BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH – VTED.VN – HỌC TOÁN ONLINE CHẤT LƯỢNG CAO Bài viết Vted thống kê cho bạn đọc Các bất đẳng thức cần nhớ áp dụng toán giá trị lớn giá trị nhỏ nhất: COMBO ĐIỂM 10 TOÁN THI THPT QUỐC GIA 2019 – Đăng kí đây: https://goo.gl/rupvSn Bất đẳng thức có từ đẳng thức dạng (a − b)2 ≥ ⎛ a+ b⎞ 2 • a + b ≥ 2ab;ab ≤ ⎜ ;a + b ≥ (a + b)2 Dấu xảy a = b ⎝ ⎟⎠ • a2 + b2 + c ≥ ab + bc + ca Dấu xảy a = b = c • a2 + b2 + c ≥ (a + b + c)2 Dấu xảy a = b = c • (a + b + c) ≥ 3(ab + bc + ca) Dấu xảy a = b = c Bất đẳng thức với hai thức 2 a + b ≥ a + b Dấu xảy a = b = • a + b ≤ 2(a + b) Dấu xảy a = b Ví dụ 1: Cho hai số thực x , y thoả mãn x + y = x − + y + Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2 P = 4(x + y )+15xy A minP = −80 B minP = −91 C minP = −83 D minP = −63 Giải Ta có x + y = x − + y + ≥ (x − 3)+( y + 3) = x + y Suy x + y = x + y ≥ Và x + y = x − + y + ≤ 1+1 x − 3+ y + = 2(x + y) ⇒ x + y ≤ • ( ( ( ) ( ) )( ) ) BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH – VTED.VN – HỌC TỐN ONLINE CHẤT LƯỢNG CAO BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH – VTED.VN – HỌC TỐN ONLINE CHẤT LƯỢNG CAO • • Nếu x + y = ⇔ x = −3; y = 3⇒ P = −63 Nếu x + y ∈[4;8], xuất phát từ điều kiện xác định thức ta có: (x − 3)( y + 3) ≥ ⇒ xy ≥ 3( y − x)+ Suy P = 4x + y +15xy = 4(x + y)2 + 7xy ≥ 4(x + y)2 + ⎡⎣3( y − x)+ 9⎤⎦ ( ) = ⎡⎣4(x + y)2 − 21(x + y)⎤⎦ + 42 y + 63 ( ) ( ) ≥ 4.42 − 21.4 + 42.(−3)+ 63 = −83 Dấu đạt x = 7, y = −3 Đối chiếu hai trường hợp ta Chọn đáp án C *Chú ý: Hàm số y = 4t − 21t đồng biến đoạn [4;8] nên ta có đánh giá 2 4(x + y) − 21(x + y) ≥ 4.4 − 21.4 Bất đẳng thức AM – GM (Sách giáo khoa việt nam gọi bất đẳng thức Cơsi) • Với hai số thực khơng âm ta có a + b ≥ ab Dấu xảy a = b • Với ba số thực khơng âm ta có a + b + c ≥ 3 abc Dấu xảy a = b = c Với n thực khơng âm ta có a1 + a2 + + an ≥ n n a1a2 an Dấu xảy a = a = = an Ví dụ 1: Cho a > 0;b > thoả mãn log 2a+2b+1 (4a + b2 +1) + log 4ab+1 (2a + 2b+1) = Giá trị biểu thức a + 2b 15 B C A D 2 ln (4a + b +1) ln (2a + 2b+1) lnb Vậy Giải Chú ý log a b = + = lna ln (2a + 2b+1) ln (4ab+1) • Sử dụng AM – GM có ( ) + ln(2a + 2b+1) ≥ ln 4a + b2 +1 ln (2a + 2b+1) ln (4ab+1) ln(4a + b2 +1) ln(4ab+1) Mặt khác 4a + b2 ≥ 4a b2 = 4ab ⇒ 4a + b2 +1≥ 4ab+1⇒ ln(4a + b2 +1) ≥1 ln (4ab+1) ⎪⎧⎪ ⎧⎪2a = b ⎪⎪ ⎧⎪ln(6a +1) = ln(8a +1) ⎪⎪a = Do dấu phải xảy tức ⎪⎨ ln (2a + 2b+1) ⇔ ⎪⎨ ⇔⎨ ⎪⎪ ⎪⎪ = ⎪⎪⎩b = 2a ⎪⎪ ln (4ab+1) ⎪⎪b = ⎩ ⎪⎩ 15 Do a + 2b = + = Chọn đáp án D 4 Ví dụ 2: Cho số thực dương x, y, z Biết giá trị nhỏ biểu thức x y z 175 x + a a + + + với a,b số nguyên dương tối giản Tính S = a + b y 4z x 4(x +1) b b A S = 52 B S = 207 C S = 103 D S = 205 Giải Ta đánh giá ba số hạng đầu để biến y z cách sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có P= BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH – VTED.VN – HỌC TỐN ONLINE CHẤT LƯỢNG CAO BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH – VTED.VN – HỌC TOÁN ONLINE CHẤT LƯỢNG CAO 2⎛ 2⎞ ⎛ ⎞ z2 y2 y2 x2 x2 x2 x2 z y x 7x ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ + + + + + + ≥ 7 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = x 8z 8z y y y y x ⎜⎝ 8z ⎟⎠ ⎜⎝ y ⎟⎠ 7x 175 x + 203 + ≥ f (x) = f (4) = Chọn đáp án B (0;+∞) 4(x +1) ⎧⎪ z y x2 ⎪⎪ = = , Dấu đạt ⎨ x 8z y ⇔ (x; y; z) = (4;4;2) ⎪⎪ ⎪⎪⎩ x = 4 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (Sách giáo khoa việt nam gọi bất đẳng thức Bunhiacopsky) a b • Ta ln có (a2 + b2 )(x + y ) ≥ (ax + by)2 Dấu xảy = x y Vậy P ≥ f (x) = Ta hay sử dụng: − (a2 + b2 )(x + y ) ≤ ax + by ≤ (a2 + b2 )(x + y ) a b a b Dấu bên phải đạt = = k > 0; dấu bên trái đạt = = k < x y x y • Ta ln có (a2 + b2 + c )(x + y + z ) ≥ (ax + by + cz)2 Dấu xảy a b c = = x y z Ta ln có (a12 + a22 + + an2 )(x12 + x 22 + + x n2 ) ≥ (a1 x1 + a2 x + + an x n )2 Dấu xảy a1 a2 a = = = n x x2 xn Ví dụ 1: Cho hai số thực x , y thoả mãn x + y ≤ 2x + y Giá trị lớn biểu thức 2x + y • A 19+ 19 B + 65 C 11+10 D − 10 ⎛ ⎞ 13 Giải Ta có biến đổi giả thiết: x − 2x + y − y ≤ ⇔ (x −1) + ⎜ y − ⎟ ≤ 2⎠ ⎝ ⎛ ⎛ ⎛ 3⎞ 3⎞ ⎞ 13 7 + 65 2 Khi 2x + y = 2(x −1)+ ⎜ y − ⎟ + ≤ +1 ⎜ (x −1) + ⎜ y − ⎟ ⎟ + ≤ + = 2⎠ ⎜⎝ ⎠ ⎟⎠ 2 ⎝ ⎝ ⎧ ⎪ x −1 y − = k >0 = ⎪ 5+ 65 15+ 65 Dấu đạt ⎨ ⇔x= ;y= Chọn đáp án B 10 ⎪ + 65 ⎪2x + y = ⎩ Ví dụ 2: Cho số thực x , y,z thoả mãn x + y + z − 4x + y −12 ≤ Giá trị lớn biểu thức 2x + y − 2z A 17 B 25 C 21 D 24 2 Giải Biến đổi giả thiết có (x − 2) +( y +1) + z ≤ 17 Khi 2x + y − 2z = 2(x − 2)+ 3( y +1)− 2z + 2 ( ( ≤ ) ) (2 + +(−2) )((x − 2) +( y −1) + z ) + ≤ 17.17 + = 21 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH – VTED.VN – HỌC TOÁN ONLINE CHẤT LƯỢNG CAO 2 2 2 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH – VTED.VN – HỌC TOÁN ONLINE CHẤT LƯỢNG CAO ⎧ x − y +1 z 74 43 40 = = ⎪ Dấu đạt ⎨ , y = ,z = − Chọn đáp án C −2 ⇔ x = 17 17 17 ⎪ ⎩2x + y − 2z = 21 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân thức a12 a22 an2 (a1 + a2 + + an )2 Với số thực dương x1 ,x , ,x n ta ln có + + + ≥ Dấu đạt x1 x xn x1 + x + + x n a1 a2 an = = = x1 x xn Ví dụ 1: Cho hàm số y = (x + m)3 +(x + n)3 +(x + p)3 − x , có đồ thị (C ) Tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ x = có hệ số góc nhỏ Giá trị nhỏ biểu thức m2 + 2n2 + 3p2 12 96 48 24 B C D 11 11 11 11 Giải Hệ số góc tiếp tuyến 2 2 2 2 k = y ′ = 3(x + m) + 3(x + n) + 3(x + p) − 3x = 6x + 6(m+ n + p)x + 3m + 3n + 3p đạt giá trị nhỏ A 6(m+ n + p) m+ n + p m+ n + p =− Theo giả thiết có − = ⇔ m+ n + p = −2 x = − 2.6 2 Khi theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân thức ta có: m2 n2 p2 (m+ n + p)2 24 m2 + 2n2 + 3p2 = + + ≥ = = 1 1 1 11 1+ + 1+ + 3 ⎧m+ n + p = −2 ⎪⎪ 12 Dấu đạt ⎨ m = n = p ⇔ m = − ,n = − ,p = − Chọn đáp án D 11 11 11 ⎪1 1 ⎪ ⎩ Ví dụ 2: Cho số thực x , y,z thoả mãn xy + yz + zx = Giá trị nhỏ biểu thức 2 3x + y +5z gần với kết ? A 1,33 B 1,94 C 3,89 D 2,67 Giải Ta đánh giá: 3x + y +5z ≥ 2k(xy + yz + zx) ⇔ (k + 3)x +(k + 4) y +(k +5)z ≥ k(x + y + z)2 Trong k số dương chọn sau, giá trị nhỏ biểu thức 3x + y +5z 2k Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân thức ta có: x2 y2 z2 (x + y + z)2 2 (k + 3)x +(k + 4) y +(k +5)z = + + ≥ 1 1 1 + + k + k + k +5 k + k + k +5 Vậy số cần tìm nghiệm dương phương trình k = k ⇔ k + 6k − 30 = ⇒ k ≈ 1,9434 Do chọn đáp án C 1 + + k + k + k +5 Bất đẳng thức Mincopski (bất đẳng thức véctơ) BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH – VTED.VN – HỌC TỐN ONLINE CHẤT LƯỢNG CAO BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH – VTED.VN – HỌC TỐN ONLINE CHẤT LƯỢNG CAO • a b 2 2 2 a + b + m + n ≥ (a + m) +(b + n) Dấu xảy = = k > m n Ví dụ 1: Giá trị nhỏ biểu thức (x −1)2 + y + (x +1)2 + y + y − B A C 2+ D Giải Sử dụng bất đẳng thức Mincopsky ta có 4+ (x −1)2 + y + (x +1)2 + y = (x −1)2 + y + (−x −1)2 + y ≥ (x −1− x −1)2 +( y + y)2 = y + = y +1 ⎛ ⎞ (x −1)2 + y + (x +1)2 + y + y − ≥ f ( y) = y +1 + y − ≥ f ( y) = f ⎜ ⎟⎠ = 2+ ! ⎝ ⎧ x −1 y = ⎪ ⎪ −x −1 y Dấu đạt ⎨ ⇔ x = 0; y = Chọn đáp án C ⎪y = ⎪ ⎩ Ví dụ 2: Cho hai số thực a,b thoả mãn a2 + b2 = Biểu thức (a + 3)2 +(b + 4)2 +5 (a −1)2 +(b − 2)2 có giá trị nhỏ Do 14 30 Giải Ta biến đổi: A B 14 29 C 15 D 28 (a + 3)2 +(b + 4)2 = (a + 3)2 +(b + 4)2 + 24(a2 + b2 −1) !##"## $ Vậy ⎛ ⎛ 3⎞ 4⎞ = (a + 3) +(b + 4) + 24(a + b −1) = ⎜ a + ⎟ + 25⎜ b + ⎟ 25 ⎠ 25 ⎠ ⎝ ⎝ 2 2 ⎡ ⎤ ⎛ 3⎞ ⎛ 4⎞ 2⎥ ⎢ (a + 3) +(b + 4) +5 (a −1) +(b − 2) = ⎜ a + ⎟ + ⎜ b + ⎟ + (a −1) +(b − 2) ⎢ ⎝ ⎥ 25 ⎠ ⎝ 25 ⎠ ⎢⎣ ⎥⎦ 2 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 14 29 ≥ ⎜ a + +1− a⎟ + ⎜ b + + 2− b⎟ = 25 5 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎧ b+ ⎪⎪ a + ⎛ ⎞ 25 = k > ⇔ (a;b) = 28 231 − 27 ; 14 +54 231 Chọn đáp án B Dấu đạt ⎨ 25 = ⎜ ⎟ a 2− b 925 925 ⎝ ⎠ ⎪ 1− 2 a + b = ⎪ ⎩ BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH – VTED.VN – HỌC TOÁN ONLINE CHẤT LƯỢNG CAO BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH – VTED.VN – HỌC TỐN ONLINE CHẤT LƯỢNG CAO Gồm khố luyện thi đầy đủ phù hợp với nhu cầu lực đối tượng thí sinh: PRO X 2019: Luyện thi THPT Quốc Gia 2019 - Học toàn chương trình Tốn 12, luyện nâng cao Tốn 10 Tốn 11 Toán 12 Khoá phù hợp với tất em học sinh vừa bắt đầu lên lớp 12 lớp 11 học sớm chương trình 12, theo học khố Mục tiêu khố học giúp em tự tin đạt kết từ đến điểm PRO XMAX 2019: Luyện nâng cao đến 10 dành cho học sinh giỏi Học qua giảng làm đề thi nhóm câu hỏi Vận dụng cao đề thi THPT Quốc Gia thuộc tất chủ đề có khố PRO X Khoá PRO XMAX học hiệu em hồn thành chương trình 12 có Khố PRO X Mục tiêu khoá học giúp em tự tin đạt kết từ 8,5 đếm 10 điểm PRO XPLUS 2019: Luyện đề thi tham khảo THPT Quốc Gia 2019 Mơn Tốn gồm 20 đề 2019 Khố em học đạt hiệu tốt khoảng thời gian sau tết âm lịch hoàn thành chương trình Tốn 12 Tốn 11 khố PRO X Khoá XPLUS Vted khẳng định qua năm gần đề thi đánh giá sát so với đề thi thức BGD Khi học Vted không tham gia XPLUS thực đáng tiếc PRO XMIN 2019: Luyện đề thi tham khảo THPT Quốc Gia 2019 Môn Toán từ trường THPT Chuyên Sở giáo dục đào tạo, gồm đề chọn lọc sát với cấu trúc cơng bố Khố bổ trợ cho khoá PRO XPLUS, với nhu cầu cần luyện thêm đề hay sát cấu trúc Quý thầy cô giáo, quý phụ huynh em học sinh mua Combo gồm khoá học lúc nhấn vào khoá học để mua lẻ khoá phù hợp với lực nhu cầu thân COMBO ĐIỂM 10 TOÁN THI THPT QUỐC GIA 2019 – Đăng kí đây: https://goo.gl/rupvSn BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH – VTED.VN – HỌC TỐN ONLINE CHẤT LƯỢNG CAO