Để làm rõ khái niệm thể nào là “chọn hàm” thì chúng ta cùng thử giải quyết bài toán Tích phân mức VD trong đề thi THPT QG 2019 vừa rồi để hiểu qua về nó... BÂY GIỜ CHÚNG TA SẼ ĐI VÀO C[r]
(1)(2)LỜI NÓI ĐẦU
Tích phân phần quan trọng bậc mơn Tốn,
phần quan trọng đề thi THPT Quốc gia Sau loga có lẽ tích phân phần u thích nhất, phong phú dạng đòi hỏi tư tốt Trong thời gian ơn thi THPT QG tích lũy nhiều kĩ để giải tích phân, số kĩ thuật chọn hàm Đây kĩ thuật hay đề thi trắc nghiệm Bộ giáo dục Nó giúp đưa tốn cực khó tốn chọn hàm đơn giản, rút ngắn thời gian giải
Nói thêm chút tích phân để nắm vững tích phân bạn tham khảo cách học sau
+ Một phân hay đưa vào phần VDC đề thi thử trường BĐT Tích Phân Phần viết tài liệu nói sơ qua (Có thể inbox
facebook mình)
+ Cuốn sách “Chuyên đề: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG” thầy Nguyễn Đăng Ái sách theo đánh giá ổn Nó viết đầy đủ tích phân, phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm Học hết sách tin bạn tự tin 99% khả làm tích phân
+ Ngồi bạn tham khảo thêm sách “TUYỂN TẬP CÁC CHUYÊN ĐỀ & KỸ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN" thầy Trần Phương Cuốn sách viết đầy đủ tích phân, tiền đề cho tựa sách tích phân sau đời Học sách bạn nên biết chọn lọc để học, tránh học phần không cần thiết (Nếu cần link PDF inbox mình)
(3)KĨ THUẬT CHỌN HÀM
Để làm rõ khái niệm thể “chọn hàm” thử giải tốn Tích phân mức VD đề thi THPT QG 2019 vừa để hiểu qua
Bài tốn: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục Biết f 5 1
1
5 d
xf x x
,
5
d
x f x x
A 25 B 15 C 123
5 D 23 Cách (Theo hướng tự luận)
Chọn A
Đặt 5
5 dt dx
t x
t x
Đổi cận: x 0 t 0; x 1 t
Khi đó:
1 5
0 0
dt
5 d 1 d 25 d 25 *
5
t
xf x x f t t f t t x f x x
Đặt:
2
d ' d
d d
2
u f x x
u f x
x
v x x v
Ta có:
5
2
5
* ' d 25
0
2
x
f x x f x x
5
2
0
25
' d 25 ' d 25
2 x f x x x f x x
(4)Ta có
1
1
1 0
0
5
5 5 1 3
5
5
.5 d | 1
5 d
4
3
a b
f a b a b
a
ax bx a b
x a x b x xf x x
b
Vậy hàm cần tìm có dạng
f x x
Khi
5
2
0
3
25
x f x x x dx
d
(5)BÂY GIỜ CHÚNG TA SẼ ĐI VÀO CỤ THỂ TỪNG DẠNG TOÁN CHỌN
HÀM DẠNG Hàm
Với tốn đưa có giả thiết ta có cách chọn hàm sau: Chọn hàm f x aconst
Các ví dụ:
[TT Diệu Hiền-Cần Thơ-tháng 11-năm 2017-2018]. Cho
2
d
I f x x Khi
2
4 d
J f x x bằng:
A 2 B 6 C 8 D 4
Cách (Theo hướng tự luận)
Ta có
2 2
2
0 0
4 d d d 4.3
J f x x f x x x x
Cách (Theo hướng chọn hàm)
Như ta thấy đề có giả thuyết nên ta chọn hàm f x a
Khi
2
2 0
3
3 | 3
2
I adx ax a a
Vậy
2
f x Suy
2
0
3
4 d
2
J f x x dx
(6)(THPT Tứ Kỳ-Hải Dương năm 2017-2018) Cho hàm số f x liên tục
4;
5
4 d f x x
Tính
2
d
I x f x x
A I 8 B. I 4 C. I 16 D. I 4 Cách (Theo hướng tự luận)
Đặt
4
x t xt
Khi
5
x t
x t
3
2
2
8 f t d t t f t dt
Mà
3 3
2 2
2 t f t dt x f x dx x f x dx4I 4
Cách (Theo hướng chọn hàm)
Như ta thấy đề có giả thuyết nên ta chọn hàm f x a
Khi
5
8
5
adx a
Suy
2
3
8
d
5 I x f x x xdx
DẠNG Hàm bậc
Với tốn đưa có hai giả thiết ta có cách chọn hàm sau: Chọn hàm f x axb
Các ví dụ:
(THPT Chuyên Biên Hòa-Hà Nam-lần năm 2017-2018) Cho hàm số y f x
liên tục có đạo hàm thỏa mãn f 2 2;
2
d f x x
Tính tích phân
4
d
I f x x
A I 10 B I 5 C I 0 D I 18 Cách (Theo hướng tự luận)
Đặt t x , ta có:
t x dt tdx Khi x 0 t 0; x 4 t
4
d
I f x x
2
2tf t td
(7)Đặt u2 ; dt v f t dt ta được: du2dt; v f t
Khi đó:
2
0
2 d
I tf t f t t 4f 2 2.14. 2 2 10
Cách (Theo hướng chọn hàm)
Như ta thấy đề có hai giả thuyết nên ta chọn hàm f x axb
Khi 2 0 2
2 5
2
2
| 2
d
3
a b f
a b a
ax
bx a b
f x x
b
Vậy
2
f x x
Suy
4
0
5
d 10
2
I f x x dx
(THPT Chuyên Thái Bình-lần năm 2017-2018) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục đoạn 0;5 f 5 10,
5
d 30
xf x x
Tính
5
d
f x x
A 20 B 30 C 20 D 70
Cách (Theo hướng tự luận) Đặt
d d
d d
u x u x
v f x x v f x
5 0
d d
x f x x x f x f x x
5
30 5f f x dx
5
d 5 30 20
f x x f
Cách (Theo hướng chọn hàm)
(8)Khi
2
5 0
5 10
5 10 5 10 12
5 25
| 30 30
d 30
2
2
a b
f a b
a ax
a xf x x
b
Vậy 12
f x x suy
5
0
12
d 20
5
f x x x dx
DẠNG Hàm bậc hai
Với toán đưa có ba giả thiết ta có cách chọn hàm sau: Chọn hàm
f x ax bxc
*Lưu ý: Với mà có ba giả thiết ta nên làm theo hướng tự luận nhanh so với làm cách chọn hàm khó nhiều kiện, bí q dùng đến chọn hàm
Đối với dạng ba giả thiết người ta đề thi nên khó kiếm ví dụ phần -_-
DẠNG Hàm chẵn
Dạng 4.1 Hàm chẵn giả thiết
Với tốn đưa hàm hàm chẵn có giả thiết ta có cách chọn hàm sau:
Chọn hàm f x a
Các ví dụ:
Cho f x hàm chẵn,
2
10 f x dx
Tính
2
f x dx
A 10 B 20 C 10 D 20
(9)
2 0
0 2
f x dx f t dt f t dt f t dt
2 2
2 0
2 20
f x dx f x dx f x dx f x dx
Cách (Theo hướng chọn hàm)
Như ta thấy đề có giả thuyết hàm hàm chẵn giả thiết nên ta chọn hàm f x a
Khi
2
10
f x dx a
Vậy
2
2
5 20
f x dx dx
*Ngồi cách ta áp dụng cơng thức nhanh đối với tích phân hàm chẵn Cái nhắc phần cuối tài liệu
Dạng 4.2 Hàm chẵn hai giả thiết
Với toán đưa hàm hàm chẵn có hai giả thiết ta có cách chọn hàm sau:
Chọn hàm f x 3ax2b
Các ví dụ:
Cho hàm số f x hàm chẵn xác định thỏa mãn điều kiện:
2
2 f x dx
2
2
f x dx
Hãy xác định tích phân:
4
? I f x dx
A I 4 B I 4 C I 1 D I 1
Nhận thấy hàm hàm chẵn có hai giả thiết ta chọn hàm
3
(10)Khi
1
2
0
2
2
0
7
3
30 67
2 32
30
f x dx ax b dx a b a
b
f x dx a x b dx a b
Suy
2
21 67
30 x f x
Vậy
4
1
21 67
4 30
x
I f x dx dx
DẠNG Hàm lẻ
Dạng 5.1 Hàm lẻ giả thiết
Với toán đưa hàm hàm lẻ có giả thiết ta có cách chọn hàm sau:
Chọn hàm f x 2ax
Các ví dụ:
Cho f x hàm lẻ
0
10 f x dx
Tính
2
f x dx
A 10 B 20 C 10 D 20
Nhận thầy hàm có dạng hàm lẻ có giả thiết nên ta chọn hàm f x 2ax Khi
0
2
5
10 10
2
f x dx axdx a
Suy f x 5x Vậy
2
0
5 10
f x dx xdx
Dạng 5.2 Hàm lẻ hai giả thiết
(11)Chọn hàm f x 4ax32bx
Các ví dụ:
Cho f x hàm số lẻ
3
0
3;
f x f x dx
Tính
9
f x dx
A 100 B 270 C 100 D 270
Nhận thầy hàm có dạng hàm lẻ có giả thiết nên ta chọn hàm
4
f x ax bx Khi
3
3
0
3
3 4 2 3
1
1
1
4 81
24
3 3 3 | 240 24
24
f x dx ax ax dx a b a
b
f x dx a x a x dx x x a b
Suy
6 12
f x x x
Vậy
9
3
0
1
270
6 12
f x dx x x dx
DẠNG Hàm tuần hồn với chu kì T giả thiết
Với tốn đưa hàm hàm tuần hồn với chu kì T có giả thiết ta có cách chọn hàm sau:
Chọn hàm f x acos2 x T
DẠNG Hàm tuần hồn với chu kì T hàm lẻ giả thiết
Với tốn đưa hàm hàm tuần hồn với chu kì T hàm lẻ có giả thiết ta có cách chọn hàm sau:
Chọn hàm f x asin2 x T
(12)Với toán đưa hàm hàm tuần hồn với chu kì T hàm chẵn có giả thiết ta có cách chọn hàm sau:
Chọn hàm f x acos2 x T
DẠNG Hàm tuần hồn với chu kì T hàm lẻ giả thiết
Với toán đưa hàm hàm tuần hồn với chu kì T hàm lẻ có giả thiết ta có cách chọn hàm sau:
Chọn hàm f x asin2 x T
DẠNG Với tốn có giả thiết sau
,
a
b
f x f a b x f x dxc
Với tốn có giả thiết ta chọn hàm sau Chọn hàm f x c const
Các ví dụ:
Cho
2
2 , 10
f x f x f x dx Tính
2
3
0
3
x x f x dx
A 20 B 10 C 10 D 20
Chọn f x c Khi
2
0
10 10
f x dx cdx c
Suy f x
Vậy
2
3
0
3 20
x x f x dx x x dx
DẠNG 10 Với tốn có giả thiết sau
f x f a b x g x
(13)Chọn hàm f x g x
Các ví dụ:
Cho f x 0, đạo hàm liên tục 0;2; f 0 1; 2
x x
f x f x e với
0;2
x
Tính
3
2
3 '
x x f x
dx f x
A 16
B 16
5 C
5 16
D
16
Chọn hàm 2x2 4x x2 2x f x e e Khi
2
3 2
2
2
0
3 ' 2 16
5
x x
x x
x x f x x x x e
dx dx
f x e
*Rất nhanh không ạ, làm tự luận phức tạp như sau Ta có: 2
3 3 2
2
0
3 '
2 ' 3 4 ' 2
2
x x f x
I dx
f x
x x f x x x f x
I dx dx
f x f x
2 0
' ' '
2
2
f x f x f x
I x x dx dx
f x f x f x
Đạo hàm hai vế giả thiết:
2
' ' 4 x x
f x f x f x f x x e
2
' ' 4
4
x x
f x f x f x f x x e
x
f x f x f x f x
2 0
'
4 4ln | 4ln
2 2
d f x
f x dx f
f x
f x f x f
(14)
2
3
0
32 16
2 4
5
I x x x dx I
DẠNG 10 Với tốn có giả thiết sau
2
;
b b
a a
f x dx f x g x dx
ta có cách chọn hàm sau
Chọn hàm f x cho f x kg x từ thay lại giả thiết ban đầu để tìm k
Các ví dụ:
Cho hàm số f x liên tục 0;1 thỏa mãn đồng thời điều kiện sau:
1
2
0
21;
f x dx x f x dx
Hãy tính tích phân
1
x
e f x dx
A e B e C 3e D 3e
Ta thấy giả thiết
1
2
0
21;
f x dx x f x dx
suy f x k x 1
Dựa vào giả thiết:
1
0
7
1 1
3
x f x dx x k x dx k k
Suy
1
0
1 x x
f x k x x e f x dx e x dx e
(15)MỘT SỐ THỦ THUẬT GIẢI NHANH CÁC DẠNG TỐN TÍCH PHÂN
1 Tính chất tích phân dựa vào phép biến đổi biến cận tích phân
b
a
I f x dx
Đổi biến xa b t
b b
a a
I f x dx f a b x dx
2 Tính chất tích phân dựa phép đổi biến
Nếu f x hàm chẵn a a; , tức f x fx ta có
*
0
0
a
a
f x dx f x dx
*
0
2
a a
a a
f x dx f x dx f x dx
*
0
1
1
a a a
x
a a a
f x
dx f x dx f x dx f x dx
b
Nếu f x hàm lẻ a a; , tức f x f x ta có
*
0
0
a
a
f x dx f x dx
*
a
a
f x dx
(16)*
0
T T a
a
f x dx f x dx
*
0
nT T
f x dxn f x dx
*
b b T
a a T
f x dx f x dx
3 Áp dụng tính chất
b b
a a
f x dx f a b x dx
vào toán
Viết hai lần I
b
a b
a
I f x dx
I f a b x dx
Cộng lại theo vế suy
b
a
I f x f a b x dx
Thông thường f x f a b x rút gọn dạng đơn giản
1
2 b
a
b a
f x f a b x c c dx
c f x c
(17)