Bai tap lon Suc ben vat lieu

Bài (Sơ đồ A-1- Số liệu 7) Thay số liệu đặt phản lực liên kết thay cho gối tựa, ta có hình sau: k=1 ; q=6 KN/m P=4qa ; M=2qa2 a=1 m Xác định phản lực gối tựa: - Theo điều kiện cân ta có: + Tổng lực theo phương ngang 0: ∑ ngang = ⇔ H B = +Tổng momen điểm B 0: ∑ M / B = ⇔ P × + q × × + M − VD × = ⇔ 2VD = 24 × + × × + 12 ⇔ VD = 24kN + Tổng momen điểm D 0: ∑ M / D = ⇔ P × − q × ×1 + M + VB × = ⇔ 2VB = −24 × + × × − 12 ⇔ VB = −36kN + Kiểm tra lại ta có: VB + VD + P − 2q = −36 + 24 + 24 − × =  Như phản lực Chia đoạn: Thanh chia thành ba đoạn AB, BC CD (như hình): Trang Viết biểu thức nội lực cho đoạn: (1)Đoạn AB: Xét mặt cắt 1-1với tọa độ z ( ≤ z ≤ ) - Viết điều kiện cân phần giữ lại:  N z(1) ( z ) = ∑ Z = N z(1) ( z ) =  (1) (1) Y = Q ( z ) − P =  Q y ( z ) = P = 24kN ∑ y M (1) ( z ) = Pz = 24 z (kNm) M / = M (1) ( z ) − Pz =  x ∑ K x • Nz khơng tồn tồn đoạn • Qy số: Qy = P = 24 kN • Mx đường bậc nhất: M x(1) ( z ) = Pz o o Tại A (z = 0), ta có: M x = M x(1) (0) = (1) Tại B (z = 1), ta có: M x (1) = 24(kNm) (2) Đoạn BC: Xét mặt cắt 2-2 với z ( ≤ z ≤ ) Trang Tương tự, ta có: ∑ Z = N z(2) ( z) = ∑ Y = −Q ( 2) y ( z ) + P − VB − q ( z − 1) = ∑ M / I = M x( 2) ( z ) − Pz + VB ( z − 1) + q ( z − 1) =0 Suy ra: • Nz khơng tồn toàn đoạn N (2) ( z ) = z • ( 2) Qy đường bậc nhất: Q y ( z ) = P − VB − q( z − 1) = −12 − 6( z − 1) ( 2) o Tại B (z = 1), ta có: Q y (1) = −12 − 6(1 − 1) = −12kN ( 2) o Tại C (z = 2), ta có: Q y (2) = −12 − 6(2 − 1) = −18kN • ( z − 1) Mx đường cong bậc hai: M ( z ) = Pz − VB ( z − 1) − q ( 2) o Tại B (z = 1), ta có: M x (1) = 24 kNm ( 2) x o Tại C (z = 2), ta có: (2 − 1) M (2) = 24 × − 36(2 − 1) − = 9kNm o Tại (z=1,5), ta có M x( ) (1,5) = 17,25kNm ( 2) x o Xét cực trị đường cong dM x( ) ( z ) = P − VB − q ( z − 1) = ⇔ z = −1 dz Vậy điểm cực trị có khơng thuộc đoạn BC d M x(2) ( z ) o = −q < dz Bề lõm Mx quay phía âm biểu đồ Trang (3) Đoạn CD: Xét mặt cắt 3-3 với z ( ≤ z ≤ ) Tương tự, ta có: ∑ Z = N z(3) ( z) = ∑ Y =Q ∑M / J ( 3) y ( z ) + VD − q (3 − z ) = =M ( 3) x (3 − z ) ( z ) − V D (3 − z ) + q =0 Suy ra: • Nz khơng tồn toàn đoạn N z(3) ( z ) = ( 3) • Qy đường bậc nhất: Q y ( z ) = q (3 − z ) − V D ( 3) o Tại C (z = 2), ta có: Q y (2) = −24 + 6(3 − 2) = −18kN ( 3) o Tại D (z = 3), ta có: Q y (1) = −24 + 6(3 − 3) = −24kN • Mx đường cong bậc hai: M x(3) ( z ) = VD (3 − z ) − q (3 − z ) 2 Tại C (z = 2), ta có: M x( 3) (2) = 21kNm ( 3) o Tại D (z = 3), ta có: M x (3) = 0kNm o Xét cực trị đường cong: o dM x(3) ( z ) = −VD + q(3 − z ) = ⇔ z = −1 dz Vậy cực trị có khơng thuộc đoạn CD ( 3) o Tại điểm z=2.5, ta có M x (2.5) = 11 25kNm d M x(3) ( z ) = −q < o dz Bề lõm Mx quay phía âm biểu đồ Biểu đồ lực dọc Nz, lực cắt Qy momen uốn Mx: Trang Kiểm tra kết quả:  Liên hệ vi phân nội lực Trang • Đoạn AB khơng có lực phân bố nên lực cắt số  momen uốn đường bậc • Đoạn BD có lực phân bố nên lực cắt đường bậc  momen uốn đường cong bậc hai • Đoạn AB dM x(1) ( z ) = P = Q y(1) dz d M x(1) ( z ) =0 d 2z khơng có lực phân bố • Đoạn BC dM x( ) ( z ) = P − VB − q ( z − 1) = Q y( 2) dz d M x(2) ( z ) = −q < dz • Đoạn CD dM x(3) ( z ) = −VD + q (3 − z ) = Q y(3) dz d M x(3) ( z ) = −q < dz ⇒Kết với liên hệ vi phân nội lực  Định lí bước nhảy • Tại A có lực tập trung P = 24 kN, nên biểu đồ lực cắt có bước nhảy Giá Trái phai trị bước nhảy Q A − Q A = 24kN = P • Tại B có lực tập trung VB = 36 kN, nên biểu đồ lực cắt có bước nhảy Giá AB BC trị bước nhảy Q B − Q B = 36kN = VB • Tại D có lực tập trung V D= 24 kN, nên biểu đồ lực cắt có bước nhảy Giá Trái phai trị bước nhảy QD − QD = 24kN = V D • Tại C có momen tập trung M = 12 kNm, nên biểu đồ momen uốn có BC DC bước nhảy Giá trị bước nhảy M C − M C = 12kNm = M ⇒Kết với định lí bước nhảy Trang Bài (sơ đồ B-1- số liệu 7) k1=1; k2=0.5 q0=6kN/m; P=qoa; M=2qoa2 a=1m Thay số liệu đặt phản lực liên kết thay cho ngàm: Tìm phản lực VD, HD momen D + Tổng lực theo phương ngang 0: ∑ ngang = ⇔ H B = + Tổng momen điểm D 0: = ⇔ M − q × × + P × + MD = /D o ⇔ M D = − M + qo × × − P × = −11 5kNm ∑M + Tổng lực theo phương đứng 0: 1 ∑ doc = ⇔ − 2qo + P + VD = ⇔ VD = qo − P = − = −3kN Chia đoạn: - Thanh chia thành đoạn AB, BC CD Ta có bên dưới: Trang Viết biểu thức nội lực cho đoạn thanh: (1) Đoạn AB: Xét mặt cắt 1-1với tọa độ z ( ≤ z ≤ ) - Viết điều kiện cân phần giữ lại: ∑ Z = N z(1) ( z ) = ∑Y = Q ( z) = ∑ M / k = M (z) − M = (1) y (1) x Suy ra: (1) • Nz khơng tồn toàn đoạn N z ( z ) = (1) • Qykhơng tồn tồn đoạn Qy ( z ) = (1) • Mxlà số với M x = M x ( z ) = M = 12(kNm) (2) Đoạn BC: Xét mặt cắt 2-2 với z ( ≤ z ≤ ) Trang - Tương tự, ta có: ∑ Z = N z(2) ( z ) = q ( z )(2.5 − z − 0.5) =0 qo (2.5 − z − 0.5) = qo ( − z ) Với: q ( z ) = ∑ Y =Q ∑M / K2 (2) y ( z ) + P − VD − = M x( 2) ( z ) − P(2 − z ) + VD (2.5 − z ) + q ( z ) (2 − z ) (2 − z ) − MD = Suy ra: • Nz khơng tồn tồn đoạn N z(2) ( z ) = • Qy đường cong bậc 2: qo ( − z ) (2) Q y ( z ) = − P + VD − = −6 + − 3(2 − z ) 2 ( 2) o Tại B (z = 1) thì: Q y = Q y (1) = −3 + 3(2 − 1) = 0kN ( 2) o Tại C (z = 2) thì: Q y = Q y (2) = −3 + 3(2 − 2) = −3kN o Xét cực trị đường cong: dQx( ) ( z ) = − qo ( − z ) = ⇔ z = m dz Như vậy, điểm cực trị nằm đoạn BC, C (z = 2) d 2Qy(2) ( z ) = qo > o dz Như bề lõm Qy quay phía dương biểu đồ • Mx đường cong bậc 3: M (2) x (2 − z ) ( z ) = P(2 − z ) − VD (2.5 − z ) − qo + MD Trang o Tại B (z = 1), thì: Mx = M o ( 2) x (2 − 1) (1) = 6(2 − 1) − 3(2.5 − 1) + 11 − = 12kNm Tại C (z =2), thì: (2 − 2) M x = M (2) = 6(2 − 2) − 3(2.5 − 2) + 11 − = 10kNm o Xét cực trị đường cong: ( 2) x dM x( 2) ( z ) qo ( − z ) = − P + VD + =0⇔ dz  z = 1m  z = 3m  Như vậy, điểm cực trị nằm đoạn BC, C (z = 1) o Mặt khác, lực cắt Qy phân bố đoạn âm nên bề lõm biểu đồ Mx hướng lên (hứng lấy lực phân bố) (3) Đoạn CD: Xét mặt cắt 3-3 với z ( ≤ z ≤ 2.5 ) Tương tự, ta có: ∑ Z = N z(3) ( z) = ∑Y = Q ( z) − V = ∑ M / k = M (z) − M (3) y D (3) x D + VD ( 2,5 − z ) = Suy ra: (3) • Nz khơng tồn toàn đoạn N z ( z ) = ( 3) • Qy số, với Q y = Q y ( z ) = VD = 3kN ( 3) • Mx đường bậc M x ( z ) = M D − VD (2.5 − z ) = 11 − 3(2.5 − z ) o Tại C (z = 2), ta có: M x = M x(3) (2) = 11 − 3(2.5 − 2) = 10kNm o Tại D (z = 2,5), ta có: M x = M x( 3) (2.5) = 11 5kNm Trang 10 • Tại D có momen tập trung MD = 11.5 kNm, nên biểu đồ momen uốn có trai Phai bước nhảy Giá trị bước nhảy M D − M D = 11.5kNm = M D ⇒Kết với định lí bước nhảy Bài (Sơ đồ C- 1- số liệu 7) q=8 kN/m P=2qa M=qa2 a=1m Thay số liệu đặt phản lực liên kết thay cho gối tựa, ta có hình sau: Tính phản lực HA, HE VD • Tổng lực theo phương ngang 0: ∑ ngang = ⇔ H A + H E − q ×1 = ⇔ H A + H E = 8kN • Tổng lực theo phương đứng 0: ∑ doc = ⇔ P + VD − q × = ⇔ VD = 2q − P = × − 16 = 0kN • Tổng momen A 0: ∑M /A = ⇔ q × × − P × + M − VD × + q × × − H E ×1 = Trang 14 ⇔ × − 16 + − × + × − H E = ⇔ H E = 12kN Suy được: H A = − H E = − 12 = −4kN Chia đoạn Chia khung thành đoạn AB, BC, CD, CE hình bên dưới: Viết biểu thức nội lực cho đoạn (1) Đoạn AB: Xét mặt cắt 1-1với tọa độ z ( ≤ z ≤ ) - Viết điều kiện cân phần giữ lại: (1) • ∑ Z = N z ( z) − H A = • ∑Y = Q (1) y ( z ) + qz = z2 • ∑ M / k1 = M ( z ) + q = Suy ra: (1) • Nz số toàn đoạn với N z ( z ) = H A = 4kN (1) x (1) • Qy đường bậc nhất: Q y ( z ) = −qz = −8 z Trang 15 (1) o Tại A (z = 0)  Qy = Qy (0) = (1) o Tại B (z = 1)  Q y = Q y (1) = −8kN z • Mx đường cong bậc hai: M x(1) ( z ) = −q = −4 z 2 (1) o Tại A (z = 0)  M x = M x (0) = o Tại B (z = 1)  M x = M x(1) (1) = −4kNm o Tại điểm có z=0.5  M x = M x(1) (0.5) = −1kNm o Xét cực trị đường cong: dM x(1) ( z ) = − qz = ⇔ z = dz Như vậy, điểm cực trị nằm đoạn AB, A (z = 0) (2) Đoạn BC: Xét mặt cắt 2-2 với z (1 ≤ z ≤ ) - Tương tự, ta có: (2) • ∑ Z = N z ( z) − H A = • ∑Y = Q (2) y ( z ) + qz − P = (2) • ∑ M / k2 = M x ( z ) +q z2 − P ( z − 1) = Suy ra: ( 2) • Nz số toàn đoạn với N z ( z ) = H A = 4kN ( 2) • Qy đường bậc nhất: Q y ( z ) = P − qz = 16 − z o Tại B (z = 1) thì: Q = Q ( ) (1) = 16 − = 8kN y y o Tại C (z = 2) thì: Q = Q ( ) ( 2) = 16 − × = 0kN y y z (2) = −4 z + 16 z − 16 • Mx đường cong bậc hai: M x ( z ) = P( z − 1) − q ( 2) o Tại B (z = 1)  M x = M x (1) = −4 + 16 − 16 = −4kNm Trang 16 o Tại C (z = 2)  M x = M x( ) (2) = −4 × 2 + 16 × − 16 = 0kNm o Tại điểm có z=1.5m  M x = M x(1) (1.5) = −4 ×1.5 + 16 ×1.5 − 16 = −1kNm o Xét cực trị đường cong: dM x( ) ( z ) = P − qz = ⇔ z = dz Như vậy, điểm cực trị nằm đoạn BC, C (z = 2) (3) Đoạn CD: Xét mặt cắt 3-3 với z ( ≤ z ≤ ) Tương tự, ta có: ∑ Z = N z(3) ( z) = ∑Y = Q (3) y ∑M / k = M x(3) ( z ) + VD ( − z ) = ( z ) − VD = Suy ra: (3) • Nzkhơng tồn toàn đoạn N z ( z ) = ( 3) • Qy số với: Q y ( z ) = VD = 0kN ( 3) • Mx số: M x ( z ) = −V D (3 − z ) = 0kNm z, y x ⇒ N Q , M không tồn đoạn CD (4) Đoạn EC: Xét mặt cắt 4-4 với z ( ≤ z ≤ ) Trang 17 Tương tự, ta có: ∑ Z = N z(4) ( z ) = ∑Y = Q ∑M / k (4) y ( z ) + H E − qz = =M (4) x z2 (z) + H E z − q = Suy ra: (4) • Nz khơng tồn tồn đoạn N z ( z ) = ( 4) • Qy đường bậc nhất: Q y ( z ) = qz − H E = z − 12 o Tại E (z = 0) thì: Q = Q ( ) (0) = −12kN y y o Tại C (z = 1) thì: Q = Q ( ) (1) = −4kN y y z2 M x đường cong bậc hai: (4) • M x ( z ) = q − H E z = z − 12 z o Tại E (z = 0)  M x = M ( 4) x (0) = 0kNm o Tại C (z = 1)  M x = M x( ) (1) = − 12 = −8kNm Biểu đồ nội lực Trang 18 Trang 19 Kiểm tra kết quả:  Cân nút Xét cân nút C: ∑ ngang = − = 0kN ∑ M = − = 0kNm Ta thấy rằng, nút C cân /C  Liên hệ vi phân nội lực • Đoạn CD khơng có lực phân bố  lực cắt số  momen uốn đường bậc nhất.(trường hợp đặc biệt lực cắt 0 momen uốn số) Q y( 3) ( z ) = VD = 0kN dM x( 3) ( z ) = = Q y( 3) dz d M x( 3) ( z ) khơng có lực phân bố =0 d 2z • Đoạn AC EC có lực phân bố  lực cắt đường bậc  momen uốn đường cong bậc hai • Đoạn AB dM x(1) ( z ) = − qz = Q y(1) = −8 z dz d M x(1) ( z ) = − q < bề lõm Mx quay phía âm biểu đồ dz Trang 20 • Đoạn BC dM x( ) ( z ) = P − qz = Q y( ) dz d M x(2) ( z ) = − q < bề lõm Mx quay phía âm biểu đồ dz • Đoạn EC dM x( ) ( z ) = qz − H E = z − 12 = Q y( ) dz d M x(4) ( z ) = q > bề lõm Mx quay phía dương biểu đồ dz ⇒ Kết với liên hệ vi phân nội lực  Định lý bước nhảy: • Tại B có lực tập trung P = 16 kN, nên biểu đồ lực cắt có bước nhảy Giá QBAB − Q BBC = 16kN = P trị bước nhảy • Tại C có momen tập trung M = kNm, nên biểu đồ momen uốn có bước nhảy ⇒ Kết với định lí bước nhảy Bài (sơ đồ D – –số liệu 7) Q=8 kN/m P=2qa M=qa2 A=1m Đặt số liệu, hệ trục tọa độ kí hiệu mặt phẳng chứa Ta thực việc chia mặt cắt theo mặt phẳng, có hình bên Trang 21 Viết biểu thức nội lực (chỉ xét lực dọc N z, momen uốn Mx momen xoắn Mz) (1) Đoạn AB: - Dời lực P từ điểm C B, B có lực P = 16 kN momen nằm mặt phẳng (α ) theo chiều kim đồng hồ MP = 16 kNm Dời momen M = kNm B, ta nhận thấy momen M làm xoắn AB - Trong mặt phẳng (γ ) Xét mặt cắt 1-1 với z ( ≤ z ≤ ) Giữ lại phần phía phải mặt cắt 1-1 Trang 22 Ta có phương trình cân sau: ∑ Z = ⇔ N z(1) ( z ) + P = ∑M / k =0⇔M (1) x (1− z) ( z) + q 2 =0 Suy ra: • Nz số toàn với N z(1) ( z ) = −P = −16kN (1 − z ) • Mx đường bậc hai: M ( z ) = − q = −4(1 − z ) 2 (1) o Tại A (z = 0)  M x = M x (0) = −4(1 − 0) = −4kNm (1) x o Tại B (z = 1)  M x = M x(1) (1) = −4(1 − 1) = 0kNm o Tại điểm có z = 0.5  M x = M x(1) (0.5) = −4(1 − 0.5) = −1kNm o Xét cực trị đường cong: dM x(1) ( z ) = q (1 − z ) = ⇔ z = dz Như vậy, điểm cực trị nằm đoạn AB, B (z = 1) d M x(1) ( z ) o = − q < Vậy bề lõm hướng phía âm biểu đồ dz • Ngồi đoạn AB chịu momen xoắn M với M z − 8kNm Trong mặt phẳng (α ) Xét mặt cắt 2-2 với z ( ≤ z ≤ ).Giữ lại phần phía phải mặt cắt 2-2 - Trang 23 Ta có phương trình cân sau: ∑ Z = ⇔ N z(2) ( z ) + P = ∑M / k = ⇔ M y(2) ( z ) − M P = Suy ra: • Nz số toàn với N z(1) ( z ) = −P = −16kN (1) • My số toàn với: M y ( z ) = 16kNm (2) Đoạn CB: - Trong mặt phẳng (α ) Xét mặt cắt 3-3 với z ( ≤ z ≤ ) Giữ lại phần phía trái mặt cắt 3-3 Ta có phương trình cân sau: ∑ X = ⇔ N x(3) ( z ) = ∑M / k = ⇔ M y(3) ( z ) + Pz = Trang 24 Suy ra: • Nx khơng tồn toàn đoạn N (3) ( z ) = x • ( 3) My đường bậc nhất: M y ( z ) = − Pz = −16 z ( 3) o Tại C (z = 0)  M y = M y (0) = 0kNm ( 3) o Tại B (z = 1)  M y = M y (1) = P = −16kNm - Trong mặt phẳng ( β ) Xét mặt cắt 4-4 với z ( ≤ z ≤ ) Giữ lại phần phía bên trái mặt cắt 4-4 Ta có phương trình cân sau: ∑ X = ⇔ N x(4) ( z ) = ∑M / k = ⇔ M z(4) ( z ) − M = Suy ra: • Nx khơng tồn toàn đoạn N x(4) ( z ) = • Mz số tồn đoạn với M z = M z( ) ( z ) = M = 8kNm Biểu thức nội lực LỰC DỌC: Trang 25 MOMEN UỐN: MOMEN XOẮN: Trang 26  Kiểm tra kết  Liên hệ vi phân nội lực • Đoạn AB o Trong mặt phẳng (γ ) : Đoạn AB có lực phân bố  momen uốn đường cong bậc hai d M x(1) ( z ) = −q < dz o Trong mặt phẳng (α): Đoạn AB có momen uốn số khơng có lực phân bố d M y( ) ( z ) d z = khơng có lực phân bố • Đoạn CB o Trong mặt phẳng (α): Đoạn CB khơng có lực phân bố  momen uốn đường bậc d M y( 3) ( z ) d 2z =0 khơng có lực phân bố Trang 27 o Trong mặt phẳng (β):Đoạn CB khơng có lực phân bố  momen uốn đường bậc (trường hợp đặc biệt momen uốn số) d M y( ) ( z ) d 2z =0 khơng có lực phân bố ⇒ Vậy kết với liên hệ vi phân nội lực Trang 28