ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ HAY - LẠ - KHÓ

Ln u để sống, ln sống để học Tốn, ln học Toán để yêu >.< Câu Cho hàm số f  x   mx  nx  px  qx  r g  x   ax  bx  cx  d ,  m, n, p , q , r , a, b, c , d   thỏa mãn f    g   Các hàm số y  f '  x  y  g '  x  có đồ thị hình vẽ đây: Tập nghiệm phương trình f  x   g  x  có số phần tử là: B A C D HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có:   x   dx f '  x   g '  x   4m  x  1 x  1 x    4m x  x  x       f '  x   g '  x  dx   4m x  x   f  x   g  x   mx  x  2mx  8mx  r  d Mà f    g     r  d     f  x   g  x   m  x4  x3  2x2  8x    x  Khi : f  x   g  x     x  x  x    1  Facebook: https://www.facebook.com/phamminhtuan.317 Luôn yêu để sống, sống để học Tốn, ln học Tốn để u >.< Phương trình  1 có nghiệm Vậy tập nghiệm phương trình f  x   g  x  có phần tử Câu Cho hàm số y  f  x  liên tục xác định có đồ thị hình vẽ Có giá trị nguyên m để bất phương trình sau có nghiệm:     f x f x 2f x 3.12    f  x   16    m2  3m   A C B Vô số D HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: 3.12 f  x   x   1 16  f 4 Đặt g  x     3 f  x f  x    m  3m 4  f  x    3   2 f  x f  x 4  m  3m    3 f  x 4  f  x    3   f  x suy m  3m  g  x  Từ đồ thị ta thấy f  x   1, x  4 Suy g  x      12  3   4   3 2.1 m   m2  3m    m  4; 3; 2; 1; 0;1 Câu Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục R có đồ thị hàm số y  f '( x) hình vẽ bên Facebook: https://www.facebook.com/phamminhtuan.317 Luôn yêu để sống, sống để học Tốn, ln học Tốn để u >.<   Để hàm số y  f 2x3  6x  đồng biến với x  m  m  R  m  a sin a , b , c  * , c  2b b c b phân số tối giản) Tổng S  2a  3b  c c B 2 A D 9 C HƯỚNG DẪN GIẢI    y '  x2  f x3  x   x  x2     x  1 y '   2 x  x   1 ( kep)   2 x  x     x  1  x      x  3x   Xét phương trình x3  3x  Với x  phương trình vơ nghiệm Với x  Đặt x  cos t  cos3 t  cos t   cos 3t  nghiệm x  cos  x1  2 ; x2  cos ; x  cos ta phương trình có 5 7 suy phương trình y '  có nghiệm ; x  cos 9 7 5  ; x3  1 ; x4  cos ; x5  ; x6  cos 9 Bảng xét dấu y’ sau x y'  x2 x1 - - + x3 x4 - Facebook: https://www.facebook.com/phamminhtuan.317 + x5 x6 -  + Luôn yêu để sống, sống để học Tốn, ln học Tốn để u >.<  7   5     Hàm số đồng biến khoảng  cos ; 1  ;  cos ;1  ;  cos ;   9       Hàm số đồng biến với     7 x  m  m  R    m;     cos ;    m  cos  sin 9 18   Vậy a  2; b  7; c  18  a  3b  c  Câu Cho f  x  đa thức hệ số thực có đồ thị hàm số y  f '  x  hình vẽ bên dưới: Hàm số g  x     m  x  m   m  R  thỏa mãn tính chất: tam giác có độ dài ba cạnh a, b, c số g  a  , g  b  , g  c  độ dài ba cạnh tam giác Khẳng định sau hàm số y  f  mx  m  1   e mx1     A Hàm số đồng biến khoảng   ; 1      B Hàm số nghịch biến khoảng   ;    C Hàm số nghịch biến khoảng  1;  đồng biến khoảng  4;  D Hàm số nghịch biến khoảng  1;  đồng biến khoảng  4;  HƯỚNG DẪN GIẢI a , b , c   a  b  c  (*) Ta có: a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên  c  b  a  a  c  b  Ba số  a   ,  b   ,  c    ,   R  độ dài cạnh tam giác Facebook: https://www.facebook.com/phamminhtuan.317 Luôn yêu để sống, sống để học Tốn, ln học Tốn để u >.<  a      b       c           a  b  c             a  b  c        a  b  c     Áp dụng vào toán: 1  m   Từ giả thiết ta có: m2   m 1  m  m2    Với m   hàm số y  e mx 1 hàm số đồng biến R 2 Xét hàm số y  f  mx  m  1  có y '  2m  mx  m  1 f '  mx  m  1  ;      mx  m    y '    mx  m   1 Do m   nên phương trình y '  có nghiệm phân biệt  mx  m   2 x1  3m 2m 1 m 1  m  x2   x3   x4  1  x5  m m m m Bảng xét dấu đạo hàm hàm số y  f  mx  m  1  sau:   x  y' x2 x1 - + x3 - x4 + 0 x5 -  + Suy hàm số h( x)  f  mx  m  1   e mx1 đồng biến khoảng     m  m   1 m   1  m   m ; m  ;  m ; 1  ;  m ;            1 m  ; 1  Với m     ; 1       m  D sai 1;     1m m ;   nên A B, C,  Facebook: https://www.facebook.com/phamminhtuan.317  Luôn yêu để sống, ln sống để học Tốn, ln học Tốn để yêu >.< Câu Cho hàm số y  f  x  liên tục hàm số y  f '  x  có đồ thị hình vẽ Bất phương trình sau có nghiệm với x   1;  : f x m f x m       f  x    5m A  f  1  m   f   B  f    m   f  1 C  f  1  m   f   D  f    m   f  1 HƯỚNG DẪN GIẢI Từ đồ thị hàm số suy biến thiên x f ' x f  x 1  f  1  f 2 Từ bảng biến thiên suy f    f  x   f  1 , x   1;   f    m  f  x   m  f  1  m , x   1;  Đặt t  f  x   m  f    m  t  f  1  m , x   1;  Từ đề tương đương: 3t  4t  5t   3t  4t  5t    1 t  Xét 3t  4t  5t     t   f    m    f    m   f  1 Dùng phương pháp xét dấu:  1   t    f   m     Facebook: https://www.facebook.com/phamminhtuan.317 Ln u để sống, ln sống để học Tốn, ln học Tốn để u >.< Câu Cho hàm số g  x   mx  nx  p  m , n, p  f  x    x  ax  b  a , b    có đồ thị C  có đồ thị  P  hình vẽ Diện tích hình phẳng giới hạn  C   P  có giá trị nằm khoảng sau đây? A  4; 4,1 C  4, 3; 4,  B  4, 2; 4,  D  4,1; 4,  HƯỚNG DẪN GIẢI Dựa vào đồ thi ta có f  x   g  x   có nghiệm x  2; x  0; x  Do f  x   g  x    x   x   x ( x  hai đồ thị f  x  g  x  tiếp xúc  nhau) Vậy diện tích hình phẳng giới hạn  C   P  : S  2 f  x   g  x  dx     x   x   x 2 Câu Cho hàm số f  x   ax  bx  cx  d  a , b , c , d  Facebook: https://www.facebook.com/phamminhtuan.317 dx  32 15  có đồ thị hình vẽ Ln u để sống, ln sống để học Tốn, ln học Tốn để u >.<       có tất nghiệm thực phân biệt Phương trình f f f f x A 12 C 41 B 40 D 16 HƯỚNG DẪN GIẢI Dưạ vào đồ thị ta có: f  x   ax  x   qua điểm A  1;    4a  a   f  x   x  x  x        Phương trình vơ nghiệm x   f  x    f  f  f  f  x       Phương trình vơ nghiệm  x  0;  Đặt x    cos t , t   0;    x   f  x   f f f f  x  f  x     2cos t     2cos t     2cos t   8cos3 t  6cos t    cos 3t  1           Ta chứng minh được: f n x  cos 3n t  với f n x  f f f f f   f f f f  x      cos  t   1   cos  81t   1      cos  81t   1  Ta có: f f f f x   k  1  81t  81t   cos  0   k  t   2 81   Do t  0;       k  1 81     k  40 Vậy có 41 giá trị Facebook: https://www.facebook.com/phamminhtuan.317 Ln u để sống, ln sống để học Tốn, ln học Tốn để yêu >.< Câu Cho hàm số f  x   4 x  x  x  có đồ thị hình vẽ 3 3 Có tất giá trị nguyên tham số m để phương trình sau có nghiệm phân biệt thuộc đoạn 0;  : 2019 f   15x2  30x  16  m 15x2  30x  16  m  A 1513 B 1512 C 1515 D 1514 HƯỚNG DẪN GIẢI Đặt t  15x2  30x  16, x  0; 2 t '  x  30  x  1 15x  30 x  16   ; t' x   x  BBT x t ' x t  x   Dựa vào đồ thị suy  t  4  Với t  1;  cho ta nghiệm x  0;  Khi phương trình đề cho trở thành: 1 4 2019 f  t   m  t  1  2019  t  t  t    m  t  1 3 3 3 Facebook: https://www.facebook.com/phamminhtuan.317 Luôn yêu để sống, ln sống để học Tốn, ln học Tốn để yêu >.<  673  t  1 t  1 t    m  t  1   t  1 t        m 673  Xét g t  t  t  , t  1;  BBT t g ' t  g t    0 Phương trình cho có nghiệm phân biệt thuộc đoạn 0;    y m 673 m    1514, 25  m   Có 1514 giá trị nguyên m 673 Câu Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ Có tất giá trị ngun tham số m để bất phương trình sau nghiệm với x    2;  : A  mx  m   x  2m  f  x   B D C HƯỚNG DẪN GIẢI TH1: Xét x    2;1  f  x       BPT  mx  m2  x2  2m    Min mx  m2  x  2m   Facebook: https://www.facebook.com/phamminhtuan.317 10 Luôn yêu để sống, sống để học Tốn, ln học Tốn để u >.< A m  f  3  B m  f   C m  f  1 D m  f 0 HƯỚNG DẪN GIẢI Yêu cầu toán tương đương m  f ( x)  x3  3x x   3;  (1)   Xét hàm số g( x)  f ( x)  x3  3x , x   3;      Ta có g '  x   f '  x   3x2    f '  x   x2     Vẽ đồ thị hàm số y  x  hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số y f' x x    Suy g '  x    f '  x   x    x  (x = nghiệm bội chẵn)  x  Bảng biến thiên hàm số g x Từ bảng biến thiên hàm số g x suy (1)  m  f   Facebook: https://www.facebook.com/phamminhtuan.317 18 Luôn u để sống, ln sống để học Tốn, ln học Toán để yêu >.< Câu 17 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  có đồ thị đường cong  hình vẽ Đặt g  x   f f  x   Tìm số nghiệm phương trình g '  x   B 10 A C HƯỚNG DẪN GIẢI D Theo đồ thị hàm số hàm số y  f  x  có ba điểm cực trị x   , x  x  a (1  a  2) Do đó, f '  x   có ba nghiệm x   , x  x  a (1  a  2)   Ta có: g '  x   f '  x   f ' f  x    f '  x  Xét g '  x      f ' f  x      Phương trình (1) có ba nghiệm x   , x  x  a (1  a  2) Facebook: https://www.facebook.com/phamminhtuan.317 19 Luôn yêu để sống, sống để học Tốn, ln học Tốn để u >.<    f  x     f  x   Phương trình (2)   f  x       f  x   f x 1  a      f  x   a   Theo đồ thị, ta thấy f  x   có hai nghiệm phân biệt f  x   có hai nghiệm phân biệt Đặt b  a  Do  a  nên  b  Xét phương trình f  x   b (  b  ) Đường thẳng y  b cắt đồ thị hàm số y  f  x  hai điểm phân biệt nên phương trình (5) có hai nghiệm phân biệt Xét thấy nghiệm phương trình  1 ,   ,     nghiệm phân biệt Vậy phương trình g '  x   có nghiệm phân biệt Câu 18 Cho hàm số f  x  có đồ thị hình vẽ bên Bất phương trình     f e x  m 3e x  2019 có nghiệm x   0;1 A m   m f e 1011 B m  3e  2019 C m   1011 D 3e  2019 HƯỚNG DẪN GIẢI Phương pháp: Facebook: https://www.facebook.com/phamminhtuan.317 20 Ln u để sống, ln sống để học Tốn, ln học Toán để yêu >.< Đặt e x  t  t   Ta đưa bất phương trình cho thánh bất phương trình ẩn t, từ lập luận để có phương trình ẩn t có nghiệm thuộc (1;e) Ta ý hàm số y  f  x  y  f  t  có tính chất giống nên từ đồ thị hàm số cho ta suy tính chất hàm f  t  Sử dụng phương pháp hàm số để tìm m cho bất phương trình có nghiệm Bất phương trình m  f  X  có nghiệm trân (a;b) m  f  X  [ a ;b ] Cách giải:     Xét bất phương trình f e x  m 3e x  2019 (*)   Đặt e x  t  t   , Với x   0;1  t  e ; e1  t  1; e  Ta bất phương trình f  t   m  3t  2019   m  t   1; e  f t  3t  2019 (1) (vì 3t  2019  với Để bất phương trình (*) có nghiệm x  (0;1) bất phương trình (1) có nghiệm t   1; e  Ta xét hàm g  t   Ta có g '  t   f t  3t  2019  1; e  f '  t  3t  2019   f  t   3t  2019  Nhận xét đồ thị hàm số y  f  t  có tính chất giống với đồ thị hàm số y  f  x  nên xét khoảng  1; e  ta thấy f  t   đồ thị hàm số lên từ trái qua phải hay hàm số đồng biến  1; e  nên f '  t   Từ g '  t   f '  t  3t  2019   f  t   3t  2019   với t   1; e  hay hàm số g  t  đồng biến  1; e  Facebook: https://www.facebook.com/phamminhtuan.317 21 Luôn yêu để sống, ln sống để học Tốn, ln học Tốn để yêu >.< Ta có BBT g(t) 1; e  t g ' t  e + g t   1011 Từ BBT ta thấy để bất phương trình m  m  g(t )  m   [1; e ] f t  3t  2019 có nghiệm t   1; e  1011 Câu 19 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục R có f  1  1, f  1   Đặt g  x   f  x   f  x  Cho biết đồ thị y  f   x  có dạng hình vẽ Mệnh đề sau đúng? A Hàm số g  x  có giá trị lớn khơng có giá trị nhỏ R B Hàm số g  x  có giá trị nhỏ khơng có giá trị nhỏ R C Hàm số g  x  có giá trị lớn giá trị nhỏ R D Hàm số g  x  khơng có giá trị lớn giá trị nhỏ R HƯỚNG DẪN GIẢI Phương pháp: +) Lập BBT hàm số y  f  x  nhận xét Facebook: https://www.facebook.com/phamminhtuan.317 22 Luôn yêu để sống, sống để học Tốn, ln học Tốn để u >.< +) Lập BBT hàm số y  g  x  kết luận Cách giải: BBT hàm số y  f  x  x  f  x 1 + f  x  +  1  f  x   1, x  Ta có: g  x   f  x   f  x   g  x   f  x  f   x   f   x   f   x  f  x    Mà f  x    0, x (do f  x   1, x ) BBT hàm số y  g  x  x  g  x  1    + g  x 3 Vậy hàm số g  x  có giá trị nhỏ khơng có giá trị nhỏ R Câu 20 Giả sử hàm số y  f  x  có đạo hàm hàm số y  f '  x  có đồ thị cho hình vẽ f    f  1  f    f    f   Tìm giá trị nhỏ m hàm số y  f  x  0;  A m  f   B m  f   C m  f   D m  f  1 HƯỚNG DẪN GIẢI Phương pháp: Facebook: https://www.facebook.com/phamminhtuan.317 23 Luôn yêu để sống, sống để học Tốn, ln học Tốn để u >.< Lập bảng biến thiên hàm số y  f  x  đoạn [0;4], từ tìm giá trị nhỏ hàm số đoạn 0;  Cách giải: Quan sát đồ thị hàm số y  f '  x  ta thấy: +) Trên khoảng  0;  f '  x   +) Trên khoảng  2;  f '  x   Ta có bảng biến thiên: x f '(x) + f  x + f 2 - f  1 - f  3 f 4 f 0 Từ bảng biến thiên ta thấy GTNN hàm số đạt f   f   Ta so sánh f   f   sau: f    f  1  f    f    f    f    f    f    f    f    f    f  1    f    f     (do f    f  1 , f    f  ) Do f    f     f    f   Vậy m  f   Câu 21 Cho hàm số f  x  liên tục R có đồ thị hình vẽ Có giá  sin x  cos x   trị nguyên tham số m để phương trình f    f m  4m  có  cosx  sinx   nghiệm?  Facebook: https://www.facebook.com/phamminhtuan.317  24 Ln u để sống, ln sống để học Tốn, ln học Tốn để u >.< A B C Vô số HƯỚNG DẪN GIẢI D Phương pháp: + Đặt sin x  cos x   t , biến đổi đưa a sin x  b cos x  c , phương trình có cos x  sin x  nghiệm a2  b2  c từ ta tìm ta điều kiện t   + Dựa vào đồ thị hàm số để xác định điều kiện nghiệm phương trình f  x   f t Từ suy điều kiện có nghiệm phương trình cho Chú ý hàm f  t  đồng biến (hoặc nghịch biến)  a; b  phương trình f  u   f  v  có nghiệm nghiệm  a; b   u  v Cách giải: Vì 1  sin x  1; 1  cos x  nên 2cos x  sin x  3  2cos x  sin x   Đặt 3sin x  cos x   t  3sin x  cos x   t  cos x  sin x   cos x  sin x    2t  1 cos x   t   sin x  4t  Phương trình có nghiệm  2t  1   t     4t  1 2  5t  10t  10  16t  8t   11t  2t      t  1  t  11 Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số f  x  đồng biến (0;1)   Nên phương trình f  x   f t với t   0;1 có nghiệm x  t  x  Facebook: https://www.facebook.com/phamminhtuan.317 25 ... t   đồ thị hàm số lên từ trái qua phải hay hàm số đồng biến  1; e  nên f '  t   Từ g '  t   f '  t  3t  2019   f  t   3t  2019   với t   1; e  hay hàm số g  t  đồng...   A Hàm số đồng biến khoảng   ; 1      B Hàm số nghịch biến khoảng   ;    C Hàm số nghịch biến khoảng  1;  đồng biến khoảng  4;  D Hàm số nghịch biến khoảng  1;  đồng... BBT hàm số y  g  x  x  g  x  1    + g  x 3 Vậy hàm số g  x  có giá trị nhỏ khơng có giá trị nhỏ R Câu 20 Giả sử hàm số y  f  x  có đạo hàm hàm số y  f '  x  có đồ thị