Mỗi tháng mình sẽ đăng lời giải cho 5 bài toán hình học trong các đề thi vào lớp 10 chuyên đồng thời cũng sẽ đề nghị 5 bài toán cho tháng sau như các bài toán để các bạn luyện tập.. Giả [r]
(1)Tuyển tập tốn hình học các đề thi vào lớp 10 chuyên(Số 1)
Lời nói đầu: Như tới tháng 11 chẳng lâu lại tới kì thi vào lớp 10 chuyên khắc nghiệt Để giúp bạn lớp chuẩn bị, viết tuyển tập nhằm giúp bạn có định hướng tốt đối mặt với toán tương tự từ giúp bạn có nguồn tư liệu ôn thi Mỗi tháng đăng lời giải cho tốn hình học đề thi vào lớp 10 chuyên đồng thời đề nghị toán cho tháng sau toán để bạn luyện tập Mong bạn tiếp tục ủng hộ thời gian tới
Bài tốn 1(Trích đề tuyển sinh vào 10 chun THPT TPHCM 2016-2017): Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) có AC∩BD =E Giả sử tia AD cắt tia BC F Dựng hình bình hành AEBG
a) Chứng minh rằng: F D.F G=F B.F E
(2)Lời giải: a) Ta thấy rằng: ∠GBF =∠F BA−∠GBA =∠ADC−∠BDC =∠ADE Lại để ý rằng: F B
GB = F B
AE Ta cần chứng minh: F B AE =
F D DE ⇔
F B F D =
DE
AE Mà lại thấy4EAB∼ 4EDC(g.g)và4F AB ∼ 4F CD(g.g)nên hiên nhiên DE
AE = AB CD = F B
F D Vậy từ thu 4GBF ∼ 4EDF(c.g.c) từ dễ thấy đpcm
b) Tương tự câu a) ta chứng minh được: 4F GA ∼ 4F EC(c.g.c) ∠F GA = ∠F EC = 180◦−∠F EA= 180◦−∠AHF ⇒∠F GA+∠AHF = 180◦do đóA, G, H, F đồng viên(đpcm)
Nhận xét: Bài toán nhẹ nhàng với biến đổi góc tinh tế Có lẽ xu hướng đề thi vào 10 toàn hình học nên có lợi cho kì thi cấp cao VMO, IMO
(3)Lời giải: Hiển nhiên E F thuộc AB AC Ta có: AB AE =
AB BD = AC
CF đóEFkBC (theo định líT hales đảo) Bây ta chứng minhM P N J tứ giác nội tiếp Thật ta có: M J, M N, J N đường trung bình tam giácDEF ta có:∠M J N =∠EDF mà ∠M P A+∠EAP = 180◦ đồng thời: ∠N P A+∠AF N = 180◦ ∠M P N = 360◦ −(∠AED+∠AF D) = ∠DEF + ∠DF E = 180◦−∠EDF(chú ý rằng: EFkBC nên ED, F D phân giác góc F EB EF C) dễ thấy∠M J N +∠M P N = 180◦ hay làM, N, P, J đồng viên Vậy ta có: ∠M P J =∠M N J =∠DEF =∠EDB = 180◦−∠AED=∠M P A A, J, P thẳng hàng(đpcm)
Nhận xét: Cả toán chuỗi biến đổi góc liên tục từ đầu đến cuối Điểm khó ta khơng tìm điểm mấu chốt đoạn chứng minhM P N J nội tiếp khó đến với đpcm
Bài tốn 3(Trích đề thi vào chuyên Toán ĐHSP TPHCM 2012-2013): Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) (I) tiếp xúc BC điểm D Đường trịn bàng tiếp góc A tiếp xúcBC E
a) Gọi AE∩DE =F Chứng minh rằng: F ∈(I)
(4)Lời giải: a) Gọi DI∩(I) = D, F0 Ta chứng minh rằng: A, F0, E thẳng hàng Gọi X, Y tiếp điểm của(I)vớiAC, AB, (J) tiếp xúcAC, AB Z, T Thế áp dụng định líT hlesthì: IY
J T = AI AJ =
IF0
J E thu được: 4AIF
0 ∼ 4AJ E(c.g.c) A, F0, E thẳng hàng Do F ≡F0 thu đpcm
b) Trước tiên ta dễ nhận kết quen thuộc BD= EC M trung điểm DE GọiK trung điểm đoạnAD Thế dễ dàng nhận thấy K, I, M trung điểm củaAD, F D, DE nên chúng nằm đường trung bình tam giác ADE (lưu ý việc chứng minh A, F, E thẳng hàng trên)(đpcm)
Bài toán 4(Tuyển sinh vào chuyên KHTN, vòng năm 2012-2013): Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Gọi M điểm thuộc cung nhỏ BC(M 6=B, C,AM khơng đường kính (O)) Giả sử P điểm thuộc đoạn AM cho (M P) cắt BCd nhỏ điểm N 6=M
1) Gọi D đối xứngM qua O Chứng minh rằng: N, P, D thẳng hàng
2)(M P)∩M D=M, Q Chứng minh rằng: P tâm nội tiếp tam giác AQN
Lời giải: Lời giải: 1) Câu đơn giản Ta có: ∠M N P =∠M N D = 90◦ đóN, P, D thằng hàng(!!!)
(5)là phân giác góc ∠AN Q Ta có: ∠AP Q = 90◦ +∠AM D ⇒ ∠AP Q+∠ADQ = 90◦ + ∠AM D +∠ADQ = 180◦ tứ giác ADQP nội tiếp ∠P AQ = ∠M DN = ∠P AQ hiển nhiên AP phân giác góc N AQ P tâm nội tiếp tam giác AN Q(đpcm)
Bài tốn 5(Trích đề thi Vòng chuyên KHTN năm 2012-2013): Cho tam giácABC nhọn (AB > AC) nội tiếp (O) Giả sử điểmM, N thuộc cung nhỏ BC (O) cho M NkBC cho tia AN nằm tia AM, AB Gọi P hình chiếu C lên AN Q hình chiếu vng góc củaM lên AB
a) Chứng minh rằng: CP cắt QM (O)
b) GọiN Q∩(O) =R, N Giả sử AM∩P Q=S Chứng minh rằng: A, R, Q, S đồng viên
Lời giải: a) Ta gọi CP ∩QM = T thì: ∠T P A = ∠T QA = 90◦ T QP A nội tiếp nên ∠P T Q = ∠P AB = ∠CAM(chú ý việc M NkBC nên BNd =CMd) T ACM nội tiếp T ∈(O)(đpcm)
(6)Quay trở lại tốn, từ câu a) ta có: ∠P QA=∠CT A=∠ABCdo đóP QkBCkM N áp dụng bổ đề cho điểm R, A, T, M, N, C P, Q, S thẳng hàng QSkM N Gọi RQ∩BC =K, thì: ∠RQS =∠RKC = RCd+BNd
2 = ∠RBC + ∠CAM = 180◦−∠RAC+∠CAM = 180◦−(∠RAC−∠CAM) = 180◦−∠SAR đó∠RQS +∠RAS = 180◦ đóR, A, Q, S đồng viên(đpcm)
Nhận xét: Bài toán thú vị bạn quen thấy cấu hình cịn xuất đề thi VMO 2016 ngày 2, biến đổi góc tốn thực tinh tế tận dụng triệt để giả thiếtM NkBC
Các toán đề nghị tháng sau
Bài tốn 6(Trích đề thi vào chun ĐHSP năm 2011-2012,ngày 2): Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) BE, CF đường cao tam giác Các tiếp tuyến B, C (O) cắt ởS BC∩OS =M
1) Chứng minh rằng: AB AE =
BS M E 2) Chứng minh rằng: 4AEM ∼ 4ABS
3) GọiN giao điểm củaAM vàEF,P =AS∩BC Chứng minh rằng: N P ⊥BC Bài toán 7(Thi tuyển sinh vào chuyên Toán THPT chuyên Bà Rịa Vũng Tàu,2012-2013): Cho tam giác ABC điểm O cố định nằm tam giác không thuộc cạnh tam giác M điểm di động tia OA(M 6= O, A) cho (ABM)∩OB =N, B (ACM)∩OC =P, C
1) Chứng minh rằng: ON
OP không đổi
2) Gọi I, J tâm (ABC),(M N P) Chứng minh rằng: O, I, J thẳng hàng Bài toán 8(Đề thi tuyển sinh vào chuyên Toán THPT chuyên Phan Bội Châu,2012-2013): Cho đường trịn tâmO có đường kính AB Trên đường tròn lấy điểm D cho: ∠DAB > 60◦ Trên đường kính AB lấy điểm C(C 6= A, B) kẻ CH ⊥AD=H Phân giác góc∠DAB cắt (O)tại E cắtCH F Đường thẳng DF cắt (O) điểm thứ hai N
a) Chứng minh rằng: N, C, E thằng hàng
(7)Bài toán 9(Đề thi vào chuyên Toán THPT chuyên Vĩnh Phúc,2013-2014): Cho tam giác ABC nhọn(AB < AC) Gọi D, E, F chân đường cao hạ từ A, B, C Gọi P =BC∩EF Đường thẳng quaDkEF cắt AB, AC, CF Q, R, S Chứng minh rằng:
a) Tứ giác BQCR nội tiếp b)D trung điểm QS c)(P QR) chia đôi BC
Bài tốn 10(Trích đề vịng THPT chun KHTN, 2012-2013): Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường trịn (O) có trực tâm H Gọi P điểm nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC(P 6= H, C, B) nằm tam giác ABC Gọi P B∩(O) = M, B P C ∩(O) =C, N BM ∩AC =E,CN ∩AB = F (AM E)∩(AN F) = A, Q
1) Chứng minh rằng: M, N, Q thẳng hàng
(8)Tuyển tập tốn hình học các đề thi vào lớp 10 chuyên(Số 2)
Nguyễn Duy Khương-chuyên Toán khoá 1518-THPT chuyên Hà Nội Amsterdam
Tóm tắt nội dung: Để giúp bạn lớp chuẩn bị, viết tuyển tập nhằm giúp bạn có định hướng tốt đối mặt với toán tương tự từ giúp bạn có nguồn tư liệu ơn thi Mỗi số đăng lời giải cho tốn hình học đề thi vào lớp 10 chuyên đồng thời đề nghị toán để bạn luyện tập Mong bạn tiếp tục ủng hộ thời gian tới Ở số muốn giới thiệu số tốn đề thi thử vào 10 trường chun-các tốn chất lượng khơng thi thật
Bài tốn 11(Thi thử vịng chuyên KHTN 2011-2012): Cho tam giác ABC
nội tiếp đường tròn (O) P điểm nằm tam giác ABC cho BA cắt
(P AC)tại điểm D6=A A nằm B, D Gọi CD∩(O) = C, E
1) Chứng minh rằng: DP cắt BE điểm F thuộc(P AB)
2) Chứng minh rằng: C, P, E, F đồng viên
(9)Lời giải: 1) Ta có: ∠AP F = ∠ACE = ∠ABF ABP F nội tiếp
F =P D∩BE ∈(P AB)(đpcm)
2) Từ câu 1) hiển nhiên DF.DP =DA.DB=DE.DC(theo hệ thức lượng
đường trịn) P F EC nội tiếp(đpcm)
3) Nếu F ∈ AC áp dụng tính chất tứ giác tồn phần AF CEDB(chú ý
từ 1) 2) ta có: AF P B P F EC nội tiếp) B, P, E, D đồng viên
Nhận xét: Bài tốn khơng khó Các bạn tham khảo tính chất tứ giác toàn
phần viết Các chuyên đề hình học dành cho bạn THCS(Số 2)
Bài toán 12(Thi thử vào chuyên KHTN đợt 2/2008-2009): Cho tam giác
ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi H chân đường cao hạ từ A xuống BC
1 Chứng minh rằng: ∠BAH =∠OAC
2 Đường tròn qua A, C tiếp xúc BC cắt AO kéo dài P Chứng minh rằng:
(10)Lời giải: Ta thấy rằng: ∠OAC = 180
◦−
∠AOC
2 = 90
◦ −
∠B ∠HAB =
∠OAC(đpcm)
2 Gọi CP ∩AB = T Ta áp dụng tính chất tiếp tuyến thì: ∠P CB = ∠P AC =
∠OCA Như từ câu 1) dễ thấy CT ⊥AB(đpcm)
Bài toán 13(Thi thử vào chuyên KHTN đợt 4/2010): Cho tam giác ABC nội
tiếp đường trịn (O) có H trực tâm tam giác Lấy điểm M thuộc BC cho
HMkAB Qua M kẻ đường thẳng vng góc BC cắt AB N Gọi P đối xứng C
qua O
1) Chứng minh rằng: BP AH hình bình hành
(11)Lời giải: 1) Ta cóCP đường kính (O) AP ⊥AC hay làAPkBH Lại
có: BPkAH(cùng vng góc BC) đóBP AH hình bình hành
2) Ta dễ thấy tứ giác AN M H có cặp cạnh đối song song hình bình
hành Vậy M Nk=AHk=P B tứ giác P N BM hình bình hành có góc
vng hình chữ nhật ∠QP B = 90◦ đóBQ đường kính
(O)(đpcm)
Bài tốn 14(Thi thử mơn Tốn dành cho thí sinh thi vào chun Tốn ĐHSP 2014-2015): Cho đường trịn (O) có dây cung BC khơng đường kính
Gọi A điểm cung lớn BC Các tiếp tuyến (O) B, C cắt
ở S Gọi H hình chiếu vng góc C AB, M trung điểm CH
AM ∩(O) =A, N
a) Gọi SA∩BC =D Chứng minh rằng: CM DN nội tiếp
b) Tia SAcắt (O) điểm điểm thứ hai E Chứng minh rằng: CEkSA
(12)Lời giải: a) Ta dễ thấyDlà trung điểm BC Do ta thấyDM đường trung
bình tam giác CHB suy ra: ∠DM N = ∠BAN = ∠DCN DN CM nội
tiếp
b)c) Ở câu c) dùng để làm câu b) Vậy tơi xin trình bày hai câu gộp
vào không ảnh hưởng nhiều Gọi CN ∩SD = K Ta thấy rằng:
∠KCD=∠M AH Lại gọiK0 trung điểm SD ∠SDC =∠CHA= 90◦
và∠SCD =∠HAC nên theo tính chất đồng dạng trung tuyến thì∠K0CD =∠M AH
do đóK ≡K0 Từ để ý rằng: ∠DN C = 90◦ nên áp dụng hệ thức lượng tam
giác vng KDC thì: KN.KC = KD2 = KC2 ∠KSN =∠SCN = ∠CEN
hay CEkSA(đpcm)
Bài tốn 15(Trích thi tuyển sinh vào 10 THPT TPHCM 2013-2014): Cho
tam giác ABC nhọn(AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) Các tiếp tuyến B, C
cắt ởM Từ M kẻ đường thẳng song song AB cắt (O)tại D, E(D thuộc cung
nhỏ BC), cắt BC F, cắt AC I Gọi OI cắt (O) P, Q(P thuộc cung nhỏ
(13)Lời giải: Bài toán hay ấn tượng với thi vào 10
năm Do ABkDE ∠M IC = ∠BAC = ∠M BC M BIC nội tiếp
suy F I.F M = F B.F C = F D.F E Áp dụng hệ thức M aclaurin đảo(các bạn
có thể xem kĩ chuyên đề dành cho THCS mà viết vấn đề hàng điểm
điều hồ góc nhìn kiến thức THCS) I trung điểm DE Do dĩ nhiên
OI hay P Q đường kính (O) Lại để ý rằng: F I.F M = F T.F Q
∠QT M =∠QID= 90◦ mà ∠P T Q = 90◦(Cmt) P, T, M thẳng hàng(đpcm)
Một số tập đề nghị:
Bài toán 16(Thi thử vào chuyên Toán KHTN 2012): Cho tam giácABC(AB < AC)nội tiếp đường tròn(O) Phân giác góc∠BAC cắt(O)tạiD, A LấyEđối xứng
DquaO GọiF điểm thuộc cung BDkhông chứa A, C của(O),F E∩BC =G
LấyH ∈AF :GHkAD Chứng minh rằng: HGlà phân giác góc ∠BHC
Bài tốn 17(Thi thử vào chuyên KHTN 2015): Cho tam giác ABC nội tiếp
đường tròn (O) AD phân giác BAC với D nằm B, C AD cắt (O)tại điểm
E 6=A EF đường kính của(O) P điểm nằm giữaA, D GọiF P∩(O) =Q, F
Đường thẳng qua P vng góc AD cắt CA, AB M, N
a) Chứng minh rằng: P BQN, P QCM tứ giác nội tiếp
b) Giả sử QN cắt P C (O) Chứng minh rằng: QM cắt P B (O)
(14)vuông tạiA với phân giác BE(E ∈CA) Giả sử (BCE)∩AB=F, B
1) Chứng minh rằng: BC =AB+AF
2) Gọi K hình chiếu Alên BC Trên đoạnAB lấy điểmL choBL=BK
Chứng minh rằng: AL
AF = r
BK BC
Bài toán 19(Thi tuyển sinh vào 10 chuyên ĐHSP cho thí sinh 2015):
Cho tam giác ABC có góc nhọn ∠BAC = 60◦ Các đường phân giác
BB1, CC1 cắt tạiI
1 Chứng minh rằng: AB1IC1 nội tiếp
2 Gọi K, B =BC∩(BC1I) Chứng minh rằng: CKIB1 nội tiếp
3 Chứng minh rằng: AK ⊥B1C1
Bài tốn 20(Trích đề thi thử vào chuyên Toán KHTN đợt 3-2015): Cho tam
giác ABC nhọn nội tiếp(O) Gọi P điểm nằm phân giác góc ∠BAC Gọi
đường trịn đường kínhAP cắt (O)tại điểm A, P GọiAH đường cao tam
giácABC GọiLlà hình chiếu củaP lên AH Giả sửGLchia đôi HP Chứng minh