HÀM NHIỀU BIẾN ĐẠO HÀM RIÊNG LEC VI TÍCH PHÂN HK2, 2020-2021 NGUYỄN VĂN THÙY nvthuy@hcmus.edu.vn THÔNG TIN MƠN HỌC • 45 tiết • Tài liệu tham khảo • Bộ mơn Giải tích, Giáo trình Vi tích phân 2, khoa ToánTin học, ĐHKH Tự Nhiên, ĐHQG TP.HCM, 2020 • James Stewart, Calculus: Early Transcendentals, 8th edition, Brooks/Cole, 2016 • Đánh giá môn học • Bài kiểm tra định kỳ: 40% • Bài thi cuối kỳ: 60% Vi tich phan 2, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science HÀM NHIỀU BIẾN • Ví dụ 2𝑥𝑦 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑦2 • Ví dụ 𝑓 𝑥, 𝑦 = − 𝑥 − 𝑦 • Tìm vẽ miền xác định • Tìm miền giá trị • Vẽ đồ thị Vi tich phan 2, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science ĐẠO HÀM RIÊNG • Định nghĩa Cho f(x,y), 𝑥0 ; 𝑦0 ∈ 𝐷𝑓 𝑓𝑥′ 𝑥0 ; 𝑦0 𝑓𝑦′ 𝑥0 ; 𝑦0 Vi tich phan 2, 2020-2021 𝑓 𝑥0 + ℎ; 𝑦0 − 𝑓 𝑥0 ; 𝑦0 = lim ℎ→0 ℎ 𝑓 𝑥0 ; 𝑦0 + ℎ − 𝑓 𝑥0 ; 𝑦0 = lim ℎ→0 ℎ 𝜕𝑓 ′ 𝜕𝑓 ′ 𝑓𝑥 = ; 𝑓𝑦 = 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Nguyen Van Thuy, University of Science ĐẠO HÀM RIÊNG • Ví dụ Tính 𝑓𝑥′ 0; , 𝑓𝑦′ (0; 0) hàm số 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥3 + 𝑦3 • Ví dụ Tính đạo hàm riêng 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 𝑦 • Ví dụ Tính đạo hàm riêng 𝑦 𝑓 𝑥, 𝑦 = arctan 𝑥 Vi tich phan 2, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP ′ 𝑥 𝜕 𝜕𝑓 𝜕2𝑓 = = 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 ′ 𝑦 𝜕 𝜕𝑓 𝜕2𝑓 = = 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦𝜕𝑥 ′ ′ 𝑓𝑦 𝑥 𝜕 𝜕𝑓 𝜕2𝑓 = = 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥𝜕𝑦 ′′ = 𝑓 ′ 𝑓𝑥𝑥 𝑥 ′′ = 𝑓 ′ 𝑓𝑥𝑦 𝑥 ′′ = 𝑓𝑦𝑥 ′′ 𝑓𝑦𝑦 = Vi tich phan 2, 2020-2021 ′ ′ 𝑓𝑦 𝑦 𝜕 𝜕𝑓 𝜕2𝑓 = = 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦 Nguyen Van Thuy, University of Science ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP • Ví dụ Tính đạo hàm riêng cấp hàm số 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 15𝑥 𝑦 + 𝑥𝑦 + 𝑦 ′′ ′′ • Ví dụ Tính 𝑓𝑥𝑥 + 𝑓𝑦𝑦 hàm số 𝑦 𝑓 𝑥, 𝑦 = arctan 𝑥 Vi tich phan 2, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science MẶT PHẲNG TIẾP XÚC • Phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cong (S): 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) điểm 𝑀 𝑥0 ; 𝑦0 ; 𝑧0 là: 𝑧 = 𝑓 𝑥0 ; 𝑦0 + 𝑓𝑥′ 𝑥0 ; 𝑦0 ∙ 𝑥 − 𝑥0 + 𝑓𝑦′ 𝑥0 ; 𝑦0 ∙ 𝑦 − 𝑦0 Vi tich phan 2, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science MẶT PHẲNG TIẾP XÚC • Ví dụ Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cong (S): • a) 𝑧 = 𝑥 𝑦 điểm 𝑀(2; 1; 4) • b) 𝑧 = ln(𝑥 − 2𝑦) điểm 𝑀(3; 1; 0) Vi tich phan 2, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science XẤP XỈ TUYẾN TÍNH • Càng gần tiếp điểm, mặt cong gần mặt phẳng tiếp xúc Do đó, (x,y) gần 𝑥0 ; 𝑦0 𝑓(𝑥, 𝑦) ≈ 𝑓 𝑥0 ; 𝑦0 + 𝑓𝑥′ 𝑥0 ; 𝑦0 ∙ 𝑥 − 𝑥0 + 𝑓𝑦′ 𝑥0 ; 𝑦0 ∙ 𝑦 − 𝑦0 (cơng thức xấp xỉ tuyến tính cơng thức tính gần nhờ vi phân) Vi tich phan 2, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science 10 XẤP XỈ TUYẾN TÍNH • [2017-2018] Tính xấp xỉ số 2.012 + 2.992 vi phân toàn phần cấp • [2016-2017] Cho hàm số 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑒 𝑥+𝑦−7 𝑥 + 𝑦 • a) Tính 𝑓𝑥′ 𝑥, 𝑦 ; 𝑓𝑦′ (𝑥, 𝑦) • b) Tính xấp xỉ 𝑓(3.02; 3.99) • [2012-2013] Tính xấp xỉ 𝐴 = 0.99 3.01 Vi tich phan 2, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science 11 ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM HỢP • 𝑧 = 𝑧 𝑥, 𝑦 ; 𝑥 = 𝑥 𝑡 , 𝑦 = 𝑦(𝑡) 𝑑𝑧 𝜕𝑧 𝑑𝑥 𝜕𝑧 𝑑𝑦 = ∙ + ∙ 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝑑𝑡 𝜕𝑦 𝑑𝑡 • Ví dụ Tính • Ví 𝑑𝑧 : 𝑑𝑡 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 , 𝑥 = 2𝑡 + 1, 𝑦 = sin 𝑡 𝑑𝑤 dụ Tính với 𝑑𝑡 𝑤 = 𝑥𝑒 𝑦/𝑧 , 𝑥 Vi tich phan 2, 2020-2021 = 𝑡 , 𝑦 = − 𝑡, 𝑧 = + 2𝑡 Nguyen Van Thuy, University of Science 12 ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM HỢP • 𝑧 = 𝑧 𝑥, 𝑦 , 𝑥 = 𝑥 𝑠, 𝑡 , 𝑦 = 𝑦(𝑠, 𝑡) 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = ∙ + ∙ 𝜕𝑠 𝜕𝑥 𝜕𝑠 𝜕𝑦 𝜕𝑠 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = ∙ + ∙ 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑡 𝜕𝑦 𝜕𝑡 Vi tich phan 2, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science 13 ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM HỢP • [2017-2018] Cho hàm số 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 ln(𝑥 + 𝑦 ) 𝑥 = 2𝑠 + 3𝑡, 𝑦 = 5𝑠 − 3𝑡 Đặt 𝐹 𝑠, 𝑡 = 𝑓 𝑥 𝑠, 𝑡 , 𝑦(𝑠, 𝑡) Tính đạo hàm riêng • [2016-2017] Cho 𝑓 𝑚, 𝑣 𝑡 , 𝑣 = 𝑠𝑡 Tính Vi tich phan 2, 2020-2021 𝜕𝑓 (1; 1) 𝜕𝑠 = 𝑚𝑣 , 𝑚 𝜕𝑓 (1; 1) 𝜕𝑡 Nguyen Van Thuy, University of Science 𝜕𝐹 𝜕𝑠 𝜕𝐹 𝜕𝑡 = 𝑠2 − 14 ... Thuy, University of Science ĐẠO HÀM RIÊNG • Ví dụ Tính