F63 1 r phương trình vi phân trong xây dựng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỞ THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA XÂY DỰNG VÀ ĐIỆN TÀI LIỆU HƯỚNG DẪN ÔN TẬP VÀ KIỂM TRA MƠN: PTVP XD (Các lớp khơng qui) Mục đích Tài liệu nhằm hỗ trợ cho học viên hình thức giáo dục từ xa nắm vững nội dung ôn tập làm kiểm tra hết môn hiệu Tài liệu cần sử dụng với tài liệu học tập môn học giảng giảng viên ôn tập tập trung theo chương trình đào tạo Nội dung hướng dẫn Nội dung tài liệu bao gồm nội dung sau: • Phần 1: Các nội dung trọng tâm môn học Bao gồm nội dung trọng tâm môn học xác định dựa mục tiêu học tập, nghĩa kiến thức kỹ cốt lõi mà người học cần có hồn thành mơn học • Phần 2: Cách thức ơn tập Mơ tả cách thức để hệ thống hóa kiến thức luyện tập kỹ để đạt nội dung trọng tâm • Phần 3: Hướng dẫn làm kiểm tra Mơ tả hình thức kiểm tra đề thi, hướng dẫn cách làm trình bày làm lưu ý sai sót thường gặp, nỗ lực đánh giá cao làm • Phần 4: Đề thi mẫu đáp án Cung cấp đề thi mẫu đáp án, có tính chất minh hoạ nhằm giúp học viên hình dung yêu cầu kiểm tra cách thức làm thi (Bảng chi tiết đính kèm) PHỤ TRÁCH KHOA XÂY DỰNG VÀ ĐIỆN Trần Tuấn Anh -1- PHẦN CÁC NỘI DUNG TRỌNG TÂM Bài giảng 1: Căn PTVP • Định nghĩa đạo hàm • Mở rộng khái niệm sai số, giá trị • Tích phân • Phương trình vi phân – cấp PTVP – Định nghĩa tính tuyến tính • Giải PTVP Phương pháp giải tích: o PP Euler o PP tách biến o PP giải PTVP Bernoulli o PP khác (giới thiệu cách tính đạo hàm riêng) • Giải PTVP Phương pháp số o PP chuỗi Taylor o PP Euler o PP Runge Kutta cấp giới thiệu cấp > 2) Bài tập minh họa: • Thí dụ 1: Tích phân đa thức (theo pp trực tiếp) cho ôn lại rèn luyện • Thí dụ 2: Giải PTVP theo PP Thừa số tích phân, PP Biến phân ly, PP đổi biến (PTVP đẳng cấp) vẽ trường hướng (direction field) • Thí dụ 3: Giải PP gần Euler (ít bài) • Thí dụ 4: Giải PP Runge Kutta cấp 2, giới hạn ôn tập đến cấp Bài giảng 2: PTVP đường đàn hồi (Bài tốn dầm) • Độ cong dầm • Đường đàn hồi dầm chịu uốn • Cách Lập PTVP lời giải giải tích • Lời giải số (minh họa việc áp dụng PP Euler) Bài tập minh họa: -2- • Thí dụ 1: Cách áp điều kiện biên, vật thể tự do, cắt mặt cắt đoạn x để viết M(x) Q(x), từ lập PTVP đường đàn hồi • Thí dụ 2: Giải tốn dầm hẫng Cantilever chịu tải • Thí dụ 3: Giải toán dầm đơn giản chịu tải Thí dụ 4: Chứng minh độ dốc số cho đoạn dầm không chứa tải Bài giảng 3: PTVP độ võng sàn chịu uốn • Những giả thiết tốn Sàn chịu uốn • Cách Lập PTVP • Điều kiện biên • Lời giải giải tích Bài giảng 4: PTVP toán Ổn định Cột • Cột ? Ổn định cho cấu kiện chịu nén uốn • Phương trình đường đàn hồi dạng PTVP cấp • Điều kiện biên điều kiện biên Khơng • Lời giải bước giải tích • Ứng dụng Bài giảng 5: PTVP Bài tốn Lún cố kết thấm • Những giả thiết tốn thấm • Cách Lập PTVP • Các trường hợp Điều kiện biên • Lời giải giải tích (lời giải phương pháp Euler) • Ứng dụng Bài giảng 6: PTVP Bài tốn rung động kết cấu • Hệ dao động – thành phần hệ dao động – Bậc tự • Phương trình vi phân cân Động lực học • Các trường hợp Điều kiện biên • Lời Giải PTVP – Dao động tự do, dao động cưỡng • Ứng dụng -3- -4- PHẦN CÁCH THỨC ÔN TẬP Bài giảng 1: Căn PTVP • Cần nắm định nghĩa đạo hàm (Cơng thức có Lim; xem lại Tốn cao cấp) • Rèn luyện cách tính tốn sai số, giá trị đúng, tiến đến phân biệt sai số tương đối, sai số xấp xỉ (gần đúng) • Bài tập rèn luyện tính đạo hàm Tích phân với số tốn, thí dụ lớp tự học nhà • Phương trình vi phân – cấp PTVP – Định nghĩa tính tuyến tính • Giải PTVP Phương pháp giải tích (xem kỹ thí dụ để hiểu rõ cách làm) o PP Euler o PP tách biến o PP khác (chỉ tham khảo) • Giải PTVP Phương pháp số (tập luyện làm lại thí dụ Excel, đổi số) o PP chuỗi Taylor o PP Euler o PP Runge Kutta Trọng tâm: Tính đạo hàm tích phân, áp dụng vào giải theo Phương pháp giải tích phương pháp số để giải PTVP Bài giảng 2: PTVP dầm chịu uốn Bài toán phải giải là: cho dầm chịu tải đơn giản, dùng phương pháp mặt cắt để cắt viết phương trình cân Mơ men theo tọa độ dài dầm tích phân Cơng thức góc xoay (người học tham khảo thí dụ lớp) Viết biểu thức giải tích Mơ men tích phân để có chuyển vị -5- • Hiểu ý nghĩa ứng dụng thực tế lời giải • Có thể chứng minh đoạn dầm khơng có tải góc xoay số Bài giảng 3: PTVP độ võng sàn chịu uốn • Bài giảng giới thiệu phương trình độ võng theo độ cứng trụ D • Cần ý mối liên hệ vi phân (đến đạo hàm bậc 4) độ võng sàn tải trọng, PTVP sàn chịu uốn • Tham gia tìm hiểu thí dụ lớp (2 thí dụ mẫu) • Ý nghĩa ứng dụng thực tế lời giải Bài giảng 4: PTVP toán Ổn định Cột • Chú ý nằm vững bảng liên hệ Độ cứng x Vi phân chuyển vị = Tải (slide 4) Bảng tóm gọn mối liên hệ quan trọng phải nhớ • Cách giải Phương trình vi phân : Từ dạng nghiệm tổng quát (nên nhớ), từ điều kiện biên hai đầu (cụ thể : gối chuyển vị zero góc xoay zero ngàm v v) cột áp vào lời giải tổng quát để xác định số tích phân • Trong xây dựng, cột chịu nén trung tâm có khả chịu lực giới hạn gọi Peuler định nghĩa lực nhỏ gây trạng thái cân ban đầu Lực phụ thuộc vào điều kiện liên kết hai đầu cột (điều kiện biên) • Nắm vững trình tự bước: o Viết biểu thức Mô men M(x) mặt cắt cách gối đoạn x o Nghiệm riêng nghiệm tổng quát o Áp điều kiện biên góc xoay chuyển vị o Từ điều kiện biên góc xoay chuyển vị giải chiều dài tính tốn Le từ xác định tải trọng giới hạn (Pgh hồn tồn tùy thuộc cấu hình cột) -6- • Hiểu Ý nghĩa ứng dụng thực tế lời giải Bài giảng 5: PTVP Bài toán Lún cố kết thấm • Nhập mơn: Giới thiệu số tham số toán (tốc độ thấm, gradient thủy lực) Các giả thiết (khái qt) dòng thấm mơi trường rời (lấy đối tượng đất) – Định luật thấm vận tốc tỷ lệ với gradient thủy lực • Lập phương trình vi phân • Các điều kiện biên đầu cuối lớp đất cho biết giá trị áp lực phần nước chứa lỗ rỗng đất • Lời giải Euler – Dạng nghiệm riêng cần nhớ dạng udu = exp (βz)=e λz • Phương trình đặc trưng dẫn đến hai nghiệm ảo biểu thức nghiệm tổng quát (chứa số) • Áp điều kiện biên giải số • Ý nghĩa ứng dụng thực tế lời giải Bài giảng 6: PTVP Bài toán động lực học kết cấu • Phương trình vi phân từ nguyên lý cân Động lực học (ĐLH) • Các điều kiện ban đầu chuyển vị vận tốc • Lời giải PTVP cân ĐLH khơng/có vế phải • Ý nghĩa ứng dụng thực tế lời giải PHẦN 3: HƯỚNG DẪN LÀM BÀI KIỂM TRA 3.1 Hình thức kiểm tra: Tự luận, từ – toán cấu tạo từ số câu hỏi nhỏ Đề mở Bài toán (2 điểm): Tính sai số tương đối tính tuyến tính PTVP Bài tốn (4 điểm): Giải phương pháp số theo Euler giải giải tích PTVP đơn giản Bài toán (4 điểm): Viết biểu thức Mô men lập PTVP cho cấu kiện (có thể dầm chịu uốn Hoặc cấu kiện khác ) -7- 3.2 Hướng dẫn làm o Đọc kỹ kê biên điều kiện biên gối, điều kiện ban đầu o Các câu nhận dạng Câu 1: Nhận dạng cấp, bậc, tuyến tính/phi tuyến, cách giải (chỉ có cách giải: tuyến tính dùng thừa số tích phân, tách biến đẳng cấp đổi biến đặt v= y/x mà thôi) Làm câu dễ trước, cách làm xem xét (khơng tính sai chuyền từ kết trước) o Câu 2: Giải số bang PP Euler RK cấp (rèn luyện RK cấp tốt) o Câu 3: Là toán giải Phương trình vi phân để tìm lời giải phương trình (thường đa thức) đường đàn hồi Chú ý góc xoay dy/dx; chuyển vị y Lưu ý: Áp điều kiện biên quan trọng, kê biên tính điểm PHẦN ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỞ TP.HCM KHOA XÂY DỰNG VÀ ĐIỆN ĐỀ THI MẪU MÔN: PTVP XD - HK /Năm Học LỚP: - ……… HỆ: Từ xa Thời gian làm bài: 90 phút SV sử dụng tài liệu Bài toán (2 điểm): a x’ – xy =1 tuyến tính cấp theo x b y’– yx2 = tuyến tính cấp theo y -8- c y’x3 – sin(y) +1 =0 phi tuyến sin(y) khơng phải lũy thừa bậc d y’” – 2y’’ + 2y5x= 3x phi tuyến y5 khơng phải lũy thừa bậc Bài tốn (4 điểm): Giải phương trình vi phân y’x = x+y với điều kiện ban đầu y(1) = Giải: biến đổi: y’= y x+ y =1+ x x y x (a) Đặt u = xu = y kéo theo dy/dx=u+xu’ (vi phân hàm hợp) Thay vào (a), ta có u+xu’= 1+u  xu’=1 (dạng đơn giản hơn) Tức du/dx= 1/x, u= Ln|x| +C Viết lại y x = Ln|x|+C Vậy nghiệm tổng quát y=x(Ln|x|+C) Áp điều kiện biên x=1 vào giải C =1 Bài tốn (4 điểm): Viết phương trình vi phân đường đàn hồi dầm chịu uốn (dầm có độ cứng chịu uốn EJ) VA= qL/2 L q Cách 1: Áp dụng cơng thức Phương trình góc xoayEJ x EJ = EJ +  q aq ( x) ( x − L) −  qbq + 3! 3! Phương trình chuyển vị điểm x: EJf x = EJf + EJ x ( x) ( x) ( x − L) + P +  q aq −  qbq 1! 3! 4! 4! Trong qa = qb = q, chuyển vị fo =0 θo góc xoay biểu thức hoàn chỉnh sau áp điều kiện biên sau: Tại gối x= fo =0 Tại gối phải x= L fo = Cách 2: Dễ thấy Phản lực gối tựa trái phải V= qL/2 Viết biểu thức M(x)= Q/2 q L x2 x−q 2 = qL x x ( − )= L L2 ½ Q (x − x2 ) L Vẽ hình M(x) Phương trình M = EJ ( d2y ) dx = q L x2 x−q 2 -9- = Q x2 (x − ) L đặt Q=qL Lấy tích phân lần ta có biểu thức độ võng y (phương trình đường đàn hồi) Cụ thể: Q x2 x3 ( − ) + C1 ; áp điều kiện biên 2 3L Q L2 L3 ( − ) + C1 =0 giải C1 = - QL2/24 24 L Tích phân Lần ta được: x=L/2 Tích phân Lần ta được: Q x3 x4 QL2 ( − )− x + C2 ; 12 L 24 áp điều kiện biên chuyển vị x=L 0, tức Giải C2=0 Vậy phương trình đường đàn hồi y= Q x3 x4 QL2 QL3 x3 x4 x ( − )− x= [2 − − ] EJ 12 24 L 24 EJ 24 EJ L L L Kiểm lại x= L/2 y = 5QL3 384 EJ , lại đạo hàm lần - 10 - góc xoay ... giá trị đúng, tiến đến phân biệt sai số tương đối, sai số xấp xỉ (gần đúng) • Bài tập rèn luyện tính đạo hàm Tích phân với số tốn, thí dụ lớp tự học nhà • Phương trình vi phân – cấp PTVP – Định... phương pháp mặt cắt để cắt vi t phương trình cân Mô men theo tọa độ dài dầm tích phân Cơng thức góc xoay (người học tham khảo thí dụ lớp) Vi t biểu thức giải tích Mơ men tích phân để có chuyển vị -5-... Cột • Chú ý nằm vững bảng liên hệ Độ cứng x Vi phân chuyển vị = Tải (slide 4) Bảng tóm gọn mối liên hệ quan trọng phải nhớ • Cách giải Phương trình vi phân : Từ dạng nghiệm tổng quát (nên nhớ),