Áp dụng kỹ thuật hệ số bất định giải bất đẳng thức vũ hoàng vs bá cẩn

KỸ THUẬT HỆ SỐ BẤT ĐỊNH GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC UCT WWW.TOANMATH.COM  Nguyễn Thúc Vũ Hoàng Học sinh chuyên Tốn-Tin-THPT Chun Lê Q Đơn-Niên khóa 2006-2008 Thị xã Đơng Hà-Tỉnh Quảng Trị  Võ Quốc Bá Cẩn Sinh viên K32 Khoa Dược-Đại học Y Dược Cần Thơ -Niên Khóa 2006-2011 Thành Phố Cần Thơ Có điều bí ẩn mà bạn chưa biết đến ?! Câu trả lời rất nhiều bạn cảm thấy bực bội, khó chịu khơng thể tìm lời giải thích thỏa đáng cho bí ẩn Nhưng bạn quan niệm đằng sau điều ln hàm chứa ý nghĩa định Và khơng phải ngẫu nhiên mà lí giải lại hình thành Trong giới bất đẳng thức Đôi bạn hiểu người ta lại tìm lời giải trơng “kì cục” !!! Phải lần mò may rủi tìm ? Câu trả lời lại lần nữa nhắc lại: mỡi lời giải có giải thích riêng thân Việc tìm lời giải phải qua q trình lập luận, thử, sai đúng Trong chuyên đề nho nhỏ chúng muốn giới thiệu đến bạn kĩ thuật không kém phần hiệu việc chứng minh số dạng bất đẳng thức Nó khơng giúp ta giải tất tốn mà giúp ta tìm những lời giải ngắn gọn ấn tượng lớp tốn Một sớ tốn dễ đới với phương pháp lại khó đới với kỹ thuật Đây điều hiển nhiên dễ hiểu Mục lục           Phần Phần Phần Phần Phần Phần Phần Phần Phần Phần Bài toán mở đầu Khởi đầu sớ tốn Kĩ thuật chuẩn hóa U.C.T U.C.T kỹ thuật phân tách trường hợp Kết hợp bất đẳng thức Vornicu Schur với U.C.T Một dạng biểu diễn thú vị Giải sớ tốn mà điều kiện liên quan mật thiết đến U.C.T mở rộng Lời kết 10 Bài tập áp dụng Phần Bài toán mở đầu Bài toán [Nguyễn Thúc Vũ Hồng] Cho a, b, c sớ thực dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh 1 2(a  b  c )    5 a b2 c2 Chứng minh Ta sử dụng bất đẳng thức sau 2a 2a    a2 3 Thật bất đẳng thức tương đương với (a  1) (2a  6a  3) 0 3a Hiển nhiên đúng với a số thực dương Sử dụng bất đẳng thức tương tự với b c Ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a  b  c  Chắc chắn đọc lời giải cho toán “ đơn giản” bạn có phần lúng túng khơng hiểu lại tìm bất đẳng thức phụ cách “khó hiểu” Phải dự đốn cách “vơ hướng” Hoặc có người nghĩ toán tạo từ bất đẳng thức phụ Câu trả lời hồn tồn khơng phải Tất theo qui luật Ở phần chúng tơi phân tích kỹ thuật phân tích giúp tìm bất đẳng thức phụ mở rộng vấn đề theo chiều hướng mẻ Kỹ thuật có tên U.C.T, viết tắt chữ đầu cụm từ tiếng Anh Undefined Coefficient Technique Hay gọi Kỹ Thuật Hệ số bất định Đây kỹ thuật tảng quan trọng đường tìm kiếm lời giải cho những bất đẳng thức khó Phần Khởi đầu cùng mợt số tốn bản Chúng ta khởi đầu kỹ thuật việc đưa cách giải thích cho việc tìm bất đẳng thức phụ cách giải thích cho tốn sau chúng ta Bài toán biến vế điều kiện không ràng buộc điều khiến ta nghĩ tách theo biến để chứng minh đơn giản Nhưng rõ ràng ta thơi khơng đủ Nếu ta chứng minh bất đẳng thức sau 2a (a  1)( a  1)( 2a  3)    0 3 3a a2 Rõ ràng khơng hồn tồn đúng với a thực dương Đừng bỏ cách ta chưa sử dụng điều kiện a  b  c  Như ta không theo đường lối suy nghĩ đơn giản ban đầu nữa mà tìm hệ sớ để bất đẳng thức sau đúng 2a    ma  n (1) 3 a2 Trong m n hệ số chưa xác định Tương tự với biến b c Cộng vế theo vế ta có 1 2a  2b  2c 5      m(a  b  c)  3n   3(m  n) 2 3 a b c Như hệ số m n phải thỏa mãn điều kiện m  n   n  m Thế vào (1) dẫn đến 2a    m(a  1) (2) 3 a2 Đến ta cần xác định hệ số m để bất đẳng thức (2) đúng Chú ý toán điểm cực trị đạt a  b  c  nên ta cần xác định m cho  (a  1)(2a  3)  2a     m ( a  )  ( a  )  m   2 3 a 3a   (a  1)( 2a  3) 2   từ ta dự đốn m   để tạo 3 3a thành đại lượng bình phương (a  1) biểu thức Từ ta chứng minh bất đẳng thức phụ 2a 2a    a2 3 Khi cho a  ta có Q trình tìm bất đẳng thức phụ phân tích cụ thể Tuy nhiên khơng phải cách để ta tìm hệ sớ Ta sử dụng tính chất đường tiếp tuyến điểm đồ thị hay sử dụng đạo hàm Nhưng có lẽ cách dự đoán hữu hiệu đơn giản mặt trực quan thực Tuy nhiên tất dự đốn Nó khơng đảm bảo sau tìm bất đẳng thức phụ tốn giải Một sớ dạng toán đề cập phần chuyên đề Ở phần chúng ta chứng minh số bất đẳng thức đề hình thành đầu kỹ thuật qua thành thục việc phân tích Ta tiếp tục đến với toán sau Bài toán [Vasile Cirtoaje] Cho a, b, c, d số thực dương thỏa mãn a  b  c  d  Chứng minh 1 1    2 a 1 b 1 c 1 d 1 Chứng minh Ta xác định hệ số m để bất đẳng thức sau đúng (a  1)(a  1)  a 1    m(a  1)    m(a  1)  (a  1)   m  2 a 1 a 1  a 1  a 1  1  m  1 Ta dự đoán bất đẳng thức sau đúng thật Khi a  ta có  a 1 a (a  1) 2   a  0 a2 1 a2 1 Tương tự với biến lại Cộng vế theo vế ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a  b  c  d  Nhận xét Ta sử dụng kỹ thuật “Cơsi ngược dấu” để tìm bất đẳng thức phụ a2 a2 a      1 1 2 2a a 1 a 1 Bài toán [Algebraic Inequalities Old and New Method] Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh 1   1 a bc b ca c ab Chứng minh Ở ta cần tìm m để bất đẳng thức đúng 1 a(a  1)    m(a  1)    m(a  1) a bc a a3 3(a  a  3) Tương tự ta tìm dự đốn với m   bất đẳng thức phụ đúng Thật a (a  1) (3  a) (a  1) (b  c)       a2  a  9 3(a  a  3) 3(a  a  3) Nhận xét Bài toán giải kĩ thuật “Phân tách Chebyshev” xem cách giải U.C.T lại đơn giản mặt ý tưởng Bài tốn tởng qt giải định lí LCF “Algebraic Inequalities Old and New method” tác giả Vasile Cirtoaje Cho a1 , a2 , , an số thực không âm thỏa mãn a1  a2   an  n Chứng minh 1   1 a1  a1  n a2  a2  n an  an  n Bài tốn [Nguyễn Thúc Vũ Hồng] Cho a, b, c, d số thực không âm thỏa a  b  c  d  Chứng minh 2(a  b  c  d )    ab  ac  ad  bc  bd  dc Chứng minh Theo a, b, c, d số thực dương thỏa mãn a  b2  c2  d   (a  b  c  d )  2(2  ab  ac  ad  bc  bd  cd )  (a  b  c  d )  2(2  ab  ac  ad  bc  bd  cd ) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2(a  b  c  d )   (a  b  c  d ) Ta cần xác định hệ số m để bất đẳng thức sau đúng 3a  (2a  1) (a  1) 2a   m(a  1)   m(a  1) 2 Dễ dàng dự đoán m  Ta chứng minh điều đó, 3a  9(a  1) 2a    2(a  1) (a  2)  2 Điều hiển nhiên đúng Đẳng thức xảy a  b  c  d  Nhận xét Bài toán với hình thức “cồng kềnh” chứa thức Tuy nhiên nhận điểm mấu chốt toán ta dễ dàng đưa đơn lượng theo biến để giải Bài tốn cịn giải theo cách khác cách chứng minh trực tiếp với biến Nhưng dù việc giải theo biến riêng biệt dễ dàng nhiều Bài toán Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh  1 1 4     5(a  b  c )  27 a b c Chứng minh Ta cần tìm hệ sớ m cho (a  1)(5a  5a  4)  5a   m(a  1)   m(a  1)(a  a  1) a a Ta dễ dàng nhận đẳng thức xảy a  b  c  Khi cho a  ta dự đốn m  Ta chứng minh với m  bất đẳng thức phụ đúng Thật (a  1) (2a  a  4)  5a   2a  0 a a Do a  3  2a  a   Vậy bất đẳng thức phụ đúng Đẳng thức xảy a  b  c  Bài toán Cho a1 , a2 , , an số thực không âm thỏa mãn n a i 1 n  3a i 1 i  n Chứng minh n  i 5 Chứng minh Ta tìm hệ sớ m cho (5  3ai )(ai  1)   m(ai  1)   m(ai  1) 3ai  8(3ai2  5) Ta dự đoán với m  bất đẳng thức phụ đúng Thật vậy: 32 (5  )(ai  1) (ai  1)   0 32 3ai2  32(3ai2  5) Điều hiển nhiên đúng Đẳng thức xảy biến Nhận xét Qua tốn ta thấy bất đẳng thức không quan tâm đến số biến Ta hồn tồn tởng qt với n biến mà không làm ảnh hưởng đến cách giải Đây điểm thú vị U.C.T Một cách tổng quát ta đưa cách giải cho lớp tốn có dạng sau Bài tốn tởng qt Cho số thực không âm a1 , a2 , , an thỏa mãn h(a1 )  h(a2 )   h(an )  Chứng minh f (a1 )  f (a2 )   f (an )  Lớp tốn giải cách phân tách để chứng minh theo biến Vì biểu thức mang tính đới xứng với nên thường điểm cực trị đạt biến Ta phải xác định hệ số m cho f (ai )  m  h(ai ) Đúng với biến thỏa mãn điều kiện đặt Với cách giải ta giải lượng lớn bất đẳng thức mà biến không ràng buộc lẫn cách “mật thiết” n Thường số dạng điệu kiện  aik  n Có thể khái quát tư tưởng kỹ thuật i 1 lớp toán sau: Để chứng minh toán ta xác định hệ số bất đẳng thức phụ theo biến riêng biệt cho f (ai )  m  h(ai )  g (ai )2 k p(ai )  Trong g (ai )  (ai  xk ) với x k điểm cực trị bất đẳng thức Bài toán giải p(ai )  Trong trường hợp p(ai )  đúng miền nghiệm ta tiến hành chia trường hợp để giải toán Tuy nhiên phần ta khơng đề cấp đến những tốn mà đề cập phần sau Sau tìm bất đẳng thức phụ Với nhiều công cụ đạo hàm, khảo sát hàm số hay đơn giản phân tích nhân tử ta giải khơng q khó khăn Trong phép chứng minh cho bất đẳng thức phụ ta biến đởi qui việc phân tích nhân tử đa thức an x n  an1 x n1  a2 x  a1 x  a0 Mà mục đích chủ đạo qui dạng tởng bình phương Việc nhân tích đa thức thành nhân tử vấn đề Đại số nên xin khơng nêu Qua vài ví dụ nho nhỏ hẳn phần bạn hiểu U.C.T Ở phần việc xác định hệ sớ trình bày cách sơ lược những tốn mang tính phức tạp nhiều mà U.C.T đơn bước đệm để đến lời giải đưa ta cách chứng minh trực tiếp Phần Kĩ thuật chuẩn hóa U.C.T Bây chúng ta bước sang khoảng không gian với lớp bất đẳng thức đối xứng ba biến kĩ thuật chuẩn hóa kết hợp với U.C.T Đa thức f (a, b, c) đối xứng định nghĩa dạng: f (a, b, c)  f / (a / , b / , c / ) (a / , b / , c / ) hoán vị tùy ý (a, b, c) Hay nói cách khác f (a, b, c)  f (b, c, a)  f (c, a, b) Tính đa thức đới xứng ba biến miền D có nghĩa f (ka, kb, kc)  k n f (a, b, c) với k , a, b, c  D, n  const phụ thuộc vào hàm f (a, b, c) Hiểu cách đơn giản đa thức tởng đơn thức đồng bậc Do sớ tính chất hàm ta chuẩn hóa điều kiện biến để đơn giản hóa việc chứng minh Ta chuẩn hóa đa thức đới xứng ba biến cách đặt a n  b n  c n  k , abc  p, ab  bc  ca  r , Đây kỹ thuật quan trọng giúp ta đơn giản hóa qui bất đẳng thức chứng minh theo biến Hãy đến với số bất đẳng thức đối xứng ba biến để thấy công dụng U.C.T Bài toán [Bất đẳng thức Nesbit] Cho a, b, c số thực không âm Chứng minh a b c    bc ca ab Chứng minh Khơng tính tởng quát chuẩn hóa a  b  c  Bài toán qui việc chứng minh a b c    3 a 3b 3c Ta cần chứng minh bất đẳng thức a 3(a  1)   m(a  1)   m(a  1) 3 a 2(3  a) Dễ dàng dự đoán m  Ta chứng minh bất đẳng thức với m ln đúng a 3a  3(a  1)   0 3 a 4(3  a) Điều hiển nhiên đúng Sử dụng tương tự với biến lại Cộng vế theo vế ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a  b  c Nhận xét bất đẳng thức Nesbit bất đẳng thức đại sớ có nhiều phép chứng minh Lời giải lời giải đẹp ngắn gọn cho bất đẳng thức Bài toán [Võ Quốc Bá Cẩn] Cho a, b, c số thực không âm Chứng minh (b  c  a) ( a  c  b) (a  b  c) 3(a  b  c )    2a  (b  c) 2b  (a  c) 2c  (b  a) (a  b  c) Chứng minh Chuẩn hóa a  b  c  Khi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2(3  2a) 2(3  2b) 2(3  2c)    a2  b2  c2 2 a  2a  b  2b  c  2c  Ta cần xác định hệ số m để bất đẳng thức sau đúng 2(3  2a)  a  m(a  1) a  2a  Ta lại có 2(3  2a) (a  1)(a  3)( a  4a  6) a   a  2a  a  2a  Từ dễ dàng dự đoán với m  6 bất đẳng thức phụ đúng Thật 2(3  2a) (a  1) (6  a) a  a  6( a  1)  0 a  2a  a  2a  Điều hiển nhiên đúng a  (0,3) Tương tự với biến lại Đẳng thức xảy a  b  c Bài toán [Đề thi Olympic 30-4, khối 11, lần XII – 2006] Cho a, b, c số thực dương Chứng minh a(b  c) b (c  a ) c ( a  b)    2 2 2 (b  c)  a (c  a )  b ( a  b)  c Chứng minh Khơng tính tởng qt, chuẩn hóa a  b  c  Ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a(3  a) b(3  b) c(3  c)    2  6a  2a  6b  2b  6c  2c Tương tự ta dễ dàng tìm bất đẳng thức phụ sau: a (3  a ) 21  9a (a  1) (18a  9)     6a  2a 25 25(9  6a  2a ) Điều hiển nhiên đúng Đẳng thức xảy a  b  c Nhận xét Có thể thấy hai lời giải cho toán mở đầu phần đơn giản ngắn gọn Đây xem kỹ thuật thớng Giúp ta giải sớ tốn “cùng loại” quen thuộc sau Bài toán [Darij Grinberg, Old and New Inequalities] Cho a, b, c số thực dương Chứng minh a b c    2 (b  c) (c  a ) (a  b) 4(a  b  c) Chứng minh Khơng tính tởng qt, giả sử a  b  c  Bài toán cần chứng minh qui dạng sau a b c    2 (3  a) (3  b) (3  c) Dễ dàng dự đoán bất đẳng thức phụ sau a 2a  (a  1) (9  2a )   0 (3  a ) 4(3  a) Điều hiển nhiên đúng a [0,3) Sử dụng bất đẳng thức cho b, c cộng lại, ta có đpcm Bài tốn 10 [Phạm Văn Thuận, Mathlinks forum] Cho a, b, c số thực dương Chứng minh (b  c  3a ) (a  c  3b) (a  b  3c)    2a  (b  c) 2b  (a  c) 2c  (b  a ) 2 Chứng minh Khơng tính tởng qt, chuẩn hóa a  b  c  Ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với (3  4a ) (3  4b) (3  4c)    2 2 2 2a  (3  a ) 2b  (3  b) 2c  (3  c) Sử dụng bất đẳng thức phụ sau (3  4a) 8a  ( a  1) (39  8a)   0 2a  (3  a) 6(a  2a  3) Điều hiển nhiên đúng  a   39  8a  39  24  15  Tương tự với biến lại ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a  b  c Bài toán 11: [USAMO 2003] Cho a, b, c số thực dương Chứng minh (b  c  2a ) (a  c  2b) ( a  b  2c )   8 2a  (b  c) 2b  (a  c) 2c  (b  a) Chứng minh Khơng tính tởng qt, chuẩn hóa a  b  c  Khi ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với (a  1) (b  1) (c  1)   8 2a  (1  a ) 2b  (1  b) 2c  (1  c) Sử dụng bất đẳng thức phụ sau (a  1) 12a  (3a  1) (4a  1)    2a  (1  a ) 2a  (1  a ) Điều hiển nhiên đúng Đẳng thức xảy a  b  c Phần U.C.T kỹ thuật phân tách trường hợp Ở phần ta làm quen với sớ tốn đưa dạng f (ai )  m  h(ai )  g (ai )2k p(ai )  Thì có điều phải chứng minh Tuy nhiên khơng phải xuất p(ai )  Trong trường hợp p(ai )  đúng với miền nghiệm việc chứng minh phải qua chiều hướng khác, xét thêm trường hợp biến miền xác định để p(ai )  Thường bước phức tạp địi hỏi người làm phải có những đánh giá mang tinh tế nhiều Chúng ta đến với sớ tốn tiêu biểu cho kỹ thuật Bài toán 12 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh a2 b2 c2    2 2 2 a  (b  c) b  (a  c) c  (b  a ) Chứng minh Khơng tính tởng qt chuẩn hóa a  b  c  Qui bất đẳng thức dạng 3 a2 b2 c2 a2       2 2 2 5 a  (3  a) b  (3  b) c  (3  c) cyc 2a  6a  Ta sử dụng bất đẳng thức phụ sau a2 12a    (8a  21)(a  1)  2a  6a  25 Khơng tính tởng qt giả sử a  b  c  a   c Xét hai trường hợp sau 21  8a  21  8b  21  8c  21  + Trường hợp c  21 + Trường hợp max{a, b, c}  Khi ta có: a2 49 f (a)     2a  6a  50 3     1 a  Do f (a) đồng biến (0,3] nên điều hiển nhiên đúng Vậy toán chứng minh Đẳng thức xảy ba biến Bài toán 13 [Vasile Cirtoaje - Algebraic Inequalities – Old and New Method] Cho a, b, c, d số thực dương thỏa mãn a  b  c  d  , Chứng minh 1 1 16     3a  3b  3c  3d  Chứng minh Ta cần xác định hệ số để bất đẳng thức sau đúng   m(2a  1) 3a  Dễ dàng tìm bất đẳng thức phụ sau 52  48a 3(2a  1) (12a  1)   0 3a  49 49(3a  1) Tương tự với biến lại Xét hai trường hợp sau + Trường hợp 1 min{a, b, c, d }   12a   12b   12c   12d   12 + Trường hợp 49 48 d    3d    12 48  3d 49 Xét tương tự với biến cịn lại ta tìm điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a  b  c  d  Bài toán 14 [Vasile Cirtoaje, Algebraic Inequalities – Old and New Method] Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b2  c  Chứng minh a5  a b5  b c5  c   0 a  b  c b5  a  c c  b  a Chứng minh Bất đẳng thức tương đương với 1    2 2 2 a b c b a c c b a a  b2  c2 Từ suy ta cần chứng minh trường hợp a  b2  c  đủ Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có 2a 2a   a5 2 a 1 a Đặt a  x, b2  y, c  z lúc ta có x  y  z  ta phải chứng minh 1 1   3 2x 2y 2z  x3  y3  z 3 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 1   2 2x  x  2x  y  y  y  2z  z  2z  x 1  3 x     0 2x  x  2x   cyc   ( x  1) (2 x  x     0 cyc  6(2 x  x  x  3)  Phần Một dạng biểu diễn thú vị Ở chúng tơi ḿn nói đến dạng biểu diễn theo tổng Đây tư tưởng đơn giản giúp ta tìm nhiều lời giải ấn tượng Bây ta chú ý đến đẳng thức sau a k  bk  ck ak bk ck 1 k    a  bk  ck a k  bk  c k a k  bk  c k a k  bk  c k Đẳng thức tưởng chừng điều hiển nhiên, không mang nhiều ý nghĩa lại có vai trị quan trọng việc chứng minh lớp bất đẳng thức mà chúng nêu Ở phần kỹ thuật xác định hệ sớ khơng cịn thực trước xuất lũy thừa p Nếu sử dụng những biến đổi thông thường phức tạp Vì cơng cụ mà chúng ta chọn đạo hàm Trước hết xin nhắc lại định lí sau Định lí Fermat Giả sử hàm sớ f ( x) xác định [a, b] có cực trị địa phương x0  [a, b] Khi f có đạo hàm x0 f / ( x0 )  Định lí Roll Giả sử f :[a, b]  liên tục khả vi (a, b) Nếu f (a)  f (b) tồn x0  (a, b) cho f / ( x0 )  Bài tốn 21 [Võ Q́c Bá Cẩn] Tìm sớ k  tớt để bất đẳng thức sau đúng với số a, b, c số thực dương a b c    2 2 2 k 4 ka  (b  c) kb  (c  a) kc  (a  b) Chứng minh Cho a  1, b  c  ta có k  Ta chứng minh giá trị k tốt để bất đẳng thức đúng Bất đẳng thức cần chứng minh a b c   1 2 2 a  2(b  c) b  2(c  a) kc  (a  b)2 Ta phải xác định hệ số k cho bất đẳng thức sau đúng a ak  k k k a  2(b  c)2 a  b  c Ở ta chuẩn hóa b  c  để việc việc xác định hệ số đơn giản Khi ta cần xác định hệ sớ k cho a ak  k  a k   2a k  a  a 8 a  k 2 2k Đặt f (a)  a  2a  a Lại có f (a)  0, f (1)  nên theo định lí Fermat ta có f / (1)  Tiến hành đạo hàm f (a) suy f / (a)  (k  2)a k 1  4ka k 1  2a Theo thi ta có f / (1)  (k  2)  4k    k  Như ta dự đoán bất đẳng thức sau đúng a  a4 a  2(b  c)2 a  b4  c Sau hồn thành xong bước dự đốn chúng ta có nhiều đường để lựa chọn Thơng thường phép biến đởi tương đương ln mang lại hiệu bất đẳng thức phụ đúng Nên nhớ bất đẳng thức phụ dự đốn mà thơi, khơng đúng ngược lại Từng toán ta “tùy ứng biến” Tất nhiên nhiều tốn khơng áp dụng theo cách Chúng ta tiếp tục quay lại toán với phép chứng minh cho bất đẳng thức phụ bc b  c 2   từ ta phải chứng minh   Theo bất đẳng thức Holder ta có 4 bất đẳng thức a a  8t  3 a4 a4  t  a  t  a a  8t  t ( a  t )2  bc Vậy bất đẳng thức hiển nhiên đúng Đẳng thức xảy a  b  c a  t  0, b  c  hốn vị Nhận xét Q trình tìm kiếm hệ sớ k thơng qua việc đánh giá theo bất đẳng thức AM-GM sau a ak  k  a k   2a k  a   a k   a  2a k a 8 a  Ở t  Mặt khác theo bất đẳng thức AM-GM a k   a  a k  Như ta có cần xác định k cho a k   a k  a k   a k  k   4k  k  Bài toán 22 [IMO 2001] Cho a, b, c số thực dương Chứng minh a b c   1 2 a  8bc b  8ca c  8ab Chứng minh Bằng cách làm tương tự, ta thiết lập bất đẳng thức sau a a4/  4/3 4/3 4/3 a  8bc a  b  c Thật vậy, sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có b4/  c4/  2b2/ 3c2/  2t 4/ , ta cần chứng minh a /  2t /  a1/ a  8t  4t / (a /  t / )  (đú ng) Do đó, bất đẳng thức đúng Sử dụng tương tự cho b, c cộng lại, ta có đpcm Đẳng thức xảy a  b  c  b  0, c  Bài toán 23 Cho a, b, c số thực không âm Chứng minh a3 b3 c3   1 a3  (b  c)3 b  (c  a ) c  ( a  b) Chứng minh Tương tự ta có xác định bất đẳng thức phụ sau: a3 a2 (*)  a  (b  c)3 a  b  c Có thể chứng minh bất đẳng thức phụ theo nhiều cách: Cách (*)  2a (b2  c )  (b2  c )2  a(b  c)3 Điều hiển nhiên đúng, 2a (b  c )  (b  c )  a (b  c)  (b  c) a (b  c)6 2  a(b  c)3 4 Cách Theo bất đẳng thức AM-GM ta có (1  k )  (1  k  k ) k2  k  (1  k )(1  k  k )   1 2 Áp dụng bất đẳng thức phụ ta có a3  a3  (b  c)3 a2    2 2 2 a b c  b  c  1 b  c bc  1     a 2 a   a  Áp dụng tương tự với biến lại Cộng vế theo vế ta có có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy biến có biến dần 1 Bài tốn 24 Cho a, b, c sớ thực dương Chứng minh a3 b3 c3    3 3 3 a  (b  c) b  (c  a ) c  (a  b) Chứng minh Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có 1 a3 VT    3  cyc a  (b  c)3      Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a  b  c Phần Giải mợt số tốn mà điều kiện liên quan mật thiết đến Đa phần toán xét đến có điều kiện mà biến liên hệ với ko chặt Thường điều kiện dạng a1k  a2k   ank1  ank  n Tức ta tách theo biến để tìm bất đẳng thức phụ Tuy nhiên với sớ tốn mà điều kiện thiết lập k  n  mối quan hệ “bền chặt”    việc tìm bất đẳng thức phụ tương đới  i 1  khó khăn ta khơng thể đánh giá theo biến nữa Và để áp dụng U.C.T những toán chúng ta phải dùng đến sớ tính chất hàm sớ Bài tốn 25 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc  Chứng minh a bc b c a c a b    b  c 1 c  a 1 a  b 1 Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có  a b  c b c  a c a  b   a (b  c  1)          (a  b  c) bc   b  c  c  a  a  b    cyc Do ta cần phải chứng minh a(b  c  1) ( a  b  c )  2 bc cyc a b a   a3  3 3 6  4 ab  4 a  2 cyc cyc b cyc a cyc cyc cyc b  c Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có a b a a b  ab,   ab, 2      cyc b cyc a cyc b cyc cyc a cyc cyc b  c Từ ta có a b VT  VP   a     4 ab 4 a 6 cyc b cyc a cyc cyc cyc     a   ab 4 a 6    a  4a    a  cyc cyc cyc cyc  Xét hàm số f ( x)  x3  x    ln x với x  ta có x 1  f / ( x)  ( x  1)  3x     x x  1 Nếu x   , x    f / ( x)   x  x x x Từ đễ dàng kiểm tra f ( x)  f (1)  0, x  Hay x3  x    2 ln x, x  x Như ta có     a  4a     2 ln a  a  cyc  cyc Bài toán giải Đẳng thức xảy a  b  c  Bài toán 26 [Lê Hữu Điền Khuê, THPT Quốc Học, Thành phố Huế] Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc  Chứng minh 1   1 2 3a  (a  1) 3b  (b  1) 3c  (c  1) Chứng minh Xét hai trường hợp sau + Trường hợp Nếu ba sớ a, b, c tồn sớ không lớn Giả sử  3a  (a  1)  Khi bất đẳng thức hiển nhiên đúng + Trường hợp Cả ba số a, b, c khơng nhỏ ta xét hàm sớ sau Giớng phần trước ta có thiết lập bất đẳng thức phụ dạng 1   k ln x 2 x  ( x  1) Ở ta có qui hàm số mũ chú ý ln x  ln y  ln z  Tiếp tục quan sát thấy đẳng thức xảy a  b  c  Từ ta có phải xác định k cho f / (1)  f ( x)   ln x  x  ( x  1) 3 Với x  Khi ta có 2(16 x  16 x  x  1) 2( x  1)(16 x  1) f / ( x)   x(4 x  x  1) x(4 x  x  1) Từ suy f / ( x)   x  1, x  Dễ dàng kiểm tra f ( x)  f (1)  0, x  Điều tương đương với 1   ln x, x  2 3x  ( x  1) 3 Sử dụng bất đẳng thức phụ theo biến a, b, c cộng vế theo vế ta có 1      ln a  2 2 3a  (a  1) 3b  (b  1) 3c  (c  1) cyc Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a  b  c  , a  , b  , c  0 hoán vị Nhận xét Bài tốn cịn lời giải ấn tượng Vasile Cirtoaje Xin trình bày lại lời giải Sử dụng bất đẳng thức phụ sau 1 2a( a  1)   0 3a  (a  1) 2a  (4a  2a  1)(2a  1) Điều hiển nhiên đúng với số thực không âm Tương tự với biến lại suy điều phải chứng minh sớ a Ta có a  Bài toán 27 [Gabriel Dospinescu] Cho a1 , a2 , , an số thực dương thỏa mãn a1a2 an  Chứng minh a12   a22    an2   2(a1  a2   an ) Chứng minh Xét hàm số sau với x    f ( x)  x   x     ln x 2  Khi ta có ( x  1)  2 x  x   x 2( x  1)     f / ( x)   x  f ( x)  2 x 2( x  1)( x  x  1) / Qua f / ( x) đởi dấu từ dương sang âm nên f / ( x)  f (1)  0, x  Điều có nghĩa   x2   x     ln x, x  2  Sử dụng bất đẳng thức phụ cho n biến cộng vế theo vế ta có   a12   a22    an2   2(a1  a2   an )     (ln a1  ln a2   ln an ) 2   n   2(a1  a2   an )     ln   i 1   2(a1  a2   an ) Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a1   an  Nhận xét Bài tốn cịn giải bất đẳng thức phụ quen thuộc x2   2( x  x  1)   ( x  1)4 , x  Sử dụng bất đẳng thức cho n biến cộng lại ta có n   a12   a22    an2   2(a1  a2   an )   n    i 1    2(a1  a2   an ) Bất đẳng thức giải hoàn toàn Bài toán 28 [Algebraic Inequalities – Old and New Method] Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc  Chứng minh a  b2  c  9(ab  bc  ca)  10(a  b  c) Chứng minh Ta có cần xác định hệ sớ k cho bất đẳng thức sau đúng a  9bc  a   10a  k ln a a Tương tự phần trước ta có tìm k  17 Ta có chứng minh f (a)  a   10a  17 ln a  a Thật 17 2a  10a  17 a  (a  1)(2a  8a  9) f / (a )  2a   10    a a a2 a2 f / (a)   a  Từ đây, ta dễ dàng thấy f (a)  f (1)  0, a  hay a   10a  17 ln a a Sử dụng tương tự với b, c cộng lại vế theo vế, ta có đpcm Đẳng thức xảy a  b  c  Phần U.C.T mở rộng Ngay từ đầu viết ta xét đến việc xác định hệ số m theo cách h(ai )  f (ai )  mak  n Với điều kiện xác định toán a1k  a2k   ank  n Tuy nhiên với cách xác định đới với sớ tốn lại khơng mang lại hiểu Điều khơng phải hồn tồn khơng tớt Vì thơi thúc chúng ta tìm dạng xác định hệ sớ khác Một cách trực quan chúng ta phân tích tốn cụ thể để thấy những nêu Bài toán 29 [Tạp chí Crux, Canada] Cho a, b, c sớ thực dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh 1     ab  bc  ac Chắc hẳn từ đầu vào chứng minh toán bạn nghĩ đến việc thiết lập bất đẳng thức phụ dạng 8   mx  n    m( x  1) 9 x 9 x Dễ dàng dự đoán m  Nhưng đáng tiếc với m bất đẳng thức hồn tồn khơng đúng kể tư tưởng chia trường hợp phần áp dụng Thật 7 x ( x  1)  0 9 x 8(9  x) Tuy nhiên U.C.T có tác dụng trường hợp ý tưởng mẻ Hãy chú ý đến cách thiết lập bất đẳng thức phụ sau   m( x  1)  n( x  1) (*) 9 x Việc xác định hệ sớ bất đẳng thức địi hỏi chặt chẽ lập luận đơi nới lỏng miền nghiệm biến khiến cho toán khơng đúng Có nhiều hệ sớ thỏa mãn để tạo thành đại lượng bình phương ( x  1)2 ta phải xác định cho dấu bất đẳng thức đúng Ta có   (*)   ( x  1)  m( x  1)  n   (**) 9 x   Từ phân tích rõ ràng ta phải xác định n theo m cho xuất nghiệm x  để hình thành đại lượng ( x  1)2 , tức 1 m( x  1)  n  0n  m( x  1)  n   2m 9 x 9 x Từ vào (**) ta có 1   (**)   ( x  1)  m( x  1)  2m    9 x     ( x  1) (72m  8mx  1) Dễ thấy việc xác định hệ sớ khơng cịn đơn giản trước Nó địi hỏi ta phải tìm những ước lượng chặt chẽ để bất đẳng thức không đổi chiều Ta chú ý đến điều kiện tốn để tìm ước lượng “tớt nhất” Chú ý  max{ab, bc, ca}   max{ab, bc, ca}  Tuy nhiên đối với tốn cần sử dụng điều kiện yếu mà Đầu tiên đưa số nhận xét sau: Đầu tiên ta cần xác định hệ số m để bất đẳng thức đúng với x [0,3) Ta thấy trường hợp m  nhận bất đẳng thức ngược chiều cho x  , tất nhiên điều ta mà khơng mong ḿn Vậy dự đốn m  , 72m 1  8mx  72m 1  24  48m 1 1 Ta cần có 48m   m  Vậy nên ta dự đoán m  n 48 48 12 Cơng việc dự đốn hoàn tất Bây ta thử chứng minh xem có đúng thật khơng Và ta có bất đẳng thức phụ sau x  x  43 ( x  1) (3  x)  0 9 x 48 48(9  x) Điều hiển nhiên đúng Áp dụng bất đẳng thức phụ với biến ab, bc, ca ta có 1 1 2 43    (a b  b c  c a  4ab  4bc  4ca)   ab  bc  ac 48 16 Ta cần phải chứng minh bất đẳng thức sau a 2b2  b2c2  c2 a  4ab  4bc  4ca  15 Đặt k  ab  bc  ca , áp dụng bất đẳng thức AM-GM bất đẳng thức Schur ta có  4x -  k  3, abc  max 0,  Ta xét hai trường hợp sau   + Trường hợp Nếu x  a 2b  b 2c  c a  4ab  4bc  4ca  (ab  bc  ca )2  4(ab  bc  ca )  6abc nhiên chưa phải đánh giá “tớt nhất” ta cịn làm chặt nữa  k  4k  6abc  81 225 9   15 16 16 + Trường hợp Nếu x  a 2b  b 2c  c a  4ab  4bc  4ca  (ab  bc  ca )  4(ab  bc  ca )  6abc  k  4k  6abc  k  4k  2(4k  9)  (k  1)(k  3)  15  15 Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a  b  c  Qua q trình nhận xét phân tích hi vọng bạn hiểu cách tìm hệ sớ Ở tốn sau không thật cần thiết, việc thiết lập bất đẳng thức phụ đưa cách khái quát Chúng ta đến với toán sau Bài toán 30 [Moldova TST 2005] Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c  Chứng minh 1   1  ab  bc  ca Chứng minh Với  x  , ta ln có x  x  12 ( x  1) (3  x)  0 4 x 15 15(4  x) 3  nên ta có 2 3 2(a 2b  b c  c a )  ab  bc  ca  36     ab  bc  ca 15 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM Cauchy-Schawrz ta có a 2b  b c  c a  a  b  c  Lại có max{ab, bc, ca}  ab  bc  ca  3(a 2b  b 2c  c a )  Cộng các bất đẳng thức phụ vế theo vế ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a  b  c  Nhận xét Đây tốn khơng khó có nhiều cách tiếp cận khác 1 Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc sau   bất đẳng thức AM-GM x y x y Ta có 1 1  1  , a, b  [0, 2]       2  2  2 4a  b    a  b   2ab  ab Qui toán chứng minh 1   1 2 4a 4b  c2 Sử dụng bất đẳng thức phụ sau a  15   a2 18 Ngồi ta cịn có cách trực quan dễ thực qui đồng sử dụng bất đẳng thức Schur Bài toán 31 [Phạm Kim Hùng] Cho a, b, c, d số thực dương thỏa mãn a b c d  Chứng minh 1 1    2  abc  bcd  cda  dab Chứng minh Đây tốn khó việc thiết lập hệ số phải cần những đánh giá chặt chẽ suy luận hợp lí Chúng ta phân tích đường đến lời giải tốn Ta xác định hệ sớ m, n cho   m( x  1)  n( x  1),  x0 3 x 3 Như phân tích ta tìm n   2m , bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ( x  1)2 (6m   2mx)  Dễ dàng kết luận m  16 6m   2mx  6m   m 3 Ta cần có 16 m0m 16 3 6 3 5 Do  nên ta cần có m   16 14 6 5 Từ ta chọn m   n   từ ta có bất đẳng thức phụ sau 14 14 x  x  12 ( x  1) (8  x)  0 3 x 14 14(3  x) 8 Điều hiển nhiên đúng với   x0 3 6m   Sử dụng bất đẳng thức phụ chú ý max{abc, bcd , cda, dab}  3 suy ta cần chứng minh 5(a 2b2c  b2c d  c d a  d a 2b2 )  3(abc  bcd  cda  dab)  Có thể chứng minh bất đẳng thức nhiều cách Sau xin trình bày cách dựa vào kỹ thuật hàm lồi a  b2 c d ,k  , x  ab, y  cd đó, ta có t  x, k  y Bất đẳng thức Đặt t  2 cần chứng minh tương đương với f ( x)  10 x k  10 y 2t  3x y  2k  y x  2t  Ta có f // ( x)  20k  3y (2 x  2t )3 0 Suy f ( x) hàm lồi, f ( x)  max{ f (t ), f (0)} Ta có    f (0)  yt  yt   yt  3  f (t )  10 y 2t  yt  10k 2t  3t y  2k   g ( y ) Tương tự ta có g ( y ) hàm lồi nên g ( y)  max{g (k ), g (0)} Ta có    g (0)  kt  5kt   kt   3 k  t2 1 g (t )  4(kt  1)(5kt  1)  kt  Vậy bất đẳng thức chứng minh xong Ngay từ ban đầu chúng nói bất đẳng thức khơng dễ đòi hỏi những đánh giá chặt chẽ U.C.T đóng vai trị bàn đạp quan trọng để đến lời giải Bài toán 32 [Võ Quốc Bá Cẩn] Cho số thực a, b, c, d thỏa a  b2  c  d  , chứng minh bất đẳng thức 1 1 16      ab  bc  cd  da Chứng minh Tương tự toán trước, ta thiết lập bất đẳng thức sau với x  32 x  10 1 x Từ đây, ta suy 1 1 32 40     ( a 2b  b c  c d  d a )   ab  bc  cd  da 9 32 40  (a  c )(b  d )  9 40 16  (a  b  c  d )2   9 Từ đây, ta có đpcm Đẳng thức xảy a  b  c  d   Nhận xét Bài toán đặt để “làm mạnh” toán sau Phạm Văn Thuận 1 1 1      8  ab  bc  cd  da  ac  bd với giả thiết Lời giải tác giả cho toán dài phức tạp, dùng U.C.T mở rộng ta lại có lời giải ngắn gọn đơn giản! Ngồi ra, chúng ta cịn có cách “làm mạnh” khác cho toán Phạm Văn Thuận, ta có 1 1 1      8 2 2 2  ab bc cd  d a  ac  bd  1   1   1   1   1   1               Bài toán bạn ZhaoBin, sinh viên người Trung Quốc đưa lời giải đẹp cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, đây, chúng xin giới thiệu lời giải khác theo tư tưởng U.C.T Sử dụng bất đẳng thức bài, ta cần chứng minh (a  b)4  (a  c)4  (a  d )4  (b  c)4  (b  d )4  (c  d )4  Thật vậy, ta có (a  b)4  2(a  b4  6a 2b2 )  (a  b)4  2(a  b4  6a 2b2 ) Tương tự với sớ hạng cịn lại, ta suy VT  6(a  b2  c  d )2  Bất đẳng thức chứng minh xong Thật tự nhiên, câu hỏi sau đặt ra, liệu bất đẳng thức sau có đúng? 1 1 16     2 2  ab bc cd  d a 1   1   1   1           Thật đáng tiếc bất đẳng thức lại không đúng! Các bạn cần cho a  b  0.4, c  d  0.84 Bài toán 33 [Vasile Cirtoaje] Cho sớ khơng âm a, b, c, d có tổng 4, chứng minh bất đẳng thức sau 1 1    1  abc  bcd  cda  dab Chứng minh Ta thiết lập bất đẳng thức sau với  x  48  x  x  10 5 x Do +, Nếu max{abc, bcd , cda, dab}  sử dụng bất đẳng thức trên, ta cần chứng minh a 2b2c2  b2c2 d  c d a  d 2a 2b2  abc  bcd  cda  dab  Bất đẳng thức dễ dàng chứng minh dồn biến dùng hàm lồi +, Nếu max{abc, bcd , cda, dab}  , khơng tính tởng qt, giả sử abc  , đó, chú ý với x, y  0, x  y  5, ta có 1 1 xy (10  x  y )     0 5  x  y  x  y 5(5  x)(5  y )(5  x  y ) Suy 1 1    5 x 5 y 5 x y Và đó, với x, y, z  0, x  y  z  ta có 1 1     5 x 5 y 5 z 5 x y  z 2 Chú ý  (a b c  abc)  abc  nên bcd  cda  dab  , cyc 1 1      bcd  cda  dab  d (ab  bc  ca ) Ta cần chứng minh 1    abc  d (ab  bc  ca) Đặt x   d , abc  nên  x  a  b  c  3 abc  3 , theo bất đẳng thức AMGM abc  x , ab  bc  ca  x 27 Do đó, ta cần chứng minh 1   1  x3  x (4  x) 27 Hay f ( x)  x6  x5  80 x3  360 x  675  Ta có f / ( x)  x ( x  4)  x3 ( x  12)  48 x(15  x)  Suy f ( x) hàm nghịch biến, f ( x)  f (3 2)  27(48  77)  Từ đây, ta có đpcm Đẳng thức xảy a  b  c  d  Phần Lời kết Sau q trình tìm hiểu phân tích cụ thể toán, hẳn bạn phần cảm nhận nét đẹp U.C.T thực kĩ thuật đơn giản dễ hiểu Chúng tơi khơng xem U.C.T phương pháp thớng mà đơn giản kĩ thuật cần biết cần nắm vững bạn học bất đẳng thức Nhiều người quan niệm U.C.T khơng có ý nghĩa theo thân chúng tơi nên khái qt để sử dụng số trường hợp U.C.T bước đệm quan trọng mang nhiều ý nghĩa đường tìm lời giải cho tốn Một kĩ thuật hay khơng thiết nó giải tất dạng tốn mà phải đưa ta đến những ý tưởng, đường sáng sủa, dễ nghĩ, dễ nhận thấy mặt trực quan Trong chun đề nhiều tốn hình thức cồng kềnh USAMO 2003, JMO 1997, những tốn khơng khó, khơng chọn đúng hướng làm dẫn đến những lời giải chấp nhận đúng mặt tốn học Đó những toán đại diện cho U.C.T kết hợp với kĩ thuật chuẩn hóa Tuy nhiên chưa phải điểm dừng Ở phần tiếp theo, xuất nhiều toán mang đậm sắc tức sử dụng mỡi U.C.T khơng đích Cách khắc phục phân chia trường hợp để giải Đây sở để tìm khoảng nghiệm cần xét biến Việc đánh giá đòi hỏi người làm tinh tế khéo léo phần trước Tuy nhiên bạn có niềm tin chuyện giải Sau nắm tay những kiến thức định kỹ thuật bước qua khoảng không gian phức tạp dùng U.C.T để giải những toán mà điểm cực trị đạt chỡ Bao gồm trường hợp tất biến trường hợp có (n  1) biến khác biến lại Ở ta chú ý đến bất đẳng thức Vornicu Schur để khắc phục nhược điểm U.C.T Phần kĩ thuật phân tách theo tổng dạng đẹp kỹ thuật này, sớ tốn tiêu biểu cho dạng phân tách IMO 2001 sớ tốn nêu Dù U.C.T dùng theo tư tưởng khác với phần trước Như bạn biết U.C.T thông thường biết đến với tốn mà biến sớ độc lập khơng liên quan đến Tuy nhiên xét với lớp toán chưa lột tả hết nét đẹp kĩ thuật đơn giản Ta sử dụng U.C.T để tìm những bất đẳng thức phụ với điều kiện liên quan mật thiết với Tức không tách theo đơn lượng biến để giải U.C.T địi hỏi bạn phải có những kiến thức hàm sớ để tìm ước lượng chinh xác Cuối chúng ta đến sớ tốn khó mà theo nhiều người quan niệm giải U.C.T, điều điểm yếu kỹ thuật Khi việc thiết lập hệ số thắt chặt chuyện khác Như bạn thấy U.C.T mở rộng mang những đặc điểm phức tạp hiệu mang lại bất ngờ Một sớ tốn khó đưa dạng đơn giản để giải theo sớ phương pháp biết Đó nét độc đáo kỹ thuật Tuy nhiên hẳn chưa phải U.C.T “chặt” Còn nhiều điều nữa kỹ thuật chờ bạn khám phá Chúng xin kết thúc viết Hi vọng với những dòng tâm bạn bất đẳng thức phần gợi mở cho bạn giúp bạn tìm thêm những ý tưởng sáng tạo mới, những hiểu biết Và quan niệm đằng sau lời giải cho mỗi tốn q trình dự đốn, thử, sai đúng Hẹn gặp lại bạn ngày không xa Phần 10 Bài tập áp dụng Bài toán [Diễn đàn toán học] Cho a, b, c, d , e số thực không âm thỏa mãn a3  b3  c3  d  e3  Tìm giá trị nhỏ biểu thức a2 b2 c2 d2 e2      a  b  c  d  e3 Bài toán [Vasile Cirtoaje, Crux Mathematicorum, Problem 3032] Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a b c2  Chứng minh 1     ab  bc  ca Bài toán [Mathematical Excalibur, Vol 9, Num 1, 8/2004] Cho a, b, c, d số thực dương thỏa mãn a  b  c  d  Chứng minh 6(a b c  d )  (a b c  d )  Bài toán [Mihai Piticari, Dan Popescu, Old and New Inequalities] Cho a, b, c số thực dương nhỏ thỏa mãn a  b  c  Chứng minh 6(a b c )   5(a b c ) Bài toán [Titu Andreescu, Gabriel Dospinescu, Old and New Inequalities] Cho a, b, c số thực dương nhỏ thỏa mãn a  b  c  Chứng minh 1 27    2 1 a 1 b 1 c 10 Bài toán [Andrian Zahariuc, Old and New Inequalities] Cho a, b, c  (1, 2) Chứng minh b a c b a c   1 4b c  c a 4c a  a b 4a b  b c Bài tốn [Vũ Đình Q] Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc  Chứng minh 1   3 a  a 1 b  b 1 c  c 1 Bài toán [Vasile Cirtoaje] Cho a, b, c, d số thực dương thỏa mãn abcd  Chứng minh 1 a 1 b 1 c 1 d    4  a  b2  c  d Bài toán [Vasile Cirtoaje, GM-B,11,1999] Cho a, b, c, d số thực dương thỏa mãn abcd  Chứng minh 1 1    1 3 1 a  a  a 1 b  b  b 1 c  c  c 1 d  d  d Bài toán 10 [China TST 2004] Cho a, b, c, d số thực dương thỏa mãn abcd  Chứng minh 1 1    1 2 (1  a) (1  b) (1  c) (1  d ) Bài toán 11 [Arkady Alt, Crux mathematicorum] Chứng minh với a, b, c  ta có a b c a /  b2 /  c2 /    ab bc ca Complete   Trong    Võ Quốc Bá Cẩn Nguyễn Thúc Vũ Hồng viết có sử dụng nhiều tốn trích dẫn từ Algebraic Inequalites – Old and New Method tác giả Vasile Cirtoaje Sáng tạo Bất đẳng thức tác giả Phạm Kim Hùng Old and New Inequalities tác giả Titu Andreescu, Vasile Cirtoaje, G Dospinescu, M Lascu ...  B(b  c)(b  a)  C (c  a)(c  b)  Là chỉ Định lí A  B C  B Định lí A  a  B  b Định lí B  c  C  b (Nếu a,b,c ba cạnh tam giác) Định lí A  C  B Khi nắm tay định lí bất đẳng... viết tắt chữ đầu cụm từ tiếng Anh Undefined Coefficient Technique Hay gọi Kỹ Thuật Hệ số bất định Đây kỹ thuật tảng quan trọng đường tìm kiếm lời giải cho những bất đẳng thức khó Phần Khởi... VT    3  cyc a  (b  c)3      Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a  b  c Phần Giải mợt số tốn mà điều kiện liên quan mật thiết đến Đa phần tốn xét đến có điều kiện mà biến