Giáo trình các tập hợp số

Giáo trình các tập hợp số

CÁC TẬP HỢP SỐ 113Chủ đề 3 TẬP SỐ HỮU TỈ VÀ TẬP SỐ THỰC MỤC TIÊU A. KIẾN THỨC Cung cấp cho người học những kiến thức về: – Xây dựng tập số hữu tỉ không âm và các phép toán trong tập số hữu tỉ không âm; – Tập số thập phân và các phép toán trong tập số thập phân; – Cơ sở toán học của nội dung dạy phân số và số thập phân ở Tiểu học; – Xây dựng tập số hữu tỉ và tập số thực. B. KĨ NĂNG Hình thành và rèn cho người học các kĩ năng: – Giải toán trong tập số hữu tỉ không âm và số thập phân không âm; – Giải toán về phân số và số thập phân ở Tiểu học. C. THÁI ĐỘ Chủ động tìm tòi khám phá và phát hiện những cơ sở toán học của việc dạy học phân số và số thập phân ở Tiểu học D. GIỚI THIỆU CHỦ ĐỀ 3 STT Tên tiểu chủ đề Trang 1 Xây dựng tập số hữu tỉ không âm 114 2 Các phép toán trong tập số hữu tỉ không âm 120 3 Quan hệ thứ tự trong tập số hữu tỉ không âm 129 4 Tập số hữu tỉ không âm và phân số trong chương trình môn Toán ở Tiểu học 133 5 Tập số thập phân không âm 142 6 Số thập phân trong chương trình môn Toán ở Tiểu học 152 7 Tập số hữu tỉ 164 8 Tập số thực 171 CÁC TẬP HỢP SỐ 114 TIỂU CHỦ ĐỀ 3.1. XÂY DỰNG TẬP SỐ HỮU TỈ KHÔNG ÂM THÔNG TIN CƠ BẢN Trong toán học và trong cuộc sống hàng ngày ta thường gặp các bài toán: – Tìm thương của phép chia: a) 25 : 6; b) 3 : 5; c) 17 : 7; . . . – Dùng đơn vị là mét để biểu diễn các số đo: 1m, 2dm, 5cm hoặc 25cm. – Dùng đơn vị là kilôgam để biểu diễn số đo: 14kg, 5g hoặc 1245g. Trong phạm vi tập các số tự nhiên, các bài toán trên đều không có lời giải. Do đòi hỏi, nhu cầu của thực tiễn toán học, đời sống lao động và sản xuất, chúng ta thường xuyên phải tìm lời giải cho các bài toán trên (theo một nghĩa nào đấy). Vì vậy, đặt ra cho chúng ta nhiệm vụ phải mở rộng tập hợp số tự nhiên thêm những số mới, để trong tập hợp số mới nhận được này, chúng ta sẽ tìm được lời giải của các bài toán thuộc các dạng nêu trên. Khi tính toán, chúng ta thường xuyên vận dụng các tính chất của các phép toán trên phân số, số thập phân. Chẳng hạn: – Tính chất giao hoán a + b = b + a và a × b = b × a. – Tính chất kết hợp (a + b) + c = a + (b + c); (a × b) × c = a × (b × c). – Tính chất phân phối a × (b + c) = a × b + a × c; a × (b – c) = a × b – a × c. – Tính chất của số 0 a + 0 = a. – Tính chất của số 1 a × 1 = a. v.v… Những tính chất, quy tắc thực hành tính toán trên đây học sinh thường tiếp nhận bằng hình thức thừa nhận, áp đặt mà không chứng minh được một cách chặt chẽ. Giáo viên thường minh hoạ tính đúng đắn của chúng thông qua một số ví dụ cụ thể. Chẳng hạn, thông qua bài toán: CÁC TẬP HỢP SỐ 115Tính rồi so sánh kết quả (xem [1], trang 65). a b c (a + b) x c a x c + b x c 2,4 3,8 1,2 6,5 2,7 0,8 8,2 1,8 14,7 Từ bài toán này, giáo viên rút ra cho học sinh quy tắc: Muốn nhân một tổng với một số, ta có thể nhân từng số hạng của tổng với số đó rồi cộng kết quả lại hay: (a + b) × c = a × c + b × c. Bằng cách này, học sinh phải tiếp thu một cách thụ động, không nắm được cơ sở lí luận của những quy tắc đó. Tuy nhiên, với giáo sinh, những người sẽ ra giảng dạy ở phổ thông sau này, việc nắm được cơ sở lí luận của những vấn đề nêu trên là điều thiết thực và bổ ích. Vì hai lí do nêu trên, chúng ta cần mở rộng tập số tự nhiên thêm những số mới để trong tập hợp số mới này (mà dưới đây ta sẽ gọi là tập các số hữu tỉ không âm), các phép chia số tự nhiên (cho một số tự nhiên khác 0) đều thực hiện được, số đo của các phép đo đại lượng đều biểu diễn được, các quy tắc thực hành tính toán với phân số và số thập phân đều được chứng minh chặt chẽ. Ta sẽ sử dụng kí hiệu N (hoặc N*) để chỉ tập số tự nhiên (hoặc tập số tự nhiên khác 0). – Cho phân số 12. Từ phổ thông ta biết: 12 = 24 = 36 = 48 = … Như vậy, các phân số bằng phân số 12 tạo thành một lớp {12; 24; 36;48;…}. – Tương tự, cho phân số 34. Ta cũng có: 36 9124 8 12 16== = = … Như vậy, các phân số bằng phân số 34 cũng tạo thành một lớp {34; 68; 912 ; 1216; .}. Bằng cách này, ta phân chia các phân số thành các lớp mà mỗi lớp gồm những phân số bằng nhau. CÁC TẬP HỢP SỐ 116 Ý tưởng trên đây được thể hiện bằng ngôn ngữ của toán học hiện đại như sau: Mỗi cặp sắp thứ tự (a; b), trong đó a ∈ N và b ∈ N* ta gọi là một phân số không âm (hay để cho gọn, ta sẽ gọi là phân số). Tập tất cả các phân số kí hiệu là P. Như vậy: P = N × N*. Để cho tiện, ta sẽ sử dụng kí hiệu ab để chỉ phân số (a; b), trong đó a là tử số, b là mẫu số của phân số đó. Như vậy: P = {ab với a ∈ N và b ∈ N*}. Trên tập P, ta định nghĩa quan hệ hai ngôi “e” như sau: với ab; cd ∈ P, ta nói phân số ab tương đương với phân số cd, kí hiệu abecd, khi và chỉ khi: ad = bc. Ví dụ: a) 12e612 vì 1 × 12 = 2 × 6 (= 12); b) 912e1520 vì 9 × 20 = 12 × 15 (= 180); c) 612ỗ912 vì 6 × 12 ≠ 12 × 9. Từ định nghĩa ta có: – Rõ ràng là abeab hay quan hệ hai ngôi e có tính chất phản xạ (1). – Nếu abecd thì ad = bc. Suy ra cb = da. Vậy cdeab. Từ đó suy ra quan hệ e có tính chất đối xứng (2). – Giả sử abecd và cdemn. Từ định nghĩa ta có: ad = bc và cn = dm. Nhân hai vế của đẳng thức thứ nhất với n ta có: adn = bcn. Từ đó suy ra: adn = bdm hay an = bm. Thành thử abemn. Kết quả trên cho ta thấy quan hệ hai ngôi e có tính chất bắc cầu (3). Từ (1); (2); (3) ta suy ra e là một quan hệ tương đương xác định trên tập các phân số P. CÁC TẬP HỢP SỐ 117Áp dụng định lí về tập thương (xem [2]), ta có thể phân chia tập P theo quan hệ tương đương e và nhận được tập thương P/e. Ta sẽ gọi tập thương P/e là tập các số hữu tỉ không âm và kí hiệu là Q+. Mỗi phần tử của tập Q+ ta gọi là một số hữu tỉ không âm (để cho gọn, ta sẽ gọi là số hữu tỉ). – Giả sử r ∈ Q+. Như vậy r xác định bởi một lớp các phân số tương đương với phân số ab nào đó, tức là r = C(ab) hay r = {mn ∈ P và mneab}. Một phân số thuộc lớp C(ab) ta gọi là một đại diện của số hữu tỉ r. Mặt khác, ta lại thấy: abecd khi và chỉ khi phân số ab bằng phân số cd (theo nghĩa ta vẫn hiểu ở trường phổ thông). Thành thử, mỗi số hữu tỉ r = C(ab) là một lớp những phân số bằng phân số ab cho trước. Chẳng hạn: C(12) = {12; 24; 36;48;. . . . }; C(34) = {34; 68; 912; 1216;…}. Để cho gọn, ta sẽ dùng kí hiệu ab để chỉ số hữu tỉ r = C(ab). Chẳng hạn, ta kí hiệu 12 để chỉ số hữu tỉ r = C(12), 78 để chỉ số hữu tỉ r = C(78). – Giả sử hai phân số tối giản pq và p'q' đều là đại diện của số hữu tỉ r. Suy ra, pqep'q' hay pq’ = qp’, trong đó UCLN(p, q) = UCLN(p’, q’) = 1. Vì p | pq’ nên p | qp’; mà UCLN(p, q) = 1 nên p | p’. Mặt khác, p’ | qp’ nên p’ | pq’, mà UCLN(p’, q’) = 1 nên p’ | p. Từ đó, ta suy ra p = p’ và q = q’. Vậy mỗi số hữu tỉ không âm có duy nhất một phân số đại diện là phân số tối giản. Khi nói đến phân số đại diện của một số hữu tỉ, ta thường hiểu là phân số tối giản nói trên. – Mỗi số tự nhiên a có thể biểu diễn dưới dạng một phân số 1a, vì vậy, mỗi số tự nhiên a cũng xác định duy nhất một số hữu tỉ r có phân số đại diện là 1a. Thành thử, tập số tự nhiên N có thể coi là bộ phận của tập số hữu tỉ Q+. Ta quy ước: số hữu tỉ xác định bởi C(10) là 0 và xác định bởi C(11) là 1. CÁC TẬP HỢP SỐ 118 HOẠT ĐỘNG 1. TÌM HIỂU SỰ CẦN THIẾT PHẢI XÂY DỰNG TẬP SỐ HỮU TỈ KHÔNG ÂM NHIỆM VỤ Sinh viên tự đọc thông tin cơ bản để thực hiện các nhiệm vụ nêu trong các hoạt động dưới đây. Trên lớp giáo viên tổ chức cho sinh viên trình bày rồi tổng kết chung cho cả lớp. NHIỆM VỤ 1: Nêu các hạn chế trong thực hành phép chia các số tự nhiên. NHIỆM VỤ 2: Nêu các hạn chế của tập số tự nhiên trong việc biểu diễn số đo của các phép đo đại lượng. NHIỆM VỤ 3: Nêu những khó khăn trong việc chứng minh các tính chất, quy tắc thực hành các phép tính, thực hành so sánh các số thập phân và so sánh các phân số ở trường phổ thông. ĐÁNH GIÁ Nêu các lí do phải mở rộng tập số tự nhiên để được tập số hữu tỉ không âm. HOẠT ĐỘNG 2. TÌM HIỂU PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG TẬP SỐ HỮU TỈ KHÔNG ÂM Q+ TỪ TẬP SỐ TỰ NHIÊN N. NHIỆM VỤ NHIỆM VỤ 1: Đọc tài liệu để hiểu các khái niệm về phân số không âm. NHIỆM VỤ 2: Vẽ lược đồ biểu diễn quá trình xây dựng tập số hữu tỉ không âm Q+. NHIỆM VỤ 3: Đọc tài liệu để hiểu: + Khái niệm về số hữu tỉ, tập số hữu tỉ, phân số đại diện của một số hữu tỉ; CÁC TẬP HỢP SỐ 119+ Bản chất của số hữu tỉ, tập số hữu tỉ và cách kí hiệu một số hữu tỉ; + Mối quan hệ giữa tập số tự nhiên và tập số hữu tỉ. ĐÁNH GIÁ 1. Điền Đ (đúng) hoặc S (sai) vào các ô trống a) 35e1521 F b) 97e1418 F c) 7e142 F d) 95e4525 F 2. Xác định tập hợp các phân số xác định số hữu tỉ a) r = 35; b) r = 74; c) r = 0; d) r = 1. 3. Chứng minh rằng trong các phân số cùng bằng phân số ab cho trước, chỉ có duy nhất một phân số là tối giản. CÁC TẬP HỢP SỐ 120 TIỂU CHỦ ĐỀ 3.2. CÁC PHÉP TỐN TRONG TẬP SỐ HỮU TỈ KHƠNG ÂM THƠNG TIN CƠ BẢN 3.2.1. Phép cộng và phép nhân Cho hai phân số 47 và 35. Từ trường phổ thơng ta đã biết: 47 + 35 = 4537×+××75 = 4135 47 × 35 = 4375×× = 1235 v.v . Từ đây ta đi đến bài tốn: Cho hai số hữu tỉ r = C(47); s = C(35). Ta có thể tìm tổng, hiệu, tích, thương của hai số hữu tỉ này theo một nghĩa nào đó khơng? Như phần trên ta đã biết, mỗi số hữu tỉ C(47) (hoặc C(35)) được xác định bởi một lớp các phân số bằng phân số 47 (hoặc 35). Chọn một trong các phân số trong lớp đó ta được một đại diện của số hữu tỉ đó. Ngược lại, khi có một phân số đại diện của một số hữu tỉ thì số hữu tỉ đó cũng hồn tồn được xác định bởi phân số đại diện này. Từ phân tích trên đây, ta đi đến ý tưởng tìm tổng của hai số hữu tỉ như sau: C(47) + C(35) = C(47 + 35) = C(4135). Hay tổng của hai số hữu tỉ r = C(47) và s = C(35) là một số hữu tỉ có phân số đại diện bằng tổng của các phân số đại diện của hai số hữu tỉ đó. Tương tự, ta tìm hiệu, tích, thương của hai số hữu tỉ này. Một cách tổng qt, ta đi đến định nghĩa dưới đây. CÁC TẬP HỢP SỐ 121Định nghĩa 2.1: Cho hai số hữu tỉ r và s có phân số đại diện là ab và cd tương ứng. Ta gọi: a) Tổng của hai số hữu tỉ r và s là một số hữu tỉ t, kí hiệu t = r + s, trong đó, số hữu tỉ t có phân số đại diện là +ad bcbd hay C(ab) + C(cd) = C(+ad bcbd). * Quy tắc cho tương ứng mỗi cặp số hữu tỉ r và s với một số hữu tỉ t nói trên gọi là phép cộng các số hữu tỉ không âm, trong đó r và s gọi là các số hạng, t gọi là tổng. b) Tích của hai số hữu tỉ r và s là một số hữu tỉ p, kí hiệu p = r × s (hoặc r.s hoặc rs), trong đó, số hữu tỉ p có phân số đại diện là acbd hay C(ab) × C(cd) = C(acbd). * Quy tắc cho tương ứng mỗi cặp số hữu tỉ r và s với một số hữu tỉ p nói trên gọi là phép nhân các số hữu tỉ không âm, trong đó r và s gọi là các thừa số, p gọi là tích. Ta có: 12 = 48 và 53 = 106 12 + 53 = +××3 5 22 3 = 136 48 + 106 = ×+ ××4 6 10 88 6 = 10448 Vậy 136 = 10448. Như vậy phải chăng C(12) + C(53) = C(48) + C(106)? Một cách tổng quát, giả sử ab và a'b' là hai phân số đại diện của cùng một số hữu tỉ r; cd và c'd' là hai phân số đại diện của cùng một số hữu tỉ s. Theo định nghĩa: abea'b' và cdec'd' Hay ab’ = a’b và cd’ = c’d. Nhân hai vế của đẳng thức thứ nhất với dd’ và đẳng thức thứ hai với bb’ ta được: ab’dd’ = a’bdd’ CÁC TẬP HỢP SỐ 122 cd’bb’ = c’dbb’ Cộng vế với vế của hai đẳng thức trên ta được (ac + bc)b’d’ = (a’d’ + b’c’)bd. Hay C(+ad bcbd) = C(+a'd' b'c'b'd'). Vậy C(ab) + C(cd) = C(a'b') + C(c'd'). Từ các kết quả trên, ta rút ra: – Tính chất 2.1: Tổng của hai số hữu tỉ không phụ thuộc vào việc lựa chọn phân số đại diện của chúng. Tương tự như trên ta cũng có: – Tính chất 2.2: Tích của hai số hữu tỉ không phụ thuộc vào việc lựa chọn phân số đại diện của chúng. Ví dụ 2.1: Cho hai số hữu tỉ r = 415 và s = 2512. Ta có: r + s = 415 + 2512 = ×+××4 12 25 1515 12 = 273180 = 9160 r × s = 415 × 2512 = 100180 = 59. Định lí 2.1: Tính chất của phép cộng và phép nhân các số hữu tỉ không âm. Phép cộng và phép nhân các số hữu tỉ không âm thoả mãn các tính chất sau: a) Tính giao hoán: r + s = s + r và rs = sr với mọi r, s ∈ Q+. b) Tính kết hợp: (r + s) + t = r + (s + t) và (rs)t = r(st) với mọi r, s, t ∈ Q+. c) Phần tử trung lập: Tồn tại duy nhất một số hữu tỉ 0 và một số hữu tỉ 1 sao cho r + 0 = r và r × 1 = r. Ta gọi 0 là phần tử trung hoà của phép cộng và 1 là phần tử đơn vị của phép nhân. d) Luật giản ước: Nếu r + t = s + t thì r = s với mọi t ∈ Q+ và nếu rt = st thì r = s với mọi t ∈ Q+, t ≠ 0. e) Tính chất phân phối: r(s + t) = rs + rt với mọi r, s, t ∈ Q+. f) Phần tử nghịch đảo: [...]... thập phân). Tập tất cả các số thập phân khơng âm ta kí hiệu là Q +10 . CÁC TẬP HỢP SỐ 113 Chủ đề 3 TẬP SỐ HỮU TỈ VÀ TẬP SỐ THỰC MỤC TIÊU A. KIẾN THỨC Cung cấp cho người học những kiến thức về: – Xây dựng tập số hữu tỉ không âm và các phép toán trong tập số hữu tỉ không âm; – Tập số thập phân và các phép toán trong tập số thập phân; – Cơ sở toán học của nội dung dạy phân số và số thập... không âm 114 2 Các phép tốn trong tập số hữu tỉ khơng âm 120 3 Quan hệ thứ tự trong tập số hữu tỉ không âm 129 4 Tập số hữu tỉ không âm và phân số trong chương trình mơn Tốn ở Tiểu học 133 5 Tập số thập phân không âm 142 6 Số thập phân trong chương trình mơn Tốn ở Tiểu học 152 7 Tập số hữu tỉ 164 8 Tập số thực 171 CÁC TẬP HỢP SỐ 158 – Quy tắc nhân (hoặc chia) một số với 0,5 – Quy... chương trình. Mạch số học bao gồm bốn nội dung lớn: số học các số tự nhiên, số học các phân số, số học các số thập phân và một s ố yếu tố đại số. Như vậy, số học các phân số là một trong bốn nội dung cốt lõi của mơn Tốn Tiểu học, nó được xem như chiếc cầu nối giữa kiến thức toán học trong nhà trường và ứng dụng của nó trong đời sống, lao động sản xuất và khoa học kĩ thuật. II. NỘI DUNG DẠY PHÂN SỐ... biểu diễn số đo của các phép đo đại lượng. NHIỆM VỤ 3: Nêu những khó khăn trong việc chứng minh các tính chất, quy tắc thực hành các phép tính, thực hành so sánh các số thập phân và so sánh các phân số ở trường phổ thông. ĐÁNH GIÁ Nêu các lí do phải mở rộng tập số tự nhiên để được tập số hữu tỉ không âm. HOẠT ĐỘNG 2. TÌM HIỂU PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG TẬP SỐ HỮU TỈ KHÔNG ÂM Q + TỪ TẬP SỐ TỰ NHIÊN... ứng mỗi cặp số hữu tỉ r và s với mỗi số hữu tỉ q nói trên ta gọi là phép chia các số hữu tỉ khơng âm , trong đó r là số bị chia , s là số chia và q là thương số. CÁC TẬP HỢP SỐ 154 3.6.2. So sánh số thập phân Tương tự như đối với phân số, khi so sánh hai số thập phân ta hướng tới hai tình huống: – Rút ra kết luận số này lớn hơn (hoặc bé hơn) số kia – Rút ra kết luận hai số đó bằng... thừa số có tất cả ba chữ số ở phần thập phân nên ta dùng dấu phẩy tách ra ở tích ba chữ số kể từ bên phải. Quy tắc thực hành phép chia Muốn chia một số thập phân cho một số thập phân ta làm như sau: 1) Bỏ dấu phẩy ở số chia đồng thời dời dấu phẩy ở số bị chia từ trái qua phải số chữ số bằng số chữ số ở phần thập phân của số chia (trường hợp số chữ số ở phần thập phân của số chia nhiều hơn số bị ... phân số bằng 7 4 . Tìm số tự nhiên đó. Giải: Hiệu giữa tử số và mẫu số của phân số 73 49 là: 73 – 49 = 24. Theo tính chất 4.2 ta có sơ đồ: Tử số mới Mẫu số mới 4 103 phần ? 101 phần 24 CÁC TẬP HỢP SỐ 144 Từ các ví dụ trên ta rút ra nhận xét: Các số thập phân 3 10 ; 1 2 ; 8 25 ; 147 100 . . . . đều tối giản và mẫu số của chúng chỉ chứa ước nguyên tố là 2 hoặc 5. Các phân số. .. Đọc tài liệu để hiểu các khái niệm về phân số không âm. NHIỆM VỤ 2: Vẽ lược đồ biểu diễn quá trình xây dựng tập số hữu tỉ không âm Q + . NHIỆM VỤ 3: Đọc tài liệu để hiểu: + Khái niệm về số hữu tỉ, tập số hữu tỉ, phân số đại diện của một số hữu tỉ; CÁC TẬP HỢP SỐ 148 thập phân là 2 (dư 25). Muốn tìm thêm chữ số ở phần thập phân của thương ta thêm 0 vào bên phải 25 được số 250, đem chia cho... CÁC TẬP HỢP SỐ 118 HOẠT ĐỘNG 1. TÌM HIỂU SỰ CẦN THIẾT PHẢI XÂY DỰNG TẬP SỐ HỮU TỈ KHÔNG ÂM NHIỆM VỤ Sinh viên tự đọc thông tin cơ bản để thực hiện các nhiệm vụ nêu trong các hoạt động dưới đây. Trên lớp giáo viên tổ chức cho sinh viên trình bày rồi tổng kết chung cho cả lớp. NHIỆM VỤ 1: Nêu các hạn chế trong thực hành phép chia các số tự nhiên. NHIỆM VỤ 2: Nêu các hạn chế của tập số. .. thiếu); 2) Viết số trừ dưới số bị trừ sao cho các dấu phẩy thẳng cột; 3) Trừ như trừ hai số tự nhiên; 4) Đặt dấu phẩy ở hiệu thẳng cột với dấ u phẩy của số bị trừ và số trừ. Quy tắc thực hành phép nhân Muốn nhân một số thập phân với một số thập phân ta làm như sau: 1) Nhân như nhân hai số tự nhiên; CÁC TẬP HỢP SỐ 117 Áp dụng định lí về tập thương (xem [2]), ta có thể phân chia tập P theo quan . hữu tỉ; CÁC TẬP HỢP SỐ 119+ Bản chất của số hữu tỉ, tập số hữu tỉ và cách kí hiệu một số hữu tỉ; + Mối quan hệ giữa tập số tự nhiên và tập số hữu tỉ.. cần mở rộng tập số tự nhiên thêm những số mới để trong tập hợp số mới này (mà dưới đây ta sẽ gọi là tập các số hữu tỉ không âm), các phép chia số tự nhiên