Thông tin tài liệu
10 ĐỀ THI HSG TỐN CẤP HUYỆN CĨ ĐÁP ÁN (LUYÊN TẬP CHO HS) PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN HUYỆN TIÊN PHƯỚC Năm học : 2007 – 2008 Thời gian : 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Bài : ( 1,5 điểm ) Rút gọn biểu thức a)A = 2 57 40 29 20 b) B = Bài : ( 2,0 điểm ) a) CMR biểu thức M = (ĐỀ SỐ 1) x x 2x nhận giá trị nguyên với x Z 30 15 b) Tìm số tự nhiên gồm bốn chữ số abcd biết số phương ; chia hết cho d số nguyên tố a2 b2 ab Bài 3:(1,5điểm) Với a , b R Chứng minh:a) b) a2 + b2 + ≥ ab + a + b Bài : ( 2,0 điểm ) a) Tìm giá trị lớn biểu thức N = x x b) Giải phương trình nghiệm nguyên : 5x2 + 9y2 – 12xy + = 24( 2y – x – ) Bài 5(1,5điểm) Cho hình bình hành ABCD , cạnh AB CD lấy điểm M , K cho AM = CK Lấy điểm P nằm cạnh AD ( P ≠ A ; P ≠ D ) Nối PB , PC cắt MK E , F Chứng minh S S S PEF BME CKF Bài : ( 1,5 điểm ) ˆ D 1200 Tia Ax tạo với tia AB góc BA ˆ x 150 cắt Cho hình thoi ABCD có BA 3 2 AB AM AN cạnh BC M , cắt đường thẳng CD N Chứng minh TRƯỜNG THCS CAO VIÊN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2014 – 2015 Môn: Toán Bài 1: (6 điểm) a) Cho P x x y 1 y y x y x 1 xy x 1 1 y (ĐỀ SỐ 2) Tìm điều kiện x,y để biểu thức P xác định rút gọn P Tìm x,y nguyên thỏa mãn phương trình: P = b) Chứng minh rằng: Với n N n2 + n +1 khơng chia hết cho Bài 2: (4 điểm) Giải phương trình : 17 x x Cho số thực dương a,b thỏa mãn: a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102 Tính giá trị biểu thức: P = a2015 + b2015 x y x 19 Bài 3: (3 điểm)a/ Tìm nghiệm nguyên phương trình: a) ab bc ca a b c 28 b/ Cho a,b,c > Chứng minh : a b2 c2 abc Bài 4: (6 điểm)Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R Gọi M điểm thuộc đường tròn tâm O khác A,B.Các tiếp tuyến đường tròn tâm O A M cắt E Vẽ MP vng góc với AB(P AB), vẽ MQ vng góc với AE ( Q AE) 1.Chứng minh rằng: Bốn điểm A,E,M,O thuộc đường tròn tứ giác APMQ hình chữ nhật Gọi I trung điểm PQ Chứng minh O,I,E thẳng hàng Gọi K giao điểm EB MP Chứng minh EAO đồng dạng với MPB suy K trung điểm MP Đặt AP = x Tính MP theo x R.Tìm vị trí điểm M đường tròn (O) để hình chữ nhật APMQ có diện tích lớn Bài 5: (1 điểm) Tìm nghiệm ngun ,dương phương trình: xy+yz+zx=xyz+2 PHỊNG GD & ĐT VĨNH TƯỜNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN NĂM HỌC 2013 – 2014 Câu a) Tính: 52 2 9 b) Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn điều kiện thức: A a (4 b)(4 c) b(4 c)(4 a) Câu Giải phương trình sau: a) (ĐỀ SỐ 3) a b c abc Tính giá trị biểu c(4 a)(4 b) abc x x 1 x x b) 2(x2 + 2) = x3 Câu Tìm tất số nguyên dương x; y; z thỏa mãn x y 2013 2 số hữu tỉ, đồng thời x y z y z 2013 số nguyên tố Câu Cho tam giác ABC nhọn (AB Chøng minh r»ng: Phßng GD hun Thanh Oai Tr-êng THCS Bình Minh 19b3 - a 19c3 - b3 19a - c3 + + 3(a + b + c) ab + 5b cb + 5c2 ac + 5a §Ị thi chän häc sinh giái líp (ĐỀ SỐ 6) năm học 2014- 2015 Thời gian làm 150 phút (không kể thời gian giao đề) x x2 x 1 x x 1.Rút gon P 2.Tìm giá trị x để P= Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P 1 1 b Chøng minh r»ng A= 4 1 3 5 7 79 80 2x2 x x2 x x Bài 2:(4đ) a) Giải ph-ơng trình: x Bài 1: (6đ) a Cho biÓu thøc: P b)Chøng minh r»ng : n2 + 7n + 2014 kh«ng chia hÕt cho với số tự nhiên n Bài 3:(3đ) a) Tìm nghiệm nguyên ph-ơng trình + x + x2 + x3 = y3 3 b)Cho a,b,c số d-ơng a+b+c=1 Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc A= a b c Bài 4:(6đ) Cho đ-ờng tròn tâm O bán kính R, từ điểm S đ-ờng tròn vẽ tiếp tuyến SA.SB ( A, B tiếp điểm) Kẻ đ-ờng kính AC (O) cắt AB E Chøng minh: a) Bèn ®iĨm A,O,S,B thc cïng mét ®-êng trßn b) AC2 = AB.AE b) SO // CB c) OE vuông góc với SC Bài 5: (1đ) Tìm a,b số nguyên d-ơng cho: a + b2 chia hÕt cho a2b-1 Trường THCS Dân Hoà ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN (ĐỀ SỐ 6) x y x y : 1 x y xy xy xy xy a, Rút gọn P b, Tính giá trị P với x= c, Tìm giá trị lớn nht ca P Câu 2: (4 im) Giải ph-ơng trình x x - (3 x)(6 x) =3 Câu 1: (6điểm) Cho P = b) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 + y2 = xy + x + y x y z x2 y z a b c Câu 3: ( điểm) a) Cho Chứng minh : a b c a b c x y z b) Cho a,b,c cạnh tam giác CMR P= 1 abc + + 2abc a bc b ac c ab C©u 4: (5đ) Cho đường tròn tâm (O) đường kính CD = 2R Điểm M di động đoạn OC Vẽ đường tròn tâm (O’) đường kính MD Gọi I trung điểm đoạn MC , đường thẳng qua I vng góc với CD cắt (O) E F Đường thẳng ED cắt (O’) P Chứng minh điểm P, M , F thẳng hàng Chứng minh IP tiếp tuyến đường tròn (O’) Tìm vị trí M OC để diện tích tam giác IPO’ lớn C©u 5:(1đ) Tìm số ngun x, y ,z thỏa mãn : (x 1 1 ) 3( y ) 2( z ) xyz y z x xyz SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG NĂM HỌC 2008 – 2009 (ĐỀ SỐ 7) MƠN TỐN ( thời gian làm 150 phút ) 1 x x Bài : (2,5đ) a) Rút gọn biểu thức P ( Tính giá trị biểu thức P x 1 x x) : (1 x ) 2 1 b) Đặt a Chứng minh 64 3a số nguyên ( a 3) Bài (2,5đ) a) Giải phương trình x x b) Giải hệ phương trình xy x y 2 x y 2x y Bài (2đ)Trên mp toạ độ Oxy , cho Parabol (P) y = - x2 đường thẳng (d) : y = -x – a) Vẽ Parabol (P) đường thẳng (d) b) Tìm giá trị tham số m để đường thẳng () : y = mx – m +1 cắt đường thẳng (d) điểm nằm Parabol (P) Bài (3đ) Cho nửa đường tròn (C) tâm O đường kính AB Gọi C điểm nửa đường tròn ( C ) D điểm cung AC Gọi E hình chiếu vng góc điểm D đường thẳng BC F giao điểm AE với nửa đường tròn ( C ) Tia BF cắt DE M Chứng minh : a) Hai tam giác MDF MBD đồng dạng b) M trung điểm đoạn DE PHÒNG GD&ĐT LÂM THAO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN (ĐỀ SỐ 8) LỚP THCS NĂM HỌC 2013 – 2014 x 3 x 2 x 2 x : 1 ; x x x x x Với x 0; x 4; x ; Câu (4 điểm): Cho biểu thức A a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị A x c) Với giá trị x đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ A đó? Câu 2(3 điểm):a) C/m : Với số tự nhiên n an = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + số phương b) Giải phương trình: y - 2013 x - 2012 z - 2014 x - 2012 y - 2013 z - 2014 Câu (4 điểm): a) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2x2 + 4x = 19 3y2 b) Tìm chữ số a, b cho a56b chia hết cho 45 Câu 4: (7 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC=2R Điểm A di động trện nửa đường tròn Gọi H hình chiếu điểm A lên BC Gọi Dvà E hình chiếu H lên AC AB a Chứng minh: AB EB + AC EH = AB2 b.Xác định vị trí điểm A cho tứ giác AEHD có diện tích lớn nhất? Tính diện tích lớn theo R Qua đỉnh A hình vng ABCD cạnh a, vẽ đường thẳng cắt cạnh BC M cắt đường thẳng DC I Chứng minh rằng: 1 AM AI a Câu 5(2điểm): Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xyz=1 CMR PHÒNG GD-ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS CỰ KHÊ 1 1 x y 1 y z 1 z x 1 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN (ĐỀ SỐ 9) NĂM HỌC 2014 - 2015 MƠN THI : TỐN 150 phút x 3 x x x3 27 x 1 ài 1(6đ) 1) Cho biểu thức Q a/ Tìm điều kiện Q rút gọn Q b/ Tính giá trị Q x 3 2) Chứng minh A = + + + + 1003 chia hết cho B = + + + + 100 Bài 2: (4đ) 1) x 2013 x 8052 2) Cho abc = 1.Tính S = 1 a ab b bc c ac Bài 3: (3đ) 1) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 + 2y2 + 2xy + 3y – = a b2 2 2) Biết a,b số thoả mãn a > b > a.b = Chứng minh : a b Bài 4: (6,0 đ) Cho nửa đường tròn đường kính BC = 2R, tâm O cố định Điểm A di động nửa đường tròn Gọi H hình chiếu điểm A lên BC Gọi D E hình chiếu H lên AC AB a) Chứng minh tam giác ABC vuông b)Chứng minh: AB EB + AC EH = AB2 c) Xác định tam giác ABC cho tứ giác AEHD có diện tích lớn nhất? Tính d/ tích lớn theo R Bài 5: (1đ) Tìm nghiệm ngun dương phương trình: 2( x Së Gi¸o dơc - Đào tạo Thái Bình y ) 16 xy §Ị thi chän häc sinh giái líp THCS năm học 2008-2009 Môn: Toán ( S 10) x y2 Bài (3 điểm) Cho x, y số nguyên khác thỏa mãn số nguyên y x Chứng minh r»ng x 2y22 chia hÕt cho x + Bài (3 điểm) Tìm đa thức bậc có hệ số số nguyên nhận x = Bài (3 điểm) Giải ph-ơng trình sau: 75 lµ mét nghiƯm x 3 x 12 x x 28 Bài (3 điểm) Cho: xy+yz+zx=4/9 v x,y,z>0 Tìm giá trị nhỏ biểu thøc sau: A x 14y2 10z2 2y Bài (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, ngoại tiếp đ-ờng tròn tâm O Chứng minh r»ng: OA OB2 OC2 1 AB.AC BA.BC CA.CB Bài (3 điểm)Cho tam giác ABC đều, có độ dài cạnh Trên cạnh BC lấy điểm D không trùng với B C Gọi r1 bán kính đ-ờng tròn nội tiếp tam giác ABD; r2 bán kính đ-ờng tròn nội tiếp tam giác ACD Xác định vị trí điểm D để r1.r2 đạt giá trị lớn Bài (2 điểm)Cho 2009 điểm khác nằm bên hình chữ nhật có chiều dài 251cm chiều rộng 4cm Vẽ 2009 hình tròn nhận điểm làm tâm có bán kính cm Chứng minh tồn hình tròn số chúng chứa điểm 2009 điểm nói Bi ( 1,5điểm) ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM (ĐỀ SỐ 1) MƠN TỐN LỚP – KỲ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN Rút gọn biểu thức A = 2 57 40 ( 0,25đ) = 1 = 1 29 20 = B= ( 3) = = = (1 ) (5 ) Bài (2,0điểm) ( 0,25đ) ( 3) 62 = (0,25đ) 1 =1 Câu a : 1,0 điểm x x 2x x 5x 4x x( x 4x x 4) = = 30 15 30 30 2 x( x 4)(x 1) x( x 1)(x 1)(x 2)(x 2) = 30 30 ( 0,25đ) M= (0,25đ) (0,25đ) Hiểu lập luận x(x-1)(x+1)(x-2)(x+2) tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 30 với x Z , M nhận giá trị nguyên với x (0,5đ) Câu b : 1.0 điểm */ Lập luận d = (0,25đ) ,thấy 100 > abcd suy abcd = x5 2(0,25đ) Vì abcd chia hết cho => x5 chia hết cho => x5 chia hết cho (0,25đ) Suy x+5 = ; ; 12 => x = ; ; Kiểm tra 152, 452, 752 => kquả (0,25đ) a2 b2 ab a b 2a 2b (0,25đ) a b ( hiển nhiên – đpcm) (0,5đ) Câu b : (0,75điểm) a2 + b2 + ≥ ab + a + b a b ab a b 2 2a 2b 2ab 2a 2b (0,25đ) a b a 1 b 1 Bài (1,5điểm) Câu a (0.75đ) : Bài (2,0điểm) Câu a (1,0đ) Điều kiện x ≤ Đặt N = – y2 + y = ( y ) x y ta có y2 = – x 9 (0,25đ) Max N = 9/4 y = 1/2 x = 7/4 4 (0,5đ) (0,25đ) (0,5đ) Câu b (1,0đ) Giải phương trình nghiệm nguyên 5x2 + 9y2 – 12xy + = 24( 2y – x – ) 5x2 + 9y2 – 12xy + +24x – 48y +72 = (0,25đ) 4x2 + 9y2 + 64 – 12xy – 48y + 32x +x2 – 8x +16 = ( 2x – 3y + )2 + ( x – )2 = (0,5đ) suy x – = 2x – 3y + = =>x =4 y = 16/ Vậy phương trình khơng có nghiệm ngun (0,25đ) Bài (1,5điểm) lập luận diện tích tam giác PBC nửa diện tích hbh ABCD (0,25đ) Lập luận diện tích tứ giác AMKD diện tích tứ giác CKMB nửa diện tích M A B hbh ABCD (0,5đ) E P Suy diện tích tam giác PBC diện tích CKMB (0,25đ) Loại trừ diện tích phần chung , suy kết (0,5đ) F D K C Bài ( 1,5điểm) Từ A kẻ đường thẳng vng góc với Ax , cắt cạnh DC K A B M ˆ K 150 (0,25đ) Chứng minh hai tam giác DAK , BAM => DA => AK = AM (0,5đ) Thấy AH đường cao AKN vuông A , suy D K H C N mà AH= AD.Sin600 = AB 1 (0,25đ) 2 AH AK AN , vào, suy kquả (0,5đ) Lưu ý : Nếu giải theo cách khác mà điểm tối đa (dựa vào đáp án t/ phần) TRƯỜNG THCS CAO VIÊN HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2014 – 2015 (ĐỀ 2) Mơn: Tốn Nội dung Bài Bài (6 đ ) Điểm a) Tìm điều kiện : x ≥ 0, y ,y ≠ 1, x+y≠0 x P = x y 1 y y Ta có x y 0,5đ x 1 1,0đ x 1 y x xy y =2 P=2 x y x xy y xy =…= x xy x y 1 y x y 1 x y y xy 0,5đ 0,5đ x 1 y x 1 y 1 x 1 0,5đ y 1 x x Kết hợp với điều kiện x ≥ Vậy 0x4 x {0,1,2,3,4} Thay vào phương trình P=2 ta có: (x,y) {(4,0); (2,2)} b) giả sử tồn số tự nhiên n n n Đặt A n n V× A9 A9 (1) Ta cã: A 4(n n 1) (2n 1) 0,5đ 0,5đ 1,0đ 0,5đ V× A9 A3 (2n 1) 3 2n 13 (2n 1) 9 2 A (2n 1) kh«ng chia hÕt cho A kh«ng chia hÕt cho Ta thấy (1) (2) mâu thuẫn Vậy điều giả sử sai Vậy với n N n n kh«ng chia hÕt cho Bài (4đ) 1.(2đ) Tìm điều kiện 0 x - Đặt t x ( t 0) 3 x u t u 3 x x x t 4 17-t4 17-t =u t+u=3 t+u=3 ut=2 -Giải đến ut=16 0,5đ 0,5đ * Với ut=2 t=1 t=2 - Với t=1 x=1 -Với t=2 x=4 * Với ut=6 Pt vô nghiệm -Kết luận nghiệm (2đ) 0,5đ 0,25đ a102 b102 a101 b101 a b ab a100 b100 0,5đ a102 b102 a102 b102 a b ab 0,5đ a b ab 0,5đ 0,5đ a, b 1;1 Bài (3đ) 0,5đ 0,25đ 17 u +t =17 t+u=3 Ta có : (2) Tính P=2 Viết 0,25đ 0,25đ 0,25đ x x 1 y 0,25đ x 1 y 0,25đ 37 y2 y số nguyên lẻ Mà x 1 0 0,25đ y 0 y 2 =1 0,25đ Thay y =1 vào tìm x=2, x=-4 Thử lại :… trả lời Có nghiệm (2,1) ;(2,-1) ;(-4,1) ;(-4,-1) Với x, y, z > Ta có: 0,25đ x y (1) y x 1 +) (2) x y z x yz +) x2 y z +) x + y + z xy + yz + zx (3) xy yz zx Xảy đẳng thức (1), (2), (3) x = y = z.Ta có: ab bc ca (a b c ) P (a b c)2 abc a b2 c2 ab bc ca (a b c ) (a b c 2ab 2bc 2ca) 2 abc a b c 2 0,5đ 0,5đ Áp dụng bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được: P ab bc ca a b2 c2 (a b c ) 2.9 ab bc ca ab bc ca a b c a b2 c2 18 a b c ab bc ca ab bc ca 18 28 a b2 c2 ab bc ca Dấu “ =” xảy a b c ab bc ca Bài (6đ) I M K B O P Q E 0,25đ I x A a) Vì AE tiếp tuyến đường tròn(0) A AE AO OEA vng A O,E,A đường tròn đường kính OE(1) Vì ME tiếp tuyến đường tròn(0) M MEMO MOE vuông MM,O,E đường tròn đường kính OE(2) (1),(2) A,M,O,E thuộc mơt đường tròn 0,75đ *Tứ giác APMQ có góc vuông : EAO APM PMQ 90o => Tứ giác APMQ hình chữ nhật b) Ta có : I giao điểm đường chéo AM PQ hình chữ nhật APMQ nên I trung điểm AM Mà E giao điểm tiếp tuyến M A nên theo định lý ta có : O, I, E thẳng hàng c) hai tam giác AEO PMB đồng dạng chúng tam giác vng có góc AOE ABM , OE // BM => 1,5đ 1,5đ AO AE (3) BP MP Mặt khác, KP//AE, nên ta có tỉ số 0,75đ KP BP (4) AE AB Từ (3) (4) ta có : AO.MP = AE.BP = KP.AB, mà AB = 2.OA => MP = 2.KP Vậy K trung điểm MP d) Ta dễ dàng chứng minh : a bcd (*) abcd Dấu “=” xảy a = b = c = d MP = MO2 OP2 R (x R)2 2Rx x 1,5đ Ta có: S = SAPMQ = MP.AP x 2Rx x (2R x)x S đạt max (2R x)x đạt max x.x.x(2R – x) đạt max x x x (2R x) đạt max 3 x Áp dụng (*) với a = b = c = 4 x x x x x x R Ta có : (2R x) (2R x) 3 3 3 16 x Do S đạt max (2R x) x R R Vậy MP= hình chũ nhật APMQ có diện tích lớn Bài (1đ) Tìmnghiệm nguyên ,dương phương trình: xy+yz+zx=xyz+2(1) Do vai trò x,y,z bình đẳng, nên khơng tính chất tơng qt Giả sử x y z 1,từ suy xy+yz+zx xy+xy+xy=3xy(2) (1),(2) 3xyz xyz+2 Hay 3xy xyz z 0) Khi phương trình cho trở thành: a-1 b-1 c-1 1 1 1 1 1 1 a b c 4 a a 4 b b 4 c c 2 0,5 1 1 1 1 1 1 a = b = c = 2 a 2 b 2 c 0,5 Suy ra: x = 2016, y = 2017, z = 2018 0,25 Câu (4 điểm): a) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2x2 + 4x = 19 3y2 b) Tìm chữ sè a, b cho a56b 45 Ý Lời giải sơ lược Điểm 3đ 24 2đ a Ta có: 2x2 + 4x = 19 - 3y2 4x2 + 8x = 38 – 6y2 4x2 + 8x + = 42 – 6y2 x 42 y 2 2x 2 Vì x y y , mà y2 yZ 0,5 (1) nên: 1; 2 y = 0; 0,5 2x x2 x 6 x 4 + Với y = , từ (1) x 36 Trường hợp phương trình có nghiệm ngun là: (2;1) (-4;1) + Với y = -1 Thì từ (1) x 0,5 2x x2 36 x 6 x 4 Trường hợp pt có nghiệm nguyên là: (2;-1) (-4;-1) + Với y 2 x 18 x 8x 14 x2 x pt khơng có nghiêm ngun VT chia hết cho 2, VP khơng 0,25 chia hết cho + Với y = 0, từ(1) 2x 2 42 x x 38 x x 19 PT khơng có nghiệm ngun VT chia hết cho 2; VP không chia hết cho Vậy PT cho có nghiệm nguyên là: (-4;1); (2;1);(-4;-1); (2;-1) 0,25 2đ b Ta thÊy 45 = 5.9 mµ (5 ; 9) = ®Ĩ a56b 45 a56b vµ 0,5 0,25 XÐt a56b b {0 ; 5} NÕu b = ta cã sè a56b a + + + a + 11 a=7 0,5 25 u NÕu b = ta cã sè a56b a + + + a + 16 a=2 0,5 VËy: a = vµ b = ta cã sè 7560 a = vµ b = ta cã sè 2560 0,25 Câu 4: (7 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC=2R Điểm A di động trện nửa đường tròn Gọi H hình chiếu điểm A lên BC Gọi Dvà E hình chiếu H lên AC AB a Chứng minh: AB EB + AC EH = AB2 b.Xác định vị trí điểm A cho tứ giác AEHD có diện tích lớn nhất? Tính diện tích lớn theo R Qua đỉnh A hình vng ABCD cạnh a, vẽ đường thẳng cắt cạnh BC M cắt đường thẳng DC I Chứng minh rằng: 1 2 2 AM AI a Lời giải sơ lược Ý Điểm 7đ 4đ A E D C H O B a) Chứng minh tứ giác ADHE hình chữ nhật Suy AB EB = HB2 26 => ĐPCM AD AE DE AH 2 AC EH = AC AD = AH2 b) S(ADHE)= AD.AE S(ADHE) AH AO R 2 0,5 0,5 R2 Vậy Max S(ADHE)= Khi AD = AE Hay A điểm cung AB 3đ A B M J Vẽ Ax D I C AI cắt đường thẳng CD J AIJ vng A, có AD đường cao thuộc cạnh huyền IJ, nên: 1 (1) AD AJ AI Ta có Xét hai tam giác vng ADJ ABM, ta có: AB = AD = a; DAJ BAM 0,5 (góc có cạnh tương ứng vng góc) ADJ = ABM Suy ra: AJ = AM Thay vào (1) ta được: 1 1 2 AD AM AI a (đpcm) 27 0,5 Câu ( 2điểm): Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xyz=1 Chứng minh 1 1 x y 1 y z 1 z x 1 Sơ lược lời giải Điểm Đặt x=a3 y=b3 z=c3 ,a,b,c >0 x, y, z >0 abc=1.Ta có 0,25 a3 + b3=(a+b)(a2+b2-ab) (a+b)ab, a+b>0 a2+b2-ab ab 0,5 a3 + b3+1 (a+b)ab+abc=ab(a+b+c)>0 1 a b ab a b c 0,25 Tương tự ta có 1 , b c bc a b c 1 c a ca a b c 3 0,5 Cộng theo vế ta có 1 1 1 = + + 3 x y 1 y z 1 z x 1 a b 1 b c 1 c a3 1 0,5 1 c a b = a b c ab bc ca a b c Dấu xảy x=y=z=1 TRƯỜNG THCS CỰ KHÊ HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP (Đề số 9) Năm học 2014 – 2015 Tóm tắt lời giải Bài Bài Câu 1a (2đ) 1.a) ĐKXĐ: x 0; x 28 Điểm 0,5 x 3 x x x 27 x 1 x x 3 Q = x x ( x )( x x 3) x x x ( x 3) = ( x )( x x 3) x x Q= 0,5 0,5 0,5 1.b) Ta có: x x x Bài Câu 1b (2 đ) x 82 82 2 1 1 1 0,5 2 0,5 1 0,5 x Thay x = Q Bài Câu (2 đ) Bài (1,5 đ) 0,5 vào Q ta có: 2 2 Ta có: B = (1 + 100) + (2 + 99) + + (50 + 51) = 101 50 Để chứng minh A chia hết cho B ta chứng minh A chia hết cho 50 101 Ta có: A = (13 + 1003) + (23 + 993) + +(503 + 513) = (1 + 100)(12 + 100 + 1002) + (2 + 99)(22 + 99 + 992) + + (50 + 51)(502 + 50 51 + 512) = 101(12 + 100 + 1002 + 22 + 99 + 992 + + 502 + 50 51 + 512) chia hết cho 101 (1) Lại có: A = (13 + 993) + (23 + 983) + + (503 + 1003) Mỗi số hạng ngoặc chia hết cho 50 nên A chia hết cho 50 (2) Từ (1) (2) suy A chia hết cho 101 50 nên A chi hết cho B x 2013 x 8052 3; Ð K : x 2013 x 2013 x 2014(TMÐ K ) Cho abc = ab c (2,5 đ) 1 S= a ab b bc c ac 29 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 1,0 0.5 0,5 = = = 1 a c 0,5 c 1 c ac b ac c c ac 0,5 bc b b 1 c ac b c ac 1 = 0,5 1 abc b bc c ac b c ac 1 1 Bài Tìm nghiệm nguyên phương trình: (1,5đ) x2 + 2y2 + 2xy + 3y – = (1) (1) (x2 + 2xy + y2) + (y2 + 3y – 4) = 0,25 (x + y)2 + (y - 1)(y + 4) = 0,25 (y - 1)(y + 4) = - (x + y)2 (2) 0,25 Vì - (x + y) với x, y nên: (y - 1)(y + 4) - y 0,25 4; 3; 2; 1; 0; 1 0,25 Vì y nguyên nên y (1,5 đ) Thay giá trị nguyên y vào (2) ta tìm cặp nghiệm nguyên (x; y) PT cho là: (4; -4), (1; -3), (5; -3), ( -2; 0), (-1; 1) - Vì a.b = nên 0,25 a b a b 2ab ab a b a b a b 2 a b a b - Do a > b > nên áp dụng BĐT Cô Si cho số dương Ta có : a b Vậy 2 a b a b a b 0,25 0,25 0,25 0,5 a b2 2 a b 0,25 30 Bài 6đ A 0,5 E D C H B O a) Chứng minh tam giác ABC vng Ta có: OA= OB = OC = R => Tam giác ABC vuông A (theo đl đảo) 0,25 0,25 b) Chứng minh: AB EB + AC EH = AB2 Chứng minh tứ giác ADHE hình chữ nhật AB EB = HB2 AC EH = AC AD = AH2 Ta có: AB2 = AH2 + HB2 (định lý Pi ta go) => Đpcm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 AD AE DE AH 2 2 2 AH AO R S(ADHE) 2 2 R Vậy Max S(ADHE)= Khi AD = AE hay AB = AC b) S(ADHE)= AD.AE 1,0 0,5 0,5 0,5 Tam giác ABC vng cân A Ta có 2( x y ) 16 xy xy x y 16 Bài (1,0đ) y (3x 2) (3x 2) 16 (3x 2)(3 y 2) 52 3 Giả sử: x y x y 52 = 1.52 = 2.26 = 4.13 ta có trường hợp 0,25 0,25 sau: 3 x ; 3 y 52 0,25 3 x ; (loại) 3 y 26 3 x ; 3 y 13 => nghiệm nguyên dương PT là: ( 1; 18);( 18; 1); ( 2; 5); ( 5; 2) 0,25 Sở Giáo dục - Đào tạo Thái Bình Bài Kì thi chọn học sinh giỏi Năm học 2008-2009 H-ớng dẫn chấm biểu điểm MÔN toán ( S 10) Nội dung 31 Điểm Bài Bài (3 đ) Nội dung Đặt x2 a y 1 b §iĨm a; b;c;d Z; (a; b) 1; (c;d) 1; b 0; d y 1 c x 1 d x y2 a c ad bc XÐt k (k Z) y 1 x 1 b d bd ad + bc = bdk ad + bc : b ad T-¬ng tù cã b d Tõ (1) (2) b = d bd b (v× (a; b) = 1) 0,25 (1) (2) (3) a c x 1 y2 1 XÐt x 1 y 1 m (m Z v× x; yZ) b d y 1 x 1 ac = mbd ac : b c b (v× (a;b) = 1) Tõ (3) (4) c d Vµ (c ; d) = (5) (6) d = (y2 - 1) (x + 1) XÐt x2y22 - = x2 (y22 - 1) + x2 - Cã y22 - y2 - Tõ (7) (8) y22 - x + x2(y2 - 1) x + Cã x2 - x + Tõ (9) (10) x2y22 - x + Bài (3 đ) ,b= a b x ab Đặt a = 7 0,25 0,25 0,25 (4) (5) (6) (7) 0,25 0,25 0,25 0,25 (8) (9) (10) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2) = (a + b) [(a + b)2 - 3ab] = x (x2 - 3) = x3 - 3x 4 2 2 a + b = (a + b ) - 2(ab) = [(a + b2) - 2ab]2 - 2(ab)2 = (x2 - 2)2 - = x4 - 4x2 + (a3 + b3)(a4 + b4) = a7 + b7 + (ab)3(a + b) = (a3 + b3)(a4 + b4) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 34 x x 15 = (x3 - 3x) (x4 - 4x2 + 2) = x7 - 3x5 - 4x5 + 12x3 + 2x3 - 6x = x7 - 7x5 + 14x3 - 6x (1) 0,25 (2) 0,25 34 x (1) (2) x7 - 7x5 + 14x3 - 6x = 15 15x7 - 105x5 + 210x3 - 90x = 34 + 15x 15x7 - 105x5 + 210x3 - 105x - 34 = Ta thÊy 15x7 - 105x5 + 210x3 - 105x - 34 nhËn x = 0,25 + lµ nghiƯm 15x7 - 105x5 + 210x3 - 105x - 34 có tất hệ số sè nguyªn 15kx7 - 105 kx5 + 210kx3 - 105kx - 34k (k số nguyên khác không) Là đẳng thức cần tìm 32 0,25 0,25 0,25 Bài Bài (3 ®) Néi dung x 3 x 12 x x 28 §iĨm (*) 0,25 §KX§: -12 x §Ỉt x + = u (4 x)(12 x) = v 0,25 u2 + v2 = x2 + 6x + + 48 - 8x - x2 = 57 - 2x u2 + v2 - = 56 - 2x = 2(28-x) Cã u.v = 28 - x Tõ (1) (2) cã u2 + v2 - = 2uv (u + v)2 = (1) (2) u v u v 1 0,25 0,25 0,25 XÐt u - v = v = u - Thay trë l¹i ta cã (4 x)(12 x) = x + 0,25 x 48 8x x x 4x x 2 x 6x 22 x 2 x 3 31 x 2 x 3 31 hc x 3 31 2 0,25 x 3 31 (tháa m·n §KX§) XÐt u - v = -1 v = u + Thay trë l¹i ta cã (4 x)(12 x) = x + 0,25 0,25 x 4 2 48 8x x x 8x 16 x 4 x 4 x 32 x 8x 16 x 4 x 4 0,25 hc x 4 x 4 (tháa m·n ĐKXĐ) 0,25 Kết luận: Ph-ơng trình có tập nghiệm: S = 3 31; 4 Bµi (3 ®) Cã x > 0,25 x2 > ; y > 8y2 > áp dụng bất đẳng thức Co-si cho sè d-¬ng x2 8y xy x2 vµ 8y2 ta cã: (1) 33 0,25 Bµi Néi dung §iĨm x2 8z 4xz T-¬ng tù 2(y2 + z2) 4yz 2 (2) 0,25 (3) 0,25 (4) 0,25 XÐt A = x + 14y + 10z - 2y x2 x2 8y 8z y z 4y 2y = Tõ (1) (2) (3) vµ (4) cã: Cã xy + xz + yz = A 4(xy + xz + yz) + 4y2 - 2y A + 4y2 - 2y = 2y 1 2 (5) 2y 0,25 2y 4y 2y Tõ (5) vµ (6) A x 0; y 0; z xy yz xz x2 8y 2 x A=6 8z 2 y2 z2 2y 2y y z x (6) 0,25 (7) 0,25 0,25 0,25 (8) 1 2 Tõ (7) (8) cã Amin = x; y; z 2; ; Bµi (3 ®) 0,25 = 4y 4y 2y 2y XÐt 4y2 - 2y + Cã 2y 1 ; 0,25 0,25 Gäi E; F; P lần l-ợt tiếp điểm (O) với c¹nh AB; AC; BC A AEO = AFO = 90o (t/c tiÕp tuyÕn) A ; E ; F ; O thuộc đ-ờng tròn đ-ờng kính AO Gọi A1 trung điểm AO A1 tâm đ-ờng tròn ®-êng kÝnh AO 0,25 A1 E 34 I O H F Bµi Néi dung Cã BAC nhän BAC = sin EA1I = §iĨm EA1F (hq gãc nt) EA1F (I giao điểm AO EF) sin BAC = EA1I sin EF = AO sinBAC T-¬ng tù EP = BO sinABC 0,25 FP = CO sinACB 0,25 EF.AO + EP.BO + FP.CO = AO2sinBAC + BO2sinABC+CO2sinACB Cã AO EF (suy tõ tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn c¾t nhau) 2SAEOF = AE.AO T-¬ng tù 2SBEOP = EP.BO 2SCFOP = EP.CO 2SABC = AE.AO + EP.BO + FP.CO (O n»m ABC) (3) (4) 0,25 0,25 Tõ (3) (4) AO2sinBAC + BO2sinABC+CO2sinACB = 2SABC (5) 0,25 0,25 0,25 2SABC BH.AC 2SABC sin BAC AB.AC BH ABsin BAC KỴ BH AC 0,25 2SABC 2SABC sin ACB BA.BC CA.CB 2S 2S 2S AO ABC BO ABC CO ABC 2SABC Tõ (5) vµ (6) AB.AC BA.BC CA.CB 2 AO BO CO 1 AB.AC BA.BC CA.CB T-¬ng tù cã sin ABC Bài (3 đ) (6) 0,25 0,25 0,25 A E Đặt BD = x CD = - x (0 < x < 1) KỴ DE AB Xét BED vuông E có EBD = 60o; BD = x BE = x x , DE = 2 B D C 0,25 0,25 DEA vu«ng t¹i E AD2 = AE2 + DE2 x x 3 AD = 1 2 AD = 0,25 x2 x 1 35 Bµi Néi dung §iĨm AB BD DA 1 x x2 x 1 S r r ABD 1 2 Cã SABD = DE.AB x SABD x r1 = 1 x x2 x 1 T-¬ng tù cã: r2 = XÐt r1.r2 = = 1 x 11 x 0,25 0,25 0,25 1 x 2 x x2 x 1 1 x 1 x x 1 x 1 x x 1 x x x x x x x 1 x 0,25 x x2 x2 x 1 x2 x 1 x 1 x = 1 x2 x 1 2 x x 1 x x 1 = x2 x 1 1 = 1 x 2 1 2 1 2 Cã x x 0,5 3 4 1 3 x 2 1 3 1 x 1 2 XÐt r1.r2 = r1.r2 2 (1) 2 1 x 0 x 2 D trung điểm BC (thỏa mãn) Từ (1) (2) ta có: Để (r1.r2) max = Bài (3 đ) (2) vị trí D cần tìm là: D trung điểm BC Chia hình chữ nhật có chiều dài 251cm, chiều rộng 4cm thành 1004 hình vuông có độ dài cạnh 1cm 0,25 0,25 0,25 2 2009 điểm phân biệt nằm bên hình chữ nhật chứa 1004 hình vuông có độ dài 36 0,25 0,25 Bài Nội dung cạnh 1cm Tồn hình vuông có độ dài cạnh 1cm chứa điểm 2009 điểm cho (Di-rich-le) (1) Hình vuông có độ dài cạnh 1cm Khoảng cách lớn điểm thuộc miền hình vuông cm Không tính tổng quát, giả sử ®iĨm ®ã lµ A, B, C AB cm AC cm A; B; C thuéc hình tròn tâm A bán kính cm (2) Từ (1) (2) chøng tá r»ng tån t¹i Ýt nhÊt hình tròn có tâm 2009 điểm cho, cã b¸n kÝnh cm chøa Ýt nhÊt ®iĨm 2009 ®iĨm ®· cho §iĨm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Chú ý: Trên b-ớc giải khung điểm bắt buộc cho b-ớc theo giới hạn ch-ơng trình đến tuần 25 lớp 9; yêu cầu thí sinh phải trình bày, lập luận biến đổi hợp lí đ-ợc công nhận cho điểm Những cách giải khác cho ®iĨm tèi ®a theo biĨu ®iĨm ChÊm tõng phÇn Điểm toàn tổng điểm thành phần không làm tròn 37 ... + (2 + 99 )(22 + 99 + 99 2) + + (50 + 51)(502 + 50 51 + 512) = 101(12 + 100 + 1002 + 22 + 99 + 99 2 + + 502 + 50 51 + 512) chia hết cho 101 (1) Lại có: A = (13 + 99 3) + (23 + 98 3) + + (503 +... a + 20b 19b + ab(a + b) 20b - ab(a + b) 19b - a b(20b - ab - a ) 19b - a b(20b - 5ab + 4ab - a ) 19b - a b[5b(4b - a) + a(4b - a)] 19b - a b(4b - a)(a + 5b) 19b - a (4b... OD AC OD // BE ( vng góc BC) Mà BE DE nên OD DE DE tiếp tuyến (C) MDE MBD ( g-g) Bài : Vì MDE MBD MD2 = MF MB (*) MEB có góc E = 90 0 EF MB ME = MF MB (**)( Hệ thức
Ngày đăng: 24/09/2019, 12:37
Xem thêm: BO DE THI HSG LỚP 9 CAC HUYEN
