TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Contents CHỦ ĐỀ 1: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A LÝ THUYẾT B MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA C ĐỀ TỰ LUYỆN TỔNG HỢP CHỦ ĐỀ 1: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A LÝ THUYẾT Cho hàm số y  f  x  có đồ thị  C    Tiếp tuyến  C  điểm M x0 ; f  x0  có phương trình y  f '  x0  x  x0   f  x0    với f '  x0  hệ số góc tiếp tuyến M x0 ; f  x0  gọi tiếp điểm (điểm tiếp xúc) tiếp tuyến  C  Điều kiện để hai đường y  f  x  y  g  x  tiếp xúc với điểm M có hồnh   f  x0   g  x0  độ x0 là:    f '  x0   g '  x0  B MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: [Chun Thái Bình-Thái Bình] Họ parabol  Pm  : y  mx   m   x  m   m   tiếp xúc với đường thẳng d cố định m thay đổi Đường thẳng d đó qua điểm nào dưới đây? A  0; 2  B  0;  C  1;  D  1; 8  HƯỚNG DẪN GIẢI Gọi H  x0 ; y0  điểm cố định mà  Pm  ln qua   Khi ta có: y0  mx02   m   x0  m   m x02  x0   x0  y0   , m  PMT   x  x0     6 x0  y0   Do x02  2x0   có nghiệm kép nên  Pm  tiếp xúc với đường thẳng d : y  6x  Ta thấy  0; 2   d Ví dụ 2: [THPT Chuyên Hà Tĩnh] Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục , thỏa mãn f  x   f 1  x   12 x Phương trình tiếp tún đồ thị hàm sớ y  f  x  điểm có hồnh độ là: B y  x  A y  x  C y  x  D y  x  HƯỚNG DẪN GIẢI Từ f  x   f 1  x   12 x (*), cho x  x  ta 2 f    f 1   f  1    f    f  1  Lấy đạo hàm hai vế (*) ta f   x   f  1  x   24 x , cho x  x   4 f     f  1   f   1     f  f  12       ta Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  điểm x  y  f   1 x  1  f  1  y   x  1   y  x  x2 có đồ thị  C  Gọi d khoảng x1 cách từ giao điểm I hai tiệm cận đồ thị  C  đến tiếp tuyến tùy ý đồ thị  C  Khi Ví dụ 3: [THPT Trần Cao Vân - Khánh Hòa] Cho hàm số y  đó giá trị lớn d có thể đạt A 2 Ta có I  1;1 y '  HƯỚNG DẪN GIẢI B 1  x  1 C D 3  x 2 1 Giả sử M  x0 ;  điểm thuộc  C  , x0  1 Suy ra: y '  x0   x0     x0   Khi phương trình tiếp tuyến M là: PMT y 1 x  1 x  x0    x0  x0  x0  x   y  0 2 x0  x  x  0  0     x  y  x0  1  x0  x0    d  2 Suy ra: d I ;d    1   x0  1  x0  x0    x0  1   2  x0  1   x0  1  x0  1   x0  1 Theo bất đẳng thức Cô-si:   x0  1   x0  1   x0  1 4 Dấu đẳng thức xảy khi:   x0  1  x0  x0  Suy ra: d I ; d    x0  1  Vậy max d I ;d   x0  0; y0  Ví dụ 4: [THPT Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ] Tiếp tuyến đồ thị hàm số y  4x  với 2x  tiệm cận tạo thành tam giác có diện tích bằng: A B HƯỚNG DẪN GIẢI C D Gọi M  x0 ; y0  điểm nằm đồ thị hàm số , x0   10 y   x  1 Phương trình tiếp tuyến M : y  f ( x0 )  x  x0   y0  y  10  2x  1 x0  1  x  x   2x Tiệm cận đứng: x   , tiệm cận ngang: y  2 Gọi A giao điểm tiếp tuyến với tiệm cận đứng  xA    yA   4x     x0  x0   Vậy A   ;     x0    2 x0    2x0  1   2x0  2x0  10 Gọi B giao điểm tiếp tuyến với tiệm cận ngang  yB  2 10  2x  1 x B  x0   x0   4x   ;2  xB  x0  Vậy B  x0    PMT   Giao điểm tiệm cận I   ;     10  10 Ta có: IA   0;    IA  x0   x0   IB   2x0  1;0   IB  2x0  Tam giác IAB vuông I nên SIAB  1 10 IA.IB  x0   2 x0  Ví dụ 5: Cho hàm số y  x4  2x2  có đồ thị  C  Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến tiếp xúc với  C  hai điểm phân biệt B y  2 x  A y  2 x D y  4 C y  2 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có y '  4x3  4x  Gọi A  x0 ; y0    C  Tiếp tuyến  C  A có phương trình  : y  x03  x0 x  x   y 0 Giả sử  tiếp tuyến tiếp xúc với  C  hai điểm phân biệt     M m; m4  m2  N n; n4  2n2  với m  n Ta có phương trình  : y  y '  m  x  m   y  m   : y  y '  n  x  n   y  n   y '  m   y '  n 4n3  4n  m3  m  Suy  4 3m  m   3n  2n  m.y '  m   y  m   n.y '  n   y  n    2  n  m  n2  mn  n2   n  m     n  mn  n      2 2 2 n  m   n2  m2    (*) 3 n  m n  m  n  m            Từ (*) ta có: m  n  n2  m2    m  n   m  n  n2   n  1 PMT  mn   vô nghiệm  m n     m  n   2 Vậy y  2 tiếp tuyến cần tìm C ĐỀ TỰ LUYỆN TỔNG HỢP ĐỀ SỐ THỜI GIAN LÀM BÀI: 60 PHÚT Câu 1: [Lương Văn Chánh - Phú Yên] Cho hàm số y  2x có đồ thị  C  điểm x2 M  x0 ; y0    C   x0   Biết khoảng cách từ I  2;  đến tiếp tuyến  C  M lớn nhất, mệnh đề sau đúng? A x0  y0  B x0  y0  C x0  y0  2 D x0  y0  4 Câu 2: [THPT TRẦN QUỐC TUẤN] Cho hàm số y  x3  3x  có đồ thị  C  Đường thẳng d : y  x  cắt đồ thị  C  ba điểm A , B , C  0;  Gọi k1 , k2 hệ số góc tiếp tuyến  C  A B Tính k1 k2 B 27 A Câu 3: [SGD Bà Rịa - Vũng Tàu] Cho hàm số y  C 81 D 81 2x  có đồ thị  C  Gọi M  x0 ; y0  (với x0  2x  ) điểm thuộc  C  , biết tiếp tuyến  C  M cắt tiệm cận đứng tiệm cận ngang A B cho SOIB  8SOIA (trong O gốc tọa độ, I giao điểm hai tiệm cận) Tính giá trị S  x0  y0 B S  A S  17 C S  23 D S  Câu 4: [THPT Can Lộc - Hà Tĩnh] Cho hàm số y  f  x  xác định có đạo hàm thỏa mãn  f  2x  1   f 1  x   x Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  điểm     có hồnh độ PMT A y  x 7 B y   x  7 C y  x 7 D y   x  7 Câu 5: [THPT Yên Lạc_Trần Phú - Vĩnh Phúc] Gọi S tập hợp điểm thuộc đường thẳng x2 x 1 đồng thời hai tiếp tuyến vng góc với Tính tổng hồnh độ T tất điểm thuộc y  mà qua điểm thuộc S kẻ hai tiếp tuyến phân biệt tới đồ thị hàm số y  S A T  B T  C T  1 D T  Câu 6: [SỞ GD-ĐT HẬU GIANG] Cho hàm số  Cm  : y  x  x   m  1 x  2m , với m tham số thực Tìm tất giá trị m để từ điểm M  1;  vẽ đến Cm  hai tiếp tuyến 109 m 81 A m  B C m  109 81 D m  109 m  81 x3 có đồ thị  C  , điểm M thay đổi thuộc x 1 đường thẳng d : y   x cho qua M có hai tiếp tuyến  C  với hai tiếp điểm tương ứng Câu 7: [SGD Bà Rịa - Vũng Tàu ] Cho hàm số y  A , B Biết đường thẳng AB qua điểm cố định K Độ dài đoạn thẳng OK 34 A B 10 C 29 D 58 2x  có đồ thị  C  Viết phương trình tiếp tuyến điểm M thuộc x2  C  biết tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng tiệm cận ngang A , B cho cơsin góc Câu 8: Cho hàm số y  ABI 17 , với I  2;  A y   x  ; y   x  4 B y   x  ; y   x  4 C y   x  ; y   x  4 D y   x  ; y   x  4 PMT Câu 9: Cho hàm số y  x3  3x2  Tìm đường thẳng  d  : y  điểm mà từ kẻ tiếp tuyến phân biệt với đồ thị  m  2  m  A M  m;   d với  m   B M  m;   d với m  7  m  3  m  C M  m;   d với  m    m  1  m  D M  m;   d với  m   Câu 10: Cho hàm số y  x4  2x2  , có đồ thị  C  Tìm đường thẳng y  điểm mà qua ta kẻ tiếp tuyến phân biệt với đồ thị  C  A M  0;  , M  1;  B M  0;  , M  3;  C M  5;  , M  1;  D Khơng tồn 2x  có đồ thị  C  Biết khoảng cách từ I  1;  đến tiếp tuyến x1 C  M lớn tung độ điểm M nằm góc phần tư thứ hai, gần giá trị nhất? Câu 11: Cho hàm số y  A 3e B 2e C e D 4e x2 có đồ thị  C  Phương trình tiếp tuyến  đồ thị hàm số  C  x1 tạo với hai đường tiệm cận tam giác có bán kính đường trịn nội tiếp lớn Khi đó, Câu 12: Cho hàm số y  khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị  C  đến  bằng? A Câu 13: Cho hàm số y   B C D x3  x2  4x  , gọi đồ thị hàm số  C  Gọi M điểm thuộc  C  có khoảng cách từ M đến trục hồnh hai lần khoảng cách từ M đến trục tung, M không trùng với gốc tọa độ O Viết phương trình tiếp tuyến  C  M A y  9 B y  64 C y  12 D y  8 PMT Câu 14: Cho hàm số y  x 1 có đồ thị  C  Gọi điểm M  x0 ; y0  với x0  1 điểm  x  1 thuộc  C  , biết tiếp tuyến  C  điểm M cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB có trọng tâm G nằm đường thẳng d : 4x  y  Hỏi giá trị x0  y0 bao nhiêu? A  B C D  x  có đồ thị  C  , đường thẳng d : y  x  m Với m ta ln có 2x  d cắt  C  điểm phân biệt A, B Gọi k1 , k2 hệ số góc tiếp tuyến với  C  Câu 15: Cho hàm số y  A, B Tìm m để tổng k1  k2 đạt giá trị lớn B m  2 A m  1 D m  5 C m  HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ ĐÁP ÁN 1-D 11-C 2-D 12-D 3-A 13-D 4-B 14-A 5-D 15-A 6-D 7-D 8-D 9-D 10-D CÂU 1: LỜI GIẢI Phương trình tiếp tuyến  C  M có dạng d : y  y  x0   x  x0   y0 Ta có M  x0 ; y0    C   y0  Lại có y   x  2  y   x0   Do d : y  x0 x0  x  x  x0    x  2  d : y  x    4x  4x  2 x0 x0   x0  x0    d : x   x0   y  x02  8   x0    x02  d  I; d  2 0   x0    16  x0 x    16  x  2  x 16  2 Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có PMT x  2  16 x  2 2 x  2 16 x Dấu “  ” xảy   x0     2 16 x  2 2    d  I; d  x    x0       x0  4 Bài x0  nên x0  4  y0   x0  y0  4 CÂU 2: LỜI GIẢI Ta có: y  3x2  Xét phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng d đồ thị  C  : x  x  3x   x   x  x     x  2 Vậy đường thẳng d cắt đồ thị  C  ba điểm phân biệt: A  2;  , B  2;  C  0;  Gọi k1 , k2 hệ số góc tiếp tuyến  C  A B , ta có: k1  y  2   , k2  y    Vậy k1 k2  81 CÂU 3: LỜI GIẢI Ta có y  2  2x   , TCĐ: x   d1  , TCN: y   d2  , I  1;1 Phương trình tiếp tuyến  điểm M  x0 ; y0  có dạng y  2  2x  2 2 x0  2  x  x   2x PMT   x   A    d1  A  1;  , B    d2  B  x0  1;1 IB   x0  2;  , IA   0;   x0    x0   1   x0  1   x0  (do SOIB  8SOIA  1.IB  .1.IA  IB  IA  x0   x0  2 x0  )  y0  5  S  x0  y0    4 CÂU 4: LỜI GIẢI  f 1  2 3 Từ  f  2x  1   f 1  x   x (*), cho x  ta có  f 1   f 1     f 1  1 Đạo hàm hai vế (*) ta f  2x  1 f   2x  1   f 1  x  f  1  x   Cho x  ta f 1 f  1   f 1 f  1   f  1 f   1   f 1   (**) Nếu f  1  (**) vơ lý, f  1  1 , (**) trở thành :  f   1      f  1   Phương trình tiếp tuyến y   1 x  1   y   x   7 CÂU 5: LỜI GIẢI y x2  x 1 x 1 x 1 Gọi điểm A  a;    d  : y  Đường thẳng qua A có dạng y  k  x  a    x2  k  x  a   x 1 Điều kiện tiếp xúc:   1  a  k  k   x  2x  k   x  1  Để tiếp tuyến vuông góc  4 1  a  a   1    a  1 Vậy tổng hai hoành độ là: CÂU 6: LỜI GIẢI PMT 10 ĐÁP ÁN 1-A 11-D 2-C 12-D 3-D 13-C 4-C 14-d 5-d 15-D 6-D 7-A 8-A 9-B 10-C CÂU 1: LỜI GIẢI Tập xác định: D  \2 ; y  4  x  2 lim y    tiệm cận đứng đường thẳng x  ; lim y   tiệm cận ngang đường thẳng x  x  2 y  , suy I  2;1 Phương trình tiếp tuyến  C  có dạng: d : y  4 x  2 x0  2 x  x   x  x 1 Tiếp tuyến  C  cắt hai đường tiệm cận  C  hai điểm A , B nên A  2; ,  x0   B  x0  2;1 Do tam giác IAB vng I nên bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác R  AB Chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB là: P  AB. Chu vi bé AB nhỏ      2  Ta có AB    x0 ;  ; AB    x0       x0      x0     x0    x0    4.64  PMT 20 Vậy Pmin  2. CÂU 2: LỜI GIẢI Do C  : y  x 1 , y  x   x  2x 2x d1 , d2 hai tiếp tuyến  C  song song với có hồnh độ tiếp điểm x1 , x2  x1  x2  , nên ta có y  x1  = y  x2    x  x2 1  x1   x2  2 2 x1 x2  x1   x2  x 1  x1   Gọi M  x1 ;  ; N   x1 ;  x1  x1     x 1 x 1 x1  1 x  x1   y  0  PTTT d1 M  x1 ;  : y   x  x1    x1  x1 x1 x1 x1  Khi d d , d   d N ;d   2 x1 1 x14 Áp dụng BĐT Cơ-Si ta có x12   4x  x1 1  x12   d d ; d   2 x1 x1 4 x12  x12  2 CÂU 3: LỜI GIẢI y 2x  y  x1  x  1 Phương trình đường thẳng qua A(0; a) có hệ số góc k : y  kx  a (d)  2x  x   kx  a  1  (d) tiếp tuyến (C)   có nghiệm  k      x  1 2x  x  a x( x  1)  x  a  x  1   a   x  ax  a   *  Thay (2) (1) ta x  ( x  1) Để qua A kẻ tiếp tuyến phương trình  *  có nghiệm phân biệt khác 1  a  a    với x M ; xN nghiệm phương trình  *    a    a  a ( a  2)     PMT 21     Nên M  xM ;    , N  xN ;  xN   xM      1  Theo giả thuyết MN    xM  xN       16  xN  x M   8a 4 x  x  M N   16  8a  (a  2)2  16   x M  xN   ( a  2)2  2 2  xM  1 xN  1 a2   8a   8a  16  a  6a  13a    a  Vậy tổng giá trị thực a  2   CÂU 4: LỜI GIẢI Ta có: y  3x2  2018   Phương trình tiếp tuyến  k với  C  M k  xk ; yk  : y  3xk2  2018  x  xk   xk3  2018 xk Phương trình hồnh độ giao điểm  k  C  là:  x  xk x  2018 x  3xk2  2018  x  xk   xk3  2018 xk   x  xk   x  xk      x  2 x k   Khi đó, ta có:  xn  cấp số nhân với công bội q  2 , x1   x2018   2  Suy 2017 y2018 x2018  2018 x2018   x2018  2018  42017  2018 x2018 x2018 Nhận xét: Xét hàm số y  ax  bx  cx  d C  Tiếp tuyến  với  C  điểm M1  x1 ; y1  có phương trình y  y  x1  x  x1   ax13  bx12  cx1  d Phương trình hồnh độ giao điểm   C  : ax  bx  cx  d  y  x1  x  x1   ax13  bx12  cx1  d  a  x  x1   x  x2    1 Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: x1  x1  x2   b b  x2    x1 a a b Vậy tiếp tuyến  với  C  điểm M1  x1 ; y1  cắt  C  điểm M2  x2 ; y2  x2    x1 a CÂU 5: LỜI GIẢI Gọi M  x0 ; y0   C   y0  x0  y '0   x0   x0   Phương trình tiếp tuyến  d   C  M : y  1 x  2 x  x   x0  x0  PMT 22  2x   cắt hai đường tiệm cận hai điểm phân biệt A  2;  , B  x0  2;   x0   Dễ thấy M trung điểm AB I  2;  giao điểm hai đường tiệm cận d Tam giác IAB vng I nên đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích     x0    2    2   S   IM    x0          x0     x    x          Dấu đẳng thức xảy  x0    x  2  x   y0    x0   y0  Vậy M  1;1 M  3;  thỏa mãn toán Bài tốn có thể mở rộng : Tìm điểm  C  có hồnh độ  C  cho tiếp tuyến tạo với hai đường tiệm cận tam giác có chu vi nhỏ  2x   HD: theo ta có : A  2;  , B  x0  2;   IA , IB Chu vi tam giác  x0      y  y0  y '  x0  x  x0   y  x03  3x02   3x02  x0   x  x  P  IA  IB  AB  IA  IB  IA2  IB2  IA.IB  2.IA.IB  23  Đẳng thức xảy A  ; 2    Nếu trường hợp tam giác AIB khơng vng   x0   y  2    x0   3x0  10 x0     x0   y  x  25 , để tính AB ta cần đến định lý hàm số  61  x0   y  x  3 27  cosin M  4; 24     P  IA  IB  AB2  IA.IB  IA  IB2  IA.IB cos IA , IB  y  13x  5; y  8x  8; y  5x  Đẳng thức xảy IA  IB CÂU 6: LỜI GIẢI Giả sử  C  cắt Ox M ( m; 0) N ( n; 0) cắt Oy A(0; c ) Tiếp tuyến y  có phương trình: y  (3m2  2am  b)( x  m) Tiếp tuyến qua A nên ta có: 3m3  2am2  bm  c  a  2m3  am2   m   (do m3  am2  bm  c  ) Mà  C  cắt Ox hai điểm nên  C  tiếp xúc với Ox PMT 23 Nếu y  tiếp điểm suy Ox qua A vơ lí nên ta có  C  tiếp xúc với Ox N Do đó: y  x3  ax2  bx  c  ( x  n)2 ( x  m)  a a m   , n    m  2n   a   Suy 2 mn  n2  b  a  32c (1) mn2  c 5a  16b    Mặt khác SAMN   c n  m   c a  a  32c   a  ta có: ac  8 vô nghiệm 5a  16b  a3  32c   a  4, b  5, c  2  a  ta có: ac  5a2  16b  CÂU 7: LỜI GIẢI Phương trình tiếp tuyến  d  : y  y(a)( x  a)  a4 3a4 a4  2a2   ( a3  4a)( x  a)   2a2   ( a3  4a)x   2a  4 Phương trình hồnh độ giao điểm  C   d  : x4 3a4  2x2   ( a3  4a)x   2a2   x4  x2  4( a3  4a)x  3a4  8a2  4 x  a  ( x  a)2 ( x2  2ax  3a2  8)    2  x  2ax  3a   (3) d cắt  C  hai điểm E, F khác M  Phương trình   có hai nghiệm phân biệt khác a 2  a  2    '  a  3a      (*)  a   6 a    Tọa độ trung điểm I đoạn EF : PMT 24  xE  xF  x  a  a  xI   I   a4 a y    6a2   y  ( a3  4a)( a)   I  a  ( I  ( d ))   I I  ( P) : y   x    a  a4 a2  a   a   a (1  )    4  a  2 So với điều kiện (*) nhận a  CÂU 8: LỜI GIẢI Xét phương trình hồnh độ giao điểm  C   d  : 2x3  3x2   mx  m      x  1 x  x  m   (*) Để đường thẳng  d  cắt đồ thị  C  ba điểm phân biệt phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt  x2  x  m   có hai nghiệm phân biệt x   9  m   0    m  2.1   m    Do tiếp tuyến với  C  A B vng góc với nên k1 k2  1 Với k1 hệ số góc tiếp tuyến với  C  A , k2 hệ số góc tiếp tuyến với  C  B     Ta có y  6x2  6x  k1  x12  x1 ;  k2  x22  x2    Do k1 k2  1 nên x12  x1 x22  x2  1  36  x1 x2   36 x1 x2  x1  x2   36 x1 x2     x1  x2  Theo định lý vi-et ta có  x x   m   2  m 1  m 1  m 1 ta có  36     36     36   1 2 2        3  m  3  3  Vậy S   m2  m       1  6 3  m   PMT 25 ... Phương trình tiếp tuyến  đồ thị hàm số  C  x1 tạo với hai đường tiệm cận tam giác có bán kính đường trịn nội tiếp lớn Khi đó, Câu 12: Cho hàm số y  khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị  C ... Câu 4: [THPT Can Lộc - Hà Tĩnh] Cho hàm số y  f  x  xác định có đạo hàm thỏa mãn  f  2x  1   f 1  x   x Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  điểm     có hồnh... thuộc đường thẳng x2 x 1 đồng thời hai tiếp tuyến vng góc với Tính tổng hồnh độ T tất điểm thuộc y  mà qua điểm thuộc S kẻ hai tiếp tuyến phân biệt tới đồ thị hàm số y  S A T  B T  C T