BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN CHO HÀM NHIỀU BIẾN

Bất đẳng thức Jensen cho hàm nhiều biến Nguyễn Hoàng Vinh THPT chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai o0o - I – Đặt vấn đề Chúng ta biết kết quan trọng sau: Nếu hàm số f  x  lồi  a, b  với x1 , x2   a, b  ta ln có bất đẳng thức x x  f  x1   f  x2   f     Câu hỏi đặt với hàm số hai biến f  x, y  cần điều kiện để bất đẳng thức  x  x y  y2  f  x1 , y1   f  x2 , y2   f  ,    II – Phương pháp đưa biến Cho hàm số f  x, y  , ta tìm điều kiện P biến để có bất đẳng thức  x  x y  y2  f  x1 , y1   f  x2 , y2   f  ,  1   Giả sử có điều kiện A, ta lấy  x1 , y1  ;  x2 , y2   D ứng với điểm A, B mặt  x  x0  at phẳng tọa độ D miền Xét đường thẳng  AB  :  A, B  y  y0  bt ứng với giá trị t1 , t2 Khi 1 t t t t    f  x0  at1 , y0  bt1   f  x0  at2 , y0  bt2   f  x0  a , y0  b  2   Vậy, đặt g  t   f  x0  at , y0  bt  Ta cần tìm miền điều kiện D để bảo đảm g ''  t   0, a, b  R, t   c, d  Ý nghĩa hình học: Hàm số z  f  x; y  mặt cong khơng gian, ví dụ z  x  y nửa mặt cầu, z  x  y mặt paraboloid hyperbolic… Với điểm A, B mpOxy, ta xây dựng mặt phẳng (P) qua A, B cắt mặt cong z  f  x; y  theo đường cong có phương trình tham số  x  x0  at   C  :  y  y0  bt  z  f x  at , y  bt    Từ đó, ta nghiên cứu tính chất đường cong (C) mặt phẳng (O’uv) cách đặt hệ trục cho trục Ou AB trục Ov song song Oz III – Hàm số lồi phần toàn phần Từ phần 2, ta thấy có khả sau Cắt (P) mặt phẳng ln thu đường cong lõm Cắt (P) lớp mặt phẳng thỏa tính chất đường cong lõm Ta đưa định nghĩa sau Định nghĩa 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, đường cong (C) nằm mặt phẳng (P) song song Oz gọi lõm ta đặt hệ trục O’uv cho O’u giao tuyến (P) với (Oxy) O’v song song Oz (C) trở thành đồ thị hàm số lồi Định nghĩa 2: Hàm số f  x; y  gọi lồi toàn phần miền D cắt mặt cong z  f  x; y  mặt phẳng song song Oz, ta ln thu đường cong lõm D Ví dụ: Nửa mặt cầu z  x  y hàm số lồi toàn phần Định nghĩa 3: Hàm số f  x; y  gọi lồi phần miền D cắt mặt cong z  f  x; y  lớp mặt phẳng song song Oz ta có đường cong lồi D x  a Ví dụ: Khi cắt mặt z  x  y mặt phẳng x  a ta thu đường cong  2 z  a  y  chuyển đường cong vào mặt phẳng tọa độ đường parabol y  a  x nên đường cong lồi (không lõm) Ngược lại, cắt mặt phẳng y = b ta có đường cong parabol y  x  b2 mặt phẳng tọa độ mới, đường cong lồi Lưu ý: Nếu điểm A, B lấy sau cho  x1  x2  y1  y2   đường giao tuyến mặt cắt với Oxy có vector phương v  a, b  có tung hồnh dấu Ta gọi hàm số f  x; y  lồi theo chiều dương giao tuyến mặt cắt với (Oxy) đường thẳng có vector phương với tung hoành dấu Tương tự, ta có khái niệm lồi theo chiều âm giao tuyến mặt cắt với (Oxy) đường thẳng có vector phương với tung hồnh trái dấu IV – Dấu hiệu nhận biết Hàm số lồi tồn phần miền D: mặt phẳng cắt khơng bị ràng buộc điều kiện nên vector phương v  a, b  giao tuyến mặt cắt (Oxy) có a, b tùy ý Theo phần II, đường u  t cong (C)  đường cong lồi v  g  t  g ''  t   0, a, b  R, t   c, d   f ''  x, y   0, a, b  R,   x, y   D (2) Lưu ý: Ta lập cơng thức tính đạo hàm hàm f  x0  at , y0  bt  sau f '  x0  at , y0  bt   af x  x, y   bf y  x, y  f ''  x0  at , y0  bt   a f x2  x, y   2abf xy  x, y   b f y  x, y  Trong đó, f x  x, y  , f y  x, y  đạo hàm hàm số f  x, y  theo a, b Nên điều kiện (2) viết lại thành a f x2  x, y   2abf xy  x, y   b f y  x, y   0, a, b  R,  x, y   D Hàm số lồi theo chiều dương D a f x2  x, y   2abf xy  x, y   b f y  x, y   0, a.b  0,  x, y   D Hàm số lồi theo chiều âm D a f x2  x, y   2abf xy  x, y   b f y  x, y   0, a.b  0,  x, y   D Lưu ý: Ta xây dựng khái niệm dấu hiệu nhận biết tương tự hàm số lõm toàn phần, lõm theo chiều dương lõm theo chiều âm V - Ứng dụng Như trình bày phần II, cho hàm số f  x; y  lồi theo toàn phần/ theo chiều dương/ theo chiều âm D ta ln có Định lí 1: Hàm số lồi tồn phần D  x  x y  y2  f  x1 , y1   f  x2 , y2   f  ,    x1 , y1  ,  x2 , y2   D   2 Hàm số lồi theo chiều dương D  x  x y  y2  f  x1 , y1   f  x2 , y2   f  ,    x1 , y1  ,  x2 , y2   D :  x1  x2  y1  y2     Hàm số lồi theo chiều âm D  x  x y  y2  f  x1 , y1   f  x2 , y2   f  ,    x1 , y1  ,  x2 , y2   D :  x1  x2  y1  y2     Ví dụ 1: Cho hàm số f  x, y   x  y , ta tính giá trị x fx  f x2  f xy  x2  y x x y , fy  x2  y y2  y  x2  y , f y2  x y2  y2  x2  y  xy  y  x2  y Từ đó: f ''  x, y   x  ax  by  y  x y 2  0, a, b  R, x, y  R* Áp dụng định lý 1, ta có x12  y12  x22  y22   x1  x2    y1  y2  2 Một cách tương tự, ta thu kết sau n n n n n n  x  y n  x  y n  x  x y n n    x  x  n n n   x  x  n y  1 2   y1  y2   1    n  1, x1 , x2 , y1 , y2   2    n  0, x1 , x2 , y1 , y2   n n   y1  y2  n n Ví dụ 2: : Cho hàm số f  x, y   xy , ta tính giá trị f x  y, f y  x f x2  0, f y  f xy  Vậy, a f x2  x, y   2abf xy  x, y   b f y  x, y   2ab  0, a.b  0,  x, y   R Nên hàm số lồi theo chiều dương ta có bất đẳng thức Chebysev dạng đơn giản x1 y1  x2 y2   x1  x2  y1  y2  , x1 , x2 , y1 , y2 : x1  x2  y1  y2   ... thu đư ng cong l m C t (P) lớp m t ph ng th a t nh ch t đư ng cong l m Ta đưa định nghĩa sau Định nghĩa 1: Trong m t ph ng t a độ Oxyz, đư ng cong (C) n m m t ph ng (P) song song Oz gọi l m ta... ta nghi n c u t nh ch t đư ng cong (C) m t ph ng (O’uv) c ch đ t h tr c cho tr c Ou AB tr c Ov song song Oz III – H m số lồi ph n to n ph n T ph n 2, ta th y c khả sau C t (P) m t ph ng ln... t , ta c khái ni m lồi theo chi u m giao tuy n m t c t với (Oxy) đư ng th ng c vector phư ng với tung h nh trái d u IV – D u hi u nh n bi t H m số lồi t n ph n mi n D: m t ph ng c t kh ng b