CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ - PHẠM MINH TUẤN

Contents CHỦ ĐỀ 1: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A LÝ THUYẾT B CÁC DẠNG TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ  DẠNG 1: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ BẢN 2 BÀI TẬP ÁP DỤNG  DẠNG 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẬC 12 KIẾN THỨC CƠ BẢN 12 MỘT SỐ VÍ DỤ 12 ĐỀ TỰ LUYỆN TỔNG HỢP 15 C CHỦ ĐỀ 1: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A LÝ THUYẾT Định nghĩa: Cho hàm số y  f  x  xác định liên tục trên khoảng  a; b  (có thể a  ; b  ) điểm x0   a; b  - Nếu tồn số h  cho f  x   f  x0  với x   x0  h; x0  h  x  x0 ta nói hàm số f  x  đạt cực đại x0 - Nếu tồn số h  cho f  x   f  x0  với x   x0  h; x0  h  x  x0 ta nói hàm số f  x  đạt cực tiểu x0 Chú ý: - Nếu hàm số y  f  x  đạt cực đại (cực tiểu) x0 x0 gọi điểm cực đại (điểm cực tiểu) hàm số; f  x0  gọi giá trị cực đại (giá trị cực tiểu)   hàm số; điểm M x0 ; f  x0  gọi điểm cực đại (điểm cực tiểu) đồ - thị Các điểm cực đại cực tiểu gọi chung điểm cực trị Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) gọi cực đại (cực tiểu) gọi chung cực trị hàm số Nếu hàm số y  f  x  có đạo hàm khoảng  a; b  đạt cực đại cực tiểu x0 f '  x0   Điều kiện đủ để hàm số có cực trị PMT Định lý 1: Giả sử hàm số y  f  x  liên tục khoảng K   x0  h; x0  h  có đạo hàm K K \x0  , với h  - Nếu f '  x   khoảng  x0  h; x0  f '  x   khoảng  x0 ; x0  h  x0 điểm cực đại hàm số f  x  - Nếu f '  x   khoảng  x0  h; x0  f '  x   khoảng  x0 ; x0  h  x0 điểm cực tiểu hàm số f  x  Định lý 2: Giả sử hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp khoảng  x0  h; x0  h  , với h  Khi đó: - Nếu f '  x0   0, f ''  x0   x0 điểm cực tiểu Nếu f '  x0   0, f ''  x0   x0 điểm cực đại Quỹ tích điểm cực trị Định lý 1: Cho hàm đa thức y  P  x  , giả sử y   ax  b  P '  x   h  x  x0 điểm cực trị hàm số giá trị cực trị hàm số y  x0   h  x0  y  h  x  gọi phương trình quỹ tích điểm cực trị u x , v  x   , x0 điểm cực trị Định lý 2: Cho hàm phân thức hữu tỉ y  v  x hàm số giá trị cực trị hàm số y  x0   u '  x0  v '  x0  y  u'  x  v' x gọi phương trình quỹ tích điểm cực trị B  CÁC DẠNG TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ DẠNG 1: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ BẢN Xét hàm số trùng phương y  ax4  bx2  c với a   ab   Điều kiện để đồ thị hàm số có điểm cực trị  2  a  b   Điều kiện để đồ thị hàm số có điểm cực trị ab  :   b Δ b Δ Khi điểm cực trị đồ thị hàm số A  0, c  , B   ;   ; C    ;   ,   a a  a a    Δ  b2  4ac Suy AB  AC    b b4 b  , BC   2a 16a 2a Trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường trịn nội tiếp tam giác ln nằm trục Oy PMT  Chứng minh số công thức  Gọi G  0; g  , H  0; h  , I  0; m  J  0; n  trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Sau ta xây dựng công thức liên hệ g , h, m, n với a, b, c  G  0; g  trọng tâm tam giác ABC nên g  y A  yB  yC , có nghĩa c 2Δ  3g  b2  6a  c  g  4a  H  0; h  trực tâm tam giác ABC nên BH  AC  AC.BH     b Δ b Δ AC     ;   c  , BH     ; h      2a a  2a 4a    Suy AC.BH     b Δ Δ b3  a    c  h     ab  b2 b  4ah  4ac   h  c  2a  4a 4a  4ab     Do tam giác ABC cân A I  0; m  nên IB  IC Để I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cần thêm điều kiện IA  IB  IA2  IB2   c  m       b Δ    m 2a  4a   b2  4am  4ac  16a2  m  c   8ab  c  m  2 a  b3 8ab Từ ta rút biểu thức tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC RABC  IA  c  m   b3  8a 8ab J  0; n  tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên ta có đẳng thức BC JA  CA JB  AB JC   OJ  BC.OA  CA.OB  AB.OC BC  CA  AB Từ suy đẳng thức b2 b3 1 8a c  n  4a b3 1 1 8a Đẳng thức thực khó nhớ, nên để làm nhanh ta nên nhớ đẳng thức tìm toạ độ tâm PMT MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH Công thức thỏa mãn ab  b  8a  b3  24a  Dữ kiện Tam giác ABC vuông cân A Tam giác ABC Tam giác ABC có diện tích S S  Tam giác ABC có BAC   b5 32a3 8a  b3 tan  0 Smax   b5 32a3  b 8a  b3 Tam giác ABC có góc nhọn Tam giác ABC có diện tích lớn Smax Phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC I  0; m  , R tâm bán kính đường trịn  0   b 4a b3  8a a  b3 R  c  m  cm 8ab 8ab x  y   c  n  y  c.n  với n  ngoại tiếp tam giác ABC J  0; n  , r tâm bán kính đường tròn nội O  0;  trọng tâm tam giác ABC b2 b3 1 b2 a r  c  n  4a  b3 b3  1 1 a 1     8a 8a    b  8a ch 4ab b cg 6a b  6ac  O  0;  trực tâm tam giác ABC b3  8a  4abc  O  0;  tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC b3  8a  8abc  O  0;  tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC b3  8a  4abc  Tam giác ABC với O  0;  tạo thành hình thoi b2  2ac  Tam giác ABC có điểm cực trị cách trục hoành b2  8ac  tiếp tam giác ABC H  0; h  trực tâm tam giác ABC G  0; g  trọng tâm tam giác ABC BÀI TẬP ÁP DỤNG Câu 1: Cho hàm số y  x4  2ax2  a2  a Giá trị a để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có trọng tâm gốc toạ độ O thoả mãn: A a   4; 3  B a   2; 1 C a   1;  D a  0;1 PMT   Câu 2: Cho hàm số y  x4  2(a8  16) x2  a2  2018 Biết I 0; a tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo ba điểm cực trị đồ thị hàm số Bán kính đường trịn có giá trị là: B R  A R  C R  2018 D R  2018 Câu 3: [THPT Trần Nhân Tơng - Quảng Ninh] Tìm tất giá trị tham số m cho đồ thị hàm số y  x   m  1 x  m2 có ba điểm cực trị nội tiếp đường trịn bán kính A m  , m  3 B m  , m  3  C m  , m  3 D m  , m  3 Câu 4: [Sở GD Cần Thơ] Tất giá trị m cho đồ thị hàm số y  x4  8m2 x2  có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích 64 A m  ; m   B m  ; m   C m  ; m  2 D m  ; m   Câu 5: [Sở GD Thanh Hố] Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y  x4  2mx2  2m4  m có ba điểm cực trị thuộc trục tọa độ A m  B m  D m  C m  Câu 6: [THPT TIÊN DU SỐ 1] Tìm m để đồ thị hàm số y  x4  2m2 x2  có điểm cực trị lập thành tam giác vuông cân A m  B m 1;1 C m 1; 0;1 D Không tồn m Câu 7: [THPT TIÊN LÃNG] Đồ thị hàm số y  x4  2m2 x2  m2 ( m tham số) có ba điểm cực trị A , B , C cho bốn điểm A , B , C , O bốn đỉnh hình thoi ( O gốc toạ độ) A m  B m   C m    D m    2 Câu 8: [THPT Lê Quý Đôn - Quảng Trị ] Cho hàm số y  x   m2 x  m  Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số có cực đại cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích lớn A m  B m  C m   D m  PMT Câu 9: [THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU] Cho hàm số y  x4  mx2  2m  có đồ thị C  Tìm tất giá trị m để C  m m có ba điểm cực trị với gốc tọa độ tạo thành bốn đỉnh hình thoi A m   m  1  B Khơng có giá trị m C m   m   D m   m   Câu 10: [THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN] Cho hàm số y  x4  2mx2   m Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác nhận gốc tọa độ O làm trực tâm B m  A m  D m  1 C m  Câu 11: Đồ thị hàm số y  x4  2mx2  2m có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác khi: A m  3 B m  D m  C m  Câu 12: [THPT Thuận Thành 3] Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  x4  2mx2  3m  có cực trị nằm trục tọa độ A m  1; 0; 4 B m  ;   4 C m 1; 0;1 D m  1; 2; 3 Câu 13: [THPT Thuận Thành 2] Tìm giá trị m để đồ thị hàm số y  x4  2mx2  có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có đường trung bình y  A m  B m  1 C m   D m  Câu 14: [THPT chuyên Vĩnh Phúc] Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số y  x4  2x2  m có ba điểm cực trị A , B , C cho tam giác ABC bị trục tọa độ Ox chia thành hai phần có diện tích A m   B m  C m   D m  Câu 15: [Sở Hải Dương] Cho hàm số y  x   m   x  m  có đồ thị  Cm  Tìm số thực m để đồ thị  Cm  có ba điểm cực trị tạo thành tam giác nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm A m  C m  17 B m  m  17 D m  HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ PMT ĐÁP ÁN 1-A 11-A 2-D 12-C 3-B 13-B 4-D 14-D 5-C 15-A 6-B 7-D 8-A 9-D 10-A CẬU 3: LỜI GIẢI x  Cách 1: Ta có y  x3   m  1 x  x x  m     1 x  m    Đồ thị hàm số cho có ba điểm cực trị  y  có ba nghiệm phân biệt  m  1  x   y  m2 Khi 1   2  x   m   y   m  1   m  1  m2  2m     Như A 0; m2 , B    m  1; 2m  , C  m  1; 2 m  ba điểm cực trị đồ thị hàm số cho      AB  m  1;  m2  m    AB  m    m  1  AB  AC Ta có    AC   m  1;  m2  m   AC  m    m  14    Gọi H trung điểm cạnh BC  AH  BC H  0; 2m  1    AH  0; m2  2m   AH  m2  2m    m  1 Ta có SABC  AB.AC.BC  R.AH  AB.AC AH.BC  4R   Mà R  BC  2 m  1;  BC  m    m    m    m     m  1    m    m3  3m2  m   m  , m  3  thỏa mãn m   2  m  1   b3  8a     1  Cách 2: Áp dụng công thức: R   m  3  8ab  2  m  1   CẬU 4: LỜI GIẢI Cách 1: Ta có đạo hàm y  4x3  16m2 x x  y     x  2 m PMT Do với điều kiện m  hàm số có cực trị tạo thành tam giác cân ABC với A  0;1 ,         B m; m  C 2 m; m2  Hai điểm sai cô B m;16 m  C 2 m;16 m4  Ta có BC  m  BC  : y  16 m4  Suy chiều cao AH  16m4 Theo đề SABC  64  4m 16m4  64  m   m    8m2 b5 Cách 2: Áp dụng công thức: S    64   32 32a3   m  5 CẬU 5: LỜI GIẢI   Ta có: y  x  mx  x x  m x  Xét y   x x2  m    x  m   Để đồ thị hàm số cho có điểm cực trị m     Khi tọa độ điểm cực trị A ; m  m , B   m ; 2m4  m2  m  C  m ; m4  m2  m m  m  Ta có: A  Oy Để B, C  Ox 2m4  m2  m     m   2m  m   Do m  nên ta m  CẬU 6: LỜI GIẢI Cách 1: Ta có y  4x3  4m2 x x  y    2 x  m Hàm số có ba cực trị m      Tọa độ ba điểm cực trị A  0; 1 , B m;  m4  , C  m;  m4    Tam giác ABC cân A  0; 1 Gọi H trung điểm BC  H 0;  m   AH  m4 ; BC  m PMT  m  ( l) BC  m4  m    m  1 (n) Tam giác ABC cân A  AH   Cách 2: Áp dụng công thức: b3  8a   2m2     m  1 CẬU 7: LỜI GIẢI Cách 1: Ta có y  4x3  4m2 x   x  0; x  m Hàm số có điểm cực trị  m        Suy toạ độ điểm cực trị A 0; m , B m; m2  m , C  m; m2  m Để bốn điểm A , B , C , O bốn đỉnh hình thoi trung điểm đường chéo OA thuộc  m   loai  m2   đường chéo BC  m  m  m    2  Cách 2: Áp dụng công thức: b2  2ac   2m2   2.m2   m   2 CẬU 8: LỜI GIẢI     Cách 1: Ta có y  x   m2 x  x x   m2 Để hàm số có cực đại cực tiểu  m2   1  m  Với điều kiện đồ thị hàm số có điểm cực trị A  0; m  1 , B      m2 ; m4  2m2  m , C   m2 ; m4  2m2  m Tam giác ABC cân A nên có diện tích SABC     1 BC.d  A , BC    m2 m4  2m2    m2  m2 2   1, m   1;1 Vậy diện tích tam giác ABC lớn m  Cách 2: Áp dụng công thức: S   b5  32a3 1  m   , đạt m  CẬU 9: LỜI GIẢI  Cách 1: Xét hàm số y  x  mx  2m   y  x  2mx  x x  m   x   y  2m  Khi m  : y    2m m2 x y  2m   PMT  m m2  m m2   ; ;  2m   , C    m   tam Ta có ba điểm cực trị A  0; 2m  1 , B      4       m2  m   trung điểm BC giác ABC cân A Để OBAC hình thoi H  0;    trung điểm OA Suy  m2 2m   m    2m    (nhận)  m   Cách 2: Áp dụng công thức: b2  2ac    m    m  1   m   2 CẬU 10: LỜI GIẢI Cách 1: TXĐ: D  x  Ta có y  x  mx  x x  m Cho y    x  m   Hàm số có ba cực trị  m  1   Khi đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là: A  0;1  m  , B  m ; m2  m  , C   m ;  m2  m     OB   m ; m2  m  , AC   m , m2  Ta có tam giác ABC cân A nên AO  BC Do tam giác ABC nhận O làm trực tâm  OB  AC  OB  AC  m   m4  m3  m2  m   m m3  m2  m      m  1   Kết hợp với 1 ta suy m  Cách 2: Áp dụng công thức: b3  8a  4abc    2 m     2 m   m    m  CẬU 11: LỜI GIẢI Cách 1: Ta có y  4x3  4mx x  y    x  m Hàm số có ba cực trị m  PMT 10 ... x hàm số giá trị cực trị hàm số y  x0   u '  x0  v '  x0  y  u'  x  v' x gọi phương trình quỹ tích điểm cực trị B  CÁC DẠNG TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ DẠNG 1: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ... Năng Khiếu - TP HCM] Cho hàm số y  hàng, O gốc tọa độ C m  24 B m  A m  D m  2 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ ĐÁP ÁN 1-B 2-C 3-C 4-A 5-A 6-B 7-D 8-B 9-D 10-D PMT 17 11-A 12-A 13-C 14-A 15-C CÂU 1:... GIẢI ĐỀ SỐ PMT ĐÁP ÁN 1-A 11-A 2-D 12-C 3-B 13-B 4-D 14-D 5-C 15-A 6-B 7-D 8-A 9-D 10-A CẬU 3: LỜI GIẢI x  Cách 1: Ta có y  x3   m  1 x  x x  m     1 x  m    Đồ thị hàm số cho