Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 108 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
108
Dung lượng
6,92 MB
Nội dung
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Số Phức Nâng Cao Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao MỤC LỤC A – LÝ THUYẾT CHUNG SỐ PHỨC 2 PHÉP CỘNG TRỪ NHÂN CHIA SỐ PHỨC TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MAX – MIN MÔ ĐUN SỐ PHỨC B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM DẠNG 1: TÍNH TỐN VÀ CÁC YẾU TỐ TRÊN SỐ PHỨC DẠNG 2: PT, HPT TRÊN SỐ PHỨC 10 DẠNG 3: TÌM TẬP HỢP ĐIỂM, BIỂU DIỄN SỐ PHỨC 15 ĐIỂM BIỂU DIỄN 15 TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN LÀ ĐƯỜNG THẲNG 16 TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN LÀ ĐƯỜNG TRÒN 18 TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN LÀ HÌNH TRỊN 23 TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN LÀ ĐƯỜNG CÔNIC 24 TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN LÀ ĐƯỜNG CONG 25 TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN LIÊN QUAN ĐA GIÁC 27 DẠNG 4: SỐ PHỨC CÓ MOĐUN NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT 29 MOĐUN MIN, MAX CỦA SỐ PHỨC CÓ TẬP HỢP BIỂU DIỄN LÀ ĐƯỜNG ĐƯỜNG THẲNG 29 MOĐUN MIN, MAX CỦA SỐ PHỨC CÓ TẬP HỢP BIỂU DIỄN LÀ ĐƯỜNG TRỊN, HÌNH TRỊN 31 MOĐUN MIN, MAX CỦA SỐ PHỨC CÓ TẬP HỢP BIỂU DIỄN LÀ ELIP 34 DẠNG 5: MIN, MAX SỐ PHỨC PP ĐẠI SỐ 35 ÁP DỤNG CÁC TÍNH CHẤT BĐT, ĐÁNH GIÁ 35 ÁP DỤNG CÁC BĐT BUNHIACOPXKI 38 ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 39 DẠNG 6: MIN, MAX SỐ PHỨC PP HÌNH HỌC 41 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao SỐ PHỨC A – LÝ THUYẾT CHUNG SỐ PHỨC 1.1 Khái niệm số phức Số phức (dạng đại số) : z a bi; a, b Trong : a phần thực, b phần ảo, i đơn vị ảo, i 1 Tập hợp số phức kí hiệu: z số thực phần ảo z b z số ảo (hay gọi ảo) phần thực a Số vừa số thực vừa số ảo 1.2 Hai số phức Hai số phức z a bi a, b z c di c, d phần thực phần ảo chúng tương đương a c Khi ta viết z z a bi c di b d 1.3 Biểu diễn hình học số phức Số phức z a bi a, b biểu diễn điểm M a;b hay u a;b mặt phẳng phức với hệ tọa độ Oxy y M (a;b) O 1.4 Số phức liên hợp x Số phức liên hợp z a bi a, b z a bi z z z z ' z z '; ; z z a b z z 2 z số thực z z ; z số ảo z z 1.5 Môđun số phức Độ dài vectơ OM gọi môđun số phức z kí hiệu z Vậy z OM hay z a bi OM a b z z; z z' z z'; Một số tính chất: z a b2 zz OM ; z z z 0, z ; z z z1 z1.z z z ; z2 z1 z2 z1 ; z2 z1 z z2 z1 z z1 z z1 z2 PHÉP CỘNG TRỪ NHÂN CHIA SỐ PHỨC 2.1 Phép cộng phép trừ số phức Cho hai số phức z a bi a, b z c di c, d Khi đó: z1 z a c b d i Số đối số phức z a bi z a bi File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Tổng số phức với số phức liên hợp hai lần phần thực số thực đó: z a bi, z z 2a 2.2 Phép nhân số phức Cho hai số phức z a bi a, b z c di c, d Khi đó: z 1z a bi c di ac – bd ad bc i Với số thực k số phức z a bi a, b , ta có k z k a bi ka kbi Đặc biệt: 0.z với số phức z Lũy thừa i : i 1, i i, i 1, i 4n 1, i 4n 1 i, i 4n 1, 2.3 Chia hai số phức i i i i i 4n i, Số phức nghịch đảo z khác số z 1 n z z z' z '.z z '.z z ' z 1 z z z z TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC Một số tập hợp điểm biểu diễn số phức z thường gặp: ax by c tập hợp điểm đường thẳng x tập hợp điểm trục tung Oy y tập hợp điểm trục hoành Ox Phép chia hai số phức z ' z 2 x a y b R tập hợp điểm hình tròn tâm I a;b , bán kính R x a y b R tập hợp điểm đường tròn có tâm I a; b , bán R a2 b2 c x tập hơp điểm miền bên phải trục tung y tập hợp điểm miền phía trục hoành x tập hợp điểm miền bên trái trục tung y tập hợp điểm phía trục hồnh 2 2 x y 2ax 2by c y ax bx c tập hợp điểm đường Parabol x y2 tập hợp điểm đường Elip a b x y2 tập hợp điểm đường Hyperbol a b PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC 4.1 Căn bậc hai số thực âm Cho số z , có số phức z cho z 12 z ta nói z bậc hai z Mọi số phức z có hai bậc hai Căn bậc hai số thực z âm i z Tổng quát, bậc hai số thực a âm i a 4.2 Phương trình bậc hai với hệ số thực File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang kính ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Cho phương trình bậc hai ax bx c 0, a,b, c , a Xét biệt số b 4ac phương trình Ta thấy: b Khi , phương trình có nghiệm thực x 2a Khi , phương trình có hai nghiệm thực phân biệt x1,2 Khi , phương trình có hai nghiệm phức x1,2 b 2a b i 2a BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN MAX – MIN MƠ ĐUN SỐ PHỨC z max z z1 Cho số phức z thỏa mãn z1 z z2 r , r min z z z1 Cho số phức z thỏa mãn z1 z z2 r1 , r1 max P z2 z1 z3 r1 z1 P z2 z1 r z1 r z1 z3 r1 z1 Cho số phức z thỏa mãn z z z z 1.z z k, k k max z z z1 k z2 2 z1 ACGUMEN CỦA SỐ PHỨC z Định nghĩa Cho số phức z Gọi M điểm mặt phẳng phức biểu diễn số z Số đo (radian) góc lượng giác tia đầu Ox , tia cuối OM gọi acgumen z Chú ý Nếu acgumen z (hình dưới) gọi acgumen z có dạng k 2 , k Z (người ta thường nói: Acgumen z xác định sai khác k 2 , k Z ) DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC Xét số phức z a bi a, b Kí hiệu r mơ đun z acgumen z (hình dưới) dễ thấy rằng: a r cos , b r sin Vậy z a bi viết dạng z r cos +i sin Định nghĩa Dạng z r cos +i sin , r 0, gọi dạng lượng giác số phức z Dạng z a bi a, b , gọi dạng đại số số phức z Nhận xét Để tìm dạng lượng giác z r cos +i sin số phức z a bi a, b khác cho trước ta cần: Tìm r : mơ đun z, r a b ; số r khoảng cách từ gốc O đến điểm M biểu diễn số z mặt phẳng phức File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tìm : acgumen z; số thực cho cos = Số Phức Nâng Cao a b sin ; số số r r đo góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM Chú ý Z Z cos +i sin ; Khi z z r acgumen z không xác định (đôi coi acgumen số thực tùy ý viết cos +i sin Cần để ý đòi hỏi r dạng lượng giác r cos +i sin số phức z NHÂN VÀ CHIA SỐ PHỨC LƯỢNG GIÁC Ta công thức nhân chia số phức dạng đại số Sau định lý nêu lên công thức nhân chia số phức dạng lượng giác; chúng giúp cho quy tắc tính tốn đơn giản nhân chia số phức Định lý Nếu z r cos +i sin ; z ' r ' cos '+i sin ' r 0, r ' z r cos ' +i sin ' ; r z' r' Nói cách khác, để nhân số phức dạng lượng giác, ta lấy tích mơ đun tổng acgumen; để chia số phức dạng lượng giác ta lấy thương mô đun hiệu acgumen Chứng minh zz ' r cos +i sin r ' cos '+i sin ' lim Thì zz ' rr ' cos ' +i sin ' ; x rr ' cos cos ' sin sin ' i sin cos '+cos sin ' rr ' cos ' +i sin ' 1 cos i sin Theo công thức nhân số phức, z r z r z cos ' +i sin ' Ta có: z' z' r' CƠNG THỨC MOA-VRƠ (MOIVRE) Từ cơng thức nhân số phức dạng lượng giác, quy nạp toán học dễ dàng suy với số nguyên dương n Mặt khác, ta có n r cos +i sin r n cosn +i sin n Và r 1, ta có cos +i sin n cosn +i sin n Cả hai công thức gọi cơng thức Moa – vrơ 10 CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC DƯỚI DẠNG LƯỢNG GIÁC Từ công thức Moa – vrơ, dễ thấy số phức z r cos +i sin , r có bậc hai r cos +i sin r cos +i sin r cos( + )+i sin( ) 2 2 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM DẠNG 1: TÍNH TOÁN VÀ CÁC YẾU TỐ TRÊN SỐ PHỨC Câu 1: (THTT số 3) Cho số phức z thỏa mãn z Tính 1 z z 2018 1 z z 2018 Câu 2: A B Đáp số khác C D (THPT-Chuyên-Sơn-La-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-4)Cho hai số phức z , w thỏa mãn z w 17 , z 2w 58 z w Giá trị biểu thức P z.w z.w A B C D m Câu 3: Câu 4: Câu 5: Câu 6: Câu 7: Câu 8: Câu 9: Câu 10: Câu 11: Câu 12: Câu 13: Câu 14: 6i Cho số phức z , m nguyên dương Có giá trị m 1;50 để z số 3i ảo? A 24 B 26 C 25 D 50 z 1 Nếu z z A lấy giá trị phức B số ảo C D lấy giá trị thực z a z a; a Nếu z A lấy giá trị phức B số ảo C D lấy giá trị thực z 1 z i 1? Có số phức z thỏa iz 2 z A B C D Cho hai số phức z1 , z2 thảo mãn z1 z2 1; z1 z2 Tính z1 z2 A B C D 2008 Tính z i i i i có kết quả: A B C i D i 2017 có phần thực a phần ảo (THTT số 3) Cho số phức z 2i 3i 4i 2018i b Tính b a B 1 C 1010 D 2017 A 2017 Tính S 1009 i 2i 3i 2017i A S 2017 1009i B 1009 2017i C 2017 1009i D 1008 1009i 1 Cho số phức z có mơ đun 2017 w số phức thỏa mãn biểu thức z w zw Môđun số phức w bằng: A B C 2016 D 2017 z 7i Cho số phức z thoả mãn: z Tìm phần thực số phức z 2017 3i 1008 1008 A 2 B C 2504 D 22017 (Ngô Quyền Hà Nội) Cho số phức z thỏa mãn: 2i z i i Hiệu phần thực phần ảo số phức z A B C D (Ngô Quyền Hà Nội) Cho số phức z thỏa mãn 1 i z i z Môđun số phức w i 2z là? 1 i File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A Câu 15: 122 B 10 Số Phức Nâng Cao 45 C D 122 (Chuyên Bắc Giang) Tìm mô đun số phức số z biết z 11 i z 1 i 2i A Câu 16: Cho số phức z thỏa mãn A 13 zi B z 1 B 15 C D i 1 Tính mô đun số phức z z C 17 Câu 17: Cho z1 , z2 hai số phức liên hợp thỏa mãn D 19 z1 z1 z2 Tính z 22 mơđun số phức z1 Câu 18: (THPT NINH BÌNH – BẠC LIÊU LẦN NĂM 2019) Cho số phức z có phần thực số nguyên z thỏa mãn z z 7 3i z Tính mơ-đun số phức z z Câu 19: A z1 B z1 C z1 D z1 A 37 B 457 C 425 D 445 (Đặng Thành Nam Đề 15) Cho số phức z a bi a, b thỏa mãn z 3iz z Tính S ab 3 3 B S C S D S A S 2 4 Câu 20: (Trần Đại Nghĩa) Cho số phức z a bi a, b , a 0 thỏa z.z 12 z z z 13 10i Tính S a b A S B S 17 C S 17 D S Câu 21: (Đặng Thành Nam Đề 17) Cho hai số phức z w khác thoả mãn z 3w w z z 2wi z 2w 2wi Phần thực số phức w A B 3 C 1 D 2 Câu 22: (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) Cho số phức z thoả mãn z z i Tính mơđun số phức z i B A D 1 Mô đun Câu 23: Cho z số phức có mơ đun 2017 w số phức thỏa mãn z w zw số phức z là: A 2015 B C 2017 D Câu 24: Cho số phức z1 , z2 khác thỏa mãn: z1 z2 Chọn phương án đúng: z1 z z1 z2 z z C số thực z1 z A C z1 z2 số phức với phần thực phần ảo khác z1 z z z D số ảo z1 z B u v 10 3u 4v 2016 M 4u 3v Câu 25: Cho hai số phức u,v thỏa mãn Tính A 2984 B 2884 C 2894 D 24 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 26: (Thuan-Thanh-Bac-Ninh) Cho số phức z thỏa mãn i z Số Phức Nâng Cao 2 14i 1 3i Khẳng định z sau đúng? Câu 27: z 2 13 z 4 11 z D z (Chuyên Vinh Lần 2) Cho số phức z1 , z thỏa mãn z1 z2 z1 z2 Môđun A B C z1 3z2 A 52 B 53 C D 51 Câu 28: (Chuyên Vinh Lần 2) Cho số phức z1 , z thỏa mãn z1 , z2 z1 z2 Môđun z1 z2 A 12 B 13 C 14 D 10 Câu 29: (Chuyên Vinh Lần 2) Cho số phức z1 , z thỏa mãn z1 , z2 z1 z2 Môđun z1 z2 A B 70 C D 19 Câu 30: (Chuyên Vinh Lần 2) Cho số phức z1 , z thỏa mãn z1 , z2 z1 z2 Môđun 2018 z1 2019 z2 65199571 B 65199456 C 65147871 D 45199473 Câu 31: (Cầu Giấy Hà Nội 2019 Lần 1) Nếu số phức z1 , z2 thỏa mãn điều kiện A z1 3, z2 4, z1 z2 khẳng định sau đúng? A z1 z2 B z1 z2 C z1 z2 D z1 z2 Câu 32: Cho ba số phức z1 , z , z3 thỏa mãn z1 z2 z3 z1 z2 z3 Mệnh đề sau sai A Trong ba số có hai số đối B Trong ba số phải có số C Trong ba số có nhiều hai số D Tích ba số ln m 1 Câu 33: Cho số phức z m Số giá trị nguyên m để z i m 2i 1 B C D Vô số A 2z i Câu 34: Cho số phức z thỏa mãn z Đặt A Mệnh đề sau đúng? iz A A B A C A D A Câu 35: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z z Khẳng định sau đúng? A 1 1 z B 6 z 1 1 z 3 Câu 36: Cho z1 , z , z3 số phức thỏa mãn z1 z2 z3 z1 z2 z3 Khẳng định sai ? C z D File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao A z13 z23 z33 z13 z23 z33 B z13 z23 z33 z13 z 23 z33 C z13 z23 z33 z13 z 23 z33 D z13 z23 z33 z13 z23 z33 Câu 37: Cho z1 , z , z3 số phức thỏa z1 z2 z3 Khẳng định đúng? A z1 z2 z3 z1 z2 z2 z3 z3 z1 B z1 z2 z3 z1 z2 z2 z3 z3 z1 C z1 z2 z3 z1 z2 z2 z3 z3 z1 D z1 z2 z3 z1 z2 z2 z3 z3 z1 z i max : B 1 C i D i n Câu 39: Tìm phần thực số phức z 1 i , n thỏa mãn phương trình: Câu 38: Tìm số phức z có A z 1 log n 3 log n 9 A B C D z z Câu 40: Cho hai số phức phân biệt z1 ; z2 thỏa mãn điều kiện số ảo Khẳng định sau z1 z đúng? A z1 1; z2 C z1 z2 D z1 z2 B z1 z2 z1 z2 z3 2 Câu 41: Cho số phức z1 ; z2 ; z3 thỏa 2 Tính A z1 z2 z2 z3 z3 z1 z1 z2 z3 2 A B 2 C D 3 Câu 42: Xét số phức z thỏa z z i 2 Mệnh đề đúng: A z 2 B z C z Câu 43: Xét số phức z thỏa mãn 1 2i z A z 2 B z 2 D z 2 10 i Mệnh đề đúng? z 1 C z D z 2 z 1 Câu 44: Gọi z1 , z2 , z3 , z4 nghiệm phương trình Tính giá trị biểu thức: 2z i P z12 1 z22 1 z32 1 z 42 1 17 2016 Câu 45: Tính module z 2i 3i 4i 2017.i Câu 46: 19 A B A z 2036164 B z 2030113 C D C z 2034145 D z 2032130 (KINH MÔN HẢI DƯƠNG 2019) Cho số phức u , v thỏa mãn: u v 10 3u 4v 2019 Ta có 4u 3v A Câu 47: 2890 B 2981 (Chuyên KHTN) Cho khai triển C 3x 2019 2891 D 2982 a0 a1 x a2 x a3 x3 a2019 x 2019 Hãy tính tổng S a0 a2 a a6 a2016 a2018 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Ta có OM min OM OI r 22 Vậy z1 3z2 4OM 20 22 Phân tích : Kiến thức cần nắm vững : Quỹ tích điểm biểu diễn số phức Modun số phức Bài tốn liên quan tâm tỉ cự hình học Sai sót dễ gặp, khơng để ý đường tròn C qua gốc tọa độ Câu 65 (ĐH Vinh Lần 1) Giả sử z1 , z hai số phức thỏa mãn z 1 z 2i số ảo Biết z1 z2 , giá trị nhỏ z1 z2 A 13 B 13 C 13 Lời giải D 22 Chọn B Đặt z x yi x; y z 1 z 2i x y x y x y i Theo giả thiết z 1 z 2i số ảo, suy 1 x y x y x x y y x y 1 4 2 2 tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn C1 tâm I ; 1 , R Giả sử z x yi , x, y Gọi A, B điểm biểu diễn cho số phức z1 , z Suy z1 z2 AB Gọi M điểm thỏa mãn MA MB OA 5OB 6OM IH IH IA2 HA2 Gọi H trung điểm AB ta có 2 IH IM HM IM 13 36 13 Vậy tập hợp điểm M đường tròn C2 tâm I ; 1 , r Ta có z1 z OA 5OB OM 6OM Do C1 , C2 hai đường tròn đồng tâm O C1 13 Từ suy z1 z2 Min 6OM Min R r 13 Câu 66 (ĐH Vinh Lần 1) Giả sử z1 , z2 hai số số phức z thỏa mãn iz i z1 z2 Giá trị lớn z1 z2 A B C Lời giải D Chọn A File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 41 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Ta có iz i i z i z i Điểm biểu diễn z thuộc đường tròn tâm I 1; , R Gọi M , N điểm biểu diễn z1 , z2 nên MN đường kính Dựng hình bình hành OMPN ta có z1 z2 OP Ta có z z2 z1 z2 z z 2 z1 z2 16 z1 z2 Dấu xảy z1 z2 MN OI ( OMPN hình thoi) Câu 67 (Cầu Giấy Hà Nội 2019 Lần 1) Cho số phức z thay đổi thỏa mãn z Giá trị lớn i 3 biểu thức P z z z 3i A B C 16 D 32 Lời giải Chọn B Gọi M điểm biểu diễn z , A 1; , B 1; , C 0; File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 42 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao 3 3 Khi M C : x y A , B , C C , có tâm I 0; , bán kính R 3 ABC tam giác Ta có: P z z z 3i MA MB MC AB Lấy E MC cho ME MA Giả sử M thuộc cung nhỏ Vì AMC ABC 60 nên AME tam giác 60 AM AE MAE BAM CAE BAM c.g.c EC MB CAE Do đó: P z z z 3i MA MB MC ME EC MC MC PMax MC có độ dài lớn MC đường kính đường tròn C ( hay M điểm AB ) cung nhỏ PMax MC 2.2 R , M điểm cung Tương tự M thuộc cung nhỏ BC AC PMax , nhỏ BC AC Vậy PMax Câu 68 (Hàm Rồng) Cho số phức z , z1 , z thỏa mãn z1 5i z2 z 4i z 4i Tính z1 z P z z1 z z2 đạt giá trị nhỏ A B 41 C Lời giải D Chọn A *) Gọi z a bi, z1 a1 b1i, z2a2 b2i Từ giả thiết, ta có: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 43 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao + z1 5i a1 b1 5 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z1 đường tròn C1 tâm I1 4;5 , bán kính R + z2 a2 1 b2 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z2 đường tròn C2 tâm I 1;0 , bán kính R 2 + z 4i z 4i a b a 8 b a b Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng d : x y *) Ta cần tìm z , z1 , z để P z z1 z z2 đạt GTLN tức ta cần tìm A C1 , B C2 để AM BM nhỏ với M d Ta có: + Đường thẳng d , qua I 1;0 vng góc với d PT d , : x y 3 + d d , H H ; 2 2 + Gọi I 2, , C2, đối xứng với I ;(C2 ) qua đường thẳng d Ta có: 2 I 2, 4, 3 C2, : x y 3 I1I 2, cắt (d ) M 4;0 z I1I 2, cắt C1 hai điểm A1 4;4 ; A2 4,6 z1 4i thỏa mãn toán MI cắt C2 hai điểm O 0;0 ; B 2;0 z2 thỏa mãn toán Vậy: z1 z2 4i 2 Câu 69 (THPT NINH BÌNH – BẠC LIÊU LẦN NĂM 2019) Cho số phức z thỏa mãn z z z z z Giá trị lớn biểu thức P z 2i bao nhiêu? A 5 B 3 C Lời giải D 3 Chọn C Gọi z x yi x, y z x yi Ta có: 2 z z x , z z yi , z x y xyi z z z z z x y x2 y x y x y Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z cung tròn lớn thuộc góc phần tư đường tròn tâm A 1;1 , B 1;1 , C 1; 1 , D 1; 1 bán kính R File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 44 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Lại có P z 2i nên z thuộc đường tròn tâm E 5; bán kính P Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn đồng thời điều kiện Do P đạt giá trị lớn đường tròn tâm E 5; bán kính P cắt bốn đường tròn tâm A 1;1 , B 1;1 , C 1; 1 , D 1; 1 bán kính R điểm xa E Kẻ đường thẳng ED cắt đường tròn tâm D F H Pmax EF ED DF Câu 70 (Chuyên KHTN lần2) Cho số phức z thỏa mãn z z z z z Gọi m M giá trị lớn giá trị nhỏ z 2i Khi m M A 26 B 26 C 10 34 Lời giải D 26 Chọn C + Gọi số phức z x yi x; y có điểm biểu diễn M x; y z x yi + z z z z z2 x yi x yi x yi x yi x yi x yi x yi 2 4x2 y2 x2 y2 2x y x2 y x2 y2 2x y 2 x y 2x y 2 x y 2x y x2 y2 2x y x 0; y I1 x 0; y I x 0; y I3 x 0; y I Phần đường tròn I1 có tâm I1 1;1 , bán kính R (ứng với x 0; y ) Phần đường tròn I có tâm I 1;1 , bán kính R (ứng với x 0; y ) Phần đường tròn I có tâm I 1; 1 , bán kính R (ứng với x 0; y ) Phần đường tròn I có tâm I 1; 1 , bán kính R (ứng với x 0; y ) + P z 2i MA với A 4; M chạy phần đường tròn (ứng với điều kiện x ; y nêu trên) hình vẽ y A B I2 I1 O x I3 I4 C File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 45 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Dựa vào hình vẽ ta thấy: Giá trị lớn P m AI4 R 34 Giá trị nhỏ P M AI R 10 Vậy m M 34 10 , nên chọn đáp án C Câu 71 (THPT NÔNG CỐNG LẦN NĂM 2019) Cho số phức z thỏa mãn | z z | | z z | | z | Giả sử M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P | z 2i | Tính M m A B C D 10 Lời giải Chọn B Đặt: z x yi, với x, y Khi z x yi Khi đó: | z z | | z z || z | | x | 2 | y || z |2 | x | 2 | y | x y Nhận thấy đường cong có phương trình | x | 2 | y | x2 y nhận trục tọa độ làm trục đối xứng, gốc tọa độ làm tâm đối xứng Với x 0, y ta có: | x | 2 | y | x2 y x2 x y y Đường cong phần đường tròn có tâm I1 (1;1) với bán kính R nằm góc phần tư thứ gốc tọa độ Từ đó, đường cong có phương trình | x | 2 | y | x2 y phần (nét liền) đường tròn tâm I1 1;1 , I 1;1 , I 1; 1 I 1; 1 với bán kính R , với gốc tọa độ hình đây: Đặt A 3;2 điểm biểu diễn cho số phức z N x ; y P | z 2i | NA Do A nằm góc phần tư thứ nên giá trị lớn P đạt điểm N nằm góc phần tư thứ ba, giá trị M AI R 42 32 R R Giá trị nhỏ P đạt điểm N nằm góc phần tư thứ nhất, giá trị m AI1 R 2 12 R R Vậy M m Câu 72 (THPT ĐÔ LƯƠNG LẦN 2) Cho số phức số z thỏa mãn z 3i z i 65 Giá trị nhỏ z i đạt z a bi với a , b số thực dương Giá trị 2a b A 17 B 33 C 24 D 36 Lời giải File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 46 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Chọn B Gọi z x yi ; x , y Điểm M x ; y biểu diễn số phức z Theo giả thiết z 3i z i 65 x yi 3i x yi i 65 x 1 y 3 x 5 y 1 65 1 Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z nằm đường elip E có tiêu điểm F1 1; 3 F2 5;1 Mà z i x 2 y 1 MA , với A 2; 1 trung điểm F1 F2 Do MA z i nhỏ M E ; với qua A F1 F2 M có tọa độ dương Ta có F1F2 6;4 n 3;2 Phương trình 3x y y 3x 2 3x 3 x 1 3x Thay vào 1 ta 1 65 x 5 x 13x2 52 x 104 65 13x 52 x 156 x 6 + Với x y (loại) + Với x y M 2;5 a 2; b 2a b2 33 Câu 73 (THĂNG LONG HN LẦN NĂM 2019) Cho số thực a thay đổi số phức z thỏa mãn z ia Trên mặt phẳng tọa độ, gọi M điểm biểu diễn số phức z Khoảng a 1 a ( a 2i ) cách nhỏ hai điểm M I (3; 4) (khi a thay đổi) A B C D Lời giải Chọn C z ia z a i z a i 2 a 1 a( a 2i ) a a i a (a i) 2 a2 a a z z i M( ; ) 2 a i a 1 a 1 a a2 M thuộc đường tròn ( C ) : x y bán kính R Vì I (3; 4) nằm ngồi (C ) nên để khoảng cách d hai điểm M I (3; 4) nhỏ d IO R Câu 74 (THPT SỐ TƯ NGHĨA LẦN NĂM 2019) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 3i z2 i z2 i Giá trị nhỏ biểu thức P z2 i z2 z1 A B 10 C 10 Lời giải D Chọn ? Gọi M z1 , N z2 điểm biểu diễn số phức z1 z2 Từ điều kiện z1 3i Tập hợp điểm M đường tròn tâm I 1;3 , bán kính R File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 47 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Từ điều kiện z2 i z2 i NA NB , với A 1;1 , B 5; 1 Tập hợp điểm N đường trung trực đoạn thẳng AB có phương trình d : 3x y Ta có P z2 i z2 z1 NE MN , với E 1;1 I E M d N F Dễ thấy điểm E đường tròn I ; R nằm hồn tồn phía so với đường thẳng d 17 Gọi F điểm đối xứng E qua d F ; 5 85 1 Ta có P NE MN NF NI R FI R Dấu xảy điểm F, N, M, I thẳng hàng 85 1 Câu 75 Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện Vậy P z 4i biểu thức M z z i đạt giá trị lớn Tính mơđun số phức z i A z i 41 B z i C z i D z i 41 Lời giải 2 Gọi z x yi; x ; y Ta có: z 4i C : x 3 y : tâm I 3; R Mặt khác: 2 M z z i x y x y 1 x y d : x y M Do số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên d C có điểm chung d I;d R M max 23 M 23 M 10 13 M 33 4 x y 30 x 33 z i 4i z i 41 2 y 5 x 3 y Chọn D Vậy giá trị nhỏ z 4i Câu 76 (Đặng Thành Nam Đề 6) Gọi S tập hợp tất số phức z thoả mãn z 34 z mi z m 2i Gọi z1 , z2 hai số phức thuộc S cho z1 z nhỏ nhất, giá trị z1 z2 A B C Lời giải File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D Trang 48 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Chọn D z 34 Đặt z x yi theo giả thiết có: z mi z m 2i 2 x 1 y 34 x 1 y 34 2 2 2m x 2m y x 1 y m x m y 1 2 Ta có 1 đường tròn C có tâm I (1; 0), R 34; đường thẳng Vì có tối đa số phức z1 , z2 thoả mãn hệ phương trình cho, gọi A z1 , B z2 ta có AB R d ( I , ) 34 d I , ABmin d I , max Ta có d ( I , ) 1(2m 2) (2m 2) (2 m 4) d ( I , ) max 34 13 m ( x 1)2 y 34, Khi z1 z2 3 x y 4 Câu 77 (CHUYÊN HUỲNH MẪN ĐẠT 2019 lần 1) Cho số phức z 1, z thỏa mãn z1 2i z1 2i 10 , z 6i Tìm giá trị lớn z1 z2 A B 11 C 12 D 16 Lời giải Gọi M , A 2; 2 B 2; điểm biểu diễn cho số phức z1 , z 2i z 2 2i Khi theo đề ta có : MA MB 10 AB 10 Vì A , B điểm cố định nên quỹ tích điểm M thõa mãn điều kiện elip E có độ dài trục lớn 2a 10 , tiêu điểm A , B Mặt khác N điểm biểu diễn cho số phức z2 thỏa mãn z2 6i đường tròn C tâm I 6; 6 , bán kính R Dễ thấy B , A , I nằm đường thẳng y x Xét điểm P nằm đoạn BI thỏa mãn IP P 5; 5 P C C E tiếp xúc P Khi P E File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 49 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Do MN lớn : MN 2a 2R MP PN 10 2 12 , lúc : M , P đỉnh trục lớn E , N điểm đối xứng P qua I Câu 78 (Chuyên Ngoại Ngữ Hà Nội) Cho số phức z , z1 , z2 thay đổi thỏa mãn điều kiện sau: iz 2i ; phần thực z1 ; phần ảo z2 Tìm giá trị nhỏ biểu 2 thức T z z1 z z2 A B C Lời giải D Chọn D 2i iz 2i i z i z 4i z 4i i Gọi M điểm biểu diễn số phức z I 2; Ta có: z 4i MI M thuộc đường tròn C tâm I , bán kính R 2 Gọi A , B điểm biểu diễn số phức z1 , z2 Ta có: T z z1 z z2 MA2 MB Vì phần thực z1 nên A thuộc đường thẳng x Vì phần ảo z2 nên B thuộc đường thẳng y Gọi H , K hình chiếu M đường thẳng x y Ta có: T MA2 MB MH HA2 MK KB MH MK (1) Gọi E 2;1 Tứ giác MHEK hình chữ nhật MH MK ME (2) Gọi M giao điểm đường thẳng IE với đường tròn C ( M I , E ) (như hình vẽ) Ta có: ME M E M C (3) File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 50 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Từ (1), (2), (3) suy T M E Ta có: M E IE IM Suy T Dấu xảy H A , K B M M hay M M A , B hình chiếu M đường thẳng x y Vậy T đạt giá trị nhỏ Cách 2i iz 2i i z i z 4i z 4i i x , y Ta có: x y x y 4 x y 11 (*) Gọi z1 , z2 b i a , b 2 2 2 2 T z z1 z z2 x y a x b y 1 x y 1 2 Đặt A x y 1 8 x y (theo (*)) 8 x y 34 2 Ta có: 8 x y 82 62 x y Gọi z x yi (1) A 34 100.9 (theo (*)) A 64 Suy A (2) Từ (1) (2) suy T ya xb x b Dấu xảy x2 y4 y a 11 8 A 8 x y Vậy T đạt giá trị nhỏ Câu 79 (CổLoa Hà Nội) Gọi z1 , z2 , z3 ba số phức thỏa mãn điều kiện z1 z1 3i 10 , z2 z2 3i , z3 z3 Đặt m giá trị nhỏ biểu thức z1 z2 z2 z3 z3 z1 Khẳng định sau đúng? A m 4;5 B m 5; C m 6; Lời giải D m ;8 Chọn B File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 51 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Trong mặt phẳng Oxy , gọi A 1; , B 0;3 , C 3; M , N , P điểm biểu diễn số phức z1 , z2 , z3 Khi đó, z1 z1 3i 10 MA MB AB Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z1 đoạn AB Tương tự, z2 z2 3i NC NB BC Tập hợp điểm N biểu diễn số phức z2 đoạn BC z3 z3 PA PC AC Tập hợp điểm P biểu diễn số phức z3 đoạn AC Khi z1 z2 z2 z3 z3 z1 MN NP PM Gọi P1 , P2 đối xứng với P qua AB , BC Ta có MP MP1 , NP NP2 Khi P MN NP PM PM MN NP2 P1 P2 P CBP Mặt khác PBA AB , PBC P AB ABC CBP2 PBA ABC PBC ABC Gọi H trung điểm P1 P2 , P BP1 PP P H BP sin P BH BP sin BP.sin BAC 2 2 10 BP BO Khi PP BP sin BAC 10 Ta có sin BAC 10 10 5;6 Vậy giá trị nhỏ biểu thức z1 z2 z2 z3 z3 z1 Câu 80 (Chuyên Vinh Lần 3) Xét số phức z , w thỏa mãn z , iw 5i Giá trị nhỏ z wz A B 29 C D 29 Lời giải Chọn C Cách 1: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 52 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ta có: iw 5i i w Số Phức Nâng Cao 2 5i w 2i i Ta có: T z wz z wz z z wz z z z z z w z z w * Đặt z a bi Suy ra: z z 2bi Vì z nên 4 2b Gọi A , B điểm biểu diễn w 2bi Suy ra: + A thuộc đường tròn C có tâm I 5; 2 , bán kính R + B thuộc trục Oy 4 xB Từ * suy ra: T AB 2MN (xem hình) Dấu “ ” xảy A M 4; 2 w 4 2i B N 0; 2 2bi 2i b 1 z a i a a z i Vậy z wz có giá trị nhỏ Cách 2: Đặt z a bi , w c di ( a , b , c , d ) Từ giả thiết, ta có: a b a, b 2; 2 2 c 6; 4 , d 3; 1 c d Ta có: T z wz z wz z T 2bi c di 2 z wz z z z z z w z z w 2b d c c c (do c 6; 4 ) c 4 Dấu “ ” xảy 2b d 2 c d c Suy nghiệm thỏa mãn d 2 b 1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 53 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Vậy z wz có giá trị nhỏ Chú ý: Về Lời giải SAI Sau có T z wz z z w z w z EF OI 29 z w kz , k Khi đó, đẳng thức khơng xảy ra, hệ vơ nghiệm z w 29 Hoặc: T z wz z z w z z w z w 29 29 , đẳng thức xảy (Bạn đọc tự kiểm tra điều này) Câu 81 (Kim Liên) Xét số phức z thỏa mãn z 2i z i Gọi M , m hai giá trị lớn nhỏ biểu thức P z z 3i Tìm M , m A M 17 5, m B M 26 5, m D M 17 5, m Lời giải C M 26 5, m Chọn C Gọi z x yi x, y điểm M x, y điểm biểu diễn số phức z x 3 A 3; , B 3; 1 Theo đề z 2i z i 2 y 2 x 3 2 y 1 AM BM với Ta có AB 6; 3 AB AM BM AB A, M , B thẳng hàng M nằm A B x 3 6t Phương trình tham số đường thẳng AB : t y 3t Gọi M 3 6t ; 3t , M nằm A B nên 6t t Biểu thức P z z 3i P 3 t x 2 3t y2 3 6t 1 x 1 y 3 3t 2 45t 24t 45t 42t 17 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 54 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 90t 24 Số Phức Nâng Cao 90t 42 đoạn 0;1 45t 42t 17 90t 42 P t 0 2 45t 24t 45t 42t 17 Xét P t 45t 24t 90t 24 90t 24 45t 42t 17 90t 42 45t 24t 15t 45t 42t 17 15t 45t 24t (*) t phương trình (*) vô nghiệm 15 12 t Nếu * 15t 45t 42t 17 15t 45t 24t 15 15 225t 120t 16 (45t 42t 17) 225t 210t 49 (45t 24t 5) Nếu t t (l ) 15 1215t 486t 27 t tm 1 Ta có: P 17 ; P ; P 1 26 3 1 Max P t P 1 26; Min P t P 0;1 0;1 3 Như M 26, m File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 55 ... HÌNH HỌC 41 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan... a bi z a bi File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan... bậc hai với hệ số thực File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang kính ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho