CHƯƠNG ĐỀ BÀI “The only way to learn mathematics is to mathematics.” — Paul Halmos Cho số dương x; y; z thỏa mãn điều kiện x C y lớn biểu thức P D zD 1: Tìm giá trị x3y : x C yz/.y C zx/.z C xy/2 Cho số dương a; b; c thỏa mãn abc D 1: Chứng minh p a3 C a4 C b C c Cp b3 C c3 C Cp b4 C c C a c4 C a C b Cho a; b; c > thỏa mãn a C b C c D p 8ab C C a C b p ab C bc C ca: C 1c : Chứng minh p p 8bc C C 8ca C 3.a C b C c/: Cho số dương a; b; c; d thỏa mãn a C b C c C d D 4: Chứng minh a2 bc C b cd C c da C d ab Cho a; b; c Œ 1; 1 thỏa mãn a2 C b C c a4 C b C c 4: 2abc 2a2 b c 1: Chứng minh 1: Cho số dương a; b; c thỏa mãn a2 C b C c D 3: Chứng minh a b c p Cp Cp c a b Võ Quốc Bá Cẩn 3: CMATH Cho số dương a; b; c; d thỏa mãn abcd D 1: Chứng minh 256.a4 C 1/.b C 1/.c C 1/.d C 1/  à 1 1 aCbCcCd C C C C : a b c d Cho số dương a; b; c: Tìm giá trị lớn biểu thức P D 4a2 aCbCc : C 2b C 1/.4c C 3/ Cho số dương a; b; c thỏa mãn a C b C c D 1: Chứng minh a b c C C 2a2 C bc 2b C ca 2c C ab 81abc: 10 Cho số dương a; b; c thỏa mãn a C b C c D 1: Chứng minh 1 C C a b c 21 : C 36abc 11 Cho số dương a; b; c: Chứng minh 5b a3 5c b 5a3 c C C ab C 3b bc C 3c ca C 3a2 a C b C c: 12 Cho số thực a; b; c lớn thỏa mãn 73a 2a6 C 73b 2b6 C 73c 2c6 D a1 C b1 C 1c : Chứng minh 1 C C 1: a b c 13 Cho số không âm a; b; c thỏa mãn a2 Cb Cc D 2.ab Cbc Cca/ > 0: Tìm giá trị nhỏ biểu thức s s r ab bc ca P D C C : 2 2 a Cb b Cc c C a2 14 Cho số không âm a; b; c thỏa mãn hai số đồng thời 0: Chứng minh a b c 16.ab C bc C ca/ C C C bCc cCa aCb a C b C c/2 6: Võ Quốc Bá Cẩn CMATH 15 Cho a; b; c; d 1: Chứng minh a b c d C C C C bcd C cda C dab C abc 16 Cho số dương a; b; c thỏa mãn b 2; c Chứng minh a C b C c 6: 17 Cho số thực a 4; b c giá trị nhỏ a C b C c: 3: 3a2 C b C c D 16: thỏa mãn a2 C b C c D 90: Tìm 18 Cho số khơng âm a; b; c thỏa mãn a2 C b C c D 1: Chứng minh a b/.b c/.c a/.a C b C c/ : 19 Cho số không âm phân biệt a; b; c: Chứng minh aCb bCc cCa C C 2 a b/ b c/ c a/2 : aCbCc 20 Cho số dương a; b; c: Chứng minh a4 b4 c4 C C a2 C ab C b b C bc C c c C ca C a2 Võ Quốc Bá Cẩn a3 C b C c : aCbCc CHƯƠNG GỢI Ý HƯỚNG GIẢI “Each problem that I solved became a rule, which served afterwards to solve other problems.” — René Descartes Thay z D x C y C vào biến đổi, viết biểu thức P dạng P D x3y : x C y/2 x C 1/3 y C 1/3 Dự đoán dấu xảy x D y: Bằng cách nháp thử (đưa biến) đoán x D y D 2: Từ đó, sử dụng bất đẳng thức AM-GM, r r 2 x x y y p x y x C y xy; C C1 ; C C1 2 2 thu kết Viết lại bất đẳng thức dạng a3 C b3 C Cp p a4 C b C c/.ab C bc C ca/ b C c C a/.ab C bc C ca/ c3 C Cp 2: c C a C b/.ab C bc C ca/ Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, p p a4 C b C c/.ab C bc C ca/ D a3 C b c C bc /a.ab C bc C ca/ a3 C b c C bc C a.ab C bc C ca/ 2 a C bc/.a C b C c/ D a C 1/.a C b C c/ D 2a Võ Quốc Bá Cẩn CMATH để thu a3 C p 2a : aCbCc a4 C b C c/.ab C bc C ca/ Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, s  à p 8ab C D a 8b C a 9a C 8b C a : Ngồi ra, sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, Á2 p p p 8ab C C 8bc C C 8ca C 8.ab C bc C ca/ C : Tiếp theo, cần sử dụng bất đẳng thức 3.ab C bc C ca/ chứng minh a C b C c 3: a C b C c/2 Viết lại bất đẳng thức dạng ac.ab C cd / C bd.bc C ad / Khơng tính tổng qt, giả sử ab C cd ac.ab C cd / C bd.bc C ad / 4: bc C ad: Đánh giá ac C bd /.ab C cd / ac C bd C ab C cd /2 a C d /.b C c/ D : Viết lại giả thiết dạng a bc/2 b /.1 c /: Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại dạng tương tự a2 b c /2 b /.1 c /: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thu a C bc/2 a2 C b /.1 C c / C b /.1 C c /: Kết hợp với giả thiết thu đpcm Võ Quốc Bá Cẩn CMATH Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz AM-GM đánh giá VT a C b C c/2 p p a bCb cCc a 2.a C b C c/2 : a.1 C b/ C b.1 C c/ C c.1 C a/ p Đặt t D a C b C c: Biểu diễn ab C bc C ca theo t sử dụng biến đổi tương đương để xử lý đoạn lại Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz đánh giá a4 C 1/.b C 1/.c C 1/.d C 1/ a2 C b /2 C c d /2 Từ suy p a4 C 1/.b C 1/.c C 1/.d C 1/ a C bcd /4 : a C bcd D a C : a Thiết lập bất đẳng thức tương tự cộng lại Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz đánh giá 2 4a C 2b D a2 C b2 a C b/2 D a C b/2 : 1 C2 Đưa toán xét giá trị lớn biểu thức QD 3.x C c/ ; 4x C 3/.4c C 3/ x D a C b: Biểu thức Q đối xứng với x c nên dự đốn dấu x D c: Từ đó, cách nháp trực tiếp, đoạn dấu x D c D 12 : Lúc này, đánh giá Q cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz AM-GM, p p 4x C C 2/.1 C 4c C 2/ 2.4x C 1/ 2.1 C 4c / p D 4x C 1/.1 C 4c / 8.2x C 2c/ D 16.x C c/: Viết lại bất đẳng thức dạng 2a2 bc 1 C C 2 2 Cb c 2b ca C c a 2c ab C a2 b 9: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng cộng mẫu bất đẳng thức phụ quen thuộc 3.ab C bc C ca/ a C b C c/2 : Võ Quốc Bá Cẩn CMATH 10 Viết lại bất đẳng thức dạng 1 C C C 36.ab C bc C ca/ a b c 21: Đến đây, có hai cách tiếp cận sau: Cách Sử dụng giả thiết để biến đổi  à 1 1 1 C C D a C b C c/ C C a b c a b c 2 a C b/ b C c/ c C a/2 D C C ab bc ca 3: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng cộng mẫu, b C c/2 c C a/2 a C b/2 C C ab bc ca 4.a C b C c/2 D : ab C bc C ca ab C bc C ca Cách Nhận xét ba số a; b; c ln có hai số 13 : Gọi hai số b c; đánh giá 9bc 3.b C c/ D 3a: Tiếp theo, đánh giá b1 C 1c D a ; đưa xét bất đẳng thức biến bCc C C 36a.1 a a a/ C 4.2 3a/ 21: Chứng minh biến đổi tương đương 11 Sử dụng phương pháp tiếp tuyến, thiết lập bất đẳng thức phụ 5b a3 ab C 3b 2b a: 12 Cách Viết lại giả thiết dạng 1 1 1 C C D C C a b c a b c 2: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng cộng mẫu đánh giá a C 1 C 1 : a Cách Sử dụng phương pháp tiếp tuyến, thiết lập bất đẳng thức phụ dạng  à 2a k : a a 3a Võ Quốc Bá Cẩn CMATH 13 Dự đoán dấu có số hai số lại Đánh giá a2 C b ; b C c ; c C a2 a2 C b C c đưa chung mẫu Chú ý đánh giá phụ x C y C z/2 x C y C z với x; y; z 0: 14 Đánh giá a2 ; ab C bc C ca a bCc sau thêm bớt sử dụng bất đẳng thức AM-GM 15 Giả sử a b c d: Đánh giá aCbCcCd C bcd VT 1CbCcCd ; C bcd đưa toán chứng minh bCcCd C 3bcd: Đoạn lại cần ghép bất đẳng thức b/.1 c/ 0; bc/.1 d/ 0: 16 Cách Sử dụng bất đẳng thức AM-GM để đánh giá (chú ý dấu a D 1; b D c D 3) để có a a2 C ; b b2 C ; c c2 C : Đoạn lại cần ý a2 b2 c2 6a2 C 3b C 2c 2.3a2 C b C c / C b C C D D : 12 12 Cách Nhận xét a 1: Viết lại bất đẳng thức cần chứng minh dạng a/ C b/ C c/ 0; hay A.3 3a2 / C B.4 b / C C.9 1 A D 3C3a ; B D 2Cb C D đánh giá B A C A để có A.3 3a2 /CB.4 b /CC.9 c / : 3Cc c2/ 0; Tiếp theo, ta cần để ý A.3 3a2 /CA.4 b /CA.9 c / D 0: Võ Quốc Bá Cẩn CMATH 17 Bài tốn giải cách sử dụng phương pháp tổng Abel giống cách Ngoài ra, ta đánh giá phương pháp tạo tích: Từ giả thiết, dễ thấy a < 9; b < c 7: Xét bất đẳng thức phụ a 4/.a 9/ 0; b 5/.b 8/ 0; c 6/.c 7/ 0: Cộng lại thu kết 18 Giả sử c D minfa; b; cg: Nhận xét cần xét b a: Tiếp theo, đánh giá b c b a c/.aCbCc/ D b.a c/Ca2 c abCa2 D a.aCb/: Đưa xét bất đẳng thức với hai biến a2 ; b 19 Giả sử c D minfa; b; cg: Đánh giá a c/2 a C b C c a C b; đưa xét bất đẳng thức với hai biến c/2 b 20 Để ý a3 C b C c D 3abc C a C b C c/.a2 C b C c ab bc Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại dạng  à  à a4 b4 2 C ab a C C bc b a2 C ab C b b C bc C c  à c4 3abc C C ca c ; c C ca C a2 aCbCc ca/: hay bc ca3 ab C C a2 C ab C b b C bc C c c C ca C a2 3abc : aCbCc Chia hai vế cho abc; viết bất đẳng thức dạng b2 c2 a2 C C c.a2 C ab C b / a.b C bc C c / b.c C ca C a2 / : aCbCc Đoạn lại cần sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng cộng mẫu Võ Quốc Bá Cẩn ... c/ : 19 Cho số không âm phân biệt a; b; c: Chứng minh aCb bCc cCa C C 2 a b/ b c/ c a/2 : aCbCc 20 Cho số dương a; b; c: Chứng minh a4 b4 c4 C C a2 C ab C b b C bc C c c C ca C a2 Võ Quốc Bá Cẩn... Giả sử c D minfa; b; cg: Đánh giá a c/2 a C b C c a C b; đưa xét bất đẳng thức với hai biến c/2 b 20 Để ý a3 C b C c D 3abc C a C b C c/.a2 C b C c ab bc Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại dạng