ĐỀ CƢƠNG ƠN TẬP MƠN TỐN CAO CẤP A1 I Số phức phép tốn Tìm Rez Imz biết : z1 a z = z1 − , với z1 = − i, z2 = + i z2 z z2 b z = z1 − , với z1 = + i , z2 = − 2i z1 2 Hãy tính số phức a z = − 4i b −1 c −2 + 2i d 1−i e 1+i 3+i 3−i Giải phương trình phức sau a z − + i z − + i = b z + + + i z + i − = Viết số phức sau dạng lượng giác dạng mũ a − + i b 1+i 100 3−i 15 15 −1 + i −1 − i 3−i c − d + − i 20 + i 20 II Ma trận – Định thức – Hệ phƣơng trình tuyến tính −2 2 −1 Cho A = , B = −2 −3 a Tìm f A biết f x = −x − 2Bx + I b Tìm AT , BT , A + B T , A B T , B A T , AT BT , BT AT Tính định thức sau đây: 2 a+x x x −2 −4 a b c x b+x x −3 x x c + x 2 1 1 Tìm ma trận nghịch đảo A = , B = 1 2 1 Tìm hạng ma trận −1 −1 −2 −3 a b −2 c −3 −5 −7 −1 −5 Giải hệ phương trình phương pháp Gauss: 3x1 + x2 + 3x3 = 3x1 + 2x2 + x3 = 2x1 − x2 + 7x3 = −3 a 4x1 + 2x2 + 3x3 = , b 3x1 + 4x2 − 2x3 = 5x1 + 3x2 + 3x3 = 5x1 + 2x2 + 4x3 = 24 Giải hệ phương trình qui tắc Cramer: 2x1 − x2 + 3x3 + 2x4 = 1x1 + x2 − 2x3 = 3x1 + 3x2 + 3x3 + 2x4 = a 2x1 + 3x2 − 7x3 = 16 b 3x1 − x2 − x3 − 2x4 = 5x1 + 2x2 + x3 = 16 3x1 − x2 + 3x3 − x4 = Hãy tìm hai ma trận A, B khác ma trận không cho A.B = Cho A = Tìm B cho AB = BA Tìm ma trận cấp có bình phương ma trận khơng 10 Tìm ma trận cấp có bình phương ma trận đơn vị 11 Cho A = aij , B = bij , A B = B A Chứng minh: n n a A + B = A2 + 2AB + B2 b A2 − B = A − B A + B c A B = A2 B2 12 Cho A = aij , B = bij Các mệnh đề sau hay sai ? Vì sao? n n a Nếu A2 = A = b Nếếu A2 = In A = ±In c A B m = Am Bm 13 Thực phép tính sau: a n a với a ∈ , n ∈ 1n x b x cosφ −sinφ n c với n ∈ , ≤ φ < 2𝜋 sinφ cosφ 14 Tính định thức cấp n sau đây: ⋯ n−1 n a+x a a ⋯ a ⋯ n−1 n a a+x a ⋯ a ⋯ n−1 n a b ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ a a a ⋯ a+x ⋯ n ⋯ n−1 n 1 ⋯ 1 2 ⋯ 2 ⋯ 3 c ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋯ n−1 n−1 ⋯ n−1 n 15 Cho A = aij A = n a Tính A , A , A AT b Giả sử B2 = A Tính B 16 Cho A = aij Chứng minh k A = k n A n a11 0 ⋯ 0 a22 ⋯ 17 Cho ma trận A = a11 a22 … ann ≠ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ 0 ⋯ ann Chứng minh A khả nghịch tìm A−1 18 Cho ma trận A = aij với A ≠ Tìm ma trận nghịch đảo A biết: n a A2 + 3A − 2I = b A3 − 3A = I 19 Cho ma trận A = aij với A4 = A ≠ Tìm ma trận nghịch đảo n I + A2 20 Cho ma trận A = aij vớới A3 = A ≠ Tìm ma trận nghịch đảo n I+A 21 Cho ma trận A, B khả nghịch Chứng minh A B = B A A−1 B = BA−1 22 Cho hai ma trận vuông A, B cho A.B = Chứng minh A khả đảo trừ B = 17 k 10 23 Tìm giá trị k để ma trận sau có hạng thấp 1 2 24 Cho hệ phương trình phụ thuộc vào tham số a, b ∈ x1 + 2x2 + a x3 = 3x1 − x2 − a x3 = 2x1 + x2 + 3x3 = b a Xác định a để hệ có nghiệm b Xác định a, b để hệ có vơ số nghiệm tìm nghiệm tương ứng 25 Biện luận nghiệm hệ phương trình sau theo tham số m: mx1 + x2 + x3 = x1 + mx2 + x3 = m x1 + x2 + mx3 = m2 III Không gian vec tơ W có phải khơng gian V khơng? Vì sao? a V = 2 , W = x1 , x2 ∈ x1 = x2 b V = 2 , W = x1 , x2 ∈ x1 = x2 c V = 3 , W = x1 , x2 , x3 ∈ x3 = x1 − x2 d V = 3 , W = x1 , x2 , x3 ∈ x3 = x1 x2 e V = 3 , W = x1 , x2 , x3 ∈ x1 − x2 = f V = 3 , W = x1 , x2 , x3 ∈ x2 = x1 x3 g V = 3 , W = x1 , x2 , x3 ∈ x1 − x3 = x2 h V = 3 , W = x1 , x2 , x3 ∈ x1 = x2 i V = 3 , W = x1 , x2 , x3 ∈ x2 x3 = j V = 3 , W = x1 , x2 , x3 ∈ x1 + x2 + x3 = k V = 3 , W = x1 , x2 , x3 ∈ 3x1 + x2 − 5x3 = l V = 3 , W = x1 , x2 , x3 ∈ x1 = x2 x3 m V = 3 , W = x1 , x2 , x3 ∈ 2x1 + x2 − x3 = a b ∈ μ2 a + d = c d a b V = μ2 , W = ∈ μ2 a + d = b c c d a b V = μ2 , W = ∈ μ2 a d = c d a b V = μ2 , W = ∈ μ2 a b = c d c d V = 4 , W = α ∈ α = a, a − 2b, a, c , a, b, c ∈ V = K n , W tập hợp nghiệm K hệ phương trình tuyến tính n×n a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn = a21 x1 + a22 x2 + ⋯ + a2n xn = ⋮ am1 x1 + am2 x2 + ⋯ + amn xn = n V = μ2 , W = o p q r s Mỗi họ vec tơ có sinh V khơng? Vì sao? a S = α1 = + 2x + 5x , α2 = −1 + x + 3x , α3 = −2 − 4x − 11x V = 2 x b S = α1 = 3,1,4 , α2 = 2, −3,5 , α3 = 5, −2,9 , α4 = 1,4, −1 V = 3 Hệ vec tơ S sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính, biết a S = α1 = + 3x − x , α2 = + 9x − 3x 2 x b S = α1 = , α2 = μ2 −1 c S = α1 = 5,4,3 , α2 = 3,3,2 , α3 = 8,1,3 3 e S = α1 = 3,2,7,4 , α2 = 1, −4, −1,0 , α3 = 3, −5,2,1 4 f S = α1 = 1,2,1,2 , α2 = 0,1,0,1 , α3 = 1,0,1,0 , α4 = 0,0,1,1 4 g S = {α1 = 3,1,1,5, −1 , α2 = 1,1, −1,1, −1 , α3 = 4,2,0,6, −2 α4 = 5,3, −1,7, −3 }5 Chứng minh S sở 3 tìm tọa độ vec tơ α sở S biết: a S = α1 = 1, −3,2 , α2 = 2, −4,5 , α3 = 3, −2,11 , α = −1, −7, −10 b S = α1 = 3,2,4 , α2 = 2,3,3 , α3 = 3,1,3 , α = 1,3,1 c S = α1 = 3,2,5 , α2 = 5,2,8 , α3 = 5,1,8 , α = 4, −1,6 d S = α1 = 3,2,5 , α2 = 4,1,7 , α3 = −4, −2, −7 , α = 2, −1,4 e S = α1 = 3,2,4 , α2 = 4,1,5 , α3 = 2, −1,2 , α = 4,0,5 Trong không gian vec tơ 4 cho hệ vec tơ S = α1 , α2 , α3 , α4 α1 = 2,0,0,0 , α2 = 2,3,0,1 , α3 = 4,3,1,1 , α4 = 0,0,0,5 a Chứng minh S sở 4 b Tìm tọa độ vec tơ α sở S biết α = −2,5,1,3 c Tìm α biết tọa độ vec tơ α sở S −2,5,1,3 Trong không gian μ2 () ma trận vuông cấp hai, cho vec tơ (ma trận) e1 , e2 , e3 , e4 sau, chúng có phải sở μ2 () khơng? Vì sao? Nếu có tìm tọa độ ma trận A sở 1 1 a e1 = ,e = ,e = ,e = ,A = 4 1 1 b e1 = , e2 = , e3 = , e4 = ,A = 1 0 1 1 1 1 0 , e2 = , e3 = , e4 = ,A = 1 1 3 −1 −8 d e1 = ,e = , e3 = ,e = , −6 −1 −12 −4 −1 2 14 A= 16 −4 Họ có phải sở 2 x khơng ? Vì sao? Nếu có tìm tọa độ đa thức P x = x + 2x + ứng với sở a e1 = x − 1, e2 = x − x + 1, e3 = x + x + b e1 = x − x + 1, e2 = x − 2, e3 = x + 2x c e1 = − 3x + 2x , e2 = + x + 4x , e3 = − 7x d e1 = + 6x + x , e2 = −1 + 4x + 2x , e3 = + 2x − x e e1 = + 2x + 3x , e2 = + x + x , e3 = + 2x + 2x Trong không gian vec tơ 3 cho hai sở S = α1 , α2 , α3 , T = α1 ′ , α2 ′ , α3 ′ α1 = 1,1,1 , α2 = 1,1,0 , α3 = 1,0,0 ; α1 ′ = 0,1,1 , α2 ′ = 1,0,1 , α3 ′ = 1,0,0 a Tìm ma trận chuyển sở từ S sang T b Tìm ma trận chuyển sở từ T sang S c Tìm tọa độ vec tơ α sở T biết tọa độ vec tơ α sở S 2,1,1 c e1 = IV Ánh xạ tuyến tính Kiểm tra ánh xạ sau có phải ánh xạ tuyến tính khơng? Vì sao? a f: 2 → 2 xác định f x, y = ax + by, cx + dy b f: 2 → 2 xác định f x, y = x, y c f: 4 → 2 xác định f x, y, z, t = x + y, z − t d f: 3 → 3 xác định f x, y, z = x + 3, y, z e f: 2 → xác định f x, y = x y x f f: 2 → xác định f x, y = y a b g f: μ2 → xác định f =a+d c d a b a b h f: μ2 → xác định f = c d c d a c a b i f: μ2 → μ2 xác định f = b d c d Cho ánh xạ tuyến tính f: V → W Chứng minh điều kiện sau tương đương: (a) f đơn cấu tuyến tính (b) Kerf = 0V (c) f biến hệ độc lập tuyến tính V thành hệ độc lập tuyến tính W (d) f biến sở V thành hệ độc lập tuyến tính W (e) rankf = dimV Cho ánh xạ tuyến tính f: V → W Chứng minh điều kiện sau tương đương (a) f tồn cấu tuyến tính (b) Imf = W (c) f biến hệ sinh V thành hệ sinh W (d) f biến sở V thành hệ sinh W Cho ánh xạ tuyến tính f: V → W Chứng minh điều kiện sau tương đương: (a) f đẳng cấu tuyến tính (b) Kerf = 0V Imf = W (c) f biến sở V thành sở W Cho ánh xạ tuyến tính f: V → W, V W K – không gian vec tơ Chứng minh rằng: V ≅ W dim V = dim W Cho ánh xạ tuyến tính f: V → V, V không gian vec tơ hữu hạn chiều Chứng minh rằng: (a) Nếu f đơn cấu tuyến tính f đẳng cấu tuyến tính (b) Nếu f tồn cấu tuyến tính f đẳng cấu tuyến tính V Trị riêng vec tơ riêng −5 Tìm trị riêng, vec tơ riêng ma trận A = −7 ; B = 2 −2 0 −1 −9 3 Cho f: → xác định f x1 , x2 , x3 = 2x1 + x2 , x2 − x3 , 2x2 + 4x3 Tìm trị riêng vec tơ riêng f ... − 2b, a, c , a, b, c ∈ V = K n , W tập hợp nghiệm K hệ phương trình tuyến tính n×n a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn = a21 x1 + a22 x2 + ⋯ + a2n xn = ⋮ am1 x1 + am2 x2 + ⋯ + amn xn = n V = μ2 ,... A , A , A AT b Giả sử B2 = A Tính B 16 Cho A = aij Chứng minh k A = k n A n a11 0 ⋯ 0 a22 ⋯ 17 Cho ma trận A = a11 a22 … ann ≠ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ 0 ⋯ ann Chứng minh A khả nghịch tìm A−1 18 Cho ma... 4,1,7 , α3 = −4, −2, −7 , α = 2, −1,4 e S = α1 = 3,2,4 , α2 = 4,1,5 , α3 = 2, −1,2 , α = 4,0,5 Trong không gian vec tơ 4 cho hệ vec tơ S = α1 , α2 , α3 , α4 α1 = 2,0,0,0 , α2 = 2,3,0,1 , α3 =