HDG kỹ thuật chọn hệ số chọn hàm nhờ yếu tố bất biến

ĐÁP ÁN BÀI TẬP BÀI 2.KỸ THUẬT CHỌN HỆ SỐ CHỌN HÀM NHỜ YẾU TỐ BẤT BIẾN Cho < a < 1, b > M A M N > > = log a B M ,N > = log b N Khi khẳng định sau đúng? < C M < N < D M < N > Cách (Chọn hệ số nhờ yếu tố bất biến) Dựa vào đáp số tốn (có yếu tố bất biến dấu M , N ) Nên ta chọn a = 0, b = M = log ⇒ 0,5 ≈ −1, 58 < → đáp án D N = log ≈ 0, 63 > Cách (Giải Xi) Ta có: { > ⇒ log < 0 < a < 1; b > 1; a ⇒ { > ⇒ log b > , z2 thỏa mãn |z A 3√2 | = |z2 | = √2 đáp án D Khi T = |z1 + z2 | + |z1 − z2 | C B Cách (Chọn hệ số nhờ yếu tố bất biến) Dựa vào đáp số toán cho ta biết kết T (*) Do đó, ta chọn z |z1 | = |z2 | = √2 → N > Cho hai số phức z nhiêu? M < = |z1 + z2 | = √2 z = bao D 5√2 + |z1 − z2 | √2 2 không đổi (bất biến) (thỏa mãn (*)) Khi ∣ T = ∣ √2 + ∣ √2∣ ∣ ∣ ∣ + ∣√2 + ∣ √2∣ ∣ ∣ = 5→ đáp án C Chú ý: Với số phức z = a (là số thực) |z| = |a| z = bi (là số ảo) |z| = |b| Ở toán ta chọn theo số thực z = √2 z √2 = Cách (Giải Xuôi) Gọi { cách chọn “nhẹ nhàng” để tính tốn z = a1 + b i |z1 |=2|z2 |=√2 − − − − − − − − → √a z = a2 + b i + b = 2√a 2 + b 2 a = √2 ⇔ a 2 + b + b 2 = = (*) Khi T = |(a1 + a2 ) + (b1 + b2 )i| = (a + b + a 2 2 ) = 5→ 2 = (a1 + a2 ) + (b1 + b2 ) + (a1 − a2 ) + (b1 − b2 ) Đáp án C 33 a a a A (−1; 0) + |(a1 − a2 ) + (b1 − b2 )i| + b ) = (2 + √ Ta có đẳng thức = a α với < a ≠ Khi α thuộc khoảng sau ? B (0; 1) C (1; 3) D (3; 4) Cách (Chọn hệ số nhờ yếu tố bất biến) 33 √ Chọn a = 2, giải phương trình 2.2 X = phím SOLVE (SHIFT +CALC) với X = Trang 1/14 https://hocmai.vn/mod/quiz/nen-tang/print2.php?attempt=29932414&print=2 1/14 14/6/2019 Kết kiểm tra Bài 2.Kỹ thuật chọn hệ số chọn hàm nhờ yếu tố bất biến - Chương trình PEN-M Tốn - HOCMAI đáp án A ⇒ α ≈ −0, 4975 ∈ (−1; 0)→ Cách (Giải Xi) Ta có: a √ a a α = a Cho biểu thức P 33 √ a = a 38 38 a 15 = a = √x √x √x = a − 7 15 ⇒ α = − ∈ (−1; 0) → 15 đáp án A với x > Biết viết gọn P ta P m = x n m với n giản (m, n > 0) Hỏi tổng m + n bao nhiêu? B 47 A 45 C 46 phân số tối D 48 Cách (Chọn hệ số nhờ yếu tố bất biến) Chọn a = 2, giải phương trình √2.√2 X = m ⇒ √2 − X phím SOLVE (SHIFT +CALC) với = ta được: 23 ⇒ m + n = 23 + 24 = 47→ 24 = 0, 958(3) = n đáp án B Cách (Giải Xi) Ta có: P m ⇒ → n 3 3 √ √ √ √ = √x √x √x = x x x4 = x x 11 = √ 11 x x 12 = √ 23 23 x 12 = x 24 23 = ⇒ m + n = 23 + 24 = 47 24 đáp án B Hàm số y = 2x − x − có thị (C) Gọi M điểm thuộc (C), tiếp tuyến M đồ thị (C) cắt hai đường tiệm cận tạo thành tam giác có diện tích bao nhiêu? (C) A B C D Cách (Chọn hệ số nhờ yếu tố bất biến) Do diện tích tam giác khơng đổi với điểm M thuộc (C) Do đó, ta chọn M (2; 3) ∈ (C) Ta có y ′ −1 = (x − 1) ′ ⇒ y (2) = −1 , suy phương trình tiếp tuyến M : y = −x + (Δ) Khi A(1; 4), B(3; 2) giao điểm Δ với TCĐ: x = 1và TCN: y = Ta có I (1; 2) giao điểm tiệm cận, suy ra: S I A I B I AB = 2.2 = = 2→ đáp án B Cách (Giải Xuôi) Cách (Chuyển hệ trục) Đặt { x = X + 1 ⇒ Y = X y = Y + ′ (C ) Ta có Y ′ = − X Gọi M (m; (Δ) ′ ) ∈ (C ) m , phương trình tiếp tuyến M : Y = −1 (X − m) + m m hay Y = −1 X + m m Khi A (0; ) , B(2m; 0) m giao điểm (Δ) với TCĐ X Suy S OA OB OAB = , TCN Y = của(C ) ′ |2m| |m| = = = 2→ đáp án B Trang 2/14 https://hocmai.vn/mod/quiz/nen-tang/print2.php?attempt=29932414&print=2 2/14 14/6/2019 Kết kiểm tra Bài 2.Kỹ thuật chọn hệ số chọn hàm nhờ yếu tố bất biến - Chương trình PEN-M Tốn - HOCMAI Cách 2 Gọi M (m; 2m − ) ∈ (C) m − 2m − −1 y = (m − 1) (x − m) + m − 2m ⇒A (1; ) , B(2m − 1; 2) m − Ta có y (m − 1) Suy phương trình tiếp tuyến M : 2 − 2m + x + (m − 1) (Δ) B T b = 1009 = 2017 = I AB 2m ∣2 − ∣ I A I B ∣ |2m − 2| ∣ m−1 = −c = 2018 Giá trị biểu thức T C T = −c a b 2018 2018 = blog 2018 1009 = −c ⇔ T = ab + bc + ca = a log = a log b = a 1009 − a log 1009 log = alog1009 2 2018 − a log (log1009 − log1009 2.log2018 − log2018 2) = a = 0→ m (*) 1009 Cho m, n, p số thực dương thỏa mãn −c = 2018 2018 2018 2018 2.log = −c 2018 c = −alog2018 ⇔ alog b đáp án B = ab + bc + ca D T a b = 2→ Cách (Chọn hệ số nhờ yếu tố bất biến) Vì T = ab + bc + ca khơng đổi với số (a, b, c)thỏa mãn = 1009 Do ta chọn: a = b = c = (thỏa mãn (*))⇒ T = 0→đáp án C Cách (Giải Xi) Ta có: = 1009 = 2018 ⇒ log = log 1009 = log 2018 a giao điểm Δ với TCĐ: x = 1và TCN y = a 2m −1 hay y = Cho a, b, c số thực thỏa mãn bao nhiêu? = 2018 −1 = (x − 1) Ta có I (1; 2) giao điểm tiệm cận, suy ra: S A T ′ n = 10 p = 25 2018 đáp án C Giá trị biểu thức T = n + m n p bao nhiêu? A T = B T = C T = D T = 10 Cách (Chọn hệ số nhờ yếu tố bất biến) Vì T n = n m + p không đổi với số (m, n, p) dương thỏa mãn m (∗) m n = 1− → p = 10 = 25 ⇒ { m = log4 10 + log4 10 p = log25 10 p = 25 (*) Ta chọn: 1 ⇒ T = n = 10 = log + log 25 = log 100 = log4 25 đáp án C Cách (Giải Xuôi) → m n = 10 p = 25 n ⇒ log m 25 = log n 25 10 = log p 25 25 m ⇔ mlog 25 = nlog 25 10 = p ⇔ n p ⇒ T = log + log 25 = log 100 = 2→ Cho hàm số y = ax + bx log = = log 25 25 10 log 25 10 = log = log 25 đáp án C + cx + d có đồ thị (C) với a, b, c, d ∈ R, lim y = +∞ x→−∞ ; lim y = −∞ { 8a + 4b + 2c + d − 2017 > −8a + 4b − 2c + d − 2017 < x→+∞ Hỏi (C) cắt đường thẳng y = 2017 điểm phân biệt? A B C D Cách (Chọn hệ số nhờ yếu tố bất biến) Trang 3/14 https://hocmai.vn/mod/quiz/nen-tang/print2.php?attempt=29932414&print=2 3/14 14/6/2019 Kết kiểm tra Bài 2.Kỹ thuật chọn hệ số chọn hàm nhờ yếu tố bất biến - Chương trình PEN-M Tốn - HOCMAI Từ đáp án cho ta biết số giao điểm đồ thị y = ax đổi với ∀(a; b; c; d) thỏa mãn: { 8a + 4b + 2c + d − 2017 > lim + bx y = +∞ ; x→−∞ −8a + 4b − 2c + d − 2017 < + cx + d lim đường thẳng y = 2017 không y = −∞ (*) x→+∞ a = −1 Với lim y = +∞ ; lim x→−∞ y = −∞⇒ a < b = , ta chọn: x→+∞ thỏa mãn (*)⇒ c = d = 2017 Khi phương trình hồnh độ giao điểm (C) đường thẳng y = 2017 là: y = −x −x 3 + 5x + 2017 (C) + 5x + 2017 = 2017 ⇔ −x x = , suy có giao điểm→đáp án D + 5x = ⇔ [ x = ±√5 Cách (Giải Xi) Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị y = ax f (x) = ax + bx + cx + d − 2017 = (*) 3 + bx + cx + d đường thẳng y = 2017 là: limx→−∞ f (x) = +∞ Ta có f (−2) limx→−∞ f (x) < f (−2) = −8a + 4b − 2c + d − 2017 < ⇒ f (−2) f (2) < f (2) = 8a + 4b + 2c + d − 2017 > f (2) limx→+∞ f (x) < limx→+∞ f (x) = −∞ ⇒ ∃x1 ∈ (−∞; −2), x2 ∈ (−2; 2), x3 ∈ (2; +∞) với f (x ) = f (x2 ) = f (x3 ) = Suy phương trình (*) có nghiệm→đáp án D Chú ý : Ở tốn a khơng thể 0, a = ⇒ b = (do lim y = +∞ x→−∞ với lim y = +∞ ; x→−∞ lim y = −∞ ; lim y = −∞ ) x→+∞ , suy ra: c < (không thỏa mãn hệ điều kiện) x→+∞ Câu Với điều kiện { ac(b − 4ac) > đồ thị hàm số y = ax + bx + c cắt trục hoành ab < điểm? A B C Cách (Chọn hệ số nhờ yếu tố bất biến) Từ đáp án cho ta biết số giao điểm đồ thị y = ax thỏa mãn: { ac(b + bx D + c trục hồnh khơng đổi với ∀(a; b; c) − 4ac) > ab < a = (*) Nên ta chọn b = −3 thỏa mãn (*) c = Khi y = x x − 3x − 3x + + = ⇔ [ x x , suy phương trình hồnh độ giao điểm: 2 = = x = ±1 , hay đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm→Đáp án ⇔ [ x = ± √2 D Cách (Giải Xi) Phương trình hồnh độ giao điểm: ax (2∗) Ta có: ac(b + bx − 4ac) > (3∗) ⇔ { t=x + c = (∗)− − − → at ac > Δ = b 2 + bt + c = (vì ac < ⇒ b − 4ac > – − 4ac > không thỏa mãn (3∗)) https://hocmai.vn/mod/quiz/nen-tang/print2.php?attempt=29932414&print=2 Trang 4/14 4/14 14/6/2019 Kết kiểm tra Bài 2.Kỹ thuật chọn hệ số chọn hàm nhờ yếu tố bất biến - Chương trình PEN-M Tốn - HOCMAI Khi (2∗) có nghiệm phân biệt t , t2 t1 + t2 = − thỏa mãn t1 t2 = t1 > ⇔ { t2 > c a b > a (vì ab < ac > 0) > Do nghiệm t dương sinh nghiệm x⇒(∗) có nghiệm phân biệt→Đáp án D 10 Cho số phức zcó mơđun 2 Hỏi số phức w = có mơđun bao nhiêu? ¯ ¯ i¯ z A |w| = B |w| = C |w| = D |w| = Cách (Chọn hệ số nhờ yếu tố bất biến) Dựa vào đáp số tốn (có yếu tố bất biến) cho ta biết |w| không đổi z thỏa mãn |z| = nên ∣ 2∣ ∣ = |−i| = 1→ ∣ 2i∣ ta chọn z = ⇒ |w| = ∣ đáp án A Cách (Giải Xuôi) |z|=2 Gọi z = a + bi −−−→ a (*) + b = 2(b − ai) 2 Ta có w = = = b + i(a − bi) a + b (∗) b − − → 2 √a2 + b ∣ b − ai∣ ⇒ |w| = ∣ ∣ = 2 ∣ ∣ = 1→ đáp án A 11 Nếu số phức z thỏa mãn |z| = 2017 z khơng phải số thực 1 B A 2 2017 − z có phần thực D C 2017 4034 Cách (Chọn hệ số nhờ yếu tố bất biến) Dựa vào đáp số tốn (có yếu tố bất biến) cho ta biết 2017 − z có phần thực không đổi z số thực |z| = 2017 nên ta chọn 2 z = 2017i ⇒ = 2017 − z Suy phần thực = + 2017 − 2017i 2017 − z 2017 → 2017 i 2017 đáp án B Cách (Giải Xuôi) |z|=2017 Gọi z = a + bi −−−−−→ a (*) 2 = 2017 = (2017 − a) − bi (∗) + b 2(2017 − a + bi) Ta có (2017 − a) 2.(2017 − a + bi) =− → + b = + 2017 − z 2(2017 − a + bi) = a + b b 2017 2.2017.(2017 − a) Suy phần thực i 2017(2017 − a) → 2017 + 2017 − 2.2017a đáp án B 12 Cho x, y số thực thỏa mãn x > y > 2log (x − y) = log2 x + log2 y + Khi tỉ số x y bao nhiêu? A B C − 2√6 D + 2√6 Cách (Chọn hệ số nhờ yếu tố bất biến) Chọn y = 1, điều kiện có dạng: 2log2 (x − 1) = log2 x + ⇔ log2 (x − 1) Trang 5/14 = log2 (8x) ⇔ (x − 1) https://hocmai.vn/mod/quiz/nen-tang/print2.php?attempt=29932414&print=2 = 8x ⇔ x − 10x + = 5/14 14/6/2019 Kết kiểm tra Bài 2.Kỹ thuật chọn hệ số chọn hàm nhờ yếu tố bất biến - Chương trình PEN-M Tốn - HOCMAI x = − 2√6 ⇔ [ x>y=1 x − − − − → x = + 2√6 ⇒ y x = + 2√6 Cách (Giải Xi) Ta có: 2log (x − y) = log ⇔ (x − y) = 8xy ⇔ x 2 = + 2√ → x + log2 y + ⇔ log2 (x − y) − 10xy + y y≠0 = ⟷ ( x ) y đáp án D = log2 (8xy) − 10 ( x ) + = y x x ⇔ y = − 2√6 >1 x y x y = + 2√6− − → = + 2√6→ y 13 Cho x, y số thực thỏa mãn x > y > log x số bao nhiêu? (x đáp án D − x y + 2y ) = + log2 x + 2log2 y Khi tỉ y A √2 B − 2√2 C + 2√2 D Cách (Chọn hệ số nhờ yếu tố bất biến) Chọn y = 1, điều kiện có dạng: log (x − x + 2) = + log x ⇔ log (x − x + 2) = log (2x) x>y=1 ⇔ x − x − 2x + = ⇔ (x − 1)(x − 2) = − − − − → x = √2 ⇒ x y = √2 → đáp án A Cách (Giải Xi) Ta có: log2 (x 3 − x y + 2y ) = + log2 x + 2log2 y ⇔ log2 (x y≠0 ⇔ x ⇔ ( − x y − 2xy x − 1) y x ( ) y + 2y = ⟷ ( x ) y − ( x ) y 3 − x y + 2y ) = log2 (2xy ) ⇔ x − 2( − x y + 2y = 2xy x ) + = y x − = ⇔ x = y x y >1 y = ±√2− − → x y = √2 → đáp án A 14 (Chuyên Ngữ).Chon số tự nhiên chẵn a số thực lớn Phương trình sau có − 3(n + 2)x + a = nghiệm (n + 1)x n+2 A n+1 n+2 B C D Cách (Chọn hệ số nhờ yếu tố bất biến) Việc phương án nghiệm ; 1; 2; chứng tỏ toán với ∀n, a n số tự nhiên chẵn a số thực lớn Do ta chọn { n = , phương trình có dạng: a = , phương trình vơ nghiệm→đáp án A Cách (Giải Xuôi) − 3(n + 2)x + a Xét hàm số f (x) = (n + 1)x − 3(n + 1)(n + 2)x Khi ta có f (x) = (n + 1)(n + 2)x = (n + 1)(n + 2)x (x − 3) f (x) = ⇔ x = x = (nghiệm bội chẵn) Dựa vào bảng biến thiên ta có f (x) > Do phương trình f (x) = vơ nghiệm→đáp án A x − 6x + 16 = n+2 n+1 ′ n+2 n+1 n n ′ 15 Câu 15 (Chuyên KHTN Hà Nội) Cho khối đa diện n mặt tích V diện tích mặt S Khi tổng khoảng cách từ điểm bên khối đa diện đến mặt A nV S B V nS https://hocmai.vn/mod/quiz/nen-tang/print2.php?attempt=29932414&print=2 C 3V S D V Trang 6/14 3S 6/14 14/6/2019 Kết kiểm tra Bài 2.Kỹ thuật chọn hệ số chọn hàm nhờ yếu tố bất biến - Chương trình PEN-M Tốn - HOCMAI Cách (Chọn hệ số nhờ yếu tố bất biến) Do khối đa diện có loại ứng với n ∈ {4; 6; 8; 12; 20} có đáp án thể tính bất biến (khơng phụ thuộc vào n), hai đáp án lại phụ thuộc vào n Do ta chọn n = (khối tứ diện đều) Gọi M điểm nằm khối tứ diện chia khối tứ diện thành khối chóp tam giác có đáy mặt có diện tích S thể tích V , V , V , V Khi : ∑ h = h1 + h2 + h3 + h4 = 3V1 + 3V2 3V3 + S S + 3V4 3(V1 + V2 + V3 + V4 ) = = S S S 3V → đáp án C S Cách (Giải Xuôi) Gọi M điểm nằm khối đa diện n mặt chia khối đa diện thành n khối chóp có đáy mặt có diện tích S tích V , V , V , , V Khi : ∑ h = h1 + h2 + h3 + +hn = 3V1 + 3V2 + 3V3 S S + + S n 3Vn 3(V1 + V2 + V3 + +Vn ) = = S 3V S S đáp án C → Chú ý: Chỉ có loại khối đa diện : Tứ diện (4 mặt), khối lập phương (6 mặt), bát diện (8 mặt), mười hai mặt (12 mặt) hai mươi mặt (20 mặt) 16 Câu 16 Cho a, b số thực thuộc khoảng (0; biểu thức P π ) thỏa mãn điều kiện cot a − cot b = a − b Giá trị 3a + 11b = a + b B A C D Cách (Chọn hệ số nhờ yếu tố bất biến) Dựa vào phương án ta nhận thấy P cho giá trị không đổi (bất biến), nghĩa ta cần tìm điều kiện a, b thỏa mãn cot a − cot b = a − b (*) Dễ thấy a = b (*) nên thay a = b vào P ta P Cách (Giải Xi) Ta có cot a − cot b = a − b ⇔ a − cot a = b − cot b (*) Xét hàm số f (x) = x − cot x với x ∈ (0; ⇒f (x) đồng biến π (0; ) π ) Ta có f ′ (x) = + Suy (∗) ⇔ f (a) = f (b) ⇔ a = b⇒ P > , ∀x ∈ (0; sin x 17 Cho phương trình log (mx − 5mx + √6 − x) = log âm phương trình cho có nghiệm? 2 A đáp án B = 7→ B 2+m C 14a = (3 − √x − 1) π ) đáp án B = 7→ 2a Với số thực m không D vơ số Dựa vào đáp số tốn cho ta biết số nghiệm phương trình khơng phụ thuộc vào giá trị m khơng âm Nghĩa với ∀m ≥ 0, nên ta chọn m = Khi phương trình trở thành: log √6 − x = log (3 − √x − 1)(1) ĐK 2 Trang 7/14 https://hocmai.vn/mod/quiz/nen-tang/print2.php?attempt=29932414&print=2 7/14 14/6/2019 Kết kiểm tra Bài 2.Kỹ thuật chọn hệ số chọn hàm nhờ yếu tố bất biến - Chương trình PEN-M Tốn - HOCMAI − x > x − ≥ ⇔ ≤ x < − √x − > PT(1)⇔ √6 − x = − √x − ⇔ √6 − x + √x − = ⇔ + 2√(6 − x) (x − 1) = ⇔ √(6 − x) (x − 1) = ⇔ −x + 7x − = ⇔ [ x = x = Thử lại: +) Với x = 2⇒PT log2 (mx − 5mx + √6 − x) = log2+m (3 − √x − 1) ⇔ log2 (2 − 12m) = log2+m phương trình khơng thể nghiệm ∀m ≥ 0, với m = ⇒ log (−12) = log (vô lý) +) Với x = 5⇒PT log (mx − 5mx + √6 − x) = log (3 − √x − 1) ⇔ log = log 1(đúng ∀m ≥ 0) Vậy ∀m ≥ phương trình cho có nghiệm x = 5→Đáp án A 2+m 18 Hỏi có giá trị nguyên m để bất phương trình log giá trị x ∈ (0; +∞)? A Có giá trị nguyên B Có giá trị nguyên 2+m x + mlog x − m ≥ 2 C Có giá trị nguyên nghiệm với D Có giá trị nguyên Cách (Chọn hệ số nhờ yếu tố bất biến) Chọn x = 2, x = ∈ (0; +∞), ta hệ: m∈Z −m ≥ { ⇔ −4 ≤ m ≤ − − − → m ∈ {−4; −3; −2; −1; 0} + m ≥ Đáp án D Chú ý: Ở toán có thêm đáp án “có giá trị nghiệm nguyên” bạn phải thử giá trị m tìm được, xem có loại bỏ trường hợp khơng Khi tốn lại bị thời gian, cách giải xuôi trường hợp “tối ưu” Cách (Giải Xuôi) → x∈(0;+∞) Đặt t = log x −−−−−−→ t ∈ R Khi tốn phát biểu lại: “Có giá trị nguyên m để bất phương trình t + mt − m ≥ nghiệm với ∀t ∈ R” Bài toán tương đương: 2 Δ = m m∈Z + 4m ≤ ⇔ −4 ≤ m ≤ − − − → m ∈ {−4; −3; −2; −1; 0} 19 Có giá trị nguyên m để bất phương trình log m +1 : Có giá trị nguyên→Đáp án D (2 − √x + 1) ≥ (m − 1) có nghiệm ? B A C D Vô số Điều kiện: − √x + > ⇔ x ∈ [−√3; √3] Vì bất phương trình chứa x nên ta giả sử x = x nghiệm bất phương trình cho thì⇒ x = −x nghiệm bất phương trình Vậy bất phương trình có nghiệm x = −x ⇔ x = Thay x = vào BPT ta được: log ≥ (m − 1) ⇔ (m − 1) ≤ ⇔ m = Thử lại với m = vào bất phương trình ta được: 2 o o o o o o log2 (2 − √x 2 m +1 + 1) ≥ ⇔ − √x + ≥ ⇔ √x + ≤ ⇔ x + ≤ ⇔ x ≤ ⇔ x = Vậy với m = bất phương trình có nghiệm x = 0→Đáp án B 20 Có giá trị nguyên m để bất phương trình 2 ∣ ∣ ∣2x +m(x+1)+15∣ https://hocmai.vn/mod/quiz/nen-tang/print2.php?attempt=29932414&print=2 ≤ − (m + 8) (x − 3x + 2) Trang 8/14 8/14 14/6/2019 Kết kiểm tra Bài 2.Kỹ thuật chọn hệ số chọn hàm nhờ yếu tố bất biến - Chương trình PEN-M Tốn - HOCMAI nghiệm với ∀x ∈ [1; 3]? A B C Nhận xét: Ta dễ nhận thấy phương trình x − 3x + = D vơ số có nghiệm x = x = thuộc [1; 3] nên ta xét bất phương trình với x = x = Khi thay x = 1, x = vào bất phương trình ta hệ: |2m+17| |3m+23| ≤ |2m + 17| ≤ ⇔ { ⇔ { |3m + 23| ≤ ≤ −1 ≤ 2m + 17 ≤ −9 ≤ m ≤ −8 ⇔ −1 ≤ 3m + 23 ≤ −8 ≤ m ≤ − ⇔ m = −8 22 Thay m = −8 vào lại bất phương trình ta ∣ ∣2x −8x+7∣ ∣ ≤ ⇔ ∣ ∣2x − 8x + 7∣ ∣ ≤ ⇔ −1 ≤ 2x − 8x + ≤ ⇔ { 2x 2x 2 − 8x + ≥ − 8x + ≤ ⇔ { (x − 2) ≥ ⇔ ≤ x ≤ ≤ x ≤ Vậy với m = −8 bất phương trình nghiệm với ∀x ∈ [1; 3]→Đáp án B 21 Giả sử f (x) có đạo hàm liên tục đoạn [0; 1], thỏa mãn điều kiện f (0) = ∫ ′ (2x − 2)f (x)dx = Khi ∫ f (x)dx A −3 C B −9 D Cách (Chọn hàm) Chọn f (x) = ax + b Khi f (0) = ⇔ b = ⇒ f (x) = ax + Ta có: 1 ′ = ∫ (2x − 2)f (x)dx = ∫ (2x − 2)adx = a (x − 2x)∣ ∣0 = −a ⇒ a = −6 Vậy chọn f (x) = −6x + Suy ra: ∫ f (x)dx = ∫ (−6x + 6)dx = (−3x + 6x)∣ ∣ = 3→ đáp án C Cách (Giải Xuôi) Đặt { u = 2x − du = 2dx ⇒ { ′ dv = f (x)dx v = f (x) Suy ra: = (2x − 2) f (x)| − 2∫ f (x)dx = 2f (0) − ∫ → f (x)dx = 12 − ∫ f (x)dx ⇒ ∫ f (x)dx = ⇔ ∫ f (x)dx = Đáp án C 22 (Đề Tham Khảo – Lần 3) Cho hàm số f (x) thỏa mãn ∫ ′ (x + 1)f (x)dx = 10 2f (1) − f (0) = Tính I = ∫ f (x)dx A I = −12 Cách (Chọn hàm) Chọn: f (x) = ax + b⇒ f B I ′ = (x) = a C I = 12 D I = −8 Trang 9/14 https://hocmai.vn/mod/quiz/nen-tang/print2.php?attempt=29932414&print=2 9/14 14/6/2019 Kết kiểm tra Bài 2.Kỹ thuật chọn hệ số chọn hàm nhờ yếu tố bất biến - Chương trình PEN-M Tốn - HOCMAI Khi đó: ∫ 3a ′ (x + 1)f (x)dx = 10 ⇔ a ∫ (x + 1)dx = 10 ⇔ 20 = 10 ⇔ a = ⇒ f (x) = 20 x + b Suy = 2f (1) − f (0) = ( 20 34 + b) − b ⇔ b = − ⇒ f (x) = 3 20 34 x − 3 Suy ra: I = ∫ ( 34 20 x − ) dx = − 8→ 3 đáp án D Cách 2: Đặt { u = x + du = dx ⇒ { ′ dv = f (x)dx ′ v = ∫ f (x)dx = f (x) Suy 1 ′ 10 = ∫ (x + 1)f (x)dx = (x + 1)f (x)| − ∫ f (x)dx ⇔ 10 = 2f (1) − f (0) − I ⇔ 10 = − I ⇔ I = −8 đáp án D → 23 Cho f (x) hàm chẵn liên tục R thỏa mãn ∫ f (x)dx = Khi giá trị tích phân −1 ∫ f (x)dx A B 1 C D Cách (Chọn hàm) Chọn f (x) = a hàm số chẵn, = ∫ f (x)dx = −1 f (x) = ∫ adx = ax| −1 = 2a ⇒ a = Suy ra: −1 Khi đó: ∫ f (x)dx = ∫ dx = x| = 1→ đáp án B Cách (Giải Xuôi) Do f (x) hàm chẵn nên ta có: = ∫ f (x)dx = ∫ −1 24 f (x)dx ⇒ ∫ Đáp án B Cho ∫ f (x)dx = → f (x)dx = f (x) hàm số chẵn Giá trị tích phân ∫ f (x)dx −2 A −2 B C −1 D Cách (Chọn hàm) Chọn f (x) = a hàm số chẵn, = ∫ f (x)dx = ∫ adx = ax| = 2a ⇒ a = Suy ra: f (x) = Khi đó: ∫ −2 f (x)dx = ∫ dx = x∣0 ∣−2 = 1→ đáp án B Trang 10/14 −2 https://hocmai.vn/mod/quiz/nen-tang/print2.php?attempt=29932414&print=2 10/14 14/6/2019 Kết kiểm tra Bài 2.Kỹ thuật chọn hệ số chọn hàm nhờ yếu tố bất biến - Chương trình PEN-M Tốn - HOCMAI Cách (Giải Xi) Do f (x) hàm chẵn nên ta có: ∫ f (x)dx = ∫ Đáp án B −2 25 f (x)dx = → Biết ∫ f (x)dx = f (x) hàm số lẻ 0 Khi I = ∫ f (x)dx có giá trị −1 A I = B I = C I = −2 D I = Cách 1: Do f (x) hàm số lẻ nên: = ∫ f (x)dx = −1 ∫ f (x)dx+ ∫ −1 f (x)dx ⇒ ∫ f (x)dx = − ∫ −1 f (x)dx = −2→ đáp án C Cách 2: Do f (x) hàm số lẻ nên f (−x) = −f (x) hay f (x) = −f (−x) ⇒ I = − ∫ f (−x)dx −1 Đặt t = −x ⇒ dt = −dx x : −1 → → 0, đó: I = ∫ f (t)dt = − ∫ f (t)dt = − ∫ f (x)dx = −2→ đáp án C Cách 3: Chọn f (x) = 2x hàm số lẻ thỏa mãn ∫ f (x)dx = ∫ 0 I = ∫ 4xdx = Khi : 0 f (x)dx = −1 ∫ 4xdx = −2→ đáp án C −1 Chú ý: +) Thực Cách Cách chất (chỉ cách trình bày khác – Cách việc chứng minh kết Cách 1) +) Ở Cách ta dùng phương pháp chọn hàm – bạn xem lại cách làm giảng 26 Cho hàm số y = f (x) hàm số chẵn đoạn [−4; 4] Biết ∫ −2 f (x)dx = 16 ∫ f (2x)dx = 28 Tính tích phân ∫ f (x)dx A 64 B 30 C 10 D 68 Cách (Chọn hàm) Chọn f (x) = ax + b hàm chẵn Khi đó: Trang 11/14 https://hocmai.vn/mod/quiz/nen-tang/print2.php?attempt=29932414&print=2 11/14 14/6/2019 Kết kiểm tra Bài 2.Kỹ thuật chọn hệ số chọn hàm nhờ yếu tố bất biến - Chương trình PEN-M Tốn - HOCMAI 16 = ∫ f (x)dx = ∫ (ax −2 + b) dx = ( ax 3 ∣ + bx)∣ −2 2 −2 + 4b ⇔ { 28 = ∫ f (2x)dx = ∫ (4ax 16a = + b) dx = ( 4ax 3 ∣ + bx) ∣ Vậy chọn f (x) = 3x Suy ra: ∫ 2 28a = 4a + 3b = 12 ⇔ { 28a + 9b = 84 a = b = + 3b 3x dx = x ∣ ∣ f (x)dx = ∫ = 64→ đáp án A Cách (Giải Xuôi) Do y = f (x) hàm số chẵn đoạn [−4; 4] nên ta có: 16 = ∫ f (x)dx = ∫ −2 f (x)dx ⇒ ∫ f (x)dx = Đặt t = 2x ⇒ dt = 2dx x : → t : → Suy ra: (∗) 4 28 = ∫ f (t)dt = ∫ f (x)dx ⇒ ∫ f (x)dx =56 2 (2∗) 1 2 Từ (∗) (2∗), suy ra: ∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ Đáp án A f (x)dx = + 56 = 64→ 27 Cho hàm số f (x) liên tục R thỏa mãn f (x) + f (−x) = x , ∀x ∈ R Tính ∫ f (x)dx −1 A I = B I = C I = D I = Cách (Chọn hàm) Chọn f (x) = x 2 thỏa mãn f (x) + f (−x) = x x ∫ f (x)dx = ∫ x ∣ ∣ ∣ dx = −1 −1 , ∀x ∈ R , đó: = −1 đáp án D Cách (Giải Xuôi) → a Sử dụng tính chất ∫ a f (x)dx = −a ∫ f (−x)dx −a f (x) + f (−x) = x với f (x) xác định liên tục [−a; a] Ta có: ⇒ ∫ f (x)dx + ∫ −1 −1 f (−x)dx = 1 2 ∫ x dx ⇔ ∫ −1 −1 f (x)dx = ⇒ ∫ → f (x)dx = −1 Đáp án D π 28 Cho hàm số f (x) liên tục R, f (−x) + 2f (x) = cos x Tính tích phân I = ∫ − A I = B I = C I https://hocmai.vn/mod/quiz/nen-tang/print2.php?attempt=29932414&print=2 = f (x)dx ? π D I = Trang 12/14 12/14 14/6/2019 Kết kiểm tra Bài 2.Kỹ thuật chọn hệ số chọn hàm nhờ yếu tố bất biến - Chương trình PEN-M Tốn - HOCMAI Cách 1: (Kĩ thuật chọn hàm) cos x Do y = cos x hàm chẵn nên ta chọn f (x) = cos x f (−x) + 2f (x) = + π 2 = ∫ Casio f (x)dx = ∫ cos xdx − − − → − π − 2 → đáp án C π (cos x − f (−x)) Cách 2: Với điều kiện toán ta có: f (x) = π π π 2 2 ∫ − Khi đó: π I = thỏa mãn = cos x π Khi I cos x f (x)dx = ∫ π − [cos x − f (−x)] dx = π ∫ π − cos xdx − π ∫ − 2 π f (−x)dx = 1 ∣2 sin x∣ − π ∣ 2 − ∫ π I π − f (x)dx = − 2 ⇒ I = − I ⇔ I = → đáp án C a Chú ý: Ở toán ta sử dụng tính chất ∫ a f (x)dx = −a b [−a; a] (tổng quát ∫ ∫ f (−x)dx với f (x) xác định liên tục −a b f (a + b − x)dx = ∫ a f (x)dx ) a 29 Cho hàm số f (x) liên tục R, 2f (−x) + 3f (x) = |x| Tính tích phân I = ∫ f (x)dx ? −5 A I = B I = 20 C I = 15 D I = 10 Cách 1: (Kĩ thuật chọn hàm) Do y = |x| hàm chẵn nên ta chọn f (x) = Khi I = ∫ |x| thỏa mãn 2f (−x) + 3f (x) = |x| f (x)dx = −5 Casio |x| dx − − − → 20→ đáp án C ∫ −5 a Cách 2: Sử dụng tính chất ∫ a f (x)dx = −a ∫ f (−x)dx , ta được: −a 5 2f (−x) + 3f (x) = |x| ⇒ ∫ f (−x)dx + ∫ −5 −5 f (x)dx = ∫ |x| ⇔ ∫ −5 −5 f (x)dx = 100 ⇒ ∫ f (x)dx = 20 −5 đáp án C → 30 (Đề Tham Khảo – 2017) Cho hàm số f (x) liên tục R thỏa mãn f (x) + f (−x) = √2 + cos 2x, 3π ∀x ∈ R TínhI = ∫ − A I = −6 f (x)dx 3π B I = C I = −2 D I = Cách (Chọn hàm) Do g(x) = √2 + cos 2x hàm chẵn nên ta chọn f (x) = √2 + cos 2x thỏa mãn Trang 13/14 https://hocmai.vn/mod/quiz/nen-tang/print2.php?attempt=29932414&print=2 13/14 14/6/2019 Kết kiểm tra Bài 2.Kỹ thuật chọn hệ số chọn hàm nhờ yếu tố bất biến - Chương trình PEN-M Toán - HOCMAI √2 + cos(−2x) √2 + cos 2x f (x) + f (−x) = + Khi I = 3π 3π 2 ∫ f (x)dx = Casio √2 + cos 2x dx − − − →= 6→ đáp án D ∫ 3π − = √2 + cos 2x 3π − 2 3π Chú ý: Do phương án “nhiễu” toán chưa tốt nên thiết lập I = ∫ √2 + cos 2xdx 3π − ta suy ln I = (vì + cos 2x ≥ g(x) = √2 + cos 2x hàm chẵn nên I Cách 2: (Sử dụng tính chất ) a Ta có tính chất > ) a ∫ f (x)dx = −a ∫ f (−x)dx với f (x) xác định liên tục [−a; a] −a Khi đó: f (x) + f (−x) = √2 + cos 2x ⇔ 3π 3π 3π 2 ∫ f (x)dx + ∫ 3π − f (−x)dx = ∫ 3π − √2 + cos 2xdx 3π − 2 3π ⇔ 2I = ∫ √2 + cos 2xdx = 3π − 12 đáp án D ⇒ I = = → Cách Ta có I = 3π 3π 3π 3π 2 2 ∫ − f (x)dx = 3π ∫ − (√2 + cos 2x − f (−x)) dx = 3π ∫ 3π − √2 + cos 2xdx − ∫ − f (−x)dx 3π (∗) Đặt t = −x ⇒ dt = −dx x : − 3π 3π 3π 2 3π 3π → 2 t : 3π 3π → − 2 Khi đó: 3π (∗) ∫ − f (−x)dx = 3π ∫ − f (t)dt = 3π ∫ − 3π 3π 3π 2 ∫ − √2 + cos 2xdx = ∫ √4cos xdx = ∫ ∫ 3π − π π 3π 2 − cos xdx + 3π ∫ − − |cos x| dx = ∫ π π 3π 2 |cos x| dx + ∫ |cos x| dx + ∫ |cos x| dx 3π − 3π cos xdx − ∫ π π 2 cos xdx = − sin x| − − = − √2 + cos 2xdx − I 3π − − ∫ 3π ⇔ I = f (x)dx = I − → I = − π 3π 2 − − π 2 3π π + sin x| 3π π π − sin x| π 2 = + + = 6→ đáp án D Trang 14/14 https://hocmai.vn/mod/quiz/nen-tang/print2.php?attempt=29932414&print=2 14/14 ... 6/14 3S 6/14 14/6/2019 Kết kiểm tra Bài 2 .Kỹ thuật chọn hệ số chọn hàm nhờ yếu tố bất biến - Chương trình PEN-M Tốn - HOCMAI Cách (Chọn hệ số nhờ yếu tố bất biến) Do khối đa diện có loại ứng với... (Chọn hệ số nhờ yếu tố bất biến) Trang 3/14 https://hocmai.vn/mod/quiz/nen-tang/print2.php?attempt=29932414&print=2 3/14 14/6/2019 Kết kiểm tra Bài 2 .Kỹ thuật chọn hệ số chọn hàm nhờ yếu tố bất. .. 14/6/2019 Kết kiểm tra Bài 2 .Kỹ thuật chọn hệ số chọn hàm nhờ yếu tố bất biến - Chương trình PEN-M Tốn - HOCMAI Cách 1: (Kĩ thuật chọn hàm) cos x Do y = cos x hàm chẵn nên ta chọn f (x) = cos x f (−x)