khai thac hinh ve

Khai thác một hình vẽ để giải một số bài toán hình tứ diện trong SGK Hình học 11 I. Đặt vấn đề Tìm tòi và sáng tạo là những đức tính rất cần thiết của học sinh để có thể học tập tốt các môn học nói chung và môn toán nói riêng. Vì thế trong quá trình giảng dạy tôi luôn mong muốn bồi dỡng cho học sinh năng lực t duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề và tạo hứng thú học tập cho các em. Nếu có thói quen thờng xuyên khai thác mỗi bài toán trong sách giáo khoa bằng việc đi tìm những lời giải khác nhau hoặc khai thác, tìm kiếm các kết luận mới từ hình vẽ của lời giải sẽ giúp ta có đợc nhiều kết quả thú vị. Qua đó nhằm phát hiện và bồi dỡng năng lực toán cho học sinh. Chính ví thế tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: "Khai thác một hình vẽ để giải một số bài toán hình tứ diện trong SGK Hình học 11". II. Nội dung 1. Cơ sở lí luận Thông qua khai thác, tìm hiểu để rồi từ đó phát triển một bài toán sẽ giúp rèn luyện t duy lôgic, khả năng phân tích tổng hợp, trí tởng tợng phong phú và óc sáng tạo cho học sinh. 2. Thực trạng của vấn đề. a) Thuận lợi: - Hình học không gian là môn học mới đối với học sinh lớp 11 vì nó có nội dung mới và phong phú hơn so với hình học phẳng. Nó rèn luyện cho học sinh trí t- ởng tợng không gian thông qua các hình ảnh, mô hình cụ thể theo con đờng từ t duy trực quan sang t duy trừu tợng. - Trong SGK Hình học 11 bài tập về hình tứ diện rất nhiều, tuy nhiên trong số đó có nhiều bài chỉ khác nhau về một đơn vị kiến thức nào đó. Những bài này nếu học sinh biết khai thác sẽ thấy chúng có mối liên hệ với nhau. b) Khó khăn - Môn hình học không gian đòi hỏi học sinh phải có trí tởng tợng, có kiến thức tốt về hình học phẳng - Trong hình học không gian có rất nhiều kiến thức mới đòi hỏi học sinh phải nhớ, phải hiểu mới có thể vận dụng làm bài đợc. Chính điều đó gây ra khó khăn cho không ít học sinh trong môn học này. 3. Biện pháp tiến hành Trong giảng dạy tôi luôn: - Tích cực làm mô hình hỗ trợ cho các bài giảng. - Tích cực ứng dụng CNTT vào các bài giảng - Lựa chọn các ví dụ minh hoạ sinh động, thực tế phục vụ cho bài giảng - Hớng dẫn học sinh tìm hiểu sâu sắc mỗi bài toán, mỗi hình vẽ để có thể liên hệ tới các bài toán khác. Sau đây là một trong những hoạt động nhằm tạo hứng thú học tập, nghiên cứu của học sinh mà tôi đã làm: (ở dây là hoạt động hớng dẫn học sinh tìm hiểu một hình vẽ của lời giải một bài toán để có đợc các kết quả khác). Lơng Cao Vinh - Trờng THPT Cộng Hiền - Vĩnh Bảo - Hải Phòng. 1 Khai thác một hình vẽ để giải một số bài toán hình tứ diện trong SGK Hình học 11 Bài 1. (VD1 trang 85 SGK HH11 NC) Giải * Yêu cầu học sinh tìm một lời giải khác ? Gợi ý: "Từ giả thiết về hai điểm M, N và kết luận của bài toán ta nghĩ tới tính chất của đờng trung bình trong tam giác và MN là đờng trung bình đó." Từ đó ta có cách giải khác nh sau: * Tiếp tục hớng dẫn học sinh khai thác các yếu tố của hình vẽ 2 Có đợc hình vẽ 2 rồi, không dừng lại ở đó, tìm hiểu thêm ta sẽ đợc nhiều kết quả khác. - Khai thác đờng trung bình MN của tam giác ABE. Ta có MN song song với mp(ADE) mà mp này cũng song song với BC từ đó ta đợc lời giải bài toán khác sau đây: Lơng Cao Vinh - Trờng THPT Cộng Hiền - Vĩnh Bảo - Hải Phòng. 2 Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lợt là trung điểm của AB và CD. Chứng tỏ rằng: 1 1 ( ) ( ). 2 2 MN AD BC AC BD= + = + uuuur uuur uuur uuur uuur Gọi E là đỉnh thứ ba của hình bình hành BCED.Khi đó N là tâm của hình bình hành BCED. Do M là trung điểm của AB, N là trung điểm của BE, do đó MN là đờng trung bình của tam giác ABE. Suy ra: 1 . 2 MN AE= uuuur uuur (1) Sử dụng quy tắc 3 điểm, ta có . AE AD DE AE AC CE = + = + uuur uuur uuur uuur uuur uuur (2) Mà BCED là hình bình hành nên , .DE BC CE BD= = uuur uuur uuur uuur (3). Từ (1), (2), (3) suy ra: 1 1 ( ) ( ). 2 2 MN AD BC AC BD= + = + uuuur uuur uuur uuur uuur A B C D N M Hình 1 A B C D E N M Hình 2 * Cách giải của SGK Sử dụng quy tắc ba điểm , ta có MN MA AD DN= + + uuuur uuur uuur uuur , MN MB BC CN= + + uuuur uuur uuur uuur . Do 0MA MB+ = uuur uuur r và 0DN CN+ = uuur uuur r nên 1 ( ) 2 MN AD BC= + uuuur uuur uuur . Tơng tự nh trên, ta có 1 ( ) 2 MN AC BD= + uuuur uuur uuur . Khai thác một hình vẽ để giải một số bài toán hình tứ diện trong SGK Hình học 11 Bài 2. (Bài toán 1 trang 87 SGK HH11 NC) Giải sử dụng hình vẽ 2 - Với việc tạo ra hình bình hành BCED, ta nhận thấy mối quan hệ giữa AC và BD, giữa AD và BC đợc tìm hiểu thông qua mối quan hệ giữa AC và CE, AD và DE thuận lợi hơn nhiều. Sau đây là một ví dụ. Bài 3. (VD1 trang 86 SGK HH11 CB) Giải. Sử dụng hình vẽ 3 Do BCED là hình bình hành nên BD CE AC BD AC CE AE BC DE AD BC AD DE AE = + = + = = + = + = uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Từ đó suy ra: AC BD AD BC + = + uuur uuur uuur uuur (đpcm) - Khai thác hai tam giác ACE và ADE. Hai tam giác ACE và ADE có chung cạnh AE. Gọi P là trung điểm của đoạn AE, nối C với P, nối D với P, nối P với N. Ta đợc hình vẽ 4. Ta nhận thấy PN//AB vậy quan hệ vuông góc giữa AB và CD đa về quan hệ giữa PN và CD, mà PN là trung tuyến của tam giác CPD, do đó lại liên quan tới hai cạnh CP, DP là hai trung tuyến của hai tam giác ACE và ADE Khi đó ta có đợc lời giải các bài toán sau đây:. Lơng Cao Vinh - Trờng THPT Cộng Hiền - Vĩnh Bảo - Hải Phòng. 3 Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lợt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng ba vectơ , ,BC MN AD uuur uuuur uuur đồng phẳng. Ta có BC // DE nên BC // (ADE), MN// AE nên MN // (ADE). Do đó mp(ADE) chứa đờng thẳng AD và song song với các đờng thẳng BC và MN. Từ đó suy ra ba đờng thẳng BC, MN, AD cùng song song với một mặt phẳng. Do đó ba vectơ , ,BC MN AD uuur uuuur uuur đồng phẳng. A B C D E N M Hình 2 Cho tứ diện ABCD. Chứng minh: .AC BD AD BC + = + uuur uuur uuur uuur A B C D E N Hình 3 A B C D E P N Hình 4 Khai thác một hình vẽ để giải một số bài toán hình tứ diện trong SGK Hình học 11 Bài 4. (Bài 20 trang 103 SGK HH11 NC) Giải Bài 5. (Bài 20 trang 103 SGK HH11 NC) Giải Lơng Cao Vinh - Trờng THPT Cộng Hiền - Vĩnh Bảo - Hải Phòng. 4 Chứng minh rằng nếu tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối vuông góc thì cặp cạnh đối còn lại cũng vuông góc. (Tứ diện nh thế gọi là tứ diện trực tâm) Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng các mệnh đề sau đây là t- ơng đơng. a) ABCD là tứ diện trực tâm. b) AB 2 + CD 2 = AC 2 + BD 2 = AD 2 + BC 2 . Ta sử dụng hình vẽ 4 nh trên. Ta luôn có / / .AB PN Khi đó AB CD PN CD (mà PN là trung tuyến của CPD ) CPD cân tại P PC PD = 2 2 PC PD = (mà PC và PD lần lợt là hai đờng trung tuyến của ACE và ADE ) 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 AC CE AE AD DE AE+ + = 2 2 2 2 AC CE AD DE + = + (mà CE BD = và DE BC = ) 2 2 2 2 AC BD AD BC + = + . Tơng tự nh trên ta cũng có 2 2 2 2 2 2 2 2 AD BC AC BD AB CD AC BD AB CD AD BC + = + + = + Vậy hai mệnh đề đã cho là tơng đơng. (đpcm) Không mất tính tổng quát giả sử tứ diện ABCD có AC BD và AD BC . Ta phải chứng minh .AB CD Sử dụng hình vẽ 4 Có AD BC mà / /BC DE suy ra AD DE . Vậy tam giác ADE vuông tại D, mà DP là trung tuyến nên 1 . 2 DP AE= (1) Tơng tự, AC BD mà / /BD CE suy ra AC CE . Vậy tam giác ACE vuông tại C, mà CP là trung tuyến nên 1 . 2 CP AE= (2). Từ (1), (2) suy ra CP DP= do đó tam giác CPD cân tại P. Khi đó trung tuyến PN đồng thời là đờng cao. Vậy .PN CD (3) Trong tam giác ABE có PN là đờng trung bình nên / / .PN AB (4). Từ (3), (4) suy ra .AB CD (đpcm) A B C D E P N Hình 4 Khai thác một hình vẽ để giải một số bài toán hình tứ diện trong SGK Hình học 11 - Trong hình vẽ 4 gọi M là trung điểm của AB, ta đợc hình vẽ 5 (dới đây) lại khai thác đờng trung bình MN của tam giác ABE ta thấy MN//AE vì thế mối quan hệ giữa MN với AB và CD đa về mối quan hệ giữa AE với AB và CD, đợc thể hiện qua bài toán sau đây: Bài 6. (Bài 35 trang 118 SGK HH11 NC) Giải Bài 7. (Bài 9 trang 96 SGK HH11 NC) Giải Lơng Cao Vinh - Trờng THPT Cộng Hiền - Vĩnh Bảo - Hải Phòng. 5 Cho tứ diện ABCD, Chứng minh rằng nếu AC = BD, AD = BC thì đờng vuông góc chung của AB và CD là đờng nối trung điểm của AB và CD. Điều ngợc lại có đúng không? Ta sử dụng hình vẽ 5 ở bên. Gọi M, N lần lợt là trung điểm của AB và CD. Ta có AC = BD, AD = BC nên AC = CE, AD = DE do đó tam giác ACE cân tại C và tam giác ADE cân tại D. Suy ra các trung tuyến CP và DP cùng vuông góc với AE. Suy ra ( ) , .AE CPD AE PN AE CD Mà / / , / / ,AE MN PN AB MN AB MN CD . Điều ngợc lại cũng đúng, tức là nếu MN là đờng vuông góc chung của AB và CD với M, N lần lợt là trung điểm của AB và CD thì AC = BD và AD = BC. Thật vậy, có các lập luận ở phần trên theo chiều ngợc lại vẫn đúng, suy ra đpcm. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA SB SC = = và ã ã ã ASB BSC CSA= = . Chứng minh rằng SA BC , SB AC , .SC AB Ta sử dụng hình vẽ 5 '(ở bên). Chứng minh SA BC . Từ giả thiết suy ra SAB = SAC (c-g-c) => AB = AC mà ABEC là hình bình hành nên suy ra BE = CE từ đó suy ra SBE = SCE (c-c-c) => BP = CP (hai trung tuyến tơng ứng) => CPB cân tại P => trung tuyến PN đồng thời là đờng cao => PN BC mà SA // PN => SA BC . Vẽ hình tơng tự và chứng minh tơng tự ta cũng đợc SB AC , .SC AB (đpcm) A B C D E P N M Hình 5 S A B C E P N M Hình 5' Khai thác một hình vẽ để giải một số bài toán hình tứ diện trong SGK Hình học 11 Bài 8. (Bài 8 trang 98 SGK HH11 CB) Giải * Sau đây là một số bài toán khác có thể giải đợc nhờ khai thác hình vẽ nh đã nói ở trên: Bài 9. (Bài 8 trang 120 SGK HH11CB) Bài 10. (VD3 trang 123 SBT HH11 CB) Bài 11. (Bài 3.23 trang 139 SBT HH11CB) * Với việc tìm hiểu sâu sắc hình vẽ đã nêu ở trên tôi còn thấy khi làm một số bài tập về hình chóp có đáy là hình bình hành các em đã tìm ra nhiều lời giải hay. Lơng Cao Vinh - Trờng THPT Cộng Hiền - Vĩnh Bảo - Hải Phòng. 6 Cho tứ diện ABCD , có AB AC AD= = và ã ã 0 60BAC BAD= = . Chứng minh rằng a) AB CD ; b) Nếu gọi M , N lần lợt là trung điểm của AB và CD thì MN AB . b) Từ giả thiết ta có ABC và ABD là hai tam giác đều bằng nhau nên AC BC AD BD= = = ,AC CE= AD DE= ACE cân tại C, ADE cân tại D ( ) ,AE CPD AE CD AE PN mà / / , / / , .MN AE PN AB MN CD MN AB Sử dụng hình vẽ 5. a) Chứng minh tơng tự nh bài 7. A B C D E P N M Hình 5 Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối của tứ diện đều đó. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là hai tam giác đều. a) Chứng minh rằng AB và CD vuông góc với nhau. b) Gọi M, N, P, Q lần lợt là trung điểm của các cạnh AC, BC, BD, DA. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình chữ nhật. Cho tứ diện ABCD có ba cặp cạnh đối diện bằng nhau là AB=CD, AC=BD và AD=BC. Gọi M và N lần lợt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng MN AB và .MN CD Mặt phẳng (CDM) có vuông góc với mặt phẳng (ABN) không? Vì sao? Khai thác một hình vẽ để giải một số bài toán hình tứ diện trong SGK Hình học 11 III. Kết luận Quá trình khai thác có thể chỉ là quá trình mò mẫm và dự đoán để rồi từ đó "điều chỉnh" thích hợp tìm ra lời giải của bài toán khác. Liên tục làm nh vậy với các em học sinh lớp 11 tôi dạy trong những năm qua tôi nhận thấy: những học sinh từ trung bình khá trở lên, ngày càng say sa học môn toán, tự mình tìm tòi đợc nhiều cách giải và bớc đầu tự mình khai thác, phát triển bài toán, thấy đợc mối quan hệ kiến thức giữa các bài, các phần với nhau. Các em nắm kiến thức một cách chắc chắn hơn và có hệ thống, hạn chế tình trạng quên kiến thức. Do thời gian không nhiều và đây cũng chỉ là ý kiến của bản thân nên nội dung của đề tài này chắc chắn còn nhiều điều thiếu sót, rất mong đợc sự giúp đỡ và đóng góp ý kiến bổ sung của các thầy cô giáo để giúp tôi có bài viết hoàn chỉnh hơn. Tác giả Lơng Cao Vinh Tài Liệu tham khảo 1. SGK, SGV Hình học 11 2. SGK, SGV Hình học 11 Nâng cao 3. SBT Hình học 11 4. SBT Hình học 11 Nâng cao 5. Toán nâng cao Hình học 11, Tác giả Phan Huy Khải , NXB ĐHQG Hà Nội. Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Lơng Cao Vinh - Trờng THPT Cộng Hiền - Vĩnh Bảo - Hải Phòng. 7 Khai thác một hình vẽ để giải một số bài toán hình tứ diện trong SGK Hình học 11 Bản cam kết Kính gửi: Ban giám khảo chấm SKKN. Tôi là: Lơng Cao Vinh Chức vụ: Giáo viên Đơn vị: Tổ toán - Trờng THPT Cộng Hiền. Tôi xin cam đoan rằng SKKN này là của cá nhân tôi. Nếu sai tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm. Tôi xin trân trọng cảm ơn! Tác giả Lơng Cao Vinh Lơng Cao Vinh - Trờng THPT Cộng Hiền - Vĩnh Bảo - Hải Phòng. 8 Khai thác một hình vẽ để giải một số bài toán hình tứ diện trong SGK Hình học 11 Mục lục Trang I. Đặt vấn đề 1 II. Nội dung 1 1. Cơ sở lí luận 1 2. Thực trạng của vấn đề 1 3. Biện pháp 1 III. Kết luận 7 Tài liệu tham khảo 7 Bản cam kết 8 Lơng Cao Vinh - Trờng THPT Cộng Hiền - Vĩnh Bảo - Hải Phòng. 9 . em. Nếu có thói quen thờng xuyên khai thác mỗi bài toán trong sách giáo khoa bằng việc đi tìm những lời giải khác nhau hoặc khai thác, tìm kiếm các kết luận. nghiệm: " ;Khai thác một hình vẽ để giải một số bài toán hình tứ diện trong SGK Hình học 11". II. Nội dung 1. Cơ sở lí luận Thông qua khai thác, tìm