x ) xác định D cho thay y = ϕ(x ) vào (*) ta đồng thức... biến x fx/ = VD Tính đạo hàm riêng hàm số: f (x , y ) = x − 3x 3y + 2y − 3xy (−1; 2) Toán cao cấp A3 Đại học chứa điểm M (x , y ) Cố định y0 , hàm số f (x , y ) Chương Hà Hàm số số nhiề nhiều biế... ∆x ⇒ dx = ∆x Tương tự, dy = ∆y Vậy: df (x , y ) = fx/ (x , y )dx + fy/ (x , y )dy Toán cao cấp A3 Đại học đại lượng A.∆x + B.∆y gọi vi phân hàm số f (x , y ) điểm M (x , y ) • Khi đó, f (x ,